108 bài toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi: Đa thức, phương trình và hình học 8

Ghi nhớ

Thông tin tác giả & Bản quyền tài liệu

• Chủ biên: TS. Nguyễn Văn Lợi
• Đồng tác giả: ThS. Hoàng Văn Tựu
• Đơn vị phát hành: LOISCENTER / Sigma-Maths
• Mục đích: Bồi dưỡng học sinh khá giỏi, rèn luyện tư duy logic, kỹ năng giải toán sáng tạo và nâng cao năng lực toán học cho học sinh lớp 8.

Đôi lời với các bạn đọc: Tài liệu này được biên soạn bao gồm những bài toán được sưu tầm và lựa chọn từ những tài liệu, giáo trình có uy tín, được nhiều người ưa thích, chủ yếu dành cho học sinh khá, giỏi. Với phương châm học vừa đủ nhưng mỗi ngày mỗi tiến bộ, đồng thời nhằm giúp quý phụ huynh, quý thầy cô và các em học sinh có tài liệu tốt để tham khảo, chúng tôi trích lời giải một số bài toán hay để mọi người cùng nghiên cứu.

Mục lục

1. Chương 1: Đa thức
   • 1.1 Phép nhân các đa thức
   • 1.2 Hằng đẳng thức
   • 1.3 Phân tích đa thức thành nhân tử
   • 1.4 Phép chia đa thức
   • 1.5 Phân thức đại số
   • 1.6 Giải phương trình
   • 1.7 Giải bài toán bằng cách lập phương trình
   • 1.8 Bất đẳng thức
2. Chương 2: Hình học
   • 2.1 Đa giác
   • 2.2 Tam giác đồng dạng
   • 2.3 Các bài hình học đặc biệt
3. Chương 3: Lời giải một số bài chọn lọc

Chương 1: Đa thức

1.1 Phép nhân các đa thức

Bài 1.1.1. Khai triển thành tổng và rút gọn: a) $(x - a)(x - b)(x - c)$. b) $(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$. c) $(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$. d) $(a + c)(a - c) - (a - b - c)(a - b + c) + b(b - 2a)$. e) $4x^n(7x^{n-1} + x - 5) - 2x^{n-2}(14x^{n+1} - 10x^2)$.

Bài 1.1.2. Tìm $x$, biết: a) $4(x - 1)(x + 5) - (x + 2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2)$. b) $(8 - 5x)(x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + 2(x - 2)(x + 2) = 0$. c) $2(x - 5)(x + 5) - (x + 2)(2x - 3) + x(x^2 - 8) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$. d) $\frac{4}{5}x^2\left(\frac{x}{3} - \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{5}x - \frac{2}{3}\right)\left(\frac{4x^2}{3} + 1\right) = \frac{22x^2}{45}$.

Bài 1.1.3. Chứng minh các đẳng thức sau: a) $(a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = (ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$. b) $2(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = (a + b + c)\left[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\right]$. c) $(a + b)(b + c)(c + a) + 4abc = c(a + b)^2 + a(b + c)^2 + b(c + a)^2$. d) $(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)$.

Bài 1.1.4. Cho $a + b + c + d = 0$. Chứng minh rằng:

Bài 1.1.5. Chứng minh rằng, với mọi số nguyên $n$ thì: a) $A = (n^2 + 3n - 1)(n + 2) - (n + 1)(n^2 - n + 1) + 3$ chia hết cho $10$. b) $B$ và $C$ có chữ số tận cùng giống nhau, biết $B = (n - 1)(n + 6)$ và $C = (n + 1)(n - 6)$.

Bài 1.1.6. Cho $a$ và $b$ là hai số tự nhiên. Biết $a$ chia $3$ dư $1$, $b$ chia $3$ dư $2$. Chứng minh tích $ab$ chia $3$ dư $2$.

Bài 1.1.7. Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$ biết $a$ gồm $2014$ chữ số $1$, $b$ gồm $2015$ chữ số $1$. Hỏi tích $ab$ có chia hết cho $3$ hay không? Vì sao?

Bài 1.1.8. Tính giá trị của biểu thức: a) $A = \underbrace{999\dots 9}_{n}4 \cdot \underbrace{999\dots 9}_{n+1} \cdot \underbrace{999\dots 9}_{n}2 - \underbrace{999\dots 9}_{n}6 \cdot \underbrace{999\dots 9}_{n}1 \cdot \underbrace{999\dots 9}_{n}8$. b) $A = \underbrace{444\dots 4}_{n}3 \cdot \underbrace{444\dots 4}_{n}8 \cdot \underbrace{444\dots 4}_{n}1 - \underbrace{444\dots 4}_{n}5 \cdot \underbrace{444\dots 4}_{n}0 \cdot \underbrace{444\dots 4}_{n}7$. c) $A = \underbrace{777\dots 7}_{n}5 \cdot \underbrace{777\dots 7}_{n-1}80 \cdot \underbrace{777\dots 7}_{n}3 - \underbrace{777\dots 7}_{n+1}5 \cdot \underbrace{777\dots 7}_{n}2 \cdot \underbrace{777\dots 7}_{n}9$. d) $A = \underbrace{888\dots 8}_{n}7 \cdot \underbrace{888\dots 8}_{n-1}92 \cdot \underbrace{888\dots 8}_{n}5 - \underbrace{888\dots 8}_{n}9 \cdot \underbrace{888\dots 8}_{n}4 \cdot \underbrace{888\dots 8}_{n-1}91$.

1.2 Hằng đẳng thức

Bài 1.2.1. Tính giá trị của biểu thức: a) $A = 123(123 + 154) + 77^2$. b) $B = 3^{24} - (27^4 + 1)(9^6 - 1)$. c) $C = 85^2 + 75^2 + 65^2 + 55^2 - 45^2 - 35^2 - 25^2 - 15^2$. d) $D = \frac{135^2 + 130 \cdot 135 + 65^2}{135^2 - 65^2}$. e) $C = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + \dots + 2011^2 - 2012^2$. f) $D = 2011 \cdot 2013 + 2012 \cdot 2014 - (2012^2 + 2013^2) - 4$. g) $E = 9^{64} - (9 + 1)(9^2 + 1)(9^4 + 1)(9^8 + 1)(9^{16} + 1)(9^{32} + 1)$. h) $F = \frac{1}{1975}\left(\frac{2}{1945} - 1\right) - \frac{1}{1945}\left(1 - \frac{2}{1975}\right) - \frac{1974}{1975}\cdot\frac{1946}{1945} - \frac{3}{1975 \cdot 1945}$.

Bài 1.2.2. Cho ba số $a, b, c$ thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức $S = (a - 1)^{2015} + (b - 1)^{2016} + (c - 1)^{2017}$.

Bài 1.2.3. Cho $x, y, z$ thỏa mãn điều kiện $4x^2 + 2y^2 - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0$. Tính giá trị của biểu thức $S = (x - 4)^{2015} + (y - 4)^{2015} + (z - 4)^{2015}$.

Bài 1.2.4. Tính giá trị của biểu thức sau: a) $C = x^3 + 3x^2 + 3x^2y + y^3 - 3y^2 - 6xy - 3x^2 + 3x + 3y + 2012$, biết $x + y = 101$. b) $D = \frac{x - y}{x + y}$, biết $x < y < 0$ và $\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{25}{12}$.

Bài 1.2.5. Xây dựng quy tắc tính nhanh bình phương một số có chữ số tận cùng bằng $5$. Áp dụng tính $15^2, 45^2, 95^2, 115^2$.

Bài 1.2.6. (*) a) Chứng minh rằng $M = \underbrace{11\dots 1}_{2n} - \underbrace{22\dots 2}_{n}$ là số chính phương. b) Chứng minh rằng $M = \underbrace{11\dots 1}_{2n} + \underbrace{44\dots 4}_{n} + 1$ là số chính phương. c) Chứng minh rằng $M = \underbrace{11\dots 1}_{n}\underbrace{55\dots 5}_{n} + 1$ là số chính phương. d) Chứng minh rằng $M = \underbrace{11\dots 1}_{2n} - \underbrace{22\dots 2}_{n} + \underbrace{44\dots 4}_{n} + 1$ (hoặc tổng quát các biểu thức tương đương) là số chính phương. e) Chứng minh rằng số $M = \underbrace{11\dots 1}_{2n} + \underbrace{11\dots 1}_{n+1} + \underbrace{66\dots 6}_{n} + 8$ là số chính phương. f) Cho hai số $a = \underbrace{11\dots 1}_{n}5$, $b = \underbrace{11\dots 1}_{n}9$. Chứng minh rằng $ab + 4$ là số chính phương. g) Cho hai số $a = \underbrace{11\dots 1}_{n}$, $b = 1\underbrace{00\dots 0}_{n-1}5$. Chứng minh rằng $ab + 1$ là số chính phương.

Bài 1.2.7. Chứng minh rằng: a) $C = 2ab + b^2 + a^2 - c^2 = m^2 - 2mc$, biết $a + b + c = m$. b) $D = \left(\frac{a + b - c}{2}\right)^2 + \left(\frac{a - b + c}{2}\right)^2 + \left(\frac{-a + b + c}{2}\right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 4m^2$, biết $a + b + c = 4m$.

Bài 1.2.8. Cho ba số $x, y, z$ khác $0$ thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2$ và $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 2$. Chứng minh rằng $x + y + z = xyz$.

Bài 1.2.9. a) Chứng minh rằng tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với $1$ là số chính phương. b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $x, y$ thì số $A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y^4$ là số chính phương. c) Cho $B = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \dots + n(n + 1)(n + 2)$ với $n \in \mathbb{N}^*$. Chứng minh rằng $4B + 1$ là một số chính phương.

Bài 1.2.10. Chứng minh các biểu thức sau luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của $x$: a) $A = x^2 - x + 1$. b) $B = x^2 + x + 1$.

Bài 1.2.11. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau: a) $A = x^2 + 5x + 9$. b) $B = 2 - 5x^2 - y^2 - 4xy + 2x$. c) $C = x^2 - 4x + y^2 - 8y + 6$. d) $D = 2x^2 + 4y^2 + 4xy - 4x + 6$.

1.3 Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1.3.1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) $x^2 + x - 6$. b) $x^2 + 5x + 6$. c) $x^3 + 2x - 3$. d) $x^3 + 5x^2 + 8x + 4$. e) $x^3 - 9x^2 + 6x + 16$. f) $x^4 + 4$. g) $x^4 + 64$. h) $x^5 + x + 1$. i) $x^8 + x + 1$. k) $x^7 + x^2 + 1$.

Bài 1.3.2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12$. b) $(x^2 + 3x + 2)(x^2 + 7x + 12) + 1$. c) $(x - 3)(x - 5)(x - 6)(x - 10) - 24x^2$. d) $(2x + 1)(x + 1)^2(2x + 3) - 18$. e) $(x^2 + 1)^2 + 3x(x^2 + 1) + 2x^2$. f) $x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1$.

Bài 1.3.3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$. b) $(a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3$. c) $ab(a + b) - bc(b + c) + ac(a - c)$. d) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$. e) $a^3(b - c) + b^3(c - a) + c^3(a - b)$.

Bài 1.3.4. Tìm $x$, biết: a) $x^3 - \frac{1}{9}x = 0$. b) $2\sqrt{x - 1} - 3 = 0$ (với $x \ge 1$). c) $(x - 2)^2 - (x - 2)(x + 3) = 0$. d) $x^2(x - 3) + 12 - 4x = 0$.

Bài 1.3.5. Cho $ab + bc + ca = 0$ và $abc \neq 0$. Tính giá trị của biểu thức:

Bài 1.3.6. Cho $x^3y^3 + y^3z^3 + z^3x^3 = 3x^2y^2z^2$. Tính giá trị của biểu thức:

Bài 1.3.7. Cho $a + b + c \neq 0$, $a^3 + b^3 + c^3 = 12$ và $abc = 4$. Tính giá trị của $a + b + c$.

Bài 1.3.8. Cho $x, y, z$ là các số nguyên khác $0$. Chứng minh rằng nếu $x^2 - yz = a$, $y^2 - zx = b$, $z^2 - xy = c$ thì $ax + by + cz$ chia hết cho $a + b + c$.

1.4 Phép chia đa thức

Bài 1.4.1 (Định lý Bézout). Chứng minh rằng, nếu ta chia đa thức $f(x)$ cho đa thức $x - a$ thì số dư của phép chia là hằng số và bằng $f(a)$.

Bài 1.4.2. Tìm $a$ để: a) $f(x) = x^3 + x^2 + x + a$ chia hết cho $g(x) = x + 1$. b) $f(x) = x^4 + x^3 + 3x^2 + ax + a$ chia hết cho $g(x) = x^2 + 2$.

Bài 1.4.3. Tìm $a$ và $b$ để: a) $f(x) = x^3 + ax + b$ chia hết cho $x^2 - x - 2$. b) $f(x) = x^3 + 5x^2 + ax + b$ chia cho $x - 2$ dư $3$, chia cho $x + 2$ dư $-5$.

Bài 1.4.4. Xác định ba số $a, b, c$ để đa thức $f(x) = ax^3 + bx^2 + c$ chia hết cho đa thức $x + 2$, và khi chia cho $x^2 - 1$ thì dư $x + 5$.

Bài 1.4.5. Tìm dư của phép chia đa thức $f(x)$ cho $q(x)$ trong các trường hợp sau: a) $f(x) = x^{2015} + x^{1015} + x^{15} + x + 1$ và $q(x) = x^2 - 1$. b) $f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2017$ và $q(x) = x^2 + 8x + 10$.

Bài 1.4.6. Chứng minh rằng $x^{3k} - 1$ chia hết cho $x^3 - 1$ với mọi số nguyên $k \ge 1$. Vận dụng chứng minh đa thức $x^{2016} + x^{1008} + 1$ chia hết cho $x^2 + x + 1$.

Bài 1.4.7. Tìm $x$ nguyên sao cho $x^3 - 2x^2 + 7x - 7$ chia hết cho $x^2 + 3$.

Bài 1.4.8. Giải phương trình nghiệm nguyên:

1.5 Phân thức đại số

Bài 1.5.1. Cho biểu thức $A = \left(\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1}\right) : \frac{2x}{5x - 5}$. a) Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $A$ xác định và rút gọn $A$. b) Tìm giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 4$. c) Tìm giá trị $x$ để $A = 5$.

Bài 1.5.2. Cho biểu thức $B = \left(\frac{x + 1}{2x - 2} + \frac{3}{x^2 - 1} - \frac{x + 3}{2x + 2}\right) \cdot \frac{7x^2 - 7}{9}$. a) Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $B$ xác định. b) Chứng minh khi biểu thức $B$ xác định thì giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của $x$.

Bài 1.5.3. Cho biểu thức $C = \left(\frac{2x}{x + 3} + \frac{x}{x - 3} - \frac{3x^2 + 3}{9 - x^2}\right) : \left(\frac{x}{x + 3} - 1\right)$. a) Rút gọn $C$. b) Tìm giá trị của $C$ biết $|x - 2| = 1$. c) Tìm giá trị nguyên của $x$ để $C$ nguyên dương.

Bài 1.5.4. Cho biểu thức:

a) Rút gọn $D$. b) Tính giá trị của $D$ khi $x = 1$. c) Tìm $x$ để $D = 0$. d) Tìm giá trị nguyên của $x$ để $D$ nguyên.

Bài 1.5.5. Cho biểu thức $E = \left(\frac{2x}{x^2 - 1} + \frac{x - 1}{2x + 2}\right) : \frac{x + 1}{2x}$. a) Rút gọn $E$. b) Tìm $x$ để $E = 2$. c) Với $0 < x < 1$, hãy so sánh $E$ với $|E|$.

1.6 Giải phương trình

Bài 1.6.1. Giải các phương trình sau: a) $6x^4 - 11x^2 + 3 = 0$. b) $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$. c) $(x^2 + x)^2 + 9x^2 + 9x + 14 = 0$. d) $(x^2 + 3x)^2 + 7x^2 + 21x + 10 = 0$.

Bài 1.6.2. Giải các phương trình sau: a) $(x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 = 0$. b) $(x^2 - 6x + 5)(x^2 - 10x + 21) - 20 = 0$. c) $(x - 3)(x - 5)(x - 6)(x - 10) - 24x^2 = 0$. d) $(x^2 - 8x + 12)(x^2 - 7x + 12) - 72x^2 = 0$.

Bài 1.6.3. Giải các phương trình sau: a) $(x + 3)^4 + (x + 5)^4 = 16$. b) $(x - 2)^4 + (x - 4)^4 = 64$. c) $x^4 + 6x^3 + 7x^2 + 6x + 1 = 0$. d) $x^4 + x^3 - 4x^2 + x + 1 = 0$.

Bài 1.6.4. Giải các phương trình sau: a) $(2x + 1)^2(4x + 1)(4x + 3) - 18 = 0$. b) $(2x - 1)(x - 1)(x - 2)(2x - 3) - 3 = 0$. c) $\frac{2x}{3x^2 - x + 2} - \frac{7x}{3x^2 + 5x + 2} = -\frac{4}{3}$. d) $\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^2 + \left(\frac{x - 2}{x - 1}\right)^2 - \frac{5}{2}\left(\frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}\right) = 0$. e) $x^2 + \frac{4x^2}{(x + 2)^2} = 12$. f) $\frac{x^2 + x - 4}{x} + \frac{3x}{x^2 + x - 4} + 4 = 0$.

1.7 Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bài 1.7.1. Một số tự nhiên có $5$ chữ số. Nếu thêm một chữ số $1$ vào đằng sau số đó thì ta được một số gấp $3$ lần số nhận được nếu ta thêm một chữ số $1$ vào đằng trước số đó. Tìm số có $5$ chữ số đó.

Bài 1.7.2. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là $5\text{ m}$. Nếu tăng chiều dài lên $3\text{ m}$ và giảm chiều rộng đi $2\text{ m}$ thì diện tích tăng thêm $14\text{ m}^2$. Tìm chu vi và diện tích mảnh vườn ban đầu.

Bài 1.7.3. Một ô tô dự định đi từ $A$ đến $B$ trong một khoảng thời gian dự định. Nếu ô tô đi với vận tốc $35\text{ km/h}$ thì đến $B$ chậm hơn $2\text{ giờ}$. Nếu đi với vận tốc $50\text{ km/h}$ thì sẽ đến $B$ sớm hơn $1\text{ giờ}$. Tính quãng đường $AB$ và thời gian dự định ban đầu.

Bài 1.7.4. Một ca nô xuôi dòng từ $A$ đến $B$ hết $4\text{ giờ}$ và ngược dòng từ $B$ về $A$ hết $5\text{ giờ}$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $B$ biết vận tốc dòng nước là $2\text{ km/h}$.

Bài 1.7.5. Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày sản xuất $50$ sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất được $55$ sản phẩm nên đã hoàn thành kế hoạch trước $1\text{ ngày}$ và sản xuất nhiều hơn kế hoạch $5$ sản phẩm. Tính số sản phẩm tổ phải sản xuất theo kế hoạch.

Bài 1.7.6. Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành trong $6\text{ ngày}$. Nếu đội 1 làm một mình trong $3\text{ ngày}$ rồi nghỉ, đội hai làm nốt công việc còn lại trong $8\text{ ngày}$. Hỏi nếu làm một mình để xong công việc thì mỗi đội phải mất mấy ngày?

1.8 Bất đẳng thức

Bài 1.8.1. a) Chứng minh với mọi số $a, b, x, y$ ta có:

b) Chứng minh rằng với mọi $a, b \in \mathbb{R}$ và $x, y > 0$ ta có:

Bài 1.8.2. a) Cho $a, b$ là các số dương. Chứng minh rằng:

b) Cho $a, b$ là hai số dương có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng:

Bài 1.8.3. Cho ba số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng: a) Nếu $\frac{a}{b} < 1$ thì $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$. b) Nếu $\frac{a}{b} > 1$ thì $\frac{a}{b} > \frac{a + c}{b + c}$.

Bài 1.8.4. Cho ba số dương $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 1.8.5. Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c$:

Bài 1.8.6. Chứng minh rằng với mọi số thực $a, b, c$ ta có: a) $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$. b) $3(ab + bc + ca) \le (a + b + c)^2 \le 3(a^2 + b^2 + c^2)$.

Bài 1.8.7. Cho $x, y, z > 0$. Chứng minh rằng:

Bài 1.8.8. Cho $x, y$ là hai số thực khác $0$. Chứng minh rằng:

Bài 1.8.9. Cho ba số thực $x, y, z$ thỏa mãn $x + y + z = 0$. Chứng minh rằng:

Bài 1.8.10. Rút gọn các biểu thức: a) $A = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$. b) $B = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}$. c) $C = \left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{4^2}\right)\dots\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$. d) $D = \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} + \frac{1}{(x + 2)(x + 3)} + \frac{1}{(x + 3)(x + 4)}$.

Bài 1.8.11. Cho $a, b, c$ đôi một khác nhau thỏa mãn $\frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a} + \frac{c}{a - b} = 0$. a) Chứng minh rằng: $\frac{a}{(b - c)^2} = \frac{b^2 - c^2 + ac - ab}{(a - b)(b - c)(c - a)}$. b) Chứng minh rằng: $\frac{a}{(b - c)^2} + \frac{b}{(c - a)^2} + \frac{c}{(a - b)^2} = 0$.

Bài 1.8.12. Cho $a, b, c$ không có hai số nào đối nhau thỏa mãn $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = 1$. Chứng minh rằng:

Bài 1.8.13. Cho $a, b, c$ đôi một khác nhau thỏa mãn $\frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a} + \frac{c}{a - b} = 0$. Chứng minh rằng trong ba số $a, b, c$ có ít nhất một số âm và một số dương.

Bài 1.8.14. Cho $xyz = 1$. Chứng minh rằng:

Bài 1.8.15. Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn:

Bài 1.8.16. Cho $x, y, z$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn $x + y + z = 3$ và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{3}$. Chứng minh rằng trong ba số có ít nhất một số bằng $3$.

Bài 1.8.17. Cho ba số $x, y, z$ có tổng bằng $6$. Chứng minh rằng biểu thức $A = (x + y)(y + z)(z + x) - 2xyz$ chia hết cho $6$.

Bài 1.8.18. Cho biểu thức $P = (x + y + z)^3 - x^3 - y^3 - z^3$. Chứng minh rằng: a) Nếu $P = 0$ thì $(x^{11} + y^{11})(y^7 + z^7)(z^{2017} + x^{2017}) = 0$. b) Nếu ba số $x, y, z$ cùng tính chẵn lẻ thì $P$ chia hết cho $24$.

Bài 1.8.19. Tính giá trị của biểu thức $Q = \frac{x - y}{x + y}$ biết $x^2 - 2y^2 = xy$ và $y \neq 0, x + y \neq 0$.

Bài 1.8.20. Cho hai số $a, b$ thỏa mãn $a^2 + 3ab = 4b^2, a \neq b$. Tính giá trị của biểu thức:

Bài 1.8.21. Cho $x, y, z$ là ba số dương thỏa mãn $xy + yz + zx = 1$. a) Chứng minh rằng $1 + x^2 = (x + y)(x + z)$. b) Tính giá trị của biểu thức:

Chương 2: Hình học

2.1 Đa giác

Bài 2.1.1. Cho tứ giác $ABCD$. $AB$ và $CD$ không song song với nhau. $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC, AD$. Chứng minh rằng $MN < \frac{AB + CD}{2}$.

Bài 2.1.2. Cho tứ giác $ABCD$ có $AD = BC$. Đường thẳng đi qua trung điểm $M, N$ của hai cạnh $AB, CD$ cắt các đường thẳng $AD, BC$ lần lượt tại hai điểm $E, F$. Chứng minh rằng $\widehat{AEM} = \widehat{MFB}$.

Bài 2.1.3. Cho tam giác $ABC$ có $AM$ là trung tuyến. Vẽ đường thẳng $d$ qua trung điểm $I$ của $AM$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$. Gọi $A', B', C'$ lần lượt là hình chiếu của $A, B, C$ trên $d$. Chứng minh rằng:

Bài 2.1.4. Cho tam giác $ABC$ với $G$ là trọng tâm. Đường thẳng $d$ không cắt các cạnh của tam giác $ABC$. Gọi $A', B', C', G'$ lần lượt là hình chiếu của $A, B, C, G$ trên $d$. Chứng minh rằng:

Bài 2.1.5. Cho góc nhọn $\widehat{xAy}$ và điểm $A$ nằm trong góc đó. Hãy tìm trên $Ox$ một điểm $B$ và trên $Oy$ một điểm $C$ sao cho chu vi tam giác $ABC$ nhỏ nhất.

Bài 2.1.6. Cho tứ giác $ABCD$ có góc ngoài tứ giác tại đỉnh $C$ bằng $\widehat{ACB}$. Chứng minh rằng $AB + DB > AC + CD$.

Bài 2.1.7. Cho tam giác $ABC$ có góc $\widehat{A} = 20^\circ, \widehat{B} = 80^\circ$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = BC$. Tính góc $\widehat{BMC}$.

Bài 2.1.8. Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có $CD = AD + BC$. Gọi $K$ là giao điểm của tia phân giác góc $\widehat{A}$ với đáy $CD$. Chứng minh: a) $AD = DK$. b) $\triangle BCK$ cân ở $C$. c) $BK$ là tia phân giác của góc $\widehat{B}$.

Bài 2.1.9. Cho hình thang vuông $ABCD$ ($\widehat{A} = \widehat{D} = 90^\circ$) và $DC = 2AB$. $H$ là hình chiếu của $D$ trên đường chéo $AC$, $M$ là trung điểm của đoạn $HC$. Chứng minh $BM \perp MD$.

Bài 2.1.10. Cho hình chữ nhật $ABCD$. Vẽ $BH \perp AC$ ($H \in AC$). Gọi $M$ là trung điểm của $AH$, $K$ là trung điểm của $CD$. Chứng minh rằng $BM \perp MK$.

Bài 2.1.11. Cho hình vuông $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC$. Gọi $I$ là giao điểm của $CM$ và $DN$. Chứng minh $AI = AD$.