Chuyên đề Hình học THCS bồi dưỡng học sinh giỏi: Tích hợp quốc tế và kỹ xảo

Ghi nhớ

Thông tin tác giả & Bản quyền tài liệu

• Tác giả / Chủ biên: TS. Nguyễn Văn Lợi và Nhóm Sigma-Maths
• Đơn vị phát hành: Sigma-Maths / Lợi Center
• Mục đích: Bồi dưỡng học sinh khá giỏi, rèn luyện tư duy logic, kỹ năng giải toán sáng tạo và nâng cao năng lực toán học cho học sinh phổ thông.

MỤC LỤCÙ

1 Cơ bản dựng hình.

2 Quỹ tích (tập điểm có chung tính chất)

3 Làm quen với hình học con Cờ hó!

4 Hình Vuông, Hình chữ nhật, Hình bình hành

5 Đường tròn

6 Định lý Pi - ta - go

7 Tính góc

8 Nhận biết các phép biến hình

9 Dựng hình sử dụng các phép biển hình

10 Áp dụng các phép biên hình 11 Hình học Leonardo Da Vinci 12 Hình học Origami 13 Hình học Sangaku 14 Tóm tắt một số phép biến hình quan trọng

2 QUỸ TÍCH (TẬP ĐIỄM CÓ CHUNG TÍNH CHẤT)

Cơ bản dựng hình. Các thao tác cơ bản của bài toán dựng hình được chấp nhận: I. Đường thằng (đoạn thẳng) đi qua hai điểm A, B cho trước. II. Giao của hai đường thắng cho trước. III. Khoảng cách giữa hai điểm đo được bằng độ mở của compa. IV. Đường tròn có tâm cho trước và bán kính cho trước. V. Giao điểm của hai đường tròn cho trước (cả khi chúng cắt nhau tại hai điểm). VI. Giao điểm của một đường tròn và một đường thắng cho trước (cả khi chúng cắt nhau tại hai điểm).

Bài 1. Cho trước hai điểm A, B. Hãy dựng trung điểm của đoạn thắng AB.

Bài 2. Cho trước hai điểm A và O. Hãy dựng điểm đối xứng của A qua tâm O.

Bài 3. Cho trước các điểm Ao, A1, A2, Bo, B1 . Hãy dựng điểm B2 sao cho góc AoA1Az = BoB1 B2·

Bài 4. Cho hai đường thắng e và f cắt nhau. Hãy dựng đường phân giác của các đường thắng này.

Bài 5. Cho trước đường thắng f và điểm P không nằm trên f. Qua P dựng đường thăng vuông góc thắng với f.

Bài 6. Cho trước đường thẳng f và điểm E nằm trên f. Qua E dựng đường thẳng vuông góc với f.

Bài 7. Cho trước hai điểm phân biệt A và O. Chỉ bằng compa hãy dựng điểm đối xứng của A qua tâm O.

Bài 8. Cho trước 3 điểm phân biệt P, E1 và E2 .Điểm P không nằm trên đường thẳng e đi qua Ei và E2 và đường thẳng e cũng chưa được vẽ trong hình. Chỉ bằng compa dựng ảnh đối xứng của P qua đường thẳng e! Quỹ tích (tập điểm có chung tính chất)

Bài 9. Hai điểm A và B cách nhau 10 cm. Tìm quỹ tích những điểm trên mặt phẳng:

• a) Cách A 6 cm;
• b) Cách đường thẳng AB 6 cm;
• c) Cách đoạn thẳng AB 6 cm;
• d) Cách A và B 6 cm.

Bài 10. Hai điểm A và B cách nhau 10 cm. Tìm tập hợp những điểm cách A ít nhất a cm và cách B đúng b cm với (a, b) = (12,3); (13, 3); (6,3)

Bài 11. Trên mặt phẳng hai đường thẳng a và b tạo với nhau góc 60° .Tìm quỹ tích những điểm trên mặt phẳng cách a ít nhất 1 cm và cách b đúng 2 cm.

Bài 12. Trên mặt phẳng lấy một đường tròn tâm O bán kính 5 cm. Diểm P trên mặt phắng cách tâm O 4 cm. Có bao nhiêu điểm cách đường tròn một khoảng dựcm và cách P một khoảng là d,cm, nếu

• a) dk = 2cm; dp = 4cm
• b) dk = 2cm; dp = 3cm
• c) dk = 6cm; dp = 10cm

Bài 13. Cho trước hai điểm A và B cách nhau 10 cm. Hãy vẽ đường tròn bán kính a cm và đi qua cả hai điểm A và B (biên luận theo giá trị của a).

2 QUÝ TÍCH (TẬP ĐIỄM CÓ CHUNG TÍNH CHẤT)

Bài 14. Hai đường thẳng a và b tạo với nhau một góc 45°.

• a) Hãy xác định tất cả các đường tròn bán kính 3 cm và tiếp xúc với cả hai đường thẳng. Bạn có thể nói gì về vị trí của tâm các đường tròn này?
• b) Hãy xác định những điểm trên mặt phẳng sao cho lấy điểm đó làm tâm vẽ vòng tròn bán kính 3 cm thì vòng tròn này sẽ cắt ít nhất một trong hai đường thằng a hoặc b.

Bài 15. Trên mặt phẳng cho trước đường thẳng e. Đường tròn k tâm O bán kính 10 cm và tâm O cách e là 4 cm. a) Hãy vẽ tất cả các đường tròn bán kính 2 cm và tiếp xúc với cả đường thẳng e và đường tròn k. Có bao nhiêu lời giải? b) Biện luận số lời giải nếu giá trị e thay đổi từ 1cm đến 20 cm^2

Bài 16. Trên mặt phẳng tìm quỹ tích của các điểm cách đều hai điểm A và B cho trước?

Bài 17. Tìm quỹ tích của các điểm cách đều hai đường thẳng cho trước?

Bài 18. Tìm tâm và vẽ đường tròn qua ba điểm cho trước? Biện luận theo vị trí tương đối của các điểm^2

Bài 19. Cho trước 3 đường thắng cắt nhau từng đôi một. Hãy dựng những đường tròn tiếp xúc với cả ba đường thẳng? Có bao nhiều đường tròn như thế?

Bài 20. Cho hai đường thẳng e và f cắt nhau. Điểm E trên e và điểm F trên f ( hình vẽ). Tìm điểm mà khoảng cách của nó đến e cũng bằng khoảng cách đến f và cách đều hai điểm E và F. (Biện luận những khả năng có thể của các vị trí của E và F).

Bài 21. Trên mặt phẳng cho 2 điểm A, B, khoảng cách AB = 10 cm. Mệnh đề sau có đúng không? Nếu điểm P trên mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện PA < 6 và PB < 4 khi đó P là điểm giữa của AB.

Bài 22. Cho điểm A và B. Biết rằng mệnh đề sau đây đúng: Điểm P bất kỳ thỏa mãn PA < 2 cm thì cũng thỏa mãn PB < 10 cm. Ta có thể khằng định điều gì về khoảng cách AB?

Bài 23. Cho điểm A và B. Biết rằng mệnh đề sau đây đúng: Điểm P bất kỳ thỏa mãn PA < 2 cm thì cũng thỏa mãn PB > 3 cm. Ta có thể khẳng định điều gì về khoảng cách AB ?

Bài 24. Cho tam giác ABC, góc B nhọn. Giữa những đường thắng đi qua B đường thằng nào cách xa nhất trung điểm F của AC ?

Bài 25. Chú chó Simi được buộc cổ bằng sợi dây dài 2m. Cuối sợi dây là một cái vòng được lồng vào và trượt được theo một đoạn gỗ dài 10m. Chú chó Bobi bị buộc vào một cái cột cũng bằng 1 sợi dây dài 2m. Phải trồng cái cột của Bobi vào vị trí nào để hai con chó có thể chơi với nhau trên một diện tích là hình tròn?

3 LÀM QUEN VỚI HÌNH HỌC CON CỜ HÓ!

Bài 26. Trên mặt phăng cho trước 3 điểm. Dựng đường thắng cách đều cả ba điểm đó! Có bao nhiêu lời giải?

Bài 27. Dựng đường tròn cách đều 4 điểm cho trước trên mặt phẳng! Có thể có bao nhiêu đường tròn như vậy?

Bài 28. Từ 5 điểm cho trước trên mặt phẳng, người ta vẽ tất cả những đường trung trực của các đoạn thẳng có hai đầu mút là các điểm này. Hỏi các đường thăng nhận được cắt nhau nhiều nhất tại bao nhiều điểm^2 Làm quen với hình học con Cờ hó! Hình học con Cờ hó là tên gọi thân mật các bạn học sinh thích nhất khi nói đến một loại đề tài toán trên lưới ô vuông nghiên cứu về hướng dẫn giao thông. Ngoài tên này ra người ta cũng hay gọi là Hình học Taxi hay hình học Manhattan (đường phố của Manhattan xắp xếp như bàn cờ chính là nơi người ta nảy sinh ra ý tưởng thiết kế mạng lưới chỉ đường giao thông qua vệ tinh nhân tạo). Tại một thành phố siêu hiện dại, mạng lưới đường giao thông của thành phố này như một lưới ô vuông, trong đó cạnh của các ô vuông có độ dài 100m. Các con Cờ hó chỉ đi lang thang trên đường phố, tức trên vạch lưới mà không lạc vào nhà dân tức các ô vuông. Như vậy là thế giới của các con Cờ hó chỉ giới hạn trên đường phố. Khoảng cách của hai điểm trên đường chính là độ dài nhỏ nhất của những con đường gấp khúc trên vạch lưới nối liền hai điểm (có thể có nhiều đường có cùng độ dài).

Bài 29. Trong hình là bản đồ của một thành phố trong thế giới của các con Cờ hó.

• a) Xác định khoảng cách AB, BC, CA! Sơn bằng các màu khác nhau cách điểm cách A với khoảng cách là:

4 HÌNH VUÔNG, HÌNH CHỮ NHẬT, HÌNH BÌNH HÀNH

• b) 100 là:
• g) 100
• c) 150
• d) 200
• e) 250
• f) 300 Sơn bằng các màu khác nhau và là các vòng tròn rỗng nhỏ các điểm cách B khoảng cách
• h) 150

1. 200 j) 250 k) 300 . Trong các bài tập này chúng ta vẫn trong vương quốc Cờ Hó như trong bài trên. Dường tròn được hiểu là tập những điểm cách một điểm cho trước một khoảng cho trước.

Bài 30. Trên bản đồ siêu thành phố Cờ hó kí hiệu k1, k2 và k3 là những đường tròn tâm 01, 02 và O3 như trên hình vẽ, và bán kính lần lượt là r1 = 100, r2 = 300, r3 = 500 (một cạnh của ô vuông là 100). Hỏi các vòng tròn đôi một có bao nhiêu điểm chung?

Bài 31. Các điểm A, B và C như trong hình vẽ. Xác định các vị trí cách đều các điểm

• a) A và B ;
• b) B và C;
• c) C và A.
• d) Có bao nhiêu điểm cách đều cả ba điểm A, B và C.

Bài 32. Cho trước ba điểm. Hãy xác định tập các điểm cách đều 3 điểm đã cho. Có hay không bộ ba điểm sao cho tập các điểm cách đều chúng có số phần tử là:

• a) 1
• b) Vô cùng
• c) 2?

Bài 33. Bất đẳng thức tam giác còn thỏa mãn trong hình học Cờ hó hay không ?

Bài 34. Hai đường tròn trong hình học Cờ hó có thể có 13 điểm chung hay không?

4 Hình Vuông, Hình chữ nhật, Hình bình hành

Bài 35. Hãy cắt và ghép các hình bình hành a) và b) dưới đây thành hình chữ nhật có các cạnh bằng a và ma

4 HÌNH VUÔNG, HÌNH CHỮ NHẬT, HÌNH BÌNH HÀNH

ma

Bài 36. Tỉ lệ diện tích các tam giác tô thẫm màu với các hình vuông trong các hình dưới đây bằng bao nhiêu? b)

Bài 37. Các cạnh của hình vuông có độ dài 10 cm. Lấy các điểm chia các cạnh hình vuông thành 3 phần bằng nhau, rồi nối như trong hình vẽ. Tính diện tích của các phần được tạo thành.

Bài 38. Cạnh hình vuông bằng a. Bốn điểm M, N, K, L lần lượt nằm trên các cạnh như hình vẽ. CMR nếu diện tích phần tô đậm bằng tổng diện tích các phần tô nhạt thì AM + BN

• CK + DL = 2a. B N K M D L

Bài 39. a) Trong hình thang hãy so sánh các diện tích đậm và nhạt. b) Tỉ lệ phần diện tích sơn đậm so với cả hình thang.

4 HÌNH VUÔNG, HÌNH CHỮ NHẬT, HÌNH BÌNH HÀNH

a) b)

Bài 40. Nối các trung điểm của các cạnh theo hình vẽ a) và b). CMR phần màu xám và phần màu trắng có diện tích bằng nhau!

Bài 41. Các cạnh của tứ giác được chia thành 3 phần bằng nhau. CMR

• a) Diện tích phần được tô màu xám bằng g diện tích tứ giác.
• b) Các đoạn thắng đều bị chia thành 3 phần bằng nhau.

Bài 42. Chiếc bánh ga tô hình vuông cạnh 15 cm, đã được cắt bằng nhát đầu tiên từ tâm đên cạnh cách đỉnh hình vuông 3 cm. Bạn chỉ được cắt thêm 2 nhát từ cạnh đến tâm để tạo được 3 phần có diện tích bằng nhau.

5 DƯỜNG TRÒN

Bài 43. Diện tích phần bị tô xám bằng nửa diện tích hình chữ nhật và AD = AB = x. Tính độ dài của x? x B

5 Đường tròn

Bài 44. Trong hình vẽ là hình vuông cạnh đơn vị. Hỏi phần diện tích được tô kẻ là bao nhiêu?

Bài 45. CMR diện tích bị gạch "chéo phải" bằng diện tích phần bi gạch "chéo trái".

Bài 46. Phần diện tích bị kẻ chéo bằng bao nhiêu phần của hình vuông trong mỗi hình ?

6 DỊNH LÝ PI - TA - GO

b)

6 Định lý Pi - ta - go

Bài 47. CMR: S(AAIC) = S(ADBC) B

Bài 48. Các tam giác được tô mầu có diện tích bằng nhau. D H F G

Bài 49. Diện tích các phần cùng màu sơn bằng nhau.

6 DỊNH LÝ PI - TA - GO

H B G

Bài 50. Không sử dụng định lý Pitago CMR diện tích lục giác ABFGHI bằng diện tích lục giác ACBEJD.

Bài 51. Tam giác vuông ABC. Vẽ các hình vuông về phía ngoài tam giác (hình vẽ). CMR các đường vuông góc với BE kẻ từ A, với AE kẻ từ B và với AB kẻ từ C đồng qui tại một điểm. A I B

Bài 52. CMR định lý Pitago bằng hình vẽ.

6 DỊNH LÝ PI - TA - GO

Bài 53. Diện tích tam giác (kẻ chéo trái) bằng tổng diện tích hai hình trăng khuyết (kẻ chéo phải)

Bài 54. a) Tỉ lệ hai cạnh hình chữ nhật là bao nhiêu để diện tích phần tô màu xám bằng phần kẻ vạch?

• b) So sánh ba diện tích (ba mầu) a)

Bài 55. Trong hình chữ nhật ABCD lấy điểm P bất kì. CMR PA2 + PC2 = PB2 + PC2.

Bài 56. Người ta muốn đo khoảng cách CD, nhưng điểm C không thể nào đến gần được. Hỏi có thể đo gián tiếp CD không? Nếu biết rằng AB = 240m, ABC = DAC = 90°, BAC = 60°, ADC = 30°

7 TÍNH GÓC

Bài 57. CMR nhọn vuông a+ b > c= a + b2 = c2 a" + b2 < c'

7 Tính góc

Bài 58. Cho AB = BC = CD = BE = CE. Tính AED. E B D

Bài 59. Cho AB = BC = CD = DE = EF = 1cm và BAC = 10°.

• a) Góc AEF bằng bao nhiều?
• b) Có thế tiếp tục đi bao nhiêu bước?
• c) Tình hình có thay đổi không nếu các bước đi không phải là 1 cm^2

Bài 60. Tam giác ACB cân tại C , BA = AF = FC. Hỏi các góc của tam giác ABC ?

7 TÍNH GÓC

Bài 61. Hình bình hành được chia thành các tam giác cần như trên hình vẽ. Tính các góc của hình bình hành?

Bài 62. Tính tổng các góc a + b + c = ?

Bài 63. Tam giác ABC, AB = 7, BC = 6 và CA = 7, các đường phân giác trong cắt nhau tại điểm I. Qua I kẻ đường thắng song song với AB và cắt các cạnh bên tại M và N. Tính chu vi tam giác MNC?

Bài 64. Cho góc 19° . Chỉ dùng thước và compa hãy dựng góc 1°.

Bài 65. Vẽ một hình tam giác đều và một hình ngũ giác đều nội tiếp cùng một hình tròn (các đỉnh nằm trên đường tròn). Hãy dựng đa giác đều 15 cạnh với sự giúp đỡ của các đa giác này.

Bài 66. Trong một tam giác vuông người ta vẽ các phân giác của các góc nhọn. Hỏi các phân giác này tạo với nhau góc bao nhiêu độ?

Bài 67. Các góc của tam giác ABC ít nhất là bao nhiêu nếu hai đường cao ít nhất bằng hai đáy tương ứng của chúng.

Bài 68. Một tam giác đối xứng trục có một cạnh gấp đôi đường cao tương ứng của nó. Hỏi các góc của tam giác này bằng bao nhiêu.

Bài 69. Tổng các góc của hình ngôi sao 5 cánh là bao nhiêu?

8 NHẬN BIẾT CÁC PHÉP BIẾN HÌNH

8 Nhận biết các phép biến hình

Bài 70. Tìm các thể loại đối xứng trong các hình thường gặp sau:

Bài 71. Tìm các phép quay biến hình trong các hình sau:

Bài 72. Nghiên cứu và phân tích các tổ hợp biến hình:

9 DỰNG HÌNH SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIỀN HÌNH

Bài 73. Đối xứng trong nghệ thuật và sinh học: D

Bài 74. Đối xứng trong kiến trúc và con người: Dựng hình sử dụng các phép biến hình

Bài 75. Dựng hình thoi nếu cho trước hai đường thắng chứa các đường chéo của nó và trên hai cạnh:

• a) Liền nhau
• b) Đối diện nhau cho trước hai điểm, mỗi điểm nằm trên một cạnh.

Bài 76. Dựng hình thang cân nếu cho trước trục đối xứng và mỗi điểm của mỗi cạnh (4 điểm) cũng được cho trước. 10 ÁP DỤNG CÁC PHÉP BIỀN HÌNH

Bài 77. Dựng một hình cánh diều nếu cho trước các đường thắng của các đường chéo và 3 điểm, mỗi điểm trên một cạnh của nó. Có thể có bao nhiêu đáp số?

Bài 78. Cho trước hai đường thắng e và b, đường tròn c và góc a. Hãy dựng tam giác cân có trục đối xứng e, đỉnh B nằm trên đường thắng b, đỉnh C nằm trên đường tròn c và góc BAC = a. Bài toán có thể có bao nhiêu đáp số?

Bài 79. Dựng hình vuông nếu biết đường tròn b, đường thẳng d sao cho đỉnh B và D nằm lần lượt trên nó và:

• a) Biết đường thẳng AC;
• b) Biết đỉnh A.

Bài 80. a) Cho trước diểm O và các đường thẳng a, b, c, d trên mặt phẳng. Hãy dựng hình bình hành ABCD có tâm O ( tâm đối xứng) và các đỉnh A, B, C, D theo thứ tự nằm trên các đường thắng đã cho.

• b) Cho trước các điểm O, P, Q, R, S trên mặt phắng. Dựng hình bình hành ABCD sao cho O là tâm điểm, các điểm còn lại theo thứ tự nằm trên các đường thằng AB, BC, CD, DA.

Bài 81. Cho trước điểm A và B cùng các đường tròn c và d trên mặt phẳng. Dựng hình thang ABCD sao cho đáy CD có độ dài bằng nửa đáy AB và các đỉnh C, D lần lượt nằm trên các hình c và d.

Bài 82. Cho trước các vòng tròn k1, k2 và đường thẳng e. Dựng đường thằng f song song với đường thắng e sao cho phần đoạn thắng của f nằm giữa hai đường tròn có độ dài 3 cm.

Bài 83. a) Cho trước điểm O, đường thẳng a và vòng tròn b. Dựng tam giác đều ABC sao cho tâm của nó là O và A, B lần lượt nằm trên các đường a và b.

• b) Cho trước các điểm O, Pa, Pb. Dựng tam giác đều ABC sao cho O là tâm điểm, Pa và P, lần lượt nằm trên các đường thắng chứa BC và CA.

Bài 84. Dựng tam giác biết 2 cạnh và đường trung tuyến thuộc cạnh thứ ba.

Bài 85. Dựng tam giác nếu biết cạnh c và góc a và hiệu 2 cạnh a - b. 10 Áp dụng các phép biến hình

Bài 86. Trên bàn Bi-a kích thước (8 x 4) có đặt hai viên bi mầu trắng ở vị trí (2,3) và viên bi mầu đen ở vị trí (4, 1). Hãy dựng đường bắn viên bi trắng trúng bi đen sau khi đã:

• a) Va vào tường a;
• b) Va vào b rồi a;
• c) Va vào c rồi a;
• d) Tính quãng đường từ a đến bi đen sau mỗi kiểu va chạm. 10 ÁP DỤNG CÁC PHÉP BIỀN HÌNH

Bài 87. Trên mặt phắng cho các điểm A, B và C. Dựng đường tròn tâm C sao cho các tiếp tuyến với đường tròn qua A và qua B có 2 đường vuông góc với nhau.

Bài 88. Hình vuông ABCD. Các đường thắng a,b vuông góc. CMR: RS = PQ

Bài 89. Phải cho một tập hợp 10 điểm có k trục đối sứng. Với k không âm nào có thể thực hiện được? Mỗi trường hợp hãy cho ví dụ!

Bài 90. Trên các cạnh của tam giác đều lấy 3 điểm sao cho chúng cũng tạo thành tam giác đều. Hỏi các điểm đó có chia các cạnh tam giác đều thành các đoạn thẳng có tỉ lệ bằng nhau?

Bài 91. Các khoảng cách từ một điểm bên trong một hình tam giác đều đến các đỉnh luôn là cạnh của một hình tam giác!

Bài 92. Chia hình sau thành hai phần trùng khít lên nhau.

Bài 93. Có thể chia hình tròn thành hữu hạn các phần trùng khít lên nhau sao cho có phần không chứa tâm hình vuông ở bên trong hay biên của nớ?

Bài 94. Có thể lát mặt phẳng bằng các miếng ván sàn có hình dạng như hình dưới đây? 11 Hình học Leonardo Da Vinci

Bài 95. a) Tính diện tích a, b,c, d e, f theo bán kính R

• b) Tính diện tích phần bị sơn màu. 11 HÌNH HỌC LEONARDO DA VINCI Hình 1: a) Hình 2: b)

Bài 96. Tính diện tích phần bi sơn màu theo bán kính và tính tỉ lệ so với diện tích hình tròn.

Bài 97. Tính diện tích phần bi sơn màu theo bán kính.

Bài 98. Tính diện tích phần bi sơn màu theo bán kính. 12 HINH HỌC ORIGAMI

Bài 99. a) Tính diện tích phần bi sơn màu theo bán kính.

• b) So sánh các diện tích của các màu khác nhau. Hình 3: Bản thảo của Leonardo da Vinci 12 Hình học Origami

Bài 100. Các tờ giấy khố A1 và A3 có các thông tin thú vị:

1. Nếu cắt đôi tờ A3 thì được 2 tờ A4
2. Có thể phóng to tờ A, thành A3. 12 HINH HỌC ORIGAMI

• a) Hãy xác định tỉ lệ giữa cách cạnh A4 và A3.
• b) Ta gập tờ A4 theo đường thẳng qua đỉnh A (hình vẽ) và một điểm E trên cạnh CD sao cho đỉnh B (thành điểm B') nằm trên cạnh DC. Tam giác ECB' có là tam giác cân? E D B

Bài 101. Cho tờ giấy A1. Trung điểm của một cạnh chiều dài là F, cạnh đối diện của nó là CD.

• a) Có bao nhiêu đường thằng mà khi gập lại theo nó thì điểm F rơi vào cạnh CD?
• b) Vẽ một số đường thẳng có tính chất này bạn được hình gì?

Bài 102. Cho một mảnh giấy hình vuông (hình vẽ ABCD). Dầu tiên ta gấp đôi tờ giấy, để nhận dược đường trung bình. Sau đó trả lại vị trí cũ, rồi gập men theo một đường thẳng qua A sao cho điểm B rơi vào đoạn IJ. Trên hình sẽ xuất hiện một số góc có độ lớnicó vẻ bằng 60. Hãy chọn ra một góc và chứng minh nó đúng bằng 60°.

Bài 103. Trên hình vẽ là một miếng giấy hình vuông (ABCD), người ta gập hình vuông theo đường thẳng EF và rất may là đỉnh C rơi đúng vào cạnh AB ( thành C'). CMR:

• a) Đường thẳng CD' tiếp xúc với vòng tròn tâm C và đi qua B, D.
• b) Chu vi tam giác GAC' bằng nửa của chu vi hình vuông ABCD.
• c) AG = C'B + GD'
• d) Tổng chu vi của hai tam giác C'BE, GD'F bằng nửa chu vi của tam giác GAC'.
• e) Chu vi tam giác GD'F bằng độ dài AC.
• f) Chu vi vòng tròn nội tiếp tam giác GAC' bằng độ dài đoạn thẳng GD'. 12 HINH HỌC ORIGAMI B E

Bài 104. Trên mảnh giấy hình chữ nhật ABCD người ta đặt góc EAB. Trước tiên người ta chia hình chữ nhật thành các dải cách đều nhau FG, HI (hình vẽ). Sau đó người ta gập hình chữ nhật sao cho điểm A rơi vào FG (A'EFG) và đồng thời H rơi vào AE (H' € AE). CMR AA' chia ba góc CAD. H

Bài 105. Cho một mảnh giấy hình vuông (ABCD) với 2 đường thẳng song song EF , GH chia hình vuông thành 3 phần bằng nhau (hình vẽ AF = FH = HD, BE = EG = GC). Gập mảnh giấy sao cho A rơi vào cạnh BC ( A' € BC) đồng thời F rơi vào cạnh GH (F' € CA' GH). Hãy xác định tỉ lệ AB -? D' B Hình 4: 13 Hình học Sangaku 13 HINH HỌC SANGAKU SACRED MATHEMATICS Japanese Temple Geometry Fukagawa Hidetoshi Tony Rothman

Bài 106. Hình vuông ABCD. Gấp dọc theo đường EF sao cho đỉnh A rơi vào cạnh BC thành A'. CMR D'G = d = r = bán kính đường tròn nội tiếp tam giác A CG.

Bài 107. CMR: b=2d 13 HINH HỌC SANGAKU

Bài 108. Cho a, b là các số thực 0 < a < b. G ả +62 AB = a, BC = b AD = DC = ª+b BELAB, DE = AD FELED, FB ED EG=BD = b-a D b + a a< a+6 < vab≤ "I" <V a + 62 < a + b < 6 a + b 14 TÓM TẮT MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH QUAN TRỌNG 14 Tóm tắt một số phép biến hình quan trọng Phép đổi xứng trục.

Bài 1. Cho đường thằng d. Phép biến hình biển mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biển mỗi điểm M không thuộc d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM', được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d. Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là D'

Bài 2. Nều hình H' là ảnh của hình H qua D' thì ta còn nói H đối xứng với H' qua d, hay H và H' đối xứng với nhau qua d.

Bài 3. Cho đường thằng d. Với mỗi điểm M, gọi M" là hình chiếu vuông góc của M trên đường thăng d. Khi đó

Bài 4. M' = D'(M) khi và chỉ khi M" M' = -M'M

Bài 5. M' = D'(M) khi và chỉ khi M = D'(M') MO T · M' Phép đổi xứng tâm Với điểm O cho trước, phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành M' sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM'. O được gọi là tâm đối xứng. Phép đối xứng tâm O thường được kí hiệu là Do Nếu hình H' là ảnh của hình H qua Do thì ta còn nói là H' đối xứng với H qua tâm O, hay H và H' đối xứng với nhau qua O. 14 TÓM TẮT MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH QUAN TRỌNG Phép quay Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc ý không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M' sao cho OM-OM' và (OM, OM) = (OM, OM') = + được gọi là phép quay tâm O góc quay /. Phép quay Chiều quay dương Chiều quay âm a = 61° M' là phép biến hình bảo toàn khoảng cách (cũng giống như đối xứng trục). Phép đối xứng tâm là phép quay với góc quay 180°. Xin chân thành cám ơn sự quan tâm và những ý kiến đóng góp của bạn đọc! . .HẾT ..

Mẹo hay

Lời khuyên học tập Để đạt hiệu quả cao nhất với tuyển tập bài toán này, các em học sinh nên tự mình tư duy và làm ra nháp trước khi xem hướng dẫn giải. Chúc các em luôn giữ vững niềm say mê và tình yêu với môn Toán!