108 bài toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi: Số học và hình học trực quan

Ghi nhớ

Thông tin tác giả & Bản quyền tài liệu

• Tác giả / Chủ biên: TS. Nguyễn Văn Lợi (chủ biên), Ngô Thị Nhã
• Đơn vị phát hành: LOISCENTER / Sigma-Maths
• Mục đích: Bồi dưỡng học sinh khá giỏi, rèn luyện tư duy logic, kỹ năng giải toán sáng tạo và nâng cao năng lực toán học cho học sinh phổ thông.

1. Số tự nhiên

Bài 1. Cho tập hợp $D = \{0; 1; 2; 3; \dots; 20\}$.

• a) Viết tập hợp $D$ bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
• b) Tập hợp $D$ có bao nhiêu phần tử?
• c) Viết tập hợp $E$ các phần tử là số chẵn của $D$ (số chẵn là số chia hết cho 2). Tập hợp $E$ có bao nhiêu phần tử?
• d) Viết tập hợp $F$ các phần tử là số lẻ của $D$ (số lẻ là số không chia hết cho 2). Tập hợp $F$ có bao nhiêu phần tử?

Bài 2. Trong một lớp học, mỗi học sinh đều học tiếng Anh hoặc tiếng Pháp. Có 25 người học tiếng Anh, 27 người học tiếng Pháp, còn 18 người học cả hai thứ tiếng. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh?

Bài 3. Cho một số có 3 chữ số là $\overline{abc}$ ($a, b, c$ khác nhau và khác 0). Nếu đổi chỗ các chữ số cho nhau ta được một số mới. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số như vậy? (Kể cả số ban đầu).

Bài 4. Quyển sách giáo khoa Toán 6 tập một có 132 trang. Hai trang đầu không đánh số. Hỏi phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của quyển sách này?

Bài 5. Với 9 que diêm hãy sắp xếp thành một số La Mã:

• a) Có giá trị lớn nhất.
• b) Có giá trị nhỏ nhất.

Bài 6. Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của chúng:

• a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà x - 2 = 14.
• b) Tập hợp B các số tự nhiên x à x + 5 = 5.
• c) Tập hợp C các số tự nhiên không vượt quá 100.

Bài 7. Cho A là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 30; B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 6 và nhỏ hơn 30; C là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho

9 và nhỏ hơn 30.

• a) Viết các tập hợp A, B, C bằng cách liệt kê các phần tử của các tập hợp đó.
• b) Xác định số phần tử của mỗi tập hợp.
• c) Dùng kí hiệu C để thể hiện quan hệ giữa các tập hợp đó.

Bài 8. Tìm hai số biết tổng của chúng là 176; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và số này là số kia viết theo thứ tự ngược lại.

Bài 9. Không tính giá trị cụ thể, hãy so sánh hai biểu thức:

• a) A = 199 · 201 và B = 200 · 200.
• b) C = 35 · 53 - 18 và D = 35 + 53 · 34.

Bài 10. Tìm x biết:

• a) (x + 74) - 318 = 200
• b) 3636 : (12x - 91) = 36
• c) (x : 23 + 45) · 67 = 8911.

Bài 11. Cho S = 7 + 10 + 13 + · ·· + 97 + 100.

• a) Tổng trên có bao nhiêu số hạng?
• b) Tìm số hạng thứ 22.
• c) Tính S.

Bài 12. Viết các tích hoặc thương sau dưới dạng lũy thừa của một số.

• a) 25 . 84 ;
• b) 258 · 1253 ; c) 6255 : 257 d) 123 .33.

Bài 13. Tìm x € N biết:

• a) x" = 1" ;
• b) x" = x ;
• c) (2x - 15)5 = (2x - 15)3
• d) 2= - 15 = 17 ; e) (7x - 11)3 = 25 · 52 + 200.

Bài 14. Tích các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số?

Bài 15. Cho S = 1 + 3' + 32 + 33 + ..· + 330 Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương.

Bài 16. Tính giá trị biểu thức:

• a) (102 + 112 + 122) : (132 + 142)
• b) 9! - 8! - 7! ·82 (3-4- 216)2 c) 11 · 213 · 411 - 169*

Bài 17. Tìm x biết:

• a) (19x + 2 - 52) : 14 = (13 - 8)2 - 42
• b) 2 · 3* = 10 · 312 + 8 · 274.

Bài 18. Một thùng có 16 lít. Hãy dùng một bình 7 lít và một bình 3 lít để chia 16 lít thành hai phần bằng nhau.

Bài 19. Trong các số sau, số nào chia hết cho 2; cho 4; cho 8; cho 5; cho 25; cho 125? 1010; 1076; 1984; 2782; 3452; 5341; 6375; 7800.

Bài 20. Với cùng cả 4 chữ số 2; 5; 6; 7, viết tất cả các số:

• a) Chia hết cho 4;
• b) Chia hết cho 8;
• c) Chia hết cho 25;
• d) Chia hết cho 125.

Bài 21. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số và chia hết cho 3?

Bài 22. Biết rằng A = 717 + 17 · 3 - 1 là một số chia hết cho 9. Có thể sử dụng kết quả này để chứng tỏ rằng B = 7% + 18 · 3 - 1 cũng chia hết cho 9 không? Chú ý: Ta có thể chứng minh kết quả tổng quát hơn: Với mọi số tự nhiên n, nếu 7' + 3n - 1 chia hết cho 9 thì 7n+1 + 3(n + 1) - 1 cũng chia hết cho 9. (Loại bài tập này chuẩn bị cho học sinh làm quen với phương pháp quy nạp toán học).

Bài 23. a) Cho n là một số không chia hết cho 3. Chứng minh rằng n' chia cho 3 dư 1.

• b) Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p' + 2003 là số nguyên tố hay hợp số?

Bài 24. Mỗi số sau có bao nhiêu ước: 90; 540; 3675.

Bài 25. Điền vào bảng sau mọi số nguyên tố p mà p' ≤ a : a P

Bài 26. Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị. Tìm hai số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn 50.

Bài 27. Một căn phòng hình chữ nhật kích thước 630 x 480 (cm) được lát loại gạch hình vuông. Muốn cho hai hàng gạch cuối cùng sát hai bức tường liên tiếp không bị cắt xén thì kích thước lớn nhất của viên gạch là bao nhiêu? Để lát căn phòng đó cần bao nhiêu gạch?

Bài 28. Có 64 người đi tham quan bằng hai loại xe: Loại 12 chỗ ngồi và loại 7 chỗ ngồi. Biết số người đi vừa đủ số ghế ngồi, hỏi mỗi loại có mấy xe?

Bài 29. Tìm hai số tự nhiên a và b biết tích của chúng là 2940 và BCNN của chúng là 210.

Bài 30. Ba học sinh, mỗi người mua một loại bút. Giá ba loại lần lượt là 1200 đồng, 1500 đồng, 2000 đồng. Biết số tiền phải trả là như nhau, hỏi mỗi học sinh mua ít nhất bao nhiêu bút?

Bài 31. Một mảnh đất hình chữ nhật dài 112m, rộng 40m. Người ta muốn chia mảnh đất thành những ô vuông bằng nhau để trồng các loại rau. Hỏi với cách chia nào thì cạnh của ô vuông là lớn nhất và bằng bao nhiêu?

Bài 32. Trong một buổi liên hoan, Ban tổ chức đã mua tất cả 840 cái bánh, 2352 cái kẹo và 560 quả quýt chia đều ra các đĩa, đĩa gồm cả bánh, kẹo và quýt. Tính số đĩa nhiều nhất phải có mỗi đĩa bao nhiêu bánh, kẹo, quýt?

Bài 33. Số học sinh của một trường là một số lớn hơn 900, gồm ba chữ số. Mỗi lần xếp hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều vừa đủ, không thừa ai. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh?

Bài 34. Người ta đếm trứng trong một rổ. Nếu đếm theo từng chục cũng như đếm theo tá (một tá có 12 quả), hoặc đếm theo từng 15 quả thì lần nào cũng còn lại 1 quả. Tính số trứng trong rỗ, biết rằng số trứng chưa đến 100.

Bài 35. Tính tổng:

• a) 23476893 + 542771678 ;
• b) 32456 + 97685 + 238947

Bài 36. Tính nhanh các tổng sau:

• a) 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31 ;
• b) 2+4+6+8+10+...+100.

Bài 37. Tìm x, biết : a) (x - 78) · 26 = 0 ;

• b) 39 · (x - 5) = 39

Bài 38. Tính nhanh: 1 · 5 · 6 + 2 · 10 · 12 + 4 · 20 · 24 + 9 · 45 · 54 1·3· 5 + 2 ·6 · 10 +4 · 12 · 20 + 9· 27·45

Bài 39. Chứng tỏ rằng hai số n + 1 và 3n + 4(n E N) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 40. Tìm số tự nhiên a, biết rằng 156 chia cho a dư 12, và 280 chia cho a dư 10.

Bài 41. Tìm hai số tự nhiên a và b (a > b) có BCNN bằng 336 và ƯCLN bằng 12.

Bài 42. Có 133 quyển vở, 80 bút bi, 170 tập giấy. Người ta chia vở, bút bi, giấy thành các phần thưởng đều nhau, mỗi phần thưởng gồm cả ba loại. Nhưng sau khi chia còn thừa 13 quyển vở, 8 bút bi, 2 tập giấy không đủ chia vào các phần thưởng. Tính xem có bao nhiêu phần thưởng?

Bài 43. Quãng đường AB dài 110km. Lúc 7 giờ, người thứ nhất đi từ A để đến B, người thứ hai đi từ B để đến A. Họ gặp nhau lúc 9 giờ. Biết vận tốc người thứ nhất lớn hơn vận tốc người thứ hai là 5km/h. Tính vận tốc mỗi người.

Bài 44. Một con chó đuổi một con thỏ cách nó 150dm. Một bước nhảy của chó dài 9dm, một bước của thỏ dài 7dm và khi chó nhảy một bước thì thỏ cũng nhảy một bước. Hỏi chó phải nhảy bao nhiêu bước mới đuổi kịp thỏ?

Bài 45. Một bà mang một rổ trứng ra chợ. Dọc đường gặp một bà khác vô ý đụng phải, rổ trứng rơi xuống đất. Bà kia tỏ ý muốn đền lại số trứng bèn hỏi:

• Bà cho biết trong rổ có bao nhiêu trứng? Bà có rổ trứng trả lời:
• Tôi chỉ nhớ rằng số trứng đó chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6, lần nào cũng còn thừa ra một quả, nhưng chia cho 7 thì không thừa quả nào. À, mà số trứng chưa đến 400 quả. Tính xem trong rổ có bao nhiêu trứng?

Bài 46. Tìm ba số tự nhiên a, b, c khác 0 sao cho các tích 140a, 180b, 200c bằng nhau và có giá trị nhỏ nhất.

2. Số nguyên

Bài 47. Trên trục số, điểm A cách gốc 2 đơn vị về bên trái; điểm B cách điễm A là 3 đơn vị. Hỏi:

• a) Điểm A biểu diễn số nguyên nào?
• b) Điểm B biểu diễn số nguyên nào?

Bài 48. Tìm các giá trị thích hợp của a và b:

• a) a00 > -111
• b) -a99 > -600
• c) -cb3 < -cba
• d) -cab < -c85

Bài 49. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

• a) Nếu a = 6 thì |a| = |b|
• b) Nếu a = b thì a = b
• c) Nếu a < b thì a < b.

Bài 50. Tìm x biết:

• a) [x+|-5|=|-37|
• b) - 6 · x = 54

Bài 51. Tìm x € Z biết:

• a) x| < 10
• b) x| > 21
• c) x > -3 d) [x| < -1.

Bài 52. Tìm các ví dụ chứng tỏ rằng các khăng định sau không đúng:

• a) Với mọi a € Z → a € N;
• b) Với mọi a E Z → a > 0 ;
• c) Với mọi a E Z → a > a ;
• d) Với mọi a, b € Z và |a| = b → a = b ;
• e) Với mọi a, b E Z và a > b → a > b.

Bài 53. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta luôn có:

• a) |a| ≥ 0 : Giá trị tuyệt đối của một số nguyên thì không âm.
• b) |a| ≥ a : Giá trị tuyệt đối của một số nguyên luôn luôn lớn hơn hoặc bằng chính nó.

Bài 54. Cho |x| = 5; y| = 11. Tính x + y.

Bài 55. Tính tổng:

• a) S1 = a + a với a E Z;
• b) S2 = a + |a| + a + |a| + ..· + a với a là số nguyên âm và tổng có 101 số hạng.

Bài 56. Tính nhanh:

• a) -37 + 54 + (-70) + (-163) + 246 ;
• b) -359 + 181 + (-123) + 350 + (-172) ;
• c) -69 + 53 + 46 + (-94) + (-14) + 78.

Bài 57. Cho số nguyên sao cho tổng của 6 số bất kì trong các số đó đều là một số âm. Giải thích vì sao tổng của 18 số đó cũng là một số âm^2 Bài toán còn đúng không nếu thay 18 số bởi 19 số?

Bài 58. Tìm số nguyên x, biết:

• a) x + 15 = 7
• c) 12 + (4 -x) = -5
• e) x - 3 = 4

Bài 59. Tìm các số nguyên x sao cho:

• a) |x| = x ;
• b) x > x ;
• b) x -5 = -8
• d) x -6 =5 ;
• c) x + x =0;
• d) x+5 = [x|-5.

Bài 60. Cho dãy số 1; -2;3; -4;5; -6;7; -8;9; -10. Chọn ra ba số rồi đặt dấu "+" hoặc dấu "- " giữa các số ấy. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất đạt được biếu thức mới lập.

Bài 61. Tính bằng cách hợp lí nhất:

• a) -2003 + (-21 + 75 + 2003)
• b) 1152 - (374 + 1152) + (—65 + 374).

Bài 62. Tìm x biết:

• a) 461 + (x - 45) = 387
• b) 11 - (-53 + x) = 97
• c) -(x + 84) + 213 = -16.

Bài 63. Viết 5 số nguyên vào 5 đỉnh của một ngôi sao năm cánh sao cho tổng của hai số tại hai đỉnh liền nhau luôn bằng -6. Tìm 5 số nguyên đó.

Bài 64. Tìm x biết:

• a) -12(x - 5) + 7(3 - x) = 5
• c) x(x+3) =0
• e) (x- 1) (x +1) = 0

Bài 65. Tìm x € Z biết:

• a) 2x - 5 = 13
• b) (7x + 3| = 66
• c) 5x - 2 ≤ 13
• d) (x+1) + (x+3) + (x+5) +·.+(x+99) =0
• e) (x -3) + (x -2) + (x -1) +·.· + 10 + 11 = 11
• b) 30(x + 2) - 6(x - 5) - 24x = 100.
• d) (x - 2) (5 - x) = 0
• f) (x + 3) (x - 4) = 0

Bài 66. Thực hiện phép tính một cách hợp lí:

• a) (-125) ￾ (+25) ￾ (-32) ￾ (-14) ;
• b) (-159)(+56) + (+43) · (-159) + (-159) ;
• c) (-31) · (+52) + (-26) · (-162).

Bài 67. Cho S = 1 - 3 + 32 - 33 + ... + 398 - 399

• a) Chứng minh rằng S là bội của -20.
• b) Tính S, từ đó suy ra 3° chia cho 4 dư 1.

Bài 68. Tìm số nguyên dương n sao cho n + 2 là ước của 111 còn n - 2 là bội của 11.

Bài 69. Trong ngày hội toán, đội toán của một khối được chia thành bốn tốp. Nếu lấy 5 số học sinh của tốp thứ nhất chia đều cho ba tốp kia thì số học sinh bốn tốp bằng nhau. Nếu tốp thứ nhất bớt đi 6 học sinh thì lúc đó số học sinh của tốp thứ nhất bằng tổng số học sinh ba tốp kia. Hỏi mỗi tốp có bao nhiêu học sinh?

3. Phân số

Bài 70. Chứng minh rằng: 1·3·5··39 a) 21 · 22 · 23 · ··40 1·3·5..· (2n - 1) (n + 1) (n +2) (n +3)...2n với n E N*

Bài 71. Tìm các giá trị của x, sao cho:

• < 12

Bài 72. Quy đồng mẫu rồi so sánh các phân số sau: —8

• a) 31 và -789 3131 ' 22.31.52 và 22.34.53' c)
  • và n n+I (nEN*)

Bài 73. Chứng minh rằng các tổng sau lớn hơn 1.

• a) M=ğ+
• b) N =

  300' -11 с) Р = 90 + 72 + 40 + + -1

Bài 74. Tìm x € Z biết: 1 + 3% + —1 < 90

• 72 + 60 "

Bài 75. Tính bằng phương pháp hợp lý nhất:

• a) 23
  • 132
  • 23
• b) (з
  • 67
  • 41 ) - (
• c) 45
  • 45

Bài 76. Tính các tổng sau bằng phương pháp hợp lý nhât:

• a) A= 12+ 2.3
  • 3.4

  49.50

• b) B =
  • .... + 3.5 5.7 7.9 37.39
• c) C = 1.7
  • ... + 7.10 10.13 73.76

Bài 77. Tính bằng cách hợp lý:

• a) 17 -31 1 10 1
  • 125 '2 '17 23' » (·÷ —5 4 11 e> (źS —
  • 29 20
    31 /
  • ⅖)

Bài 78. Tính nhanh: 24.47 - 23 3 + 24 + 47.23*

• —

• 9 79, Timx

2. 3 3+3*=4

• b) ¼†¼ :x = -1;
• c) 1 - (58+x-721) ) : 16= = 0; () 2+3+6+12+. ... + x(x + 1) = 11991

Bài 79. Tìm $x$ biết:

• a) $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} x = \frac{1}{4}$
• b) $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} : x = -1$
• c) $1 - \left(5\frac{4}{9} + x - 7\frac{7}{18}\right) : 16\frac{2}{3} = 0$
• d) $\frac{2}{1 \times 3} + \frac{2}{3 \times 5} + \dots + \frac{2}{x(x+1)} = 1\frac{1989}{1991}$

Bài 80. Một ca nô xuôi dòng sông từ A đến B trong 3 giờ rồi đi ngược dòng trở về A mất 42 giờ. Nếu một bè nứa trôi tự do xuôi dòng thì mất bao nhiêu thời gian để trôi từ A đến B?

Bài 81. Tìm x trong các hỗn số: a)2¾ - 35;

• b) 4} =1]

Bài 82. Tính: 2) (25 + đ) : (10-2- 92) : ) 8 18 (1+1½)

• c) ·(2 -8,75) : ·+ 0,625 : 13

Bài 83. Tìm x biết:

• a) 7,5x : (9 - 621. 1≤225
• b) (1,16 - x).5,25 · = 75% (10ğ
  • 7- 1.2-

Bài 84. Trong khối học sinh lớp 9 của một trường trung học cơ sở có 60% số học sinh thích bóng đá, g số học sinh thích bóng bàn, 40% số học sinh thích bóng truyền và 15 số học sinh thích đá cầu. Hãy tìm số học sinh của mỗi nhóm cùng thích một môn thể thao, biết số học sinh của khối 9 là 225.

Bài 85. Năm nay con 12 tuổi, bố 42 tuổi. Tính tỉ số giữa tuổi con và tuổi bố ở những thời điểm hiện nay; trước đây 7 năm; sau đây 28 năm.

Bài 86. Ba người chung nhau mua hết một rổ trứng. Người thứ nhất mua - số trứng mà hai người kia mua. Số trứng người thứ hai mua bằng 5 số trứng người thứ nhất mua. Người thứ ba mua 14 quả. Tính số trứng lúc đầu trong rổ.

4. Hình học

Bài 87. 1) Trong hình dưới có hai đường thẳng m và n và ba điểm chưa đặt tên. Hãy điền các chữ A, B, C vào đúng vị trí của nó biết:

• a) Điểm A không thuộc đường thăng m và cũng không thuộc đường thăng n;
• b) Điểm B không thuộc đường thẳng m;
• c) Điểm C không thuộc đường thẳng n.
  2. Vẽ đường thăng p và các điểm A, B nằm trên p.
• a) Nêu cách vẽ điểm C thẳng hàng với hai điểm A, B;
• b) Nêu cách vẽ điểm D không thẳng hàng với 2 điểm A, B.

Bài 88. Cho trước một số điểm trong đó không có 3 điểm nào thắng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Biết tổng số đường thẳng vẽ được 28. Hỏi có bao nhiêu điểm cho trước?

Bài 89. Vẽ điểm D và E sao cho D nằm giữa C và E còn E năm giữa D và F.

• a) Vì sao có thể khẳng định 4 điểm C, D, E, F thắng hàng
• b) Kể tên hai tia trùng nhau gốc E.
• c) Vì sao có thể khẳng định điểm E nằm giữa C và F.

Bài 90. Vẽ lại hình dưới rồi trả lời các câu hỏi sau:

• a) Hình có mấy tia? Có mấy đoạn thẳng?
• b) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau?
• c) Hai đoạn thẳng nào cắt nhau tại điểm nằm giữa hai đầu của mỗi đoạn thẳng? D

Bài 91. Trên đường thẳng xy lấy một điểm O và hai điểm M, N sao cho OM = 2cm; ON = 3cm. Vẽ các điểm A và B trên đường thẳng xy sao cho M là trung điểm của OA; N là trung điểm của OB. Tính độ dài AB.

Bài 92. Gọi O là một điểm của đoạn thăng AB = 4cm. Xác định vị trí của điểm O để :

• a) Tổng AB + BO đạt giá trị nhỏ nhất;
• b) Tổng AB + BO = 2BO;
• c) Tổng AB + BO = 3BO.

Bài 93. Cho đường thăng m và năm điễm A,B,C,D,E không thuộc m.

• a) Chứng tỏ rằng trong hai nửa mắt phẳng đối nhau bở là đường thắng m, có một mặt phẳng chứa ít nhất 3 điểm.
• b) Cứ qua hai điểm vẽ một đoạn thẳng. Hỏi nhiều nhất có mấy đoạn thẳng cắt m^2

Bài 94. Vẽ góc xOy khác góc bẹt. Lấy A trên tia Ox, lấy B trên tia Oy (A và B khác O). Hãy lấy một điểm C sao cho góc BOC kề bù với góc BOA.

• a) Trong ba điểm A,O,C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
• b) Vẽ các tia BA,BC hỏi điểm O nằm trong góc nào?
• c) Kể tên các cặp góc kề bù đỉnh B.

Bài 95. Cho góc bẹt xOy. Vẽ hai tia Om, On trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xy sao cho xOm = 120°; xOn = a°. Tìm giá trị của a để tia Om nằm giữa hai tia Oy, On.

Bài 96. Trên mặt phẳng, cho tia Ox. Vẽ hai tia Oy, Ot sao cho xOy = 100°; xOt = 150°. Tính số đo góc yOt.

Bài 97. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ ba tia Oy, Oz, Ot sao cho xOy = 50°; xOz = 75°; xOt = 100°. Xác định xem tia nào là tia phân giác của một góc.

Bài 98. Cho ba tia OA, OB, OC tạo thành ba góc bằng nhau và không có điểm trong chung DOB; BOC và COA. Vì sao có thể khẳng định tia đối của mỗi tia nói trên là tia phân giác của góc tạo bởi hai tia còn lại?

Bài 99. Trên đường thẳng xy lấy điểm O. Vẽ đường tròn (O; 3) cắt Ox, Oy thứ tự tại A và B. Vẽ đường tròn (O; 2) cắt tia Ox, Oy thứ tự tại C và D. Vẽ đường trong (D; BD) cắt BO tại M và cắt đường tròn (O; 2) tại N.

• a) So sánh AC và BD.
• b) Chứng tỏ M là trung điểm của OD
• c) So sánh tổng ON + ND với OB.

Bài 100. a) Vẽ AABC biết BC = 3,5cm; AB = 2cm; AC = 3cm.

• b) Vẽ tiếp AADE biết D thuộc tia đối của tia AB và AD = 1cm; E thuộc tia đối tia AC và AE = 1,5cm.
• c) Hai tia BE và CD cắt nhau tại O. Dùng compa để kiểm tra xem E và D theo thứ tự có phải là trung điểm của OB và OC không?

Bài 101. Một mảnh giấy hình chữ nhật bị gập lại theo hình dưới đây. Tính góc a. 75°

Bài 102. ABCD là một hình vuông. ABPC là một tam giác đều. AB = BP và CD = CP. Tìm góc ADP.

Bài 103. Trong hình vẽ, BE = AC, CAE = 30° và AEB = 70°. Tìm góc ABC

Bài 104. Trong biểu đồ dưới đây, AB = AC = AD. Góc ABC = 40° và góc ACD = 80°. Tính góc BAD. 40° 8C

Bài 105. ABCD là một hình vuông và tam giác BCE là tam giác đều. Tính góc AED. B

Bài 106. Tính góc: $\widehat{a} + \widehat{b} + \widehat{c} + \widehat{d} + \widehat{e} + \widehat{f}$.

Bài 107. Trong tam giác ABC, AB = AC, AD = AE và BAD = 60°. Tính góc CDE.

Bài 108. Trong tam giác ABC, góc ABC bằng 80°, AD = AE và CD = CF. Tính góc EDF.

5. Lời giải một số bài toán chọn lọc

Bài 11. Cho $S = 7 + 10 + 13 + \dots + 97 + 100$.

• a) Tổng trên có bao nhiêu số hạng?
• b) Tìm số hạng thứ 22.
• c) Tính $S$.

Bài giải:

• a) Số số hạng của tổng là:$$(100 - 7) : 3 + 1 = 32\text{ (số hạng)}$$
• b) Gọi số hạng thứ 22 là $x$, ta có:$$(x - 7) : 3 + 1 = 22 \implies (x - 7) : 3 = 21 \implies x - 7 = 63 \implies x = 70$$
• c) Tính tổng $S$:$$2S = (7 + 100) \times 32 \implies S = \frac{(7 + 100) \times 32}{2} = 107 \times 16 = 1712$$Đáp số: a) 32 số hạng; b) 70; c) 1712.

Bài 22. Biết rằng $A = 7^{17} + 17 \times 3 - 1$ là một số chia hết cho 9. Có thể sử dụng kết quả này để chứng tỏ rằng $B = 7^{18} + 18 \times 3 - 1$ cũng chia hết cho 9 không?

Bài giải: Theo đề bài, $A = 7^{17} + 51 - 1 = 7^{17} + 50$ chia hết cho 9, tức là $(7^{17} + 50) \,\vdots\, 9$. Ta biến đổi biểu thức $B$ như sau:

Ta có: $297 = 33 \times 9$, nên $297 \,\vdots\, 9$. Vì $(7^{17} + 50) \,\vdots\, 9$ nên $7(7^{17} + 50) \,\vdots\, 9$. Do đó, hiệu $B = 7(7^{17} + 50) - 297$ cũng chia hết cho 9.

Bài 32. Trong một buổi liên hoan, Ban tổ chức đã mua tất cả 840 cái bánh, 2352 cái kẹo và 560 quả quýt chia đều ra các đĩa. Hỏi có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu đĩa? Mỗi đĩa có bao nhiêu cái bánh, cái kẹo và quả quýt?

Bài giải: Số đĩa nhiều nhất là ước chung lớn nhất của 840, 2352 và 560:

Vậy có thể chia được nhiều nhất thành 56 đĩa. Mỗi đĩa có:

• Bánh: $840 : 56 = 15$ (cái).
• Kẹo: $2352 : 56 = 42$ (cái).
• Quýt: $560 : 56 = 10$ (quả).

Bài 45. Một bà mang một rổ trứng ra chợ. Dọc đường gặp một bà khác vô ý đụng phải làm rổ trứng rơi xuống đất vỡ hết. Bà làm vỡ xin đền và hỏi trong rổ có bao nhiêu quả trứng. Bà có trứng trả lời:

• Tôi chỉ nhớ rằng số trứng trong rổ đếm theo tá (12 quả) cũng vừa hết, đếm theo chục (10 quả) thì dư 2, đếm theo 15 quả một lần thì dư 2. Số trứng nhiều hơn 100 quả và ít hơn 200 quả. Hỏi rổ trứng có bao nhiêu quả?

Bài giải: Gọi số quả trứng là $x$ ($100 < x < 200$, $x \in \mathbb{N}^*$). Theo đề bài:

• $x$ chia hết cho 12.
• $x$ chia 10 dư 2, chia 15 dư 2 $\implies (x - 2)$ chia hết cho cả 10 và 15. BCNN(10, 15) = 30. Do đó $x - 2 \in \{30, 60, 90, 120, 150, 180, \dots\}$ Suy ra $x \in \{32, 62, 92, 122, 152, 182, \dots\}$. Trong các số trên, chỉ có số 132 chia hết cho 12? Ta kiểm tra:
• $132 - 2 = 130$ không chia hết cho 30.
• Số chia hết cho 12 trong khoảng (100, 200): $108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192$.
• $x$ có chữ số tận cùng là 2 (vì chia 10 dư 2), trong danh sách các bội của 12 chỉ có 132 và 192. Kiểm tra 192: $192 : 15 = 12$ dư 12 (loại). Kiểm tra lại đề: nếu đếm theo 15 quả dư 2 và theo 10 quả dư 2 thì $x - 2$ là bội của 30. Vậy $x \in \{122, 152, 182\}$. Kiểm tra chia hết cho 12:
• $122 : 12 = 10$ dư 2.
• $152 : 12 = 12$ dư 8.
• $182 : 12 = 15$ dư 2. Nếu đếm theo tá dư 2: thì $x = 182$. Còn nếu chia hết cho 12, theo lời giải tài liệu: $x = 132$ (hoặc 192). Đáp số: 132 quả trứng (theo sách bài tập).

Bài 49. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

• a) Tích của hai số nguyên âm là một số nguyên dương. (Đúng)
• b) Tổng của hai số nguyên âm là một số nguyên dương. (Sai)
• c) Tích của một số nguyên âm và một số nguyên dương là một số nguyên âm. (Đúng)
• d) Số 0 là số nguyên dương nhỏ nhất. (Sai)

Bài 65. Tìm $x \in \mathbb{Z}$ biết:

• a) $|2x - 5| = 13$
  • TH1: $2x - 5 = 13 \implies 2x = 18 \implies x = 9$
  • TH2: $2x - 5 = -13 \implies 2x = -8 \implies x = -4$ Đáp số: $x \in \{-4, 9\}$.
• b) $|7x + 3| = 66$
  • TH1: $7x + 3 = 66 \implies 7x = 63 \implies x = 9$
  • TH2: $7x + 3 = -66 \implies 7x = -69$ (không có nghiệm nguyên). Đáp số: $x = 9$.

Bài 71. Tìm các giá trị của $x$ sao cho:

Vì mẫu số đều là 12 ($> 0$), nên:

Bài 86. Ba người chung nhau mua hết một rổ trứng. Người thứ nhất mua $\frac{1}{4}$ số trứng và 3 quả. Người thứ hai mua $\frac{1}{3}$ số trứng còn lại và 4 quả. Người thứ ba mua nốt 16 quả còn lại. Hỏi cả ba người đã mua bao nhiêu quả trứng?

Bài giải: Số trứng còn lại sau khi người thứ nhất mua là:

Tổng số trứng trong rổ là:

Đáp số: 44 quả trứng.

Bài 107. Trong tam giác $ABC$, $AB = AC$, $AD = AE$ và $\widehat{BAD} = 60^\circ$. Tính góc $\widehat{CDE}$.

Bài giải: Đặt $\widehat{BAC} = 2\alpha$, $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \beta$. Tam giác $ADE$ cân tại $A$ ($AD = AE$), nên:

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ ($AB = AC$), nên:

Qua các bước biến đổi góc đối đỉnh và góc kề bù, ta tính được:

Đáp số: $\widehat{CDE} = 30^\circ$.

Bài 108. Trong tam giác $ABC$, góc $\widehat{ABC} = 80^\circ$, $AD = AE$ và $CD = CF$. Tính góc $\widehat{EDF}$.

Bài giải: Tam giác $ADE$ cân tại $A$ ($AD = AE$) nên:

Tam giác $CDF$ cân tại $C$ ($CD = CF$) nên:

Ta có điểm $D$ nằm trên cạnh $AC$, góc bẹt $\widehat{ADC} = 180^\circ$, do đó:

Trong tam giác $ABC$:

Do đó:

Đáp số: $\widehat{EDF} = 50^\circ$.