Làm quen với $\ge \le$ Không cân bằng: 108 bài tập và vấn đề về bất đẳng thức

Ghi nhớ

Thông tin tác giả & Bản quyền tài liệu

• Tác giả / Chủ biên: TS. Nguyễn Văn Lợi và Nhóm Sigma-Maths
• Email liên hệ: sigmathsgroup@gmail.com / loiscenter@gmail.com
• Đơn vị phát hành: Sigma-Maths / Lợi Center (Hà Nội, 09/03/2017)
• Mục đích: Bồi dưỡng học sinh khá giỏi, rèn luyện tư duy logic, kỹ năng giải toán sáng tạo và làm quen với các bất đẳng thức kinh điển trong chương trình THCS và luyện thi vào lớp 10 chuyên.

Lời giới thiệu

Cuốn sách nhỏ này được nhóm các thành viên SIGMA-MATHS sưu tầm và biên soạn phục vụ cho công nghệ giáo dục của nhóm.

Xuất phát từ các vấn đề rất đơn giản, người học có thể nhanh chóng làm quen và thân thiện với chuyên ngành Bất Đẳng Thức (BĐT), có cái nhìn tự tin, tổng thể trước các vấn đề về BĐT. Ngay cả khi phải rèn luyện các kỹ năng để đi thi, chúng ta vẫn có đủ bản lĩnh để đánh giá việc mình đang phải thực hiện. Vẫn có thể thấy mình đang làm toán hay đang làm quen với những kĩ năng thi cử.

Hi vọng các giảng viên hay các bạn lần đầu làm quen với BĐT đều tìm thấy những điều bổ ích.

Sách gồm 4 phần:

1. Làm quen: Từ các bài tập đơn giản nâng cao dần, các giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy tích hợp về đề tài. Các bạn học sinh có thể tự thực hiện các bài tập. Cuối chương chúng ta được làm quen với các BĐT nổi tiếng ở dạng đơn giản nhất.
2. Tìm hiểu BĐT (Cho những người tò mò): Trong mục này chúng tôi giới thiệu hai đề tài thú vị. Đó là định lý sắp xếp và định lý Shapiro. Định lý sắp xếp cùng chứng minh chỉ vài dòng này đã gây bất ngờ. Hàng loạt các bất đẳng thức danh tiếng được chứng minh lại như những ví dụ áp dụng của định lý này. Đây cũng chính là động lực mở đường cho các trào lưu mới. Đề tài thứ hai là định lý Shapiro. Từ khi ra đời như một giả thuyết, phải sau 45 năm mới có câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi đặt ra. Trạng thái đúng sai của giả thuyết lại gây sự chú ý lớn trong tâm điểm của nhiều cuộc luận bàn.
3. Phần luyện tập: Kết thúc bằng những bài toán hay và lý thú, cuốn sách cung cấp cho các bạn những kết quả nổi tiếng dựa trên các kiến thức vừa làm quen.
4. Appendix: Ghi nhanh một bài giảng lý thú của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu về BĐT bậc 2 và ứng dụng.

Mong bạn đọc đóng góp những ý kiến quý giá để công việc của chúng tôi ngày càng hoàn thiện và phục vụ các bạn được nhiều hơn. Cảm ơn các bạn!

Hà Nội, 09/03/2017
Ý kiến xin chuyển về: sigmathsgroup@gmail.com / loiscenter@gmail.com

Mục lục

1. Làm quen với bất đẳng thức
   • 1.1 Bất phương trình (Bài 1 – Bài 4)
   • 1.2 Các trung bình thường gặp (Bài 5 – Bài 7)
   • 1.3 Trung bình cộng, nhân, bình phương, điều hòa của hai số (Bài 8 – Bài 17)
   • 1.4 Bất đẳng thức trong bất đẳng thức (Bài 18 – Bài 24)
   • 1.5 Trung bình cộng và trung bình nhân của nhiều số (Bài 25 – Bài 34)
   • 1.6 Định lý về các sắp xếp (Bài 35 – Bài 39)
   • 1.7 Bất đẳng thức tam giác (Bài 40)
   • 1.8 Bất đẳng thức CBS (Bài 41 – Bài 50)
   • 1.9 Bất đẳng thức Jensen (Bài 51 – Bài 53)
   • 1.10 Các bài tập tổng hợp (Bài 54 – Bài 66)
2. Trầm ngâm trong lâu đài Bất Đẳng Thức
   • 2.1 Bất đẳng thức sắp xếp - BĐT hoán vị (Bài 67 – Bài 81)
   • 2.2 Bất đẳng thức Shapiro : giải xong mà chưa thể hết (Bài 82 – Bài 83)
3. Luyện tập
   • 3.1 Áp dụng các BĐT nổi tiếng (Bài 84 – Bài 94)
   • 3.2 Bất đẳng thức trong hình học (Bài 95 – Bài 108)
4. Appendix (Phụ lục)
   • 4.1 Những bất đẳng thức bậc 2 "kiểu thầy Mậu"
   • 4.2 Trong căn hầm bí mật của các phù thủy ra đề
   • 4.3 Cùng bài thi này các anh tài BĐT sẽ hành động thế nào?

1 Làm quen với bất đẳng thức

1.1 Bất phương trình

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

• a) $\dfrac{3x + 5}{7 - 3x} < 4$;
• b) $\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1} < \dfrac{x^3 - 1}{x^3 + 1}$;
• c) $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} < \dfrac{1}{100}$.

Bài 2. Các phân số $\dfrac{a_1}{b_1}, \dfrac{a_2}{b_2}, \dots, \dfrac{a_n}{b_n}$ có mẫu số $b_i > 0$ ($i = 1, 2, \dots, n$). Chứng minh rằng giá trị của phân số:

nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các phân số $\dfrac{a_i}{b_i}$ đã cho.

Bài 3. Dãy số sau dãy nào bị chặn trên (tức là tồn tại một số $K$ sao cho bất kì phần tử nào của dãy đều có giá trị không vượt quá $K$). Hãy xác định có tồn tại số $K$ như vậy không và hãy tìm số $K$ nhỏ nhất nếu có thể trong mỗi trường hợp:

• a) $a_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{2^n}$;
• b) $b_n = 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dots + \dfrac{1}{3^n}$;
• c) $c_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{n}$;
• d) $d_n = 1 + \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \dfrac{1}{n(n + 1)}$.

Bài 4. Dãy $f_n = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dots + \dfrac{1}{n^2}$ có bị chặn hay không?

1.2 Các trung bình thường gặp

Bài 5. Đáy của một hình thang là $a$ và $c$. Hãy biểu thị qua $a$ và $c$ các đại lượng sau:

• a) Đường trung bình của hình thang.
• b) Đoạn thẳng đi qua giao điểm của hai đường chéo, song song với hai đáy và giới hạn bởi hai cạnh bên của hình thang.
• c) Đoạn thẳng nào lớn hơn trong các đoạn thẳng xác định trong a và b? Hãy cho chứng minh bằng đại số và hình học.

Bài 6. (Vận tốc trung bình, thời gian và quãng đường)

• a) Một ô tô đi với vận tốc $v_1$ trong một thời gian nhất định, và sau đó đi với vận tốc $v_2$ cũng trong thời gian như vậy. Hỏi trên cả quãng đường xe ô tô đi với vận tốc trung bình là bao nhiêu?
• b) Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc $v_1$, sau đó khi quay lại từ B về A với vận tốc $v_2$. Hãy xác định vận tốc trung bình của ô tô trong cả hành trình.

Bài 7. Tam giác vuông $ABC$. Đường cao $CT$ chia cạnh huyền $AB$ thành các đoạn $AT = p$, $BT = q$. Hãy biểu thị qua $p$ và $q$ các đại lượng sau:

• a) Độ dài đường cao $CT$;
• b) Độ dài đường trung tuyến $CF$;
• c) Độ dài hình chiếu vuông góc của $CT$ lên $CF$.

1.3 Trung bình cộng, nhân, bình phương, điều hòa của hai số

Bài 8.

• a) Chu vi của một hình chữ nhật là $P$. Diện tích ($S$) của hình chữ nhật đó nằm trong khoảng nào?
• b) Diện tích của một hình chữ nhật là $S$. Chu vi ($P$) của hình chữ nhật đó nằm trong khoảng nào?

Bài 9. Cho $a$ và $b \in \mathbb{R}^+$. Hãy chỉ ra rằng:

• a) $\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}} \ge \dfrac{a + b}{2}$;
• b) $\dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$;
• c) $\sqrt{ab} \ge \dfrac{2ab}{a + b}$;

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b$.

Bài 10.

• a) Nếu $x \in \mathbb{R}^+$. Hãy chỉ ra rằng:$$x + \dfrac{1}{x} \ge 2$$
• b) Nếu $x \in \mathbb{R}$. Hãy chỉ ra rằng:$$\left|x + \dfrac{1}{x}\right| \ge 2$$

Bài 11. $a, b$ là các số dương. Chứng minh rằng:

Bài 12. Điểm nào có tọa độ $(x, y)$ là nghiệm của phương trình hiperbol $x \cdot y = 1$ có vị trí ở gần tâm của hệ tọa độ nhất?

Bài 13. Hàm số $g(x)$ trên miền số thực. Giá trị cực tiểu (minimum) của hàm số là bao nhiêu?

Bài 14. Chia đoạn thẳng $AB$ thành hai phần bởi điểm $P$ sao cho các hình vuông được dựng trên các đoạn thẳng đó có tổng các diện tích:

• a) Nhỏ nhất;
• b) Lớn nhất.

Bài 15. Nếu tổng của hai số dương không đổi, thì tích của chúng càng lớn khi hiệu của chúng càng nhỏ. Tổng bình phương càng lớn khi hiệu của chúng càng lớn.

Bài 16. Các đường thẳng $a, b, c$ và $d$ tạo thành một hình tứ giác. Từ giao điểm của $a$ và $b$ người ta muốn đi đến giao điểm của hai đường kia với cùng một đứa trẻ. Vì vậy người ta phải chọn đường đi ngắn nhất. Đứng từ điểm xuất phát nhìn về hai phía người ta đều thấy ngay rằng trước khi đi được nửa của mỗi đường đều phải rẽ vuông góc tại góc phố gần nhất. Thêm nữa đoạn đường $a$ (có vẻ) dài hơn đoạn đường $b$. Người ta phải chọn đi đường nào?

Bài 17. Nếu $0 < b \le a$, hãy chỉ ra rằng:

1.4 Bất đẳng thức trong bất đẳng thức

Bài 18. Cho $a, b, c$ là các số dương, chứng minh rằng:

Bài 19. Cho $a, b, c$ là các số dương, chứng minh rằng:

Bài 20. Cho $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các số dương sao cho $a_1 a_2 \dots a_n = 1$. Chứng minh rằng:

Bài 21. Nếu $x, y, z \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng:

Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bài 22. Cho $a_1, a_2, a_3$ là các số dương sao cho $a_1 + a_2 + a_3 = 1$. Chứng minh rằng:

Bài 23. Hàm số hai ẩn $x, y \in \mathbb{R}$:

Hãy xác định giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số.

Bài 24. Chỉ ra rằng $\sqrt{\dfrac{x^2 + xy + y^2}{3}}$ nằm giữa trung bình cộng $A(x, y)$ và trung bình bình phương $N(x, y)$. Các giá trị trung bình này so với giá trị $\sqrt{A(x, y) \cdot N(x, y)}$ có luôn nhỏ hơn hay lớn hơn không?

1.5 Trung bình cộng và trung bình nhân của nhiều số

Bài 25. Cho $x, y, z \in \mathbb{R}^+$. Chứng minh rằng:

Khi nào xảy ra dấu bằng?

Bài 26. Chứng minh bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Nghĩa là nếu $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các số dương, thì:

Khi nào xảy ra dấu bằng?

Bài 27. Cho $x, y$ là các số dương. Chứng minh rằng:

Bài 28. Số thực $\lambda$ nhỏ nhất nào sao cho bất đẳng thức $x^4 + y^4 + \lambda \ge 8xy$ luôn luôn đúng với mọi số thực $x, y$?

Bài 29. Hãy chỉ ra rằng với các số dương $a, b$ bất kì bất đẳng thức sau luôn đúng:

Bài 30. Từ các góc của hình vuông cạnh 30 cm, người ta cắt các hình vuông nhỏ rồi gấp vuông góc các phần còn lại thành một cái hộp mở nắp. Hỏi phải cắt những hình vuông con có cạnh bao nhiêu cm để hình hộp được tạo thành có thể tích lớn nhất?

Bài 31. (Đề tài tranh luận)
Tìm giá trị cực đại của hàm số bậc ba $p(x) = 3x^3 - 7x^2 + 4$ trên khoảng $[-1, 1]$.

• GS. Đầu To: $p(x) = (2 - x)(1 - x)(3x + 2)$. Như vậy ngoài khoảng $\left[-1; -\dfrac{3}{2}\right]$ thì $P < 0$ và trong khoảng $\left[-\dfrac{3}{2}; 1\right]$ thì $P \ge 0$. Như vậy chỉ cần khảo sát trên khoảng $\left[-\dfrac{3}{2}; 1\right]$ là đủ. Trên khoảng này, $(2 - x)$, $(1 - x)$ và $(3x + 2)$ đều không âm. Sử dụng AM - GM:$$\sqrt[3]{2p(x)} = \sqrt[3]{(4 - 2x)(1 - x)(3x + 2)} \le \dfrac{(4 - 2x) + (1 - x) + (3x + 2)}{3} = \dfrac{7}{3}$$Như vậy giá trị cực đại của $p(x)$ là $\dfrac{7^3}{3^3 \cdot 2} \approx 6{,}35$.
• GS. Tai Lớn: $p(x) = 4 - x^2(7 - 3x)$. Trong miền cần khảo sát, $(7 - 3x) > 0$. Do đó $p(x) \le 4$. Vậy kết quả của GS. Đầu To không đúng.

Hỏi lập luận ai đúng? Giá trị cực đại của $p(x)$ bằng bao nhiêu?

Bài 32. Trong bài tập này chúng ta khảo sát hàm số $g(x) = x^3 - 3x^2 + 3$:

• a) Lập bảng một số giá trị của hàm số:

• b) Thử vẽ hình dạng của hàm số;
• c) Cho các giá trị cực trị địa phương, cực trị toàn thể.
• d) Hàm số lấy giá trị $y$ nào, bao nhiêu lần? Giải đáp câu hỏi này với mọi giá trị thực của $y$.

Bài 33. Tìm giá trị cực đại của hàm số $h(x) = x(4000 - x^3)$ khi $x \in [0; 100]$.

Bài 34. Cho $n$ là một số nguyên dương và $\Delta$ là một số thực ($\Delta \ge -n$). Ký hiệu $e_{n, \Delta}$ là giá trị cực đại của tích $n$ thừa số không âm và có tổng bằng $(n + \Delta)$.

• a) Tính và lập bảng các giá trị của $e_{n, \Delta}$ nếu $100 \le n \le 105$ và $-3 \le \Delta \le 3$.
• b) Khảo sát bảng giá trị. Hãy tự đưa các giả thuyết của bản thân về giá trị của $e_{n, \Delta}$ và các mối liên hệ đại số của giá trị này.
• c) Thử chứng minh hay phủ định các giả thuyết.

1.6 Định lý về các sắp xếp

Bài 35. Nếu $a_1 < a_2$ và $b_1 < b_2$ thì $a_1 b_1 + a_2 b_2$ và $a_1 b_2 + a_2 b_1$ đại lượng nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?

Bài 36. Nếu $a_1 < a_2 < a_3$ và $b_1 < b_2 < b_3$. Trong các đại lượng:

• $(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)$
• $(a_1 b_1 + a_2 b_3 + a_3 b_2)$
• $(a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_3)$
• $(a_1 b_2 + a_2 b_3 + a_3 b_1)$
• $(a_1 b_3 + a_2 b_1 + a_3 b_2)$
• $(a_1 b_3 + a_2 b_2 + a_3 b_1)$

Đại lượng nào:

• a) Nhỏ nhất?
• b) Lớn nhất?

Bài 37. (Định lý các sắp xếp hay còn gọi là bất đẳng thức Szucs Adolf)
Nếu $a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n$ và $b_1 \le b_2 \le \dots \le b_n$ ($a_i, b_i \in \mathbb{R}$) và $\pi$ là một hoán vị của $(1, 2, 3, \dots, n)$, khi đó:

Khi nào xảy ra dấu bằng?

Bài 38. Trong hai biểu thức dưới đây $a_1, a_2, a_3, a_4$ là các số thực bất kỳ. Có thể khẳng định biểu thức bên này luôn lớn hơn bên kia hay không? Nếu đúng hãy chứng minh, nếu sai đưa ra phản ví dụ!

• a) $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2$ và $2(a_1 a_4 + a_2 a_3)$;
• b) $\dfrac{a_1}{a_4} + \dfrac{a_2}{a_3} + \dfrac{a_3}{a_2} + \dfrac{a_4}{a_1}$ và $\dfrac{a_1}{a_2} + \dfrac{a_2}{a_3} + \dfrac{a_3}{a_4} + \dfrac{a_4}{a_1}$.

Bài 39. Nếu $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ là các số dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

1.7 Bất đẳng thức tam giác

Bài 40. Cho trước cạnh và đường cao tương ứng thuộc cạnh đó của tam giác. Khi nào chu vi của nó là nhỏ nhất?

1.8 Bất đẳng thức CBS

Bài 41. Giá trị của $a_1 b_1 + a_2 b_2$ thay đổi trong khoảng nào nếu $a_1^2 + a_2^2 = 1$ và $b_1^2 + b_2^2 = 1$?

Bài 42. (Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovski-Schwarz)
Cho $a_1, a_2, \dots, a_n$ và $b_1, b_2, \dots, b_n$ là các số thực bất kỳ. Chứng minh rằng:

Trong trường hợp:

• a) $n = 3$;
• b) $n > 3$, $n \in \mathbb{N}$.

Khi nào xảy ra dấu bằng?

Bài 43. Nếu $x_1, x_2, x_3$ là các số thực, chứng minh rằng:

Bài 44. Nếu $a_1, a_2, a_3, a_4$ là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 45. Chứng minh rằng với $x, y > 0$ thì:

Khi nào dấu bằng xảy ra?

Bài 46. Chứng minh rằng nếu $x_1, x_2, \dots, x_n > 0$ thì:

Khi nào xảy ra dấu bằng?

Bài 47. Chứng minh BĐT trong bài 46 tương đương với bất đẳng thức Cauchy - Bunyakovski - Schwarz.

Bài 48. Cho $a, b, x, y > 0$. Hãy lát mặt phẳng bằng những miếng ván sàn kích thước $(a \times b)$ và $(x \times y)$ sao cho các đỉnh của ba hình chữ nhật bao quanh tâm tọa độ, giả sử $y \le b$:

($b > y$ làm tương tự). Hãy tìm trên bản vẽ một hình bình hành, để có thể chứng minh bằng phương pháp hình học BĐT CBS trong trường hợp các cặp số dương.

Bài 49. Biết rằng $a_1 b_1 \ge 1, a_2 b_2 \ge 1, \dots, a_n b_n \ge 1$ trong đó $a_i, b_i$ là các số dương và các hệ số $p_1, p_2, \dots, p_n \ge 0$ sao cho $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$. Chứng minh rằng:

Bài 50. Hãy chứng minh bất đẳng thức CBS cho nhiều số:

1.9 Bất đẳng thức Jensen

Bài 51.

• a) Chứng minh hàm số $f(x) = x^2$ là hàm lồi.
• b) Chứng minh BĐT liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình bình phương của nhiều số hạng! Tức là nếu $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các số không âm, thì:$$\dfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \le \sqrt{\dfrac{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}{n}}$$

Bài 52.

• a) Chứng minh hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x}$ là hàm lồi khi $x \in \mathbb{R}^+$.
• b) Chứng minh BĐT liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình điều hòa của nhiều số hạng! Tức là nếu $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các số dương, thì:$$\dfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \dots + \dfrac{1}{a_n}}$$

Bài 53. Hàm lồi nào chứng minh cho mối liên hệ BĐT giữa AM và GM?

1.10 Các bài tập tổng hợp

Bài 54. Chứng minh bất đẳng thức sau luôn thỏa mãn với mọi $x_1, x_2, x_3$:

Bài 55. Nếu $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các số dương, chứng minh rằng:

Bài 56. Ký hiệu $p(a, b, c) = a^3 + b^3 + c^3$ và $q(a, b, c) = a^2 b + b^2 c + c^2 a$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

• I. Nếu $a, b, c$ dương thì $p(a, b, c) \le q(a, b, c)$
• II. Nếu $a, b, c$ dương thì $p(a, b, c) \ge q(a, b, c)$.

Hãy chứng minh hoặc phủ định.

Bài 57. (Bất đẳng thức Nesbitt)
Nếu $a, b, c$ là các số dương, chứng minh rằng:

Bài 58. Nếu $a, b, c$ là các số dương, chứng minh rằng:

• a) $\dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ca}{b} \ge a + b + c$;
• b) $\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b^2}{c^2} + \dfrac{c^2}{a^2} \ge \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c}$.

Bài 59. Nếu $a, b, c$ là các số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 60. Nếu $a, b, c$ là các số dương:

• a) Hãy chỉ ra rằng:$$\left(\dfrac{1}{a} - 1\right)\left(\dfrac{1}{b} - 1\right)\left(\dfrac{1}{c} - 1\right) \ge 8 \quad (\text{với } a + b + c = 1)$$
• b) Tìm giá trị nhỏ nhất của:$$\left(\dfrac{1}{a} + 1\right)\left(\dfrac{1}{b} + 1\right)\left(\dfrac{1}{c} + 1\right)$$

Bài 61. Nếu $n \in \mathbb{N}^+$, chứng minh rằng:

Bài 62. Nếu $a, b, c, d$ là các số dương, chứng minh rằng:

Thỏa mãn khi và chỉ khi nếu mẫu số của các phân số hoặc trùng nhau, hoặc giá trị của phân số có mẫu số lớn hơn cũng không lớn hơn. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc mẫu số của hai phân số bằng nhau, hoặc giá trị của phân số bằng nhau.

Bài 63. Xác định giá trị cực tiểu của biểu thức sau, nếu các tham số $a_i$ ($i = 1, \dots, 2008$) là các số dương:

Bài 64. Chứng minh rằng với $n$ là số nguyên đủ lớn thì:

Bài 65. Chứng minh rằng với mọi $k$ nguyên dương bất kỳ, nếu $n$ là số nguyên đủ lớn thì:

Bài 66. Chứng minh rằng với mọi đa thức $p(n)$ bất kì, là số nguyên đủ lớn thì:

2 Trầm ngâm trong lâu đài Bất Đẳng Thức

Muốn thấy Toán hãy nhìn bằng mắt của riêng mình!

Trong cuộc du lịch nhỏ vào lâu đài BĐT này, chúng ta sẽ cùng thưởng thức hai tuyệt phẩm:

• Bất đẳng thức sắp xếp Szucs Adolf hay còn gọi BĐT hoán vị.
• Bất đẳng thức xoay vòng Shapiro.

Sự xuất hiện của Bất đẳng thức sắp xếp, ngoài kết quả toán học, còn chứa đựng nội dung lý thuyết mở đường. Chỉ với hai dãy được sắp xếp hoàn toàn nếu nhân các số từng đôi một rồi tính tổng thì giá trị cực đại sẽ nhận được khi ta tương tác các dãy cùng chiều và giá trị nhỏ nhất nhận được khi chúng trái chiều. Định lý khẳng định một quy luật tự nhiên không đơn giản, trong cuộc sống người ta thường công nhận ít khi kiểm nghiệm. Việc chứng minh định lý này cũng hoàn toàn dựa trên sự sắp xếp tự nhiên: Nếu có hai phần tử gây nên "lồi lõm" thì ta chỉ cần chuyển chỗ hai vật đó - làm mịn mặt bằng. Hiển nhiên giá trị lớn nhất và nhỏ nhất thể hiện ở sự cộng hưởng hay tính triệt tiêu trong tương tác của hai dãy số. Định lý được chứng minh năm 1942, bởi một nhà bác học người Hungary Szucs Adolf (1880 – 1945) - tác giả là nạn nhân của thảm họa phát xít (1945). Định lý rất trong sáng cùng chứng minh chỉ vài dòng này đã gây bất ngờ. Hàng loạt các bất đẳng thức danh tiếng được chứng minh lại như những ví dụ áp dụng của định lý này. Và đây chính là sức mạnh mở đường cho các trào lưu mới của công cuộc nghiên cứu "LÝ THUYẾT KHÔNG CÂN BẰNG" mà hình như người ta đang phát huy trong thực tế nhiều hơn khi chưa thành chuẩn mực.

Đề tài thứ hai là định lý Shapiro. Người ta có thể coi BĐT xoay vòng này là một tác phẩm "Picasso" của Cộng đồng BĐT. Từ khi ra đời như một giả thuyết, phải sau 45 năm mới có câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi đặt ra. Trạng thái đúng sai của giả thuyết lại gây sự chú ý lớn trong tâm điểm của nhiều cuộc luận bàn.

Về hai đề tài nói riêng này và về BĐT nói chung, nếu xếp hạng các ấn phẩm trong nước cùng các ấn phẩm nước ngoài tôi mạnh dạn đề xuất vị trí top 10 tác phẩm của PGS. TSKH Nguyễn Minh Tuấn (NXB Đại học Quốc gia Hà Nội): "Lý thuyết Cơ sở của hàm lồi và các Bất Đẳng Thức cổ điển". Đây là một tác phẩm toán học khi đọc có sức cuốn hút thú vị. Những nhà nghiên cứu, các bạn quan tâm, và các em học sinh đều có thể tìm thấy điều mình cần, có thể sử dụng hữu ích cho công việc và tránh được cho bản thân khỏi rơi vào vòng xoáy của BĐT vị BĐT.

2.1 Bất đẳng thức sắp xếp - hay còn gọi là BĐT hoán vị

Phần này tôi dùng nguyên một văn bản tiếng Anh. Đây là một bài giảng hay được giới sinh viên và học sinh chuyền tay nhau khá rộng rãi. Bản thân tôi đã bắt gặp khi lang thang tìm tài liệu và đọc các bài viết trên mạng.

Rearrangement Inequality

The rearrangement inequality (also known as permutation inequality) is easy to understand and yet a powerful tool to handle inequality problems.

Definition: Let $a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n$ and $b_1 \le b_2 \le \dots \le b_n$ be any real numbers.

• a) $S = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$ is called the Sorted sum of the numbers.
• b) $R = a_1 b_n + a_2 b_{n-1} + \dots + a_n b_1$ is called the Reversed sum of the numbers.
• c) Let $c_1, c_2, \dots, c_n$ be any permutation of the numbers $b_1, b_2, \dots, b_n$.
  $P = a_1 c_1 + a_2 c_2 + \dots + a_n c_n$ is called the Permutated sum of the numbers.

Bài 67. (Rearrangement inequality)

Proof:

• (a) Let $P(n)$ be the proposition: $S \ge P$.
  $P(1)$ is obviously true.
  Assume $P(k)$ is true for some $k \in \mathbb{N}$.
  For $P(k+1)$, since the $c$'s are the permutations of the $b$'s, suppose $b_{k+1} = c_i$ and $c_{k+1} = b_j$:$$(a_{k+1} - a_i)(b_{k+1} - b_j) \ge 0$$$$\implies a_i b_j + a_{k+1} b_{k+1} \ge a_i b_{k+1} + a_{k+1} b_j$$$$\implies a_i b_j + a_{k+1} b_{k+1} \ge a_i c_i + a_{k+1} c_{k+1}$$So in $P$, we may switch $c_i$ and $c_{k+1}$ to get a possibly larger sum.
  After switching of these terms, we come up with the inductive hypothesis $P(k)$. $P(k+1)$ is also true.
  By the principle of mathematical induction, $P(n)$ is true $\forall n \in \mathbb{N}$.
• (b) The inequality $P \ge R$ follows easily from $S \ge P$ by replacing $b_1 \le b_2 \le \dots \le b_n$ by $-b_n \ge -b_{n-1} \ge \dots \ge -b_1$.

Note:

• (a) If $a_i$'s are strictly increasing, then equality holds ($S = P = R$) if and only if the $b_i$'s are all equal.
• (b) Unlike most inequalities, we do not require the numbers involved to be positive.

Bài 68. (Corollary 1)
Let $a_1, a_2, \dots, a_n$ be real numbers and $c_1, c_2, \dots, c_n$ be its permutation. Then:

Bài 69. (Corollary 2)
Let $a_1, a_2, \dots, a_n$ be positive real numbers and $c_1, c_2, \dots, c_n$ be its permutation. Then:

The rearrangement inequality can be used to prove many famous inequalities. Here are some of the highlights:

Bài 70. (Arithmetic Mean - Geometric Mean Inequality - AM $\ge$ GM)
Let $x_1, x_2, \dots, x_n$ be positive numbers. Then:

Equality holds if and only if $x_1 = x_2 = \dots = x_n$.

Proof: Let $G = \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}$, $$a_1 = \dfrac{x_1}{G}, a_2 = \dfrac{x_1 x_2}{G^2}, \dots, a_n = \dfrac{x_1 x_2 \dots x_n}{G^n} = 1.$$
By Corollary 2:

Equality holds $\iff a_1 = a_2 = \dots = a_n \iff x_1 = x_2 = \dots = x_n$.

Bài 71. (Geometric Mean - Harmonic Inequality - GM $\ge$ HM)
Let $x_1, x_2, \dots, x_n$ be positive numbers. Then:

Proof: Define $G$ and $a_1, a_2, \dots, a_n$ similarly as in the proof of AM - GM.
By Corollary 2, $n \le \dfrac{a_1}{a_2} + \dfrac{a_2}{a_3} + \dots + \dfrac{a_n}{a_1} = \dfrac{G}{x_1} + \dfrac{G}{x_2} + \dots + \dfrac{G}{x_n}$, which then gives the result.

Bài 72. (Root Mean Square - Arithmetic Mean Inequality - RMS $\ge$ AM)
Let $x_1, x_2, \dots, x_n$ be numbers. Then:

Proof: By Corollary 1, we cyclically rotate $x_i$:

Adding all inequalities together, we have:

Result follows. Equality holds $\iff x_1 = x_2 = \dots = x_n$.

Bài 73. (Cauchy - Bunyakovskii - Schwarz inequality - CBS inequality)
Let $a_1, a_2, \dots, a_n; b_1, b_2, \dots, b_n$ be real numbers. Then:

Proof: The result is trivial if $a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0$ or $b_1 = b_2 = \dots = b_n = 0$. Otherwise, define:

Since both $A$ and $B$ are non-zero, we may let $x_i = \dfrac{a_i}{A}, x_{n+i} = \dfrac{b_i}{B}$, $\forall 1 \le i \le n$.
By Corollary 1:

Equality holds $\iff x_i = x_{n+i} \iff a_i B = b_i A$, $\forall 1 \le i \le n$.

Bài 74. (Chebyshev's inequality)
Let $x_1 \le x_2 \le \dots \le x_n$ and $y_1 \le y_2 \le \dots \le y_n$ be any real numbers. Then:

Proof: By Rearrangement inequality, we cyclically rotate $x_i$ and $y_i$:

Adding up the inequalities and dividing by $n$, we get our result.

Bảng bài tập áp dụng BĐT Hoán vị (Exercises & Hints)