Bài Toán Sơn Hình Lập Phương Và Hình Hộp Chữ Nhật Lớp 5: Bí Quyết Đếm Nhanh

Bài toán sơn mặt khối lập phương và hình hộp chữ nhật là một trong những dạng toán hình học không gian trực quan hấp dẫn nhất của chương trình môn Toán Lớp 5. Dạng bài này thường xuyên có mặt trong các kỳ thi đánh giá năng lực tư duy, thi học sinh giỏi và kỳ thi tuyển sinh lớp 6 trường chuyên, chất lượng cao.

Bài viết thuộc chuỗi Tuyển tập Toán bồi dưỡng Lớp 5 theo Chương trình 2018.

1. Công thức đếm nhanh cho Khối Lập Phương

Xét một khối lập phương lớn được ghép bởi các khối lập phương nhỏ cạnh $1\text{ cm}$. Khối lớn có kích thước cạnh gồm $n$ khối lập phương nhỏ ($n \ge 3$). Sau đó người ta đem sơn toàn bộ $6$ mặt ngoài của khối lập phương lớn.

Mẹo hay

Kiểm tra tổng số:

$$\text{Tổng số khối} = 8 + 12(n - 2) + 6(n - 2)^2 + (n - 2)^3 = n^3$$

2. Các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết

Ví dụ 1 (Khối lập phương $n = 4$)

Người ta xếp $64$ khối lập phương nhỏ cạnh $1\text{ cm}$ thành một khối lập phương lớn cạnh $4\text{ cm}$, sau đó sơn toàn bộ $6$ mặt ngoài của khối lớn. Hỏi có bao nhiêu khối lập phương nhỏ: a) Được sơn đúng $3$ mặt?
b) Được sơn đúng $2$ mặt?
c) Được sơn đúng $1$ mặt?
d) Không được sơn mặt nào?

3. Công thức mở rộng cho Hình Hộp Chữ Nhật

Xét hình hộp chữ nhật có kích thước dài $a$, rộng $b$, cao $c$ (đo bằng số khối nhỏ cạnh $1\text{ cm}$, với $a, b, c \ge 3$), được sơn $6$ mặt:

• Sơn 3 mặt: Vẫn luôn là $8$ khối ở $8$ đỉnh.
• Sơn 2 mặt: Nằm trên $12$ cạnh:$$4 \times [(a - 2) + (b - 2) + (c - 2)]$$
• Sơn 1 mặt: Nằm trên $6$ mặt:$$2 \times [(a - 2)(b - 2) + (b - 2)(c - 2) + (c - 2)(a - 2)]$$
• Không sơn mặt nào: Lõi bên trong:$$(a - 2) \times (b - 2) \times (c - 2)$$

Ví dụ 2

Một hình hộp chữ nhật có chiều dài $6\text{ cm}$, chiều rộng $5\text{ cm}$, chiều cao $4\text{ cm}$ được ghép bởi các hình lập phương nhỏ cạnh $1\text{ cm}$. Người ta sơn toàn bộ các mặt ngoài của hình hộp chữ nhật đó. Hỏi có bao nhiêu hình lập phương nhỏ không được sơn mặt nào?

4. Bài tập tự luyện có gợi ý ẩn/hiện

Bài 1: Người ta xếp $125$ khối lập phương nhỏ cạnh $1\text{ cm}$ thành một khối lập phương lớn rồi sơn $6$ mặt ngoài. Hỏi có bao nhiêu khối nhỏ được sơn $2$ mặt và bao nhiêu khối nhỏ được sơn $1$ mặt?

Bài 2: Người ta xếp các khối lập phương nhỏ cạnh $1\text{ cm}$ thành một khối lập phương có cạnh $10\text{ cm}$. Nếu sơn toàn bộ mặt ngoài thì có bao nhiêu khối nhỏ không được sơn mặt nào?

Bài 3: Một khối gỗ hình hộp chữ nhật dài $8\text{ cm}$, rộng $6\text{ cm}$ và cao $5\text{ cm}$. Người ta sơn $6$ mặt rồi cắt thành các khối lập phương nhỏ cạnh $1\text{ cm}$. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn đúng $2$ mặt?