108 bài toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi: Đại số và hình học 7

Ghi nhớ

Thông tin tác giả & Bản quyền tài liệu

• Chủ biên: TS. Nguyễn Văn Lợi
• Đồng tác giả: ThS. Hoàng Văn Tựu
• Đơn vị phát hành: LOISCENTER / Sigma-Maths
• Mục đích: Bồi dưỡng học sinh khá giỏi, rèn luyện tư duy logic, kỹ năng giải toán sáng tạo và nâng cao năng lực toán học cho học sinh lớp 7.

Đôi lời với các bạn đọc: Tài liệu này được biên soạn bao gồm những bài toán được sưu tầm và lựa chọn từ những tài liệu, giáo trình có uy tín, được nhiều người ưa thích, chủ yếu dành cho những học sinh khá, giỏi. Với phương châm học vừa đủ nhưng mỗi ngày mỗi tiến bộ, đồng thời nhằm giúp quý phụ huynh, quý thầy cô và các em học sinh có tài liệu tốt để tham khảo, chúng tôi trích lời giải một số bài toán hay để mọi người cùng nghiên cứu.

Mục lục

1. Chương 1: Số học và Đại số
   • 1.1 Tỉ lệ thức
     • 1.1.1 Bài toán có nội dung tính toán
     • 1.1.2 Bài toán có nội dung chứng minh
   • 1.2 Hàm số và đồ thị
     • 1.2.1 Tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch
     • 1.2.2 Hàm số và đồ thị của hàm số
   • 1.3 Biểu thức đại số
2. Chương 2: Hình học
   • 2.1 Quan hệ vuông góc và quan hệ song song
   • 2.2 Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác
   • 2.3 Các bài toán dựng hình cơ bản
   • 2.4 Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác
   • 2.5 Quan hệ các đường thẳng đồng quy trong tam giác
     • 2.5.1 Ba đường trung tuyến của tam giác
     • 2.5.2 Ba đường phân giác của tam giác
     • 2.5.3 Ba đường trung trực của tam giác
     • 2.5.4 Ba đường cao của tam giác
   • 2.6 Các bài toán có nội dung tính góc
3. Chương 3: Lời giải một vài bài chọn lọc

Chương 1: Số học và Đại số

1.1 Tỉ lệ thức

1.1.1 Bài toán có nội dung tính toán

Bài 1.1.1. Tìm $x$ trong các tỉ lệ thức sau: a) $\frac{x - 3}{x + 5} = \frac{5}{7}$. b) $\frac{7}{x - 1} = \frac{x + 1}{9}$. c) $\frac{x + 4}{20} = \frac{5}{x + 4}$. d) $\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{x - 2}{x + 3}$.

Bài 1.1.2. Tìm $x, y, z$ biết: a) $\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{9}$ và $x - 3y + 4z = 62$. b) $\frac{x}{y} = \frac{9}{7}$, $\frac{y}{z} = \frac{7}{3}$ và $x - y + z = -15$. c) $\frac{x}{y} = \frac{7}{20}$, $\frac{y}{z} = \frac{5}{8}$ và $2x + 5y - 2z = 100$. d) $\frac{12x - 15y}{7} = \frac{20z - 12x}{9} = \frac{15y - 20z}{11}$ và $x + y + z = 48$.

Bài 1.1.3. Tìm $x, y, z$ biết: a) $5x = 8y = 20z$ và $x - y - z = 3$. b) $\frac{6}{11}x = \frac{9}{2}y = \frac{18}{5}z$ và $-x + y + z = -120$. c) $\frac{x}{12} = \frac{y}{9} = \frac{z}{5}$ và $xyz = 20$. d) $\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{z}{3}$ và $x^2 + y^2 - z^2 = 65$.

Bài 1.1.4. Cho biểu thức $P = \frac{x + 2y - 3z}{x - 2y + 3z}$. Tính giá trị của $P$ biết các số $x, y, z$ tỉ lệ với các số $5, 4, 3$.

Bài 1.1.5. Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích là $300\text{ m}^2$, hai cạnh tỉ lệ với $4$ và $3$. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn.

Bài 1.1.6. Tìm hai phân số tối giản biết hiệu của chúng là $\frac{3}{196}$, các tử tỉ lệ với $3$ và $5$; các mẫu tỉ lệ với $4$ và $7$.

Bài 1.1.7. Ba kho có tất cả $710$ tấn thóc. Sau khi chuyển đi $\frac{1}{5}$ số thóc ở kho I, $\frac{1}{6}$ số thóc ở kho II và $\frac{1}{11}$ số thóc ở kho III thì số còn lại ở ba kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc?

Bài 1.1.8. Cho dãy tỉ số bằng nhau (giả thiết rằng biểu thức $M$ có nghĩa):

Tìm giá trị của biểu thức $M$, biết:

1.1.2 Bài toán có nội dung chứng minh

Bài 1.1.9. Cho $\frac{a + 5}{a - 5} = \frac{b + 6}{b - 6}$ ($a \neq 5, b \neq 6$). Chứng minh $\frac{a}{b} = \frac{5}{6}$.

Bài 1.1.10. Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \neq 1$ với $a, b, c, d \neq 0$. Chứng minh rằng:

Bài 1.1.11. Cho $\frac{a}{k} = \frac{x}{a}$ và $\frac{b}{k} = \frac{y}{b}$. Chứng minh rằng:

Bài 1.1.12. Cho $a = b + c$ và $c = \frac{bd}{b - d}$ ($b \neq 0, d \neq 0, b \neq d$). Chứng minh rằng:

Bài 1.1.13. Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ($c \neq \pm \frac{3}{5}d$). Chứng minh rằng:

Bài 1.1.14. Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \neq \pm 1$ và $c \neq 0$. Chứng minh rằng: a) $\left(\frac{a - b}{c - d}\right)^2 = \frac{ab}{cd}$. b) $\left(\frac{a + b}{c + d}\right)^3 = \frac{a^3 - b^3}{c^3 - d^3}$.

Bài 1.1.15. Chứng minh rằng nếu $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ thì:

Bài 1.1.16. Cho $b^2 = ac$. Chứng minh rằng:

Bài 1.1.17. Cho $b^2 = ac$, $c^2 = bd$ với $b, c, d \neq 0$, $b + c \neq d$, $b^3 + c^3 \neq d^3$. Chứng minh rằng:

Bài 1.1.18. Cho các số $A, B, C$ tỉ lệ với các số $a, b, c$. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức:

không phụ thuộc vào giá trị của $x, y$ và $z$.

Bài 1.1.19. Cho biểu thức $M = \frac{ax + by}{cx + dy}$ với $c, d \neq 0$. Chứng minh rằng nếu giá trị của biểu thức $M$ không phụ thuộc vào $x$ và $y$ thì bốn số $a, b, c, d$ lập thành một tỉ lệ thức.

Bài 1.1.20. Cho $\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2} = \frac{ab}{cd}$ với $a, b, c, d \neq 0, c \neq \pm d$. Chứng minh rằng hoặc $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ hoặc $\frac{a}{d} = \frac{b}{c}$.

1.2 Hàm số và đồ thị

1.2.1 Tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch

Bài 1.2.1. Viết công thức biểu thị sự phụ thuộc giữa: a) Chu vi $C$ của hình vuông cạnh $x$. b) Chu vi $C$ của đường tròn bán kính $R$. c) Diện tích $S$ của hình chữ nhật có một cạnh là $5\text{ cm}$ và cạnh còn lại là $x\text{ cm}$. d) Diện tích $S$ của hình tam giác có cạnh đáy là $4\text{ cm}$ và chiều cao tương ứng là $h\text{ cm}$. e) Chiều dài của một hình chữ nhật có diện tích là $12\text{ cm}^2$ và một cạnh có độ dài là $x\text{ cm}$. f) Đường cao của một hình tam giác có diện tích là $10\text{ cm}^2$ và cạnh đáy có độ dài là $x\text{ cm}$.

Bài 1.2.2. Một công nhân tiện $30$ đinh ốc cần $45$ phút. Hỏi trong $1\text{ giờ } 45\text{ phút}$, người đó tiện được bao nhiêu đinh ốc?

Bài 1.2.3. Một con ngựa ăn hết một xe cỏ trong $4$ ngày. Một con dê ăn hết một xe cỏ trong $6$ ngày. Một con cừu ăn hết một xe cỏ trong $12$ ngày. Hỏi cả ba con cùng ăn thì hết một xe cỏ trong bao lâu?

Bài 1.2.4. Vận tốc riêng của ca nô là $21\text{ km/h}$, vận tốc dòng sông là $3\text{ km/h}$. Hỏi với thời gian ca nô chạy ngược dòng được $30\text{ km}$ thì ca nô chạy xuôi dòng được bao nhiêu km?

Bài 1.2.5. Hai bà buôn gạo hết cùng một số tiền. Bà thứ nhất mua loại $4\,000\text{ đồng/kg}$, bà thứ hai mua loại $4\,800\text{ đồng/kg}$. Biết bà thứ nhất mua nhiều hơn bà thứ hai là $2\text{ kg}$. Hỏi mỗi bà mua bao nhiêu kilôgam gạo?

Bài 1.2.6. Một ô tô dự định chạy từ $A$ đến $B$ trong thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc $54\text{ km/h}$ thì đến nơi sớm hơn $1\text{ giờ}$. Nếu chạy với vận tốc $63\text{ km/h}$ thì đến nơi sớm hơn $2\text{ giờ}$. Tính quãng đường $AB$ và thời gian dự định đi.

Bài 1.2.7. Để làm xong một công việc thì $21$ công nhân cần làm trong $15$ ngày. Do cải tiến công cụ lao động nên năng suất lao động của mỗi người tăng thêm $25\%$. Hỏi $18$ công nhân làm trong bao lâu thì xong công việc ấy?

1.2.2 Hàm số và đồ thị của hàm số

Bài 1.2.8. Một chiếc tàu ngầm chạy với vận tốc không đổi là $37\text{ km/h}$ ở độ sâu $100\text{ m}$ so với mực nước biển. a) Viết hàm số $f$ mô tả sự phụ thuộc giữa quãng đường $s$ (tính bằng km) và thời gian $t$ (tính bằng giờ) mà tàu ngầm đã đi. b) Viết hàm số $g$ mô tả sự phụ thuộc giữa độ sâu $h$ (tính bằng m) của tàu ngầm so với mực nước biển và thời gian $t$ (tính bằng giờ). Tính $g(2)$, $g(3{,}5)$.

Bài 1.2.9. Cho hàm số $f(x) = 4x^2 - 5$. a) Tính $f(3)$, $f\left(-\frac{1}{2}\right)$. b) Tìm $x$ để $f(x) = -1$. c) Chứng tỏ rằng với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì $f(x) = f(-x)$.

Bài 1.2.10. Viết công thức của hàm số $y = f(x)$ biết rằng $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{2}$. a) Tính $x$ để $f(x) = -5$. b) Chứng tỏ rằng nếu $x_1 > x_2$ thì $f(x_1) > f(x_2)$.

Bài 1.2.11. Viết công thức của hàm số $y = f(x)$ biết rằng $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $12$. a) Tính $x$ để $f(x) = 4$, $f(x) = 0$. b) Chứng tỏ rằng $f(-x) = -f(x)$.

Bài 1.2.12. Cho hàm số $y = -\frac{1}{3}x$. a) Vẽ đồ thị hàm số. b) Trong các điểm $M(-3; 1)$, $N(6; 2)$, $P(9; -3)$, điểm nào thuộc đồ thị hàm số (không vẽ lên đồ thị)?

Bài 1.2.13. Cho hàm số $y = f(x) = 0{,}5x$ với $-2 \le x \le 6$. Vẽ đồ thị hàm số rồi dùng đồ thị để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số này trên đoạn đó.

Bài 1.2.14. Cho các hàm số $y = f(x) = 2x$ và $y = g(x) = \frac{18}{x}$. Không vẽ đồ thị của chúng, hãy tính tọa độ giao điểm của hai đồ thị.

1.3 Biểu thức đại số

Bài 1.3.1. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $A = (x + 1)(x^2 - 2)$ tại $x = \sqrt{2}$. b) $B = \frac{2x^2 + 3x - 2}{x + 2}$ tại $|x| = 3$. c) $C = 9x^2 - 7x|y| - \frac{1}{4}y^3$ tại $x = \frac{1}{3}; y = -6$. d) $D = \frac{5x^2 + 3y^2}{10x^2 - 3y^2}$ với $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$. e) $E = \left(1 + \frac{z}{x}\right)\left(1 + \frac{x}{y}\right)\left(1 + \frac{y}{z}\right)$ với $x, y, z \neq 0, x + y + z = 0$.

Bài 1.3.2. Thu gọn các đơn thức sau rồi xác định hệ số, phần biến, và bậc của đơn thức ($a, b, c$ là hằng số): a) $A = \left(2a^3 b^2 x^4 y^3\right) \cdot \left(-\frac{3}{10}b x y^5 z^2\right)^3$. b) $B = \left(-\frac{1}{2}(a - 1) x^3 y^4 z^2\right)^5$. c) $C = \left(a^5 b^2 x y^2 z^{n-1}\right) \cdot \left(-b^3 c x^4 z^{7-n}\right)$. d) $D = \left(-\frac{9}{10} a x^3 y^2\right) \cdot \left(\frac{5}{3} a x^5 y^2 z\right)^3$.

Bài 1.3.3. Cho ba đơn thức $A = ab^2 x^4 y^3$, $B = ax^4 y^3$, $C = b^2 x^4 y^3$. Những đơn thức nào đồng dạng với nhau nếu: a) $a, b$ là hằng số khác $0$; $x, y$ là biến. b) $a$ là hằng số khác $0$; $b, x, y$ là biến. c) $b$ là hằng số khác $0$; $a, x, y$ là biến.

Bài 1.3.4. Thu gọn các đa thức sau rồi xác định bậc của đa thức ($a, b$ là các hằng số): a) $A = ax^4 y^3 + 10xy^2 + 4y^3 - 2x^4 y^3 - 3xy^2 + bx^3 y^4$. b) $B = 4x(x + y) - 5\big(y(x - y)\big) - 4x^2$. c) $C = (a - 1)(x^2 + 1) - x(y + 1) + x + y^2 - a + 1$. d) $D = \left(\frac{7}{9} x y^3\right) \cdot \left(-\frac{6}{11} a x y^2\right) + \left(-5 b x^2 y^4\right) \cdot \left(-\frac{1}{2} a x z\right) + ax(x^2 y)^3$. e) $E = \frac{\left(3x^4 y^3\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{6} x^2 y\right) + \left(8x^{n-9}\right) \cdot \left(-2x^{9-n}\right)}{15x^3 y^2 \left(0{,}4 a x^2 y^2 z^2\right)}$.

Bài 1.3.5. Tìm nghiệm của các đa thức: a) $(x - 3)(4 - 5x)$. b) $x^2 - 2$. c) $x^2 + 3$. d) $x^2 + 2x$. e) $x^2 - 4x + 4$. f) $x^2 + 2x - 3$.

Bài 1.3.6. Thu gọn rồi tìm nghiệm của các đa thức sau: a) $f(x) = x(1 - 2x) + (2x^2 - x + 4)$. b) $g(x) = x(x - 5) - x(x + 2) + 7x$. c) $h(x) = x(x - 1) + 1$.

Bài 1.3.7. Xác định hệ số $m$ để các đa thức sau nhận $1$ là nghiệm: a) $mx^2 + 2x + 8$. b) $7x^2 + mx - 1$. c) $x^{10} - 3x^2 + m$.

Bài 1.3.8. Cho các đa thức $f(x) = ax + b$, $g(x) = bx + a$. Chứng minh rằng nếu $x_0$ là nghiệm của $f(x)$ ($x_0 \neq 0$) thì $\frac{1}{x_0}$ là nghiệm của $g(x)$.

Bài 1.3.9. Cho biết $(x - 1)f(x) = (x + 4)f(x + 8)$ thỏa mãn với mọi $x$. Chứng minh rằng $f(x)$ có ít nhất hai nghiệm.

Bài 1.3.10. Cho đa thức $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$. Hãy chỉ ra điều kiện của các hệ số của đa thức trên để: a) $f(x)$ nhận $x = 1$ là nghiệm. b) $f(x)$ nhận $x = -1$ là nghiệm.

Chương 2: Hình học

2.1 Quan hệ vuông góc và quan hệ song song

Bài 2.1.1. Trên hình vẽ cho biết $\widehat{xAC} + \widehat{ACD} + \widehat{CDy} = 360^\circ$. Chứng minh rằng $Ax \parallel Dy$.

Bài 2.1.2. Trên hình vẽ cho biết $\widehat{xAC} + \widehat{yBC} - \widehat{ACB} = 180^\circ$. Chứng minh rằng $Ax \parallel By$.

Bài 2.1.3. Trên hình vẽ cho biết $\widehat{ACB} > \widehat{xAC}$ và $Ax \parallel By$. Chứng minh rằng:

Bài 2.1.4. Biết $Ax \parallel By$ và $\widehat{yBC} > \widehat{ACB}$. Chứng minh rằng:

Bài 2.1.5. Biết $Ax \parallel Cy$ và $\widehat{xAB} + \widehat{ABC} > 180^\circ$. Chứng minh rằng:

Bài 2.1.6. Biết $Ax \parallel By$ và $\widehat{ACB} < \widehat{yBC}$. Chứng minh rằng:

Bài 2.1.7. Biết $\widehat{xAC} + \widehat{ACD} - \widehat{CDy} = 180^\circ$. Chứng minh rằng $Ax \parallel Cy$ (hay $Ax \parallel Dy$).

Bài 2.1.8. Biết $Az \parallel Bt$. Chứng minh rằng:

Bài 2.1.9. Biết $Ax \parallel Cy$. Chứng minh rằng:

Bài 2.1.10. Biết $AB \perp AC$ và $$\widehat{ACD} = 110^\circ, \widehat{CDE} = 55^\circ, \widehat{DEF} = 35^\circ.$$ Chứng minh rằng $AB \parallel EF$.

2.2 Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác

Bài 2.2.1. Nhìn vào các hình vẽ minh họa, hãy chỉ ra những cặp tam giác bằng nhau theo các trường hợp bằng nhau của hai tam giác (c-c-c, c-g-c, g-c-g):

• a) $\triangle ABE$ và $\triangle DCE$ với $AE = ED, BE = EC$.
• b) $\triangle FHI$ và $\triangle GHJ$ qua đỉnh đối đỉnh $H$.
• c) Hai tam giác chung cạnh huyền hoặc cạnh góc.
• d) Cặp tam giác có góc đáy chung hoặc cạnh đáy chung.
• e) Hình bình hành chia đôi bởi đường chéo.
• f) Cặp tam giác cân chung đáy hoặc đỉnh đối đỉnh.
• g) Cặp tam giác có các góc so le trong bằng nhau và cạnh chung.
• h) Cặp tam giác đối xứng qua tâm hoặc đoạn thẳng.
• i) Hai tam giác cắt nhau tạo bởi hai đường chéo.
• j) Hai tam giác cân ngoài có đáy thẳng hàng.
• k) Tam giác đối xứng qua trục phân giác chung.
• l) Tam giác nội tiếp có đường cao / phân giác đồng quy.

Bài 2.2.2. Cho hình vẽ có $AB = CD, AD = BC$. Chứng minh rằng $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$.

Bài 2.2.3. Cho hình vẽ có $AB \parallel CD, AB = CD$. Chứng minh rằng $AD = BC$ và $AD \parallel BC$.

Bài 2.2.4. Cho tam giác $ABC$ có $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$. Chứng minh rằng:

Bài 2.2.5. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng $AM \perp BC$.

Bài 2.2.6. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. $M$ là trung điểm của $BC$. a) Chứng minh $AM = \frac{BC}{2}$. b) Từ đó hãy chỉ ra rằng: Nếu $\widehat{B} = 30^\circ$ thì $AC = \frac{BC}{2}$.

Bài 2.2.7. Cho tam giác $ABC$ có $AD \perp AB, AD = AB$ và $AC \perp AE, AC = AE$ (sao cho $D$ và $E$ nằm ngoài tam giác $ABC$). $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng:

Bài 2.2.8. Cho góc $\widehat{xAy} = 60^\circ$, $Az$ là tia phân giác của góc $\widehat{xAy}$. Trên tia $Ay$ lấy điểm $C$, từ $C$ kẻ đường thẳng song song với $Ax$ cắt $Az$ tại $B$ (hoặc $BC \parallel Ax$). Kẻ đường vuông góc hạ từ các đỉnh, chứng minh rằng:

Bài 2.2.9. Cho tam giác $ABC$ có $BC = 2AB$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ ($MB = MC$), kẻ $D$ sao cho $DB = DM$. Chứng minh rằng $AC = 2AD$.

Bài 2.2.10. Cho $\widehat{xOy} = 90^\circ$, $Oz$ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$. Lấy điểm $A$ trên $Oz$, kẻ $AB \perp Ox, AC \perp Oy$. Kẻ $AE$ là tia phân giác của góc $\widehat{CAD}$ ($D$ thuộc $Ox$). Chứng minh rằng:

2.3 Các bài toán dựng hình cơ bản

Bài 2.3.1. Dựng tia phân giác của một góc cho trước bằng thước thẳng và compa.

Bài 2.3.2. Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước.

Bài 2.3.3. Dựng trung điểm của một đoạn thẳng cho trước.

Bài 2.3.4. Dựng đường thẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$ cho trước trong các trường hợp sau: a) Điểm $A \in d$. b) Điểm $A \notin d$.

Bài 2.3.5. Dựng đường thẳng đi qua điểm $M$ không thuộc đường thẳng $d$ và song song với đường thẳng $d$.

Bài 2.3.6. Dựng tam giác biết độ dài ba cạnh cho trước.

Bài 2.3.7. Dựng một tam giác biết hai cạnh và một góc xen giữa hai cạnh đó.

Bài 2.3.8. Dựng một tam giác vuông biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông.

Bài 2.3.9. Dựng một tam giác biết hai góc kề nhau và một cạnh kề chung của hai góc đó.

Bài 2.3.10. Cho tam giác $ABC$. Dựng một điểm thỏa mãn các trường hợp sau: a) Cách đều ba cạnh của tam giác $ABC$ (tâm đường tròn nội tiếp). b) Cách đều ba đỉnh của tam giác $ABC$ (tâm đường tròn ngoại tiếp).

2.4 Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

Bài 2.4.1. Cho tam giác $ABC$ với $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng:

Bài 2.4.2. Cho tam giác $ABC$ với $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng:

Bài 2.4.3. Cho hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có $AB = A'B'$, $AC = A'C'$. Chứng minh rằng:

Bài 2.4.4. Cho tam giác $ABC$ có $BD \perp AC, CE \perp AB$ ($D \in AC, E \in AB$). Chứng minh rằng:

Bài 2.4.5. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$, trên tia đối của tia $CA$ lấy điểm $E$ sao cho $BD = CE$. Chứng minh rằng $BC < DE$.

Bài 2.4.6. Cho tam giác $ABC$, điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

Bài 2.4.7. Cho hai điểm $B, C$ nằm trên đoạn thẳng $AD$ sao cho $AB = CD$. Điểm $M$ nằm ngoài đoạn thẳng $AD$. Chứng minh rằng:

Bài 2.4.8. Cho góc $\widehat{xAy} = 60^\circ$, điểm $B$ nằm trên tia $Ax$, điểm $C$ nằm trên tia $Ay$. Chứng minh rằng:

Bài 2.4.9. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vẽ $AH \perp BC$ tại $H$. Chứng minh rằng:

Bài 2.4.10. Cho tam giác $ABC$ có $BC$ là cạnh lớn nhất và $M$ là trung điểm của $AC$. Điểm $D$ nằm trên đoạn $BM$ ($D \neq B$). Chứng minh rằng:

2.5 Quan hệ các đường thẳng đồng quy trong tam giác

2.5.1 Ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 2.5.1. Cho tam giác $ABC$, đường cao $AH$. Trên tia đối của tia $HA$ lấy điểm $D$ sao cho $HA = HD$. Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $E$ sao cho $CE = CB$. a) Chứng minh rằng $C$ là trọng tâm tam giác $ADE$. b) Tia $AC$ cắt $DE$ tại $M$. Chứng minh rằng $AE \parallel HM$.

Bài 2.5.2. Cho tam giác $ABC$, trung tuyến $AM$. Chứng minh rằng: a) Nếu $AM < \frac{BC}{2}$ thì $\widehat{A} > 90^\circ$ (góc $\widehat{A}$ tù). b) Nếu $AM = \frac{BC}{2}$ thì $\widehat{A} = 90^\circ$ (góc $\widehat{A}$ vuông). c) Nếu $AM > \frac{BC}{2}$ thì $\widehat{A} < 90^\circ$ (góc $\widehat{A}$ nhọn).

Bài 2.5.3. Cho tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$. Biết $AB < AC$. Chứng minh rằng:

Bài 2.5.4. Chứng minh rằng trong một tam giác, tổng độ dài ba đường trung tuyến lớn hơn $\frac{3}{4}$ chu vi và nhỏ hơn chu vi tam giác đó.

Bài 2.5.5. Cho tam giác $ABC$. Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ không chứa điểm $A$, vẽ tia $Bx$. Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ có chứa điểm $A$, vẽ tia $Cy$ sao cho $Cy \parallel Bx$. Trên $Bx, Cy$ lần lượt lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = CE$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Chứng minh $G$ cũng là trọng tâm tam giác $ADE$.

2.5.2 Ba đường phân giác của tam giác

Bài 2.5.6. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng hai đường phân giác ngoài của góc $\widehat{B}$ và góc $\widehat{C}$ cùng với đường phân giác trong góc $\widehat{A}$ đồng quy tại một điểm.

Bài 2.5.7. Cho góc $\widehat{xOy}$. Lấy điểm $A$ trên $Ox$, lấy điểm $B$ trên $Oy$. Vẽ các tia phân giác của các góc $\widehat{BAx}$ và $\widehat{ABy}$ cắt nhau tại $M$. Từ $M$ vẽ một đường thẳng vuông góc với $OM$ cắt $Ox, Oy$ tại $C$ và $D$. Chứng minh tam giác $OCD$ cân.

Bài 2.5.8. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 120^\circ$, phân giác $BD$ và $CE$. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ cắt đường thẳng $BC$ tại $F$. Chứng minh rằng:

Bài 2.5.9. Cho tam giác $ABC$, các tia phân giác góc $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ cắt nhau tại $O$. Từ $A$ vẽ đường thẳng vuông góc với $OA$ cắt các tia $BO$ và $CO$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng:

Bài 2.5.10. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 45^\circ$, đường cao $AH$, phân giác $BD$. Cho biết $\widehat{BDA} = 45^\circ$. Chứng minh rằng $HD \parallel AB$.

2.5.3 Ba đường trung trực của tam giác

Bài 2.5.11. Cho tam giác $ABC$. Trên cạnh $CA$ lấy điểm $E$ sao cho $CE = AB$. Các đường trung trực của $BE$ và $AC$ cắt nhau tại $O$. Chứng minh rằng: a) $\triangle AOB = \triangle COE$. b) $AO$ là tia phân giác của góc $\widehat{A}$.

Bài 2.5.12. Cho tam giác $ABC$. Tìm điểm $E$ thuộc đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh $A$ sao cho tam giác $EBC$ có chu vi nhỏ nhất.

Bài 2.5.13. Cho tam giác nhọn $ABC$. Tìm điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ sao cho nếu vẽ các điểm $D, E$ trong đó $AB$ là đường trung trực của $MD$, $AC$ là đường trung trực của $ME$ thì đoạn thẳng $DE$ có độ dài nhỏ nhất.

Bài 2.5.14. Cho điểm $A$ nằm trong góc nhọn $\widehat{xOy}$. Tìm điểm $B$ thuộc tia $Ox$, điểm $C$ thuộc tia $Oy$ sao cho tam giác $ABC$ có chu vi nhỏ nhất.

Bài 2.5.15. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Các điểm $D, E$ theo thứ tự di chuyển trên cạnh $AB$ và $AC$ sao cho $AD = CE$. Chứng minh rằng các đường trung trực của $DE$ luôn đi qua một điểm cố định.

2.5.4 Ba đường cao của tam giác

Bài 2.5.16. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, trung tuyến $AM$, đường cao $BE$. Trên tia $BE$ lấy điểm $F$ sao cho $BF = CE$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $BE, CF$ và $AM$ cùng đi qua một điểm.

Bài 2.5.17. Cho tam giác nhọn $ABC$, hai đường cao $BD, CE$ gặp nhau tại $H$. Vẽ điểm $K$ sao cho $AB$ là trung trực của $HK$. Chứng minh rằng:

Bài 2.5.18. Tam giác $ABC$ có cạnh $BC$ là cạnh lớn nhất. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = BA$ và $CE = CA$. Tia phân giác của góc $\widehat{B}$ cắt $AE$ tại $M$. Tia phân giác của góc $\widehat{C}$ cắt $AD$ tại $N$. Chứng minh rằng tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$ vuông góc với $MN$.

Bài 2.5.19. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường cao $AH$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AH$ và $HC$. Chứng minh rằng $BM \perp AN$.

Bài 2.5.20. Cho tam giác $ABC$, đường cao $AH$. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm $A$ bờ là đường thẳng $BC$, lấy các điểm $D, E$ sao cho $BD \perp BA, BD = BA$ và $CE \perp CA, CE = CA$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AH, BE, CD$ đồng quy.

2.6 Các bài toán có nội dung tính góc

Bài 2.6.1. Tính các góc của tam giác $ABC$ biết đường cao $AH$ và đường trung tuyến $AM$ chia góc $\widehat{A}$ thành ba góc bằng nhau.

Bài 2.6.2. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 45^\circ, \widehat{C} = 120^\circ$. Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $D$ sao cho $CD = 2CB$. Tính số đo góc $\widehat{ADB}$.

Bài 2.6.3. Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$ và $\widehat{B} = 75^\circ$. Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $H$ sao cho $BH = 2AC$. Tính số đo của góc $\widehat{AHC}$.

Bài 2.6.4. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 50^\circ, \widehat{B} = 20^\circ$. Trên đường phân giác $BE$ của tam giác ta lấy điểm $F$ sao cho $\widehat{FAB} = 20^\circ$. Gọi $N$ là trung điểm của $AF$, $EN$ cắt $AB$ tại $K$. Tính số đo góc $\widehat{KCB}$.

Bài 2.6.5. Tính các góc của tam giác cân $ABC$ biết rằng trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $AD = DC = CB$.

Bài 2.6.6. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A} = 20^\circ$. Trên nửa mặt phẳng không chứa $B$ có bờ $AC$, vẽ tia $Cx$ sao cho $\widehat{ACx} = 60^\circ$, trên tia ấy lấy điểm $D$ sao cho $CD = CB$. Tính số đo góc $\widehat{ADC}$.