Gia Sư Thông Minhgia sư thông minh.Chấm thitrắc nghiệmFree
← Trở về thư viện

Các Bài Toán Về Diện Tích Tam Giác Và Hình Thang Lớp 5 Nâng Cao

Tuyển tập các bài toán nâng cao về diện tích hình tam giác và hình thang môn Toán Lớp 5, phương pháp sử dụng tỉ số diện tích kèm hình vẽ minh họa và hướng dẫn giải ẩn hiện.

#Toán học#Toán 5#Diện tích tam giác#Diện tích hình thang#Hình học lớp 5#Bồi dưỡng học sinh giỏi

Mục lục bài viết9 mục

Hình học ở Toán Lớp 5 theo Chương trình Giáo dục phổ thông 2018 đòi hỏi học sinh không chỉ thuộc lòng các công thức tính diện tích hình tam giác, hình thang mà còn phải nắm vững phương pháp so sánh diện tích dựa trên mối quan hệ giữa cạnh đáy và chiều cao tương ứng.

Bài viết thuộc chuỗi Tuyển tập Toán bồi dưỡng Lớp 5 theo Chương trình 2018.

1. Hệ thống công thức và Tính chất quan trọng

a. Hình tam giác

S=a×h2⟺a=2×Sh;h=2×SaS = \frac{a \times h}{2} \quad \Longleftrightarrow \quad a = \frac{2 \times S}{h}; \quad h = \frac{2 \times S}{a}

Tỉ số diện tích tam giác

Quan trọng

Hai định lý tỉ số diện tích vàng:

  1. Hai tam giác có chung chiều cao (hoặc chiều cao bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai cạnh đáy tương ứng:S1S2=a1a2\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1}{a_2}
  2. Hai tam giác có chung cạnh đáy (hoặc đáy bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai chiều cao tương ứng:S1S2=h1h2\frac{S_1}{S_2} = \frac{h_1}{h_2}

b. Hình thang

S=(a+b)×h2S = \frac{(a + b) \times h}{2}

Tính chất diện tích hình thang có hai đường chéo cắt nhau

Mẹo hay

Trong một hình thang ABCDABCD (AB∥CDAB \parallel CD), hai đường chéo cắt nhau tại OO, luôn có:

SAOD=SBOCvaˋSAOD×SBOC=SAOB×SDOCS_{AOD} = S_{BOC} \quad \text{và} \quad S_{AOD} \times S_{BOC} = S_{AOB} \times S_{DOC}

2. Các dạng toán chọn lọc có lời giải

Dạng 1: Mở rộng cạnh đáy làm thay đổi diện tích tam giác

Ví dụ 1

Một thửa đất hình tam giác có diện tích là 150 m2150\text{ m}^2. Người ta mở rộng đáy thêm 5 m5\text{ m} thì diện tích tăng thêm 37,5 m237,5\text{ m}^2. Tính độ dài cạnh đáy ban đầu của thửa đất.

Xem hướng dẫn & Lời giải chi tiết

Phần diện tích tăng thêm chính là một hình tam giác có đáy bằng 5 m5\text{ m} và có chung chiều cao với thửa đất ban đầu.
Chiều cao của thửa đất tam giác là:

h=37,5×2:5=15 (m)h = 37,5 \times 2 : 5 = 15\text{ (m)}

Độ dài cạnh đáy ban đầu của thửa đất là:

a=150×2:15=20 (m)a = 150 \times 2 : 15 = 20\text{ (m)}

Đáp số: 20 m20\text{ m}.

Dạng 2: Cắt chia tam giác qua tỉ số các cạnh

Ví dụ 2

Cho tam giác ABCABC. Trên cạnh ABAB lấy điểm MM sao cho AM=2×MBAM = 2 \times MB. Trên cạnh ACAC lấy điểm NN sao cho AN=NCAN = NC. Nối MM với NN. Biết diện tích tam giác AMNAMN bằng 18 cm218\text{ cm}^2. Tính diện tích tam giác ABCABC.

Xem hướng dẫn & Lời giải chi tiết
  • Ta có AM=2×MB⇒AB=AM+MB=3×MB⇒AM=23×AB.AM = 2 \times MB \Rightarrow AB = AM + MB = 3 \times MB \Rightarrow AM = \frac{2}{3} \times AB.
  • Vì AN=NCAN = NC nên AN=12×ACAN = \frac{1}{2} \times AC.
  • Nối BB với NN:
    • Xét tam giác AMNAMN và tam giác ABNABN: Hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ NN xuống ABAB, đáy AM=23×ABAM = \frac{2}{3} \times AB.
      Do đó:SAMN=23×SABN⟹SABN=SAMN:23=18:23=27 (cm2)S_{AMN} = \frac{2}{3} \times S_{ABN} \Longrightarrow S_{ABN} = S_{AMN} : \frac{2}{3} = 18 : \frac{2}{3} = 27\text{ (cm}^2)
    • Xét tam giác ABNABN và tam giác ABCABC: Hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ BB xuống ACAC, đáy AN=12×ACAN = \frac{1}{2} \times AC.
      Do đó:SABN=12×SABC⟹SABC=27×2=54 (cm2)S_{ABN} = \frac{1}{2} \times S_{ABC} \Longrightarrow S_{ABC} = 27 \times 2 = 54\text{ (cm}^2)Đáp số: 54 cm254\text{ cm}^2.

Dạng 3: Bài toán tỉ số diện tích trong hình thang có hai đường chéo cắt nhau

Ví dụ 3

Cho hình thang ABCDABCD có đáy nhỏ AB=12 cmAB = 12\text{ cm}, đáy lớn CD=24 cmCD = 24\text{ cm}. Hai đường chéo ACAC và BDBD cắt nhau tại điểm OO. Biết diện tích tam giác AOBAOB là 15 cm215\text{ cm}^2. Tính diện tích hình thang ABCDABCD.

Xem hướng dẫn & Lời giải chi tiết
  • Ta có tỉ số hai đáy: ABCD=1224=12\frac{AB}{CD} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}.
  • Xét tam giác AOBAOB và tam giác BOCBOC:
    Hai tam giác có chung đáy OBOB, tỉ số chiều cao hạ từ AA và CC xuống BDBD bằng tỉ số hai đáy ABCD=12\frac{AB}{CD} = \frac{1}{2}.
    Do đó:SBOC=2×SAOB=2×15=30 (cm2)S_{BOC} = 2 \times S_{AOB} = 2 \times 15 = 30\text{ (cm}^2)
  • Theo tính chất hình thang:SAOD=SBOC=30 (cm2)S_{AOD} = S_{BOC} = 30\text{ (cm}^2)
  • Xét tam giác DOCDOC và tam giác BOCBOC:
    Hai tam giác có chung chiều cao hạ từ CC xuống BDBD, đáy OD=2×OBOD = 2 \times OB (do SAODSAOB=3015=2\frac{S_{AOD}}{S_{AOB}} = \frac{30}{15} = 2).
    Do đó:SDOC=2×SBOC=2×30=60 (cm2)S_{DOC} = 2 \times S_{BOC} = 2 \times 30 = 60\text{ (cm}^2)
  • Diện tích hình thang ABCDABCD là:SABCD=SAOB+SBOC+SAOD+SDOC=15+30+30+60=135 (cm2)S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{AOD} + S_{DOC} = 15 + 30 + 30 + 60 = 135\text{ (cm}^2)Đáp số: 135 cm2135\text{ cm}^2.

3. Bài tập tự luyện có gợi ý ẩn/hiện

Bài 1: Một hình tam giác có cạnh đáy bằng 32 cm32\text{ cm}. Nếu kéo dài cạnh đáy thêm 6 cm6\text{ cm} thì diện tích hình tam giác tăng thêm 48 cm248\text{ cm}^2. Tính diện tích hình tam giác ban đầu.

Gợi ý & Đáp số

Chiều cao tam giác: 48×2:6=16 cm48 \times 2 : 6 = 16\text{ cm}.
Diện tích tam giác ban đầu: 32×16:2=256 cm232 \times 16 : 2 = 256\text{ cm}^2.

Bài 2: Một hình thang có diện tích bằng 280 cm2280\text{ cm}^2, chiều cao bằng 14 cm14\text{ cm}. Tính độ dài mỗi đáy của hình thang, biết rằng đáy lớn dài hơn đáy bé 10 cm10\text{ cm}.

Gợi ý & Đáp số

Tổng hai đáy: 280×2:14=40 cm280 \times 2 : 14 = 40\text{ cm}.
Đáy lớn: (40+10):2=25 cm(40 + 10) : 2 = 25\text{ cm}.
Đáy bé: 40−25=15 cm40 - 25 = 15\text{ cm}.

Bài 3: Cho hình thang vuông ABCDABCD có góc vuông tại AA và DD. Đáy bé AB=16 cmAB = 16\text{ cm}, đáy lớn CD=24 cmCD = 24\text{ cm}, chiều cao AD=18 cmAD = 18\text{ cm}. Nối BB với DD. Tính diện tích tam giác BCDBCD.

Gợi ý & Đáp số

Chiều cao của tam giác BCDBCD hạ từ đỉnh BB xuống đáy CDCD chính bằng cạnh bên vuông góc AD=18 cmAD = 18\text{ cm}.
Diện tích tam giác BCDBCD: 24×18:2=216 cm224 \times 18 : 2 = 216\text{ cm}^2.

NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP

Tự kiểm tra kiến thức

Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.

✦ Mẹo học tập

Học từng chút một, nghỉ ngơi đều đặn.

✦ KIẾN THỨC CÙNG CHUYÊN MỤC

Bài viết cùng chủ đề

Khám phá thêm các bài học và bài tập liên quan để ôn luyện vững vàng hơn.