Tuyển tập đề toán luyện thi học sinh giỏi THCS: Định hướng phát triển năng lực

Ghi nhớ

Thông tin tác giả & Bản quyền tài liệu

• Tác giả / Chủ biên: TS. Nguyễn Văn Lợi
• Đơn vị phát hành: LOISCENTER
• Mục đích: Bồi dưỡng học sinh khá giỏi, rèn luyện tư duy logic, kỹ năng giải toán sáng tạo và nâng cao năng lực toán học cho học sinh THCS các lớp 7, 8, 9.

Đồng hành cùng LOISCENTER: Chương trình bồi dưỡng và phát triển năng lực

Mục đích: Trước 18 tuổi, học sinh được trang bị nền tảng kiến thức vững chắc:

• Khoa học Toán - Máy tính
• Kỹ năng lập trình code - hệ thống
• Toán kinh tế - MBA
• Văn hóa, lịch sử và nghệ thuật

Đôi lời chia sẻ từ TS. Nguyễn Văn Lợi

Chỉ 10 - 20 năm nữa khi làn sóng công nghệ 4.0 sẽ định hình lại cấu trúc cuộc sống và xã hội. Cái đói nghèo đã được trả về cho quá khứ, lúc đó lao động không còn là để tồn tại mà chủ yếu nhằm mục đích sáng tạo và tiến bộ.

Các công việc trong tương lai sẽ tập trung vào 4 nhóm:

1. Nghệ thuật
2. Khoa học kỹ thuật
3. Dịch vụ
4. Quản trị & Khởi nghiệp

Chính vì vậy, việc rèn luyện tư duy toán học đỉnh cao kết hợp với kỹ năng giải quyết vấn đề thực tiễn là hành trang quý giá nhất dành cho thế hệ trẻ.

Hà Nội, ngày 4 tháng 3 năm 2019
TS. Nguyễn Văn Lợi

1. Tuyển tập các bài toán đố về chuyển động

1.1. Một người đi một quãng đường 42km (độ dài đường đua Marathon) bằng cách sau đây: 5 phút chạy, sau đó 1 phút đi bộ và cứ như vậy thay đổi nhau cho đến khi về đích. Biết rằng tốc độ lúc chạy bằng 3 lần lúc đi bộ. Sau 3 giờ 46 phút 6 giây thì người đó về tới đích.

• a) Thời gian người đó đi bộ là bao nhiêu phút?
• b) Người đó khi chạy với tốc độ bao nhiêu km/h? 1.2. Một người đi bộ một quãng đường cần 1,5h. Sau khi người đó xuất phát 10 phút thì có môt người khác cung đi bộ cùng hướng trên quang đương đó và sau 75 phút thì tới đích. Hỏi người thứ hai đuổi kịp người thứ nhất tại điểm bao nhiêu phần của quãng đường? 1.3. Một chuyến tầu hỏa chở thư dự định xuất phát lúc 8h. Đến 12h họ phải đến một thành phố cách đó 240km. Vì lý do kĩ thuật nên chuyến tầu khởi hành chậm hơn 24 phút. Vì trục trặc nên trên $\frac{1}{6}$ quãng đường tàu chỉ chạy được với vận tốc bằng 75% vận tốc dự định. Khi đó họ nhận được động cơ mới (thời gian thay động cơ không đáng kể). Hỏi phải tăng bao nhiêu % tốc độ đang đi để đảm bảo thời gian đến đích theo dự kiến? 1.4. Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 130km. Có 3 người phải đi từ A đến B. Họ có thể sử dụng một chiếc mô tô ngoài người lái còn có thể chở thêm một người khác. Trong khi hai người đi xe thì người thứ 3 tiếp tục hành trình bằng đi bộ. Vận tốc mô tô là 50 km/h bất kể có khách hay chỉ một người đi, nếu đi bộ thì vận tốc là 5 km/h. Phải tổ chức hành trình như thế nào để sau $6{,}2\text{ h}$ cả ba người có mặt ở thành phố B. 1.5. Lúc 10h một người đi xe đạp xuất phát từ A đến B. Cùng lúc đó cũng có một người đi xe đạp xuất phát từ B đến A. Cả hai người đi với vận tốc đều (không thay đổi). Người đi từ A đến B lúc 13h. Người đi từ B đến A lúc 13h45. Hỏi dọc đường họ gặp nhau khi nào? 1.6. Một tầu hỏa với vận tốc không đổi sau 15 giây thì chạy qua một cây cột điện, rồi sau đó 45 giây nó lại chạy qua một chiếc hầm ngầm dài 540m. Hỏi con tầu dài bao nhiêu và vận tôc của tầu là bao nhiều? 1.7. Một tầu hỏa với vận tộc không đổi chạy qua một con hầm ngầm. Dầu tầu kể từ khi đến cửa hầm cho đến khi toa cuối cùng ra khỏi hầm thời gian trôi qua là 20 giây. Các bóng đen trên trần hầm bắt đầu bật sáng khi đầu tàu đến nơi và tự tất khi toa cuối đã qua đèn. Hỏi chiều dài của tầu là bao nhiêu m nếu biết rằng hầm dài 300m và mỗi ngọn đèn trần hầm sáng đúng 10 giây? 1.8. Hai người đi xe đạp cùng khởi hành từ một điểm. Cả hai người cùng phải thực hiện một quãng đường dài như nhau và quay về nơi xuất phát cùng một lúc. Giữa đường họ có nghỉ ngơi. Người thứ nhất đi trong thời gian lâu nhiều hơn hai lần so với thời gian người thứ hai nghỉ ngơi và người thứ hai đi trong thời gian lâu nhiều hơn bốn lần so với thời gian người thứ nhất nghỉ ngơi. Ai đi nhanh hơn và nhanh hơn bao nhiêu lần? 1.9. An và Bình chạy đua trên một sân đường đua dài 100m. Khi họ xuất phát từ cùng một chỗ An về đích trước Bình 10m, lần thứ 2 An chấp Bình lùi lại 10m - tức là khoảng cách của An là 110m còn của Bình vẫn là 100m. Người nào về đích trước và trước bao nhiêu m nếu trong cả hai lần vận tốc chạy của cả hai người không thay đổi? 1.10. Cuộc chạy đua 5000m. Khi An về tới đích thì Bình cách 500m, Chính cách 725m so với người thắng cuộc. Nếu hai người tiếp tục chạy theo vận tốc trước thì Chính sẽ cách Bình bao nhiêu m khi Bình về tới đích? 1.11. Một người đi xe đạp khởi hành từ A đến B. Cùng lúc đó một người đi bộ cũng khởi hành từ B đến A. Họ đi với vận tốc không đổi trên cùng một con đường. Khi Người đi xe đạp đến $B$ thì người đi bộ mới đi được $\frac{1}{5}$ quãng đường. Nếu người đi xe đạp giảm tốc độ $10\text{ km/h}$ và người đi bộ tăng thêm tốc độ 3km/h thì khi người xe đạp đến đích người đi bộ thực hiện được = quãng đường của mình. Hỏi vận tốc của mỗi người là bao nhiêu km/h? 1.12. Hai người đi bộ ngược chiều nhau từ làng A đến làng B khởi hành cùng một thời gian. Cả hai người đi với vận tôc không đổi nhưng môt người đi nhanh hơn người kia. Họ gặp nhau lần đầu cách làng ở gần hơn 650m, họ nghỉ 10 phút rồi lại đi tiếp tục. Đến làng đích thì cả hai cùng quay lại và họ lại gặp nhau ở nơi cách làng thứ hai 300m. Hỏi hai làng cách nhau bao xa? 1.13. Một người di bộ khởi hành từ A đến B. Và cùng lúc đó, một người đi xe dạp từ B về A. Hai người cùng đi một con đường. Sau một giờ, vị trí của người đi bộ ở đúng trung điểm của A và người đi xe đạp. Sau 15 phút nữa, người đi bộ và người đi xe đạp gặp nhau và người đi bộ tiếp tục đi về B. Hỏi từ A đến B người bộ đi mất bao nhiêu thời gian? 1.14. Cô Nhã nhận thấy rằng trong một siêu thị nếu đứng trên thang cuốn thì đúng 1 phút sẽ xuống được hết cầu thang. Nếu cô ấy tiếp tục đi trên thang cuốn với vận tốc 1m/s thì xuống đến hết thang là 40s. Hỏi nếu cô Nhã đi xuống với vận tốc 2m/s thì mất bao lâu để xuống đến chân cầu thang? 1.15. Mỗi buổi sáng đẹp trời đúng 8 giờ ông Khánh đi ô tô từ nhà đến nơi làm việc. Nếu đi với vận tốc trung bình 40km/h thì sẽ chậm 3 phút, nếu với vận tốc trung bình 60km/h thì đến nơi làm việc nhanh 3 phút. Hỏi với vận tốc nào thi ông Khánh đến nơi làm việc đúng giờ? 1.16. Trà My và Duyên tập chạy trên một sân vận động vòng tròn. Một lần hai người cùng xuất phát từ hai điểm đối diện nhau qua tâm vòng tròn và chạy ngược chiều nhau. Từ lúc xuất phát đến khi gặp nhau lần đầu Trà My chạy được 100m. Duyên từ lần gặp thứ nhất đến lần gặp nhau thứ hai chạy được 150m. Hai người chạy với vận tốc đều trên cả quãng đường.
• a) Dường đua dài bao nhiêu m^2
• b) Tỉ lệ vận tốc của hai bạn là bao nhiêu? 1.17. Trên một đường đua xe đạp vòng tròn hai người thi. Cùng lúc họ xuất phát và đi cùng hướng với vận tốc không đổi. Có thời điểm B ở trước A 10m, nhưng sau khi A đi được 25m thì B đuổi kịp. Hỏi có bao nhiêu điểm khác nhau trên đường đua mà tại đó B đuổi lại vượt vòng A? 1.18. Hai thành phố nằm trên bờ sông. Một con thuyền với vận tốc không đổi khi nước đứng di chuyển trên sông. Lúc đi xuôi dòng nước thì cần 2h, khi đi ngược dòng thì cần 4h. Vận tốc nước sông không đổi. Khi ở thành phố đầu nguồn người ta thả một quả bóng. Hỏi sau bao nhiều lâu thì quả bóng trôi đến thành phố hạ nguồn? 1.19. Hai thành phố A và B ở ven sông, cách nhau 20km. Một con thuyền đi từ A đến B và ngược lại mất 10 giờ. Đi ngược dòng 2km cần thời gian bằng thời gian đi xuôi dòng 3km. Hỏi vận tốc của nước chảy là bao nhiêu? 1.20. Một hôm vào lúc trưa Duyên đến chơi nhà bạn. Bạn cô ta sau 15 phút cũng khởi hành đi ngược chiều để đón Duyên. Duyên 1 giờ đi được 4km, bạn cô ta hay ngó nghiêng nên 1 giờ chí đi được 3km. Sau khi gặp nhau Duyên và bạn cùng quay lại nhà bạn của Duyên với vận tốc của bạn đó vừa đi vừa nói chuyện (3km/h). Khi đến nơi Duyên nhận thấy cô ta đã đi được quãng đường bằng 4 lần quãng đường của bạn. Hỏi hai nhà cách nhau bao nhiêu km^2 1.21. Mùa hè người ta dùng máy tưới đường để làm mát đường phố. Người lái xe phun đường phải chú ý để nước không phun vào xe ô tô đang đi lại trên đường và cũng đồng thời phải tưới được càng nhiều đường càng tốt. Vì thể chi phải mở và đóng vòi nước trong thời gian cần thiết. Hỏi nếu có một ô tô khác:
• a) đi cùng chiều
• b) đi ngược chiều và vận tốc của ô tô là 21,6km/h, của xe tưới nước là 25, 2km/h, thì có một khoảng đường bao nhiều m không được tưới? 1.22. Có một con sên bò lên đỉnh một cây tre. Cây tre mọc nhanh đều tại mọi diểm của nó. Lúc bò lên con sên mất 7 giờ. Sau đó nó nghỉ 1 giờ rồi lại bò xuống thì 8 giờ mới đến mặt đất. Tốc độ sên bò không đổi. Hỏi tốc độ cây tre mọc bằng mấy phần tốc độ của sẽn?

1.1 Gợi ý giải phần toán đố về chuyển động

1.1 Gợi ý giải phần toán đố về chuyển động

Bài 1.1.

• a) 37 phút đi bộ.
• b) 12,5 km/h là vận tốc khi chạy.

Bài 1.2. Tại 3 của quãng đường.

Bài 1.3. Cần tăng vận tốc 64%.

Bài 1.5. Túc 11/40 thì họ gặp nhau (sau 3% tức là sau khi đi 1/40 phát họ găp nhan).

Bài 1.6. 270m, v = 18m/s.

Bài 1.7. 300m.

2. Số học

2.1. Có bao nhiêu số nguyên dương không lớn hơn 1000 và:

• a) Chỉ chứa đúng một chữ số trong các số 2 và 3
• b) Chia hết cho đúng một số trong các số 2,3 và 5. 2.2. Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8 không? Cho 16 không? Cho 24 không? Cho

5 không? Những số nào là số chắc chắn nó chia hết?

2.3. Nếu tích của 5 số nguyên dương tận cùng có hai chữ số 0 thì có thể chọn được 4 số trong chúng có tích tận cùng là hai chữ số 0. Điều này có đúng không? 2.4. Thầy giáo ghi một số nguyên dương rất lớn lên bảng. Các học sinh thay nhau phát biểu, học sinh thứ nhất:

• Số trên bảng chia hết cho 2. Học sinh 2:
• Số trên bảng chia hết cho 3. Cứ tiếp tục như vậy cho đến học sinh thứ 30:
• Số này cũng chia hết cho 31. Thầy giáo nói rằng:
• Ngoài hai bạn ra thì tất cả đều nói đúng. Mà hai bạn đó trả lời liên tiếp thay nhau. Hỏi hai học sinh nào phát biểu nhầm^2 2.5. Có 7 tên cướp ngồi trong rừng sâu chia vàng theo cách của riêng mình. Chúng ngỏi quanh đống tiền vàng. Một tên đếm số tiền vàng và lấy cho mình số vàng bằng tổng các chữ số của số vàng vừa đếm. Thấy vậy tên ngồi cạnh bên phải cũng đếm số đồng tiền vàng còn lại và lấy cho mình một số đồng tiền vàng bằng tổng các chữ số của số vàng vừa đếm được. Cứ lần lượt như vậy cho đến khi hết sạch đồng vàng. Bọn cướp rất ngạc nhiên là mỗi tên được lấy 2 lần và cả bọn được số vàng bằng nhau trừ tên trưởng nhóm được nhiều hơn. Hỏi tên trưởng nhóm lấy ở vị trí thứ bao nhiêu trong hội chia vàng? 2.6. Có thể liệt kê nhiều nhất bao nhiêu ước số của 104 sao cho không có số nào chia hết cho số nào? 2.7. Người ta đánh số theo thứ tự các hàng và các cột của bàn cờ 8 x 8. Sau đó ghi vào mỗi ô tương ứng tổng của hàng và cột của nó. Tiếp theo ta đặt vào bàn cờ 8 con xe sao cho không con nào ăn con nào, tức là môi hàng và mỗi cột chỉ có một con xe. Hỏi trong cách xắp xếp nào tổng của các số dưới chân các con xe có giá trị lớn cực đại? 2.8. Giải phương trình nghiệm tự nhiên: 314x + 25y = 1995. 2.9. Biết rằng:$$\frac{3 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \ldots \cdot 899}{4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot \ldots \cdot 900} = \frac{p}{q}$$với $p, q > 0$ tự nhiên và $(p, q) = 1$. Hãy tính giá trị của $p$ và $q$? Hãy tính giá trị của p và q: 2.10. Cho trước góc 19°. Chỉ dùng thước và compa dựng góc 1°. 2.11. Cho một số có 3 chữ số và số ngược của nó. Trong hiệu của hai số này; số đầu tiên là 3. Hỏi:
• a) Hiệu hai số này là bao nhiêu?
• b) Những số nào có thể là số ban đầu? 2.12. Tôn tại hay không số chính phương sao cho tổng các chữ số của nó là:
• a) 150
• b) 18 2.13. Nếu x là số nguyên và x2 chia hết cho 6 thì x cũng chia hết cho 6 ? 2.14. Hãy tìm những số chính phương có tổng các chữ số của nó là:
• a) 21;
• b) 15;
• c) 27;
• d) 36; 2.15. Tổng các chữ số của một số chính phương khi chia cho
• a) 3
• b) 9
• e) 8. được số dư nào? 2.16. Chứng minh rằng nếu $p$ và $p^2 + 8$ là số nguyên tố thì $p^3 + p + 1$ cũng là số nguyên tố. 2.17. Có tồn tại số $n$ nguyên dương sao cho $17 \mid 11^n + 1$ hay không? 2.18. Hai số 8 và 9 là hai số liên tiếp nhau và có tính chất chung là lũy thừa (có số mũ lơn hơn 1) của một số nguyên dương khác. Một câu hỏi chưa có lời giải đáp là có tồn tại những cặp số khác có tính chất trên. Một câu hỏi chưa có giải đáp nữa là có tồn tại 3 số liên tiếp có tính chất trên? Các bạn hãy nghiên cứu cho trường hợp bốn số được không? 2.19. Hãy điền vào sau số 423 ba chữ số để nhận được một số có 6 chữ số và chia hết cho 5,6,7. 2.20. Bốn chữ số cuối cùng của một bình phương của một số có tận cùng là 25 có thể là số nào? 2.21. Phải chăng trong các số của dãy số sau: 5,55, 555, 5555, 55555, .... (tất cả toàn chữ số

5. có nhiều vô cùng các số chia hết cho 3? Hãy chứng minh. 2.22. Phải chăng dây: 31, 331, 3331,..... (n chữ số 3 và thêm chữ số 1 cuối cùng).

• a) Có nhiều vô cùng các số chia hết cho 13?
• b) Có nhiều vô cùng các số chia hết cho 7? 2.23. CMR trong cấp số cộng sau: 14,27, 40, 53.66,.... Có nhiều võ cùng các số mà các chữ số của nó toàn là chữ số 2? 2.24. Khảo sát tổng:$$H_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$$Chứng minh rằng tổng này không thể là số nguyên trong các trường hợp:
• a) n = 1024; 1021; 1000.
• b) Tồn tại hay không giá trị n > 1 sao cho tổng trên có giá trị nguyên? 2.25. Các số nguyên dương a1; a2; ...; 049 có tổng là 999. Hỏi ước số chung lớn nhất có thể của các số này là bao nhiêu. 2.26. Có thể chọn bao nhiêu số từ các số: 1,2,3,..., 100 sao cho:
• a) Bất kì hai số nào đều nguyên tố cùng nhau.
• b) Không có số nào là ước số của số nào? 2.27. Ngọc Anh nhặt vỏ hến trên bờ biến. Bé ngạc nhiên nhận ra rằng trong 6 đống vỏ hến, số vỏ hến của bất kì hai đồng nào đều nguyên tố cùng nhau. Sau đó bé chọn ra hai đồng, từ mỗi đống lấy ra 1 vỏ hến và cất vào hộp. Rồi tiếp tục như vậy. Tổng cộng cô bé đã chọn ra 9 cặp và từ mỗi cặp lại lấy ra một vỏ hến (1, 1) cất vào hộp. Xong việc Ngọc Anh có 6 đống có số lượng vỏ hến trong mỗi đống như nhau. Hỏi Ngọc Anh đã nhặt được bao nhiêu vỏ hến và chia thành 6 đống như thế nào? 2.28. Hãy điền vào các ô trong bảng 2 x 3 các chữ số khác 0 sao cho các số được lập thành từ các hàng (trái qua phải ) và các cột (trên xuống) là các số chính phương. 2.29. Giải mã:$$\begin{aligned} S + A &= U + D + E \\ S^2 &= A^2 + U^2 + D^2 + E^2 \end{aligned}$$Các chữ giống nhau là các chữ số giống nhau, khác nhau thì khác nhau. 2.30. Tìm tất cả các số có 4 chữ số có tận cùng bằng 9 và chia hết cho tất cả các số là chữ số của nó. 2.31 (Thang làm khó). Hai người chơi thay nhau nói các số nguyên dương. Người bắt đầu nói số 1. Người thứ n được chọn nói các số lớn hơn số trực tiếp vừa nói ít nhất 1 và không quá n đơn vị. Người nào nói số 100 là người thắng trận. Hỏi ai là người có chiến thuật để luôn luôn thắng? 100! 2.32. Sau khi tối giản phân số $\frac{100!}{2^{100}}$, mẫu số của nó là số nào? 2.33. Vương quốc Ngọc Anh người ta phát hành các loại phiếu mua sách toán trị giá 5 và 7 NA.
• a) Có thể mua một quyển sách số học giá 101 NA không phải trả lại không?
• b) Những giá trị nào có thể trả mà không cần trả lại?
• c) Nếu có thể trả lại thì sao? 2.34. Một thời gian sau nữ hoàng Ngọc Anh lại thu các phiếu quà trên và phát hành loại phiếu quà mua sách mới mệnh giá 6 và 15 NA. Hỏi những giá trị nào có thể trả:
• a) Nếu có thể trả lại;
• b) Không trả lại? 2.35. Người ta chia 948 và 417 cho cùng một số có hai chữ số và được cùng một số dư. Hỏi số dư có thể là bao nhiêu? 2.36. Số nguyên dương nào mà khi chia 23479 cho n được số dư lớn hơn 50 đơn vị so với số dư khi chia 34539 cho n'? 2.37. Tìm ước số chung lớn nhất của 11111111 và 111... 11?

8 số 1

100 số 1 7n + 6 2.38. Tìm tất cả các giá trị của n nguyên dương sao cho phân số 5n + 3 có thể giản ước tiếp tục? 2.39. Với giá trị k tự nhiên nào thì số sau là số tự nhiên? 3k - 1 22k + 12 16k + 12 k + 11 a) b) c) d) k - 9 ° e) k + 17 k -3 2.40. Tìm tất cả các giá trị n nguyên để các biểu thức sau nguyên: n + 3 a) n - 3' nº + 2 n+1 2.41. Một hình chữ nhật kích thước 385 x 105. Được chia vừa đủ không thừa thành các hình vuông có cạnh dài n. Hỏi trong các số 1,2,..., 11,.... Giá trị nào có thể là n (cạnh của hình vuông)? 2.42. Sơn màu các điểm nguyên của hệ tọa độ lưới ô vuông theo nguyên tắc sau: Điểm (a, b) có màu giống các điểm (a - b, a) và (a, b - a). Hỏi các điểm sau:

• a) (19,99) và (199, 3383).
• b) (234, 1001) và (9611, 7007). có cùng màu hay không? 2.43. Trên bàn cờ m x n một quân tướng trắng xuất phát từ một góc trắng và đi cho đến khi chạm vạch ngoài thì quay đầu 90° tiếp tục đi cho đến khi đến một góc nào đó (không thể quay đầu) thì dừng lại.
• a) Với những giá trị nào thì quân tướng đi hết các ô trắng của bàn cờ?
• b) Quân tướng trắng sẽ qua bao nhiêu ô trắng của bàn cờ m x n? 2.44. Cho n = 135, k = 311. Hai người chơi, họ thay đổi nhau sửa lại các kết quả của n và k. Đến lượt ai, người đó chọn số lớn hơn và trừ từ nó một vài lần số bé ít nhất 1 lần) nhưng không đọc kết quả thành âm). Sau đó giữ lại số trừ và kết quả sau khi trừ rồi nhường cho người kia. Người tiếp theo lại làm như vậy. Ai không thay đổi được các số thì người đó thua. Ai có chiến thuật chơi để có thể:
• a) Luôn thắng.
• b) Luôn thua. 2.45 (Một cách tính thời Ai Cập cổ đại.). Xuất phát từ hai số 41 và 37. Chúng ta xem bảng sau và thử tìm hiểu thuật toán này dùng làm gì và hoạt động ra sao? 4 1 3 7 8 2 1 8 1 6 4 3 2 6 5 6 1 3 1 1 5 1 2.46. Công chúa Kim Cương không thích số 1. Trong lâu đài của mình cô ta chỉ cho sử dụng các số 0,2,3,4, 5,6,7,8,9,20, 22,..... Hỏi trong vương quốc Kim Cương người ta dùng số nào thay cho số 1998? Hay nói cách khác số thứ 1998 trong dãy số của họ là số nào tương ứng? 2.47. Có một bàn cân thăng bằng hai đĩa. Phải chuẩn bị các quả cân để cân được các vật có khối lượng nguyên từ 1,2,..., n kg ( với n = 10 và n = 32). Hỏi số quả cân ít nhất là bao nhiêu để thực hiện dược công việc trong các tình huống sau:
• a) Một đĩa để quả cân và một đĩa để vật cần cân?
• b) Các quả cân có thể đặt cả hai bên?
• c) Nếu được dùng 5 quả cần thì trong mỗi tình huống cân được bao nhiêu kg? 2.48. Trên bàn có một hòn đá khối lượng nguyên dương không quá n kg. Dược dùng một cân hai đĩa và khéo chọn các quả cần (ít nhất) để xác định khối lượng tảng đá và số lần cân lý tưởng. Với n ≤ 10, n ≤ 32. 2.49. Cho hai số là bình phương của hai số chẵn liên tiếp: Hãy xác định bình phương của số lẻ nằm giữa hai số này. 2.50. CMR 5" với n > 0 nguyên bất kì đều có thể biểu diễn dược dưới dạng tổng của hai số chính phương. 2.51. Hai anh em nông dân có một đàn cừu. Họ mang ra chợ bán. Mỗi chú cừu bán được số tiền bằng đúng số cừu họ đã có. Hai anh em chia nhau số tiền nhận được theo cách sau: Mỗi người lần lượt lấy 10 tiền, bắt đầu từ người anh. Đến cuối cùng người em không còn đủ 10 quan tiền nên lấy phần lẻ còn lại. Dể cho công bằng người anh cho em thêm một con dao đẽo zip dẹp. Hỏi mỗi con cừu họ bán giá bao nhiêu? 2.52. Xét số sau: n = 123456789101112... 20002001. Hỏi số này có phải số chính phương? Nếu đổi chỗ các chữ số ta có nhận được số chính phương hay không? 2.53. CMR V2 + V3 là số vô tỉ. 2.54. CMR trong 6 số vô tỉ bất kì, luôn chọn được 3 số sao cho tổng 2 số bất kì đều là số vô tỉ. 2.55. Từ:
• a) 7
• b) 5
• c) 4 số vô tỉ có luôn luôn chọn được ba số sao cho tổng của hai số bất kì từ ba số đã chọn ra là số vô tỉ? 2.56. Có thể chọn các dấu trong biểu thức sau 11213≠...In sao cho kết quả bằng 0? Hãy cho lời giải khi n = 21; 20; 19;18. 2.57. Trên bàn có một tờ giấy nhỏ. Người ta xé tờ giấy đó thành 10 mảnh. Rồi sau đó người ta lại xé vài mảnh mỗi mảnh thành 10 mảnh nhỏ hơn. Cứ làm tiếp tục như vậy. Hỏi sau một số lần thực hiện công việc, số mảnh giấy nhỏ có thể có các giá trị:
• a) 201
• b) 200
• c) 199 2.58. Gần giồng bài vừa rồi. Trên bàn có một tờ giấy nhỏ. Người ta xé tờ giấy đó thành 10 hoặc 16 mảnh. Rồi trong số đó người ta lại xé vài mảnh mỗi mảnh thành 10 hoặc 16 mảnh nhỏ hơn. Cứ làm tiếp tục như vậy. Hỏi sau một số lần thực hiện công việc, số mảnh giấy nhỏ có thể có các giá trị:
• a) 400
• b) 399
• c) 22 2.59. Trên bàn có hai nắm diêm. Mỗi lần người ta chọn ra một nấm và cho thêm vào đó một số diêm. Sau đó ở nắm kia người ta cho thêm vào số diêm gấp đôi số diêm vừa cho vào nắm trước. Sau đó người ta lại chọn một nắm và tiếp tục công việc như thế vài lần. Hỏi họ có thể đạt được tình trạng mỗi nắm có 50 que diêm không nếu lúc đầu số diêm mỗi nắm là:
• a) 7 và 34
• b) 1 và 3 2.60. Ngươi ta ghi số lên đỉnh của một hình lập phương. Mỗi lần người ta chọn một cạnh và tăng các số ở hai đầu của cạnh đó thêm 1 đơn. Hỏi sau một số lần làm như vậy, người ta có thể đạt được trạng thái các số trên các đỉnh bằng nhau, nếu trạng thái ban đầu là:
• a) Một đỉnh có số 1, các đỉnh khác là số 0.
• b) Hai đầu một cạnh là số 1, các đỉnh còn lại số 0.
• c) Hai đầu đường chéo của một mặt là số 1, còn lại là sô 0.
• d) Hai đầu của một đường chéo là số 1, còn lại là số O. 2.61. Người ta ghi lên các cạnh của một tứ diện các số 1,2,3,4,5,6. Sau đó thực hiện những động tác sau: Tại một đỉnh người ta cộng các số của các cạnh gặp nhau tại đỉnh đó và ghi số này lên đỉnh. Hỏi có thể có xảy ra trường hợp tất cả các đỉnh có số giống nhau? 2.62. Có 44 cây anh đào đứng thành một vòng tròn. Trên mỗi cây có một con sáo. Từng lúc một lại có hai con chim bay truyền sang cây bên cạnh nhưng ngược chiều nhau, một con theo chiều kim đồng hồ, một con theo chiều ngược lại. CMR nếu làm như vậy, các chú chim sáo không bao giờ có thể đứng trên cùng một cây.

3 Đại sô

3.1. Bạn hãy lấy một que diêm sao cho biểu thức tăng giá trị. Bạn lấy que diêm nào? Hãy tìm tất cả các lời giải.

• a) XIX - (XII - VIII) XII VII c) XII VI XXII IX XVI IVI b) XIX VII · + IV d) XXI VI
• VIIL 3.2. Người ta cắt bánh ga-tô ( hình tròn) thanh các miếng hình dẻ quạt tính từ tâm. Hãy tìm cách chia đều bằng số nhát cắt ít nhất:
• a) 5 bánh ga-tô cho 6 người.
• b) 7 bánh ga-tô cho 12 người. 3.3. Số nào lớn hơn và tại sao: và 33333333331? 102001 + 1 3.4. Phân số nào lớn hơn: và 102005 + 1? 102005 + 1 102006 + 1 3.5. Anh mua hai quyển sách. Sau đó Anh bán lại hai quyển sách đó với cùng một giá. Một quyển lỗ 20%, một quyển lãi 20%, do đó tổng thể Anh lỗ 5000 NVD. Hỏi Anh mua giá bao nhiêu và bán giá bao nhiêu? 3.6. Một viên gạch kích thước là các số nguyên (cm), diện tích bề mặt là 340 cm2. Tỷ lệ các cạnh là 4 : 5 : 8. Tính thể tích của viên gạch. 3.7. Người ta viết vài số đầu tiên của dãy số: 1 1+3 1+3+5 2 2+4' 2+4+6' ''· Dãy số được viết theo quy luật: số thứ n có tử số là tổng của n số lẻ dầu tiên, mẫu số là tổng của n số chẵn đầu tiên. Hỏi số thứ 100 là bao nhiêu? 3.8. Có bao nhiều khuyên tròn trong hình thứ 100 (hình vẽ)?
• a) O do
• b) · 88
• c) 0 00 3.9. Bạn hãy nghĩ một số, cộng số đó với 3, lầy kết quả nhân với 4, cộng với số bạn nghĩ, trừ đi 2, lấy số nhận được chia cho 5, đem thương trừ đi số bạn nghĩ. Kết quả sẽ là 2, có đúng không? Tại sao có thể biết trước kết quả này? 3.10. Ta đề nghị một người nào đó hãy nghĩ một số có số chữ số tùy ý, sau đó hãy tính tổng các chữ số của số đó, rồi trừ số tính được từ số đã nghĩ ra. Từ số vừa nhận được ta xóa một chữ sô khác O, sau đó cho mọi người biết tông các chữ sô của sô còn lại. Từ đây ta có thê đoán số bi xóa là số nào? Tại sao? 3.11. Có thể dùng 7 ô tô trọng tải 2 tấn chở 50 tảng đá có khối lượng 250, 251, 252, ..., 299 kg? (Các tảng đá không được làm vỡ, mỗi ô tô chỉ được sử dụng một lần không được chất quá 2 tấn hàng). 3.12. Điền các số tự nhiên từ 3 đến 9 vào các vòng tròn còn trống sao cho trên mỗi tia bán kính và trên mỗi đường tròn tổng các số là bằng nhau? 3.13. Hãy ghi các số:
• a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• b) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Vào các ô trong bảng 3 x 3 sao cho tổng các số trong mỗi hàng, mỗi cột và trong từng đường chéo có giá trị băng nhau. 3.14. Bảng ô vuông 3 x 3 thần bí có số bí hiểm là B. (Tổng các số trong mỗi hàng, mỗi cột có giá trị bằng B). Hãy xác định giá trị ở giữa của bảng này. 3.15. Hãy ghi tiếp các số vào ô trống trong các bảng ô vuông thần bí sau:

b) 3.16. Có thể xếp 9 số sau vào bảng thần bí được không?

• a) 1, 3, 6, 11, 17, 42, 57, 58, 70.
• b) 0, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 3.17. Có thể điền vào ba ô trống nào đó 3 số của bảng 3 x 3 sao cho có thể có nhiều cách để tạo nên bảng ô vuỗng thần kì khác nhau? 3.18. Hãy điền các số 1, 2, 3, ..., 8 vào các ô trống trong hình vẽ sao cho tổng các số trên mỗi đường tròn bằng nhau?

3.19. Một bảng ô vuông 3 x 3 người ta viết một số nào đó từ các số 7, 8, 9. Có thể tạo dược như vậy một bảng số sao cho tổng các số trong mỗi hàng, mỗi cột và các đường chéo có giá trị khác nhau? 3.20. Xếp các số 2, 5; 3,2; 3, 9; 4,6; 5,3 và 6 vào các ô trong hình vẽ sao cho tổng các số trên mỗi cạnh của hình vuông có giá trị bằng nhau. 3.21. Hãy ghi các số nguyên nhỏ hơn 13 vào các ô trống trong hình vẽ sao cho tổng các số trên mỗi cạnh của hình vuông bằng 22.

3.22. Hãy ghi các số từ 1, 2, ..., 9 vào các ô trống trong hình sao cho tổng của bốn số trên mỗi cạnh có giá trị ...

• a) bằng 20
• b) bằng nhau và lớn nhất. 3.23. Ghi 9 số nguyên dương khác nhau vào các ô của bảng số 3 x 3 sao cho tích các số trong mỗi cột hoặc mỗi hàng băng nhau. 3.24. Trong bảng số 4 x 4 có 16 số. Bảng số dưới đây nhận được từ bảng đầu tiên bằng cách mỗi bước đi cùng một lúc người ta thay các số bằng trung bình của 6 số đứng trong cùng hàng hay cùng cột của số ban đầu. Hỏi bảng đầu tiên được ghi như thế nào? 3.25. Trong một bảng bí hiểm 3 x 3, người ta khẳng định: tổng bình phương của các số dòng trên cùng luôn bằng tổng bình phương của các số ở dòng cuối cùng. Khẳng định này đúng hay sai? 3.26. Người ta ghi các số vào 16 ô của bảng 4 x 4.Biết rằng tổng các số trong mỗi bảng con 3 x 3 đều âm. Từ đây có thể suy ra tổng của cả 16 số là sô âm không? 3.27. Một khối lập phương cạnh 10 cm. Người ta dán lên chính giữa mỗi mặt một khối lập phương con cạnh 5 cm, Sau đó sơn tất cả các mặt của hình khối vừa nhận được. Hổi diện tích bị sơn là bao nhiêu? 3.28. Trong một tam giác có một góc bằng ba lần một góc khác. CMR có thể chia tam giác đã cho thành hai tam giác cân. 3.29. Trung bình cộng của 3 số là 22. Trong ba số đó có một số lớn hơn 3 và một số lớn hơn

Bài 61. Hỏi số thứ ba có thể là bao nhiêu? 3.30. Lập phương của một số nhỏ hơn bình phương của chính nó, mười lần của nó lớn hơn 5. Hỏi số đó có thể là bao nhiêu? 3.31. Một nhà thương gia bỏ ra 100 quan tiên mua bò, cừu, và thỏ, tổng cộng 100 con. Giá của một con bò là 10 quan, một con cừu là 3 quan và một con thỏ là 1 quan tiền vàng. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu con? 3.32. Điền các số thích hợp vào chỗ trống để nhận được một phép nhân đúng:

4 2 3.33. Trong phép tính sau các chữ cái giống nhau là các chữ số giống nhau, các chữ cái khác nhau là các chữ số khác nhau. Thay các chữ cái bằng các chữ số để được phép tính đúng. B D, C E

• B D, A E A E C, B E 3.34. Trong một buổi dạ hội có 20 người tham gia khiêu vũ. Bạn nữ A khiêu vũ với 7 bạn nam, bạn nữ B khiêu vũ với 8 bạn nam, bạn nữ C khiêu vũ với 9 bạn nam và cứ tiếp tục như thế đến bạn nữ cuối cùng. Hỏi có bao nhiêu bạn nam tham gia? 3.35. Một đàn cừu gặm cỏ trên cánh đồng. Nếu số cừu tăng lên gấp đôi, rồi thêm một nửa lại thêm một phần tư so với số ban đầu và thêm 1 con thì chẵn 100 con. Hỏi dàn cừu có bao nhiêu con? 3.36.

• a) Có tồn tại hay không một số có ba chữ số sao cho nếu viết số đó 2 lần cạnh nhau sẽ nhận được một số có 6 chữ số và chia hết cho 13.
• b) Có tồn tại hay không một số có ba chữ số sao cho nếu viết số đó 2 lần cạnh nhau sẽ nhận được một số có 6 chữ số và không chia hết cho 13. 3.37. Số có bốn chữ số nào mà giá trị của số hàng ngang là 2, nếu chuyển số này về phía cuối hàng thì nhận được một số nhỏ hơn ba lần số cũ 27 đơn vị. 3.38. Một người đi xe khởi hành từ thành phố A lúc 8 giờ sáng. Một lúc sau một người bạn đi với vận tốc lớn hơn vận tốc người đi trước 20 km/h và đến 10h30 thì đuổi kịp bạn anh ta. Hỏi khi nào họ cách nhau 5 km^2 3.39. P và M nhận quà socola. P được 2 hộp và 2 thanh, M được 1 hộp và 11 thanh. Hỏi trong mỗi hộp có bao nhiêu thanh socola nếu mỗi người có số socola bằng nhau. 3.40. Hãy tưởng tượng một chiếc đồng hồ kim.
• a) Sau lúc 12 giờ khi nào cả 2 kim ở cùng vị trí lần đầu?
• b) Khi nào hai kim lần đầu tạo với nhau góc 72°? 3.41. Sau 12 giờ trưa, hai kim đồng hồ lần đầu khi nào tạo với nhau một góc vuông? 3.42. Trên một cánh đồng cỏ mọc đều. Nếu 70 con bò thì ăn hết cả cánh đồng cỏ trong 24 ngày. Nếu 30 con thì ăn hết trong 60 ngày. Hỏi bao nhiêu con bò ăn hết cả cánh đồng cỏ trong 96 ngày? 3.43. Có 2 thùng đựng rượu. Thùng thứ nhất có 220 lít, thùng thứ hai có 180 lít. Giá mỗi loại khác nhau. Nếu lấy từ mỗi thùng một lượng rượu như nhau và đổ rượu lấy ra từ thùng thứ nhất vào thùng thứ hai, từ thùng thứ hai vào thùng thứ nhất thì giá mỗi lít của cả hai thùng sẽ là như nhau. Hỏi từ mỗi thùng đã lấy ra bao nhiêu lít? 3.44. Ba người vào một quán ăn. Họ đặt bánh anh đào. Khi chủ quán mang thức ăn ra thì cả ba đều đã ngủ gật. Nửa giờ sau một người tỉnh dậy ăn 3 số bánh anh đào rồi ngủ tiệp. Sau đó người thứ hai thức dậy và không biết rằng đã có người nào đó ăn trước nên người thứ hai cũng làm như người thứ nhất, ăn 3 số bánh còn lại rồi ngủ tiếp. Người thứ ba tỉnh dậy cũng làm như thể. Và sau đó trên đĩa còn lại 8 bánh anh đào. Hỏi chủ quán đã mang ra bao nhiều bánh anh đào (bình luận về bài này trong bài tập toán lớp 6 tập 1)? 3.45. Một người cha chết đi để lại rất nhiều tiền cho các con. Trong di chúc ông ta phân chia của cải như sau: người con thứ nhất lấy 100 đồng tiền vàng và 10 số tiền còn lại; người thứ hai lấy 200 đồng tiền vàng và số tiền còn lại; người thứ ba lấy 300 đồng tiền vàng và 1Ò Số tiền còn lại. Cứ tiếp tục như vậy, cuối cùng các đứa trẻ nhận ra rằng số tiền mỗi người là như nhau. Hỏi mỗi người được nhận bao nhiêu đồng tiền vàng. 3.46. A và B cách nhau 120 km. Cùng một lúc có hai người đi ngược chiều nhau. Người đi từ A đến B với vận tốc 25 km/giờ, người đi từ B đến A với vận tốc 15 km/giờ. Cùng lúc đó có một con ong bay từ A về phía B với vận tốc 100 km/giờ. Khi gặp người đi từ B nó lại quay lại bay về phía A. Cứ như thế con ong bay đi bay về giữa hai người với vận tốc không đổi và lăn ra chết khi hai người vô tình đâm phải nhau. Hỏi chú ong dũng cảm đã bay được bao nhiêu km không nghỉ? 3.47. Từ các chữ số 0, 1, 2, ...., 9. Mỗi chữ số được sử dụng đúng một lần, hãy viết thành ba số nguyên dương sao cho số thứ nhất bằng 5 lần số thứ hai, số thứ hai bằng 3 lần số thứ ba nhỏ nhất. 3.48. Một số tự nhiên được gọi là "thân mến" nếu các chữ số của nó chia được làm hai nhóm sao cho tổng các số ở nhóm thứ nhất bằng tổng các số ở hóm thứ hai. Ví dụ: 66, 352, 1276 ...
• a) Tìm hai số liên tiếp nhỏ nhất và các số đó là "thân mến".
• b) Tìm ba số liên tiếp mà chúng là các số "thân mến". 3.49. Từ các số chính phương tạo thành số thập phân: 0, 149162536 .... Hỏi chữ số nào là chữ
• a) thứ 100
• b) thứ 1000 3.50. Từ C đến N có một con đường dài 2 dặm vòng vèo chạy trên sườn núi. Dặm thứ nhất của đường là đường đi vô cùng khó lên đỉnh núi. Từ đó nửa đoạn sau là đường xuống dốc đến N. Một tài xế nổi tiếng đảm nhận công việc đi trên đoạn đường từ C đến N với vận tốc trung bình là 30 km/giờ. Trong phần đi lên dốc của quãng đường vì địa hình quá khó khăn, những người quan sát thấy rằng anh ta chỉ đi được với vận tốc trung bình 15 km/giờ. Thế nhưng chỉ chậm một vài giây anh ta vẫn đến được N. Ngày thứ 3 dân làng làm lễ chôn cất trịnh trọng cho anh tài xế tài ba. Hỏi tại sao anh ta chết? 3.51. Trên một quãng đường một người đi xe đạp tính rằng nếu đi với vận tốc 10 km/giờ thì buổi trưa lúc 13 giờ sẽ đến nơi. Nếu đi với vận tốc 15 km/giờ thì 11 giờ trưa đến nơi. Hỏi người đó phải đi với vận tốc bao nhiêu để đúng 12 giờ đến nơi? 3.52. Chứng minh rằng:
  • 102
  • 103
  • .... 200 ≥ 2 3.53. Tìm các số tự nhiên n sao cho: 4 n+12 3 3.54. Tìm các bộ số tự nhiên p, q, r sao cho: - + 3.55. Các số 2, 3, 6 có tính chất thú vị là tổng của chúng bằng 11; tổng nghịch đảo của chúng: ž+ ; 3 6= Hãy viết các số 24 và 31 sao cho thành tổng các số nguyên dương sao cho tổng nghịch đảo của chúng cũng bằng 1. 3.56. Một chiếc tầu du lịch có 159 cabin gồm có 2, 3 và 4 chỗ. Số cabin 2 chỗ nhiều gấp đôi số cabin 4 chỗ. Toàn bộ chứa được 379 hành khách. Hỏi có bao nhiêu cabin mỗi loại? 3.57. Một số có ba chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 19, hai chữ số bên ngoài giống nhau nếu đem chia số đó cho số có hai chữ số nhận được từ hai số cuối cùng của số này ghép lại thì được thương là 13 và số dư là 16. Hỏi số đó là số nào? 3.58. Một lữ khách đi bộ 5 h liền trên một quãng đường. Lúc đầu đường bằng phẳng sau đó là lên dốc. Khi lên đến dỉnh dốc, người đó vòng trở lại và quay về theo đường cũ. Biết rằng lúc đi trên đường bằng phẳng vận tốc người đó là 4 km/h , lên dốc là 3 km/h và xuống dốc là 6 km/h. Hỏi người đó đã đi bao nhiêu km^2 3.59. Hai người đi ngựa trên một đường tròn. Nếu họ đi ngược chiều nhau thì số lần gặp nhau gấp 5 lần so với đi cùng chiều. Hỏi tỉ lệ vận tốc của họ là bao nhiêu biết rằng họ giữ đều tốc độ trên cá đường đi? 3.60. Tích của ba số liên tiếp bằng 16 lần tổng của chúng. Các số này là các số nào? 3.61.
• a) Tích của bốn số liên tiêp bằng 3024. Số nhỏ nhất là bao nhiêu?
• b) Tích của ba số liên tiếp bằng 2730. Số đứng giữa là bao nhiêu?
• c) Tích của ba số liên tiếp bằng 0. Số nào lớn nhất?
• d) Giải bài toán cho trường hợp thay từ tích bằng tổng. 3.62. Bốn số tận cùng của bình phương của một số có tận cùng là 25 có thể là số nào? 3.63. Bình phương của 3421548832 là bao nhiêu? (Có thể dùng máy tính). 3.64. Giải phương trình:
• a) 27 · 5* = 1000
• c) 98 : 32x = 81
• b) 10012 = 1000*
• d) 3×+1 - 6 - 3*-1 — 3* = 9| 3,65. lÌm z: uẾW: Ÿª + gøtŁ + 35 + 32+3 = Ş 3.66. Hãy tính tổng các chữ số của lập phương của số gồm có 2000 chữ số 9 tạo thành?

4. Các bài toán tổng hợp

4.1. Các chữ khác nhau có giá trị khác nhau: BA x BA = NNN hỏi BAN = ? 4.2. Diền các dấu ngoặc vào biểu thức 2 : 3 : 4 : 5 : 6 = 5 để nhận được đẳng thức đúng. 4.3. Bạn hãy cho 3 số nguyên khác nhau sao cho bất kì số nào chọn ra từ chúng đều là ước số của số nhận được bằng cách nhân hai số còn lại rồi thêm 1. 4.4. Có thể biểu thị 1000 bằng tổng của 40 số 1; 10; 100 không? 4.5. Giữa 11 đồng tiền có 5 đồng tiền giả. Biết rằng các đồng tiền giả có trọng lượng bằng nhau và sai khác với các đồng tiền thật 1 gram. Nếu lấy ra bất kì một đồng tiên nào, với cân 2 đĩa và các quả cân, chỉ với một lần cân hãy chỉ ra đồng tiền đã chọn là tiền thật hay giả? 4.6. Ước số có 2 chữ số lớn nhất của số 22227777 là bao nhiêu? 4.7. Hãy chỉ ra rằng với bất kì giá trị nguyên nào của n hoặc n3 - n hoặc n3 + n chia hết cho 10. 4.8. Có 8 thành phố nằm dọc trên một đường thắng theo thứ tự A, B, C, D, E, F, G, H. Một vài thành phố được người ta ghi lại và viết lên bảng, ví dụ, cột 1 dòng 4 số 28 biểu thị khoảng cách giữa A và B là 28 km. Hãy điền tất cả các khoảng cách của các thành phố trong báng sau: B D GI H 4.9. Hãy dịch chuyển vị trí một chữ số để có đẳng thức đúng: 101 - 102 = 1. 4.10. Biểu thức sau: 1:2:3:4:5:6:7:8:9 giới hạn ở các giá trị nào nếu ta dùng tất cả các khả năng có thể của dấu ngoặc để tạo thành các biểu thức có nghĩa? 4.11. Bạn hãy cho 4 số nguyên khác nhau sao cho bất kì số nào chọn ra từ chúng đều là ước số của số nhận được bằng cách nhân các số còn lại rồi thêm 1. 4.12. Có bao nhiêu số có 4 chữ số và có 2 chữ số giống nhau. 4.13. Ba người bạn đi câu. Không có hai người nào câu được số cá giống nhau. Hôm sau họ kể rằng: A: Tôi bắt được nhiều nhất, C bắt được ít nhất B: Tôi bắt được nhiều nhất, nhiều hơn cả A và C cộng lại. C: Tôi bắt được nhiều nhất, B chỉ bắt bằng nửa của tôi Hỏi ai bắt được nhiều cá nhất, nếu trong 6 mệnh đề trên chỉ có đúng 3 mệnh đề đúng? Có thể khẳng định ai bất được ít nhất không? 4.14. Hãy cho 4 số lẻ liên tiếp mà tích của chúng là số chính phương ? 4.15. Hãy chí ra rằng 10 | 4343 - 1717. 4.16. Ghi vào các ô trống của bảng các chữ A, B, C, D, E sao cho các hàng, các cột và các đường chéo mỗi chữ chỉ được xuất hiện một lần. Chữ nào nằm ở ô có ký hiệu *. 4.17. Hãy dịch chuyển vị trí hai chữ số để có đẳng thức đúng: 1995 + 146 = 210 + 1117 (có thể viết vào giữa 2 số hiện có). 4.18. Hãy viết các số 1, 2, 3, ..., 9 lên bằng thành một dãy sao cho bất kể tổng hai số nào cạnh nhau đều không chia hết cho hoặc 3, hoặc 5, hoặc 7. 4.19. Bạn hãy cho 4 số nguyên khác nhau sao cho bất kì số nào chọn ra từ chúng đều là ước số của tổng ba số còn lại. 4.20. Một hình chữ nhật chiều dài gấp đôi chiều rộng. Hãy cắt hình chữ nhật này thành các hình sao cho có thể xếp lại thành một hình vuông. 4.21. Tìm tất cả các số có 4 chữ số mà lũy thừa bậc 4 của tổng các chữ số của nó bằng số đó. 4.22. Hãy tìm bội số dương nhỏ nhất của 36 mà các chữ số của nó đều là số chẵn. 4.23. Hãy xác định các số có 4 chữ số abed chia hết cho 4 và thỏa mãn tính chất bacd chia hết cho 7, acbd chia hết cho 5, abdc chia hết cho 9. 4.24. Từ những số nguyên dương nhỏ hơn 1000 ta loại các số mà trong các chữ số của nó có số nguyên tố. Còn lại bao nhiêu số? 4.25. Phương trình + ab

• 6z = 1 không có lời giải trong miền số nguyên dương. 4.26. Trong một gia đình có bố, mẹ và các con tuổi trung bình là 18. Nếu không tính tuổi của bố là 38 thì trung bình của những người còn lại là 14. Hỏi gia đình có bao nhiêu con? 4.27. Bà X khoe với các đồng nghiệp hôm nay là sinh nhật của 2 đứa con tôi, chưa đứa nào 10 tuổi. Các bạn hãy tìm xem chúng bao nhiêu tuổi, nếu tôi nói thầm với Anna tích số tuổi của chúng (nói thầm vào tai). Anna nói "thế này thì chưa thể xác định được". "Vậy tôi lại nói với Bình rằng thương số tuổi của hai đứa". Bình: "Thế này cũng chưa thể xác định duy nhất". "Đúng rồi, đáng ra tôi phải nói hiệu tuổi hai đứa thì Bình có thể đoán được". Hỏi các con của bà X bao nhiêu tuổi? 4.28. Tìm một số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho 999 và không chứa chữ số 9. 4.29. Trong hộp có các mẩu giấy. Trên mỗi mẩu giấy người ta ghi một số tự nhiên. Biết rằng dù lấy bất kì 3 mẩu giấy ra khỏi hộp, thì trong các số lấy ra luôn có 2 số mà tổng của chúng chia hết cho 5. Hỏi trong hộp nhiều nhất có bao nhiêu mẩu giấy mà trên đó có ghi các số không chia hết cho 5? 4.30. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có giá trị bằng 1995 lần giá trị của tổng các chữ số của nó. 4.31. Một buổi sáng Sư thầy nói với Mõ làng rằng:

• Hôm nay ta gặp ba người. Tích của số tuổi của họ là 2450, tổng của số tuổi của họ bằng 2 lần số tuổi của nhà ngươi. Hỏi những người này bao nhiêu tuổi? Buổi chiều sau khi mãi chưa ra, Mõ làng bèn tự nhận không đoán được. Sư thầy lại giúp:
• Trong ba người có một người nhiều tuổi hơn ta. Hỏi Sư thầy bao nhiêu tuổi? hạ các đường vưỡng tóc xuống AC và BC có chản là Q và h. Hhi pải chh huyểy tB. To sao cho QR nhỏ nhất, giá trị này là bao nhiêu? 4.33. Tìm số nhỏ nhất chia hết cho 999 và trong các chữ số của nó không có chữ số 9. 4.34. Hình chữ nhật ABCD, có E là trung điểm BC, F là trung điểm CD. Diện tích tam giác AEF là 3 đơn vị. Hỏi diện tích của hình chữ nhật là bao nhiêu? 4.35. Có hai người, một đi xe đạp, một đi bộ cùng khởi hành một lúc từ A đến B. Người đi xe đạp đến B bèn lập tức quay lại A, tính từ lúc xuất phát thì sau 1h người đó gặp người đi bộ. Khi gặp nhau người đi xe lại quay lại và cả hai cùng đi về hướng B. Về đến B người đi xe đạp lại quay lại và sau lần gặp đầu tiên 40 phút người đó lại gặp người đi bộ lần thứ 2. Hỏi người đi bộ đi quãng đường từ A đến B cần bao nhiều thời gian? 4.36. Hãy dùng sáu số 2 và hai số 1 viết một số có 8 chữ số chia hết cho 7. 4.37. Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 314x + 25 = 1995. 4.38. Tìm tất cả các số có 5 chữ số abcde chia hết cho 275 sao cho số ngược của nó edcba cũng chia hết cho 275. 4.39. Một người đi lên cầu thang có 10 bậc. Mỗi lần người đó bước 1 bậc thang hoặc 2 bậc thang. Hỏi có bao nhiêu cách đi khác nhau? 4.40. Trên một hòn đảo có 2 loại người sinh sống. Một loại luôn luôn nói thật và một loại người luôn luôn nói dối. Một lần có một du khách gặp 11 người của hòn đảo này, nhưng người này đều quen biết nhau. Du khách hỏi từng người: "Có bao nhiêu người nói thật trong bọn họ?" chín câu trả lời đầu tiên là: 4, 1, 6, 0, 1, 5, 7, 5, 6. Hỏi hai câu trả lời cuối cùng là gì? 4.41. thi chạy. 4.42. N = 9 + 99 + 999 + ... + 99 ...99. Trong các chữ số của N có bao nhiêu chữ số 1? 4.43. Trong một cái lọ có 67 viên bi trắng và đỏ. Có loại bi to và bi nhỏ. Biết rằng:
• a) Số bi đỏ chia hết cho 5;
• b) Số bi to mầu đỏ bằng số bi trắng;
• c) Số bi nhỏ mầu trắng có ít nhất;
• d) Tất cả các loại bi đều là các số nguyên tố. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu viên bi? 4.44. Trong một trường học các thầy giáo B, K, H và N dạy các môn hóa, Anh, Pháp, địa, toán và lý. Mỗi thầy dạy được 3 môn. Mỗi môn có 2 thầy dạy. Tiếng Anh và Pháp có cùng các thầy dạy. Trong các môn thầy N dạy có hai môn thầy K cũng dạy. Thầy N và thầy H dạy toán. Nếu thầy H dạy hóa và thầy K không dạy lý, thì những ai dạy địa? 4.45. 4.46. E và F là trung điểm của các cạnh của hình vuông ABCD (BE = CE, CF = DF) tỉ lệ diện tích phần tô đậm và hình vuông bằng bao nhiêu? 4.47. 4.48. Một số gọi là hai - nguyên tố nếu nó là tích của hai số nguyên tố. Hỏi có bao nhiêu số hai - nguyên tô nhỏ hơn 2000? 4.49. Một hình chữ nhật có các cạnh có độ dài 5 và 9. Người ta chia hình chữ nhật này thành 10 hình chữ nhật có độ dài các cạnh nguyên. Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật này tìm được 2 hình có diện tích bằng nhau. 4.50. Phân số nào có dạng g với a, b > 0 nguyên sao cho bình phương của nó nằm trong khoảng 4 và 5 và mẫu số có giá trị nhỏ nhất có thể. 4.51. Hai số 21996 và 51996 có tổng cộng bao nhiêu chữ số? 4.52. Người ta viết vào các ô của bàn cờ 25 x 25 số 1 hoặc -1. Người ta tính tích của các số theo hàng hay theo cột. Hỏi tổng 50 giá trị vừa nhận được có thể là:
• a) 0,
• b) 10,
• c) 17? 4.53. Có tồn tại hay không một tam giác mà các đường vuông góc có độ dài lẫn lượt là 1, 2, 3 đơn vị? 4.54. Hãy chia vòng tròn thành các phần trùng khít lên nhau sao cho có thể tìm thấy phần không chứa tâm vòng tròn kể cả trên biển của nó. 4.55. Có bao nhiêu nghiệm nguyên của bất phương trình |x| + |y| < 1000? 4.56. Có một ngôi nhà một tầng được biết các thông tin sau:
• a) Giữa hai phòng có nhiều nhất một cửa;
• b) Từ bất kì phòng nào cũng chỉ có không quá một cửa mở ra ngoài;
• c) Trong nhà có 12 cái cửa. Hỏi ít nhất trong nhà có bao nhiêu phòng? 4.57. Một hình chữ nhật kích thước 2 và 5 đơn vị. Hãy chia nó ra thành 4 phần đồng dạng với nhau. 4.58. Có thể chia hình vuông thành hai đa giác chồng khít lên nhau và có:
• a) 7 cạnh; item[b)] 8 cạnh. 4.59. Xét tất cả các số có 5 chữ số và tổng các chữ số bằng 37. Hỏi trong chúng có bao nhiêu số chẵn và bao nhiêu số lẻ? 4.60. Hình thang cân có chiều cao là 10 đơn vị. Hỏi diện tích của nó là bao nhiêu nếu biết rằng các đường chéo vuông góc với nhau? 4.61. Các tam giác ABC và ABD cân, AB = AC = BD và BD cắt AC tại E. Nếu BD vuông góc với AC thì tổng hai góc tại D và C là bao nhiêu? 4.62. Sáu mặt của một hình lập phương mỗi mặt được sơn bằng 1 màu khác nhau. Sau đó người ta viết lên các cặp mặt đối diện các bộ số 1 - 6, 2 - 5, 3 - 4. Hỏi có bao nhiêu cách tô nếu xét cả vị trí của các màu? 4.63. Một tam giác cân có một đường trung tuyến có độ dài bằng độ dài một đường trung bình. Hỏi góc lớn nhất của tam giác có giá trị lớn nhất có thể bằng bao nhiêu? 4.64. An đề nghị với Bình: - nếu tôi tung 3 đồng xu lên và kết quả đều cùng là số hay chữ thì An sẽ trả cho Bình 200 quan tiền, nếu kết quả khác thì Bình trả cho An 100 quan tiền. Bình tính sao: Có nên chấp nhận không?

5. Các bài toán hay của nước Nga

5.1. Ở quốc gia nọ chỉ có những người luôn nói thật và những người luôn nói dối. Một buổi chiều nọ có 10 người lần lượt ghé vào một ngôi nhà. Mỗi người (trừ người cuối cùng) ghi lại trên một mảnh giấy cho biết người vào ngay sau mình là thật hay dối. Nếu tin những điều được ghi trên các mảnh giấy thì tất cả đều là người nói dối. Hỏi thực ra có bao nhiêu người nói dối đã vào ngôi nhà? 5.2. Có một cái cân (hai đĩa, không có quả cân) và 100 đồng tiền. Trong số chúng có một số đồng tiền giả (lớn hơn 0 nhưng ít hơn 99). Các đồng tiền giả cân nặng bằng nhau, các đồng tiền thật cũng thế. Dồng tiền giả nhẹ hơn đồng tiền thật. Trước mỗi lần cần thì phải chi trả bằng một đồng tiền (không phân biệt thật giả). Đồng tiền đã chi trả coi như đã mất. Chứng minh rằng chắc chắn luôn tìm ra được một đồng tiền thật. 5.3. Trong các ô của hình vuông 20 x 20 có những mũi tên chỉ theo một trong bỗn hướng. Các mũi tên tại các ô biên hướng theo chiều kim đồng hồ (hình). Ngoài ra, các mũi tên trong hai ô kế cận (kể cả theo đường chéo) không bao giờ chỉ theo hai hướng trái ngược nhau. Chứng minh rằng luồn tồn tại một ô không có mũi tên. 5.4. Một số người yêu cờ tụ tập đánh cờ suốt ngày ở công viên. Vì chỉ có một bàn cờ nên họ đề ra luật như sau: Người thắng sẽ nghỉ hai ván tiếp theo đó, người thua phải nghỉ bốn ván tiếp theo. Nếu ván cờ hòa thì người đi quân trắng bị coi là thua. Hỏi có tất cả bao nhiều người chơi cờ nếu như quy tắc này luôn được thức hiện? 5.5. Khi kết thúc một cuộc thi cờ, người ta nhận thấy rằng mỗi người tham gia khi đi quân trắng đều thắng số ván bằng tổng số ván thắng của tất cả những người còn lại đã thắng khi đi quân đen. Chứng minh rằng tất cả những người tham gia cuộc thi đã thắng số ván cờ bằng nhau. 5.6. Trên mỗi ô của bàn cờ đặt một đồng xu sao cho tổng số tiền của hai ô bất kỳ có chung một cạnh chênh nhau 1 xu. Biết rằng trong một ô nào đó có 3 xu và trong một ô khác có 17 xu. Hỏi tổng số tiền của tất cả các ô nằm trên hai đường chéo là bao nhiêu? 5.7. Trên sàn nhảy, mỗi chàng trai nhảy với ba cô gái và mỗi cô gái cũng nhảy với ba chàng trai. Chứng minh rằng số nam và số nữ bằng nhau. 5.8. Mỗi điểm có tọa độ nguyên trên mặt phẳng được tô bằng một trong ba màu. Biết rằng cả ba màu đều đã được sử dụng. Chứng minh rằng luôn tìm được tam giác vuông có ba đỉnh được tô bằng ba màu khác nhau. 5.9. Khu rừng có 300 cấy mọc. Biết rằng nếu đánh dấu 201 cây bất kỳ thì trong chúng bao giờ cũng có cây sôi, cây bạch dương và cây thông. Một anh chàng khác người khẳng định là có 100 cây sối, 100 cây bạch dương và 100 cây thông. Hỏi anh ta nói đúng không? 5.10. Trong một cái hộp hình lập phương có một số quả cam. Trên mặt thứ k của hộp (k = 1,2, ·· ,6) có ghi: "Trong hộp này có nhiều hơn 10 = k quả cam" (có tất cả 6 điều khẳng định). Người ta mở hộp ra và đếm số cam có trong hộp. Hóa ra số điều khẳng định đúng bằng số điều khắng định sai. Hỏi trong hộp có mấy quả cam^2 5.11. Trên mặt phẳng vẽ bốn tam giác bằng nhau (hình). Biết rằng hai tam giác bất kỳ luôn có đúng hai đỉnh chung. Hỏi có phải cả bốn tam giác luôn có một đỉnh chung? 5.12. Trong số 8 người bị tình gnhi có một kẻ chuyên làm tiền giả. Khi bị tra hỏi riêng thì từng người khằng định mình vô tội. Cả 8 người đều biết những người còn lại làm gì nhưng ngại nói ra kẻ phạm tội. Điều tra viên Varnike có thể gọi ra một nhóm người bất kỳ trong số 8 người này và hỏi: "Trong số các anh có ai làm tiền giả không?". Nếu không có thì cả nhóm sẽ trả lời: "Không!". Nếu có thì cả nhóm nói "Có" (kẻ phạm tội cũng nói vậy để không khác biệt với mọi người). Hỏi điều tra viên phải hỏi ít nhất bao nhiêu lần để chắc chắn tìm ra tên tội phạm^2 5.13. Thành phố được chia bởi những con đường thành vô tận các ô vuông kích thước bằng nhau. Một người đạp xe đạp xuất phát từ một giao lộ nào đó. Nửa phút sau một người đạp xe đạp khác cũng bắt đầu xuất phát từ chính giao lộ đó. Cả hai người đi với vận tốc đều một ô vuông/một phút, khi gặp giao lộ thì rẽ trái hoặc phải. Hỏi rằng có khi nào họ gặp nhau không? 5.14. Ở cửa hàng bán chim có 17 cái lồng chứa tất cả 44 con chim, không có lồng nào trống. Hỏi có phải luôn tồn tại 5 lồng chứa số lượng chim như nhau? 5.15. Các số tự nhiên được tô bằng các màu xanh và đỏ sao cho tích của hai số khác màu thì có màu đỏ, còn tổng của chúng thì luôn có màu xanh. Hỏi tích của hai số màu đỏ có màu gì? 5.16. Một vị giáo sư muốn xem học sinh của mình có ngủ trong giờ học hay không nên đã đặt sáu máy phát hiện người ngáy tại sáu góc của phòng học hình lục giác đều có cạnh a. Mỗi máy có thể phát hiện tất cả những người ngáy có khoảng cách tới máy không vượt quá a. Kết quả các máy ghi nhận được bảy trường hợp. Hỏi có bao nhiêu người đã ngủ trong giờ học? 5.17. Hình vuông 3 x 3 được gọi là hình vuông ma thuật nếu nó được điền bởi các số khác nhau và tổng các số trên tất cả các dòng, các cột và trên các đường chéo bằng nhau (hình). Hỏi có tồn tại hình vuông ma thuật gồm toàn các số là nghịch đảo của số tự nhiên không (số có dạng - -)· 5.18. Hình chữ nhật 5 × 9 được chia thành mười hình chữ nhật với các cạnh là các số nguyên. Chứng minh rằng ít nhất phải có hai hình chữ nhật bằng nhau. 5.19. Trên bàn có hai ly cafe sữa. Trong ly thứ nhất cafe nhiều hơn sữa, còn nếu tính chung cả hai ly thì lượng sữa và cafe là bằng nhau. Hỏi có thể sau một số lần đổ qua đổ lại ta làm cho trong ly thứ nhất sữa nhiều hơn cafe không? 5.20. Điệp báo viên cần chuyển về Trung tâm bốn số tựt nhiên bí mật (a, b, c, d). Để không ai đoán ra, anh ta đã chuyển tập hợp các số (a + b, a + c, a + d, b + c, b + d) xếp theo thứ tự cũng không ai biết. Trung tâm nhận được năm số (13, 15, 16,20,22) và phục hồi lại bốn số ban đầu. Hỏi bốn số bí mật đó là những số nào? 5.21. Cư dân ở trên hòn đảo nọ bao gồm 100 chùng ngự lâm, 99 công chúa và 101 con mãng xà. Các chàng ngự lâm thì tiêu diệt mãng xà. Mãng xà thì ăn thịt công chúa. Các nàng công chúa thì làm cho các chàng ngự lâm mệt mỏi đến chết vì si tình. Luật cổ đại cấm giết một cư dân nếu cư dân đó đã giết một số lẻ cư dân khác. Bây giờ trên đảo chỉ còn một cư dân sống. Hỏi đó là ai? 5.22. Mục tiêu "heo rừng di động" nằm ở một trong n ô cửa sổ xếp thành dãy. Các cửa sổ được che bởi các tấm rèm nên xạ thủ không bao giờ nhìn thấy mục tiêu. Để tiêu diệt mục tiêu, xạ thủ chỉ cần bắn đúng vào cửa số mà mục tiêu có ở đó vào thời điểm bắn. Nếu mục tiêu không nằm ở cửa sổ tận cùng bên phải thì sau mỗi phát bắn nó lại dịch chuyển một ô sang cửa sổ bên phải. Còn từ cửa sổ tận cùng bên phải mục tiêu không di chuyển đi đâu nữa. Hãy chứng minh rằng:

• a) Bằng loạt

• 1 lần bắn, xạ thủ chắc chắn sẽ tiêu diệt được mục tiêu.

• b) Nếu sử dụng không quá lần bắn thì không thể chắc chấn tiêu diệt được mục tiêu. 5.23. Chiếc thang có tất cả n bậc. Người ta đặt thang sao cho một đầu ở dưới đất, còn đầu kia gác vừa chạm lên mái nhà. Mỗi bậc thang có gắn một mũi tên: hoặc chỉ lên trên hoặc chỉ xuống dưới. Nếu bạn đang đứng trên bậc nào thì hãy nhìn vào mũi tên của bậc đó. Nó chỉ lên thì phải di lên một bậc, nó chỉ xuống thì bạn phải xuống một bậc. Ngoài ra, ngay sau khi bạn rời khỏi bậc nào đóthì mũi tên của bậc đó sẽ đổi chiều ngược lại. Hỏi lúc đầu bạn phải đứng ở bậc nào và các mũi tên lúc đầu phân bố ra sao để bạn có thể thực hiện được nhiều bước nhất (cả lên và xuống) cho tới khi bắt buộc phải tụt xuống đất hay là buộc phải trèo lên mái nhà? 5.24. Trên con đường dành cho ô tô có dạng đường tròn có một số chiếc ô tô giống nhau đang đỗ. Nếu tất cả xăng có trong các ô tô này dồn hết cho một chiếc thì chiếc ô tô đó đủ xăng để đi hết vòng tròn và trở về vị trí ban đầu. Chứng minh rằng luôn có ít nhất một chiếc ô tô có thể đi hết vòng tròn nếu trên đường đi nó lấy xăng của các ô tô còn lại. 5.25. Trong một nhóm người, cứ hai người bất kỳ không quen nhau thì có hai người quen chung. Còn hai người bất kỳ quen nhau thì không có người quen chung. Chứng minh rằng trong nhóm này mỗi người quen cùng số lượng người như nhau. 5.26. Bên trong hình vuông cạnh bằng 1 có một số đường tròn. Tổng chu vi các đường tròn bằng 10. Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng cất ít nhất là bốn đường tròn trong số chúng. 5.27. Hãy chứng minh rằng trên mặt phẳng không thể vẽ bảy đường thẳng và bảy điểm sao cho mỗi điểm có đúng ba đường thẳng đi qua và mỗi đường thẳng đi qua đúng ba điểm. 5.28. Có n số hoặc bằng 1 hoặc bằng -1 được viết trên đường tròn. Giữa hai số đứng cạnh nhau người ta viết vào tích của chúng, sau đó xóa tất cả n số ban đầu đi. Tổng của n tích còn lại bằng 0. Chứng minh rằng n chia hết cho 4. 5.29. Có thể chở đi 50 tảng đá có khối lượng tính theo kg là: 370,372,374, ... , 468 (khôi lượng của chúng lập thành cấp số cộng có công sai bằng 2) trên bảy chiếc xe tải loại có tải trọng 3 tấn (không xe nào được chở quá tải) được không? 5.30. Có một con virus thâm nhập vào một quần thể vi khuẩn đang sinh sống. Phút đầu tiên virus tiêu diệt một con vi khuẩn rồi tự phân chia làm hai. Đồng thời mỗi vi khuẩn sống sót cũng phân chia làm hai vi khuẩn mới. Phút tiếp theo, hai virut giết chết hai vi khuẩn, sau đó cả hai virus và các vi khuẩn còn lại tự chia đôi... và cứ như vậy. Hỏi rằng quần thể vi khuẩn này sẽ sống mãi hay sẽ bị tiêu diệt hoàn toàn? 5.31. Viết các số theo vòng tròn, nếu có bốn số liên tiếp a, b, c, d mà tích a - d và b - c là số âm thì b, c có thể đổi chỗ cho nhau. Chứng minh rằng những biến đổi như vậy chỉ có thể thự hiện mô số lần hữu hạn. 5.32. Trong một tập hợp nào đó người ta xác định phép toán * như sau: Cứ theo hai phần tử a và 6 của tập hợp này thì xác định được phần tử a * b cũng của tập hợp đó. Đối với các phần tử a, b và c bất kỳ thì ta luôn có: a (b c) = b (c a). Ngoài ra nêu ab = a c thì b = c. Chứng minh rằng phép toán * có các tính chất sau:
• a) Giao hoán: đổi với hai phần tử a và b thì a 6 = b a.
• b) Kết hợp: Với các phần tử a, b và c bất kỳ thì (a b) c = a (b c). 5.33. Cho n điểm (n > 4). Chứng minh rằng có thể nối chúng bằng các mũi tên sao cho từ một điểm bất kỳ có thể đi đến điểm bất kỳ khác bằng cách đi theo chỉ một hoặc hai mũi tên (giữa hai điểm chỉ được nối bằng một mũi tên một chiều và chỉ được đi theo chiều mũi tên đó). 5.34. Tập hợp một số hữu hạn điểm trên mặt phẳng có tính chất sau: Đối với hai điểm bất kỳ A và B của tập hợp luôn tồn tại điểm C cũng của tập hợp đó sao cho tam giác ABC là tam giác đều. Hỏi rằng tập hợp như vậy có thể có bao nhiêu điểm^2 5.35. Mỗi đường thẳng trong số chín đường thẳng cắt hình vuông thành hai tứ giác có diện tích tỉ lệ với nhau là 2 : 3. Chứng minh rằng có ít nhất ba trong số chín đường này cùng đi qua một điểm. 5.36. Nếu số chân của con mực là chẵn thì nó luôn nói thật. Nếu là lẻ thì nó luôn nói dối. Một lần mực xanh nói với mực xám:
• Tớ có 8 chân. Còn cậu chỉ có 6 chân.
• Tớ đây mới có 8. - Mực xám bực tức nói. - Cậu chỉ có 7 cái thôi.
• Mực xám đúng là có 8 chân. - Mực tím xen vào và khoe. - Mà tớ có những 9 chân!
• Không có đứa nào trong các cậu có 8 chân. - Mực sọc nói - Chỉ có tớ đây có 8. Vậy thì con mực nào thực sự có 8 chân? 5.37. Mỗi cạnh của tam giác đều được chia thành n phần bằng nhau. Tại các điểm chia kẻ các đường thằng song song với các cạnh tam giác. Ta sẽ nhận được n? tam giác nhỏ. Hỏi số lượng lớn nhất ác tam giác nhỏ có thể xâu thành chuổi là bao nhiêu để không có tam giác nhỏ nào có mặt hai lần trong chuỗi và mỗi tam giác tiếp theo trong chuỗi có chung cạnh với tam giác trước nó? 5.38. Đối với mỗi số tự nhiên k tồn tại vô số số tự nhiên t không chứa chữ số 0 trong biểu diễn thập phân của nó, sao cho tổng các chữ số của kt bằng tổng các chữ số của t. Hãy chứng minh. 5.39. Cho k và n là các số tự nhiên và k ≤ n. Hãy điền n? số tự nhiên đầu tiên vào bảng n x n sao cho trong mỗi dòng các số được xếp theo thứ tự tăng dần, còn tổng các số của cột thứ k là:
• a) nhỏ nhất,
• b) lớn nhất. 5.40. Trong vòng tròn bán kính bằng 1 vẽ một số dây cung. Đường kính bất kỳ nào của vòng tròn cũng chỉ cắt không quá k dây. Chứng minh rằng tổng chiều dài các dây không vượt quá 5.41. Cho mô dãy vô hạn các chữ số đứng cạnh nhau. Chứng minh rằng đối với mỗi số tự nhiên n là số nguyen tố cùng nhau với 10, luôn có thể chỉ ra một nhóm các chữ số đứng cạnh nhau sao cho số tự nhiên được tạo ra bởi các chữ số đó chia hết cho n. 5.42. Trong số n người hông ai quen biết ai. Cần phải làm quen một số người với nhau sao cho không có ba người nào lại có số người quen bằng nhau. Hãy chứng minh rằng luôn có thể làm được điều đó với mọi số n. 5.43. Có 44 con chim sẻ đậu trên 44 cây được trồng trên đường tròn. Mỗi con đậu trên một cây. Thỉnh thoảng có hai con chim đồng thời bay ngược chiều nhau và đậu sang các cây bên cạnh (một con theo chiều kim đồng hồ, con kia ngược lại). Chứng minh rằng tất cả chim không bao giờ tụ hợp tại một cây được. Trong trường hợp số cây và số chim sẻ bằng n thì sao? 5.44. Trên tờ giấy người ta bồi ra một vết mực. Đối với mỗi điểm của vết mực ta xác định khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất tới đường viền (đường biên) của vết. Trong số các khoảng cách nhỏ nhất chọn ra số lớn nhất bằng r, trong số các khoảng cách lớn nhất chọn ra số nhỏ nhất bằng R. Hỏi vết mực có hình gì nếu hai đại lượng này bằng nhau (R = r)? 5.45. Có tất cả 2n thành phố. Giữa một số thành phố trong chúng người ta thiết lập các đường bay sao cho mỗi thành phố bất kỳ được nối bằng các đường bay thằng tới ít nhất n thành phố khác. Chứng minh rằng nếu hủy bỏ (n - 1) đường bay thắng bất kỳ, thì từ thành phố bất kỳ vẫn đến được thành phố bất kỳ khác bằng các máy bay (có thể có chuyển tiếp). Hãy chỉ ra tất cả các trường hợp khi tính liên thông giữa các thành phố bị gián đoạn nếu n đường bay thẳng bị hủy. 5.46. Tồn tại hay không một dãy các số tự nhiên sao cho bất kỳ số tự nhiên nào cũng được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng hiệu của hai số thuộc dây đó. 5.47. Có n viên bi nhiều màu sắc khác nhau. biết rằng không có màu nào có số bi vượt quá

Bài 2. Chứng minh rằng có thể sắp xếp chúng trên đường tròn sao cho không có hai viên bi nào cùng màu nằm cạnh nhau. 5.48. Trong thành phố có một quảng trường trắng và n quảng trường đen. Mỗi quảng trường đen được nối bởi các phố với quảng trường trắng và hai quảng trường đen khác (hình). Với mỗi phố trong số 2n phố, người ta quy định đường đi một chiều sao cho mỗi quảng trường đều có thể đến và có thể đi khỏi nó. 5.49. Trong dãy gồm bộ ba các số nguyên (2,3,5), (6, 15, 10), ... mỗi bộ ba tiếp theo nhận được từ bộ ba đứng trước bằng cách sau; số thứ nhất nhân với số thứ hai, số thứ hai nhân với số thứ ba, số thứ ba nhân với số thứ nhất và các tích nhận được tạo ra bộ ba số mới. Chứng minh rằng không có một số nào trong các số nhận được là bình phương, lập phương hay lũy thừa nguyên (khác 1) của số tự nhiên. 5.50. Biết rằng tập hợp hữu hạn các điểm trên mặt phẳng có thể bị che phủ bởi một số vòng tròn không cắt nhau. Hãy chứng minh rằng tổng đường kính của các vòng tròn nhỏ hơn tổng số điểm đã cho, còn khoảng cách giữa hai vòng tròn bất kỳ lớn hơn 1 (khoảng cách giữa hai vòng tròn là khoảng cách giữa hai điểm gần nhất của chúng). 5.51. Con vua đi khắp bàn cờ 8 x 8 đến mỗi ô một lần rồi trở về vị trí ban đầu (vua đi theo quy tắc là theo đường ngang,dọc hay chéo để sang ô kế tiếp - xem hình). Khi vẽ đường đi của nó bằng cách nỗi liền tiếp tâm các ô mà con vua đi qua ta thu được đường gấp khúc khép kín không tự cắt. Hỏi đường gấp khúc này có thể có chiều dài nhỏ nhất và lớn nhất bằng bao nhiêu? (chiều dài cạnh của ô bàn cờ bằng 1). 5.52. Các nhà khoa học gặp nhau tại hội nghị. Một số người là bạn của nhau. Tại hội nghị không có hai nhà khoa học nào có số bạn bằng nhau lại có bạn chung. chứng minh rằng có một nhà khoa học chỉ có duy nhất một người bạn. 5.53. Từ 18 viên gạch kích thước 1 x 2 có thể xếp lại thành hình vuông 6 x 6 sao cho không có một vết nối thẳng nào nối hai cạnh đối diện của hình vuông theo đường viền của các viên gạch hay không? Ví dụ như cách xếp trên hình vẽ không thỏa mãn điều kiện. 5.54. Trong tập hợp có n phần tử chọn ra 2"-1 tập hợp con sao cho ba tập hợp bất kỳ nào trong số chúng cũng có một phần tử chung. Chứng minh rằng tất cả các tập hợp con được chọn có chung một phần tử. 5.55. Chứng minh rằng từ 11 mảnh bìa hình chữ nhật 1 x 3 và một mảnh bìa hình góc vuỗng (gồm ba ô vuông 1 x 1) không thể xếp lại thành hình vuông 6 × 6 (hình). 5.56. Cho một số điểm đỏ và một số điểm xanh. Một số trong chúng được nối với nhau bằng các đoạn thằng. Một điểm gọi là "đặc biệt" nếu có hơn một nửa số điểm được nối với nó có màu khác chính nó. Mỗi lần, ta được phép lấy ra một điểm "đặc biệt" bất kỳ và đổi màu cho nó. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các bước thì sẽ không còn điểm "đặc biệt" nào nữa. 5.57. Tại các đỉnh của hình lập phương đặt các số 12, , 22, ... ,82 (mỗi đỉnh một số). Với mỗi cạnh của hình lập phương tính tích của hai số tại hai đầu của nó. Hãy tìm giá trị lớn nhất có thể có của tổng tất cả các tích này.

Mẹo hay

Lời khuyên học tập Để đạt hiệu quả cao nhất với tuyển tập bài toán này, các em học sinh nên tự mình tư duy và làm ra nháp trước khi xem hướng dẫn giải. Chúc các em luôn giữ vững niềm say mê và tình yêu với môn Toán!