Ôn tập Chương 10. Một số hình khối trong thực tiễn

Toán học không chỉ tồn tại trên những trang giấy phẳng hai chiều $2\text{D}$. Mọi công trình kiến trúc kỳ vĩ, từ tháp đồng hồ Big Ben, nhà hát Opera Sydney cho đến những cây cầu vượt nhiều tầng hay những con tàu thăm dò sao Hỏa đều được xây dựng nên từ ngôn ngữ của Hình học Không gian $3\text{D}$.

Chương 10 — chương học cuối cùng khép lại toàn bộ chương trình Toán 7 — đã trang bị cho chúng ta chiếc kính vạn hoa để giải mã các hình khối quen thuộc nhất trong đời sống:

1. Bài 36: Hình hộp chữ nhật và Hình lập phương — Làm chủ cấu trúc 8 đỉnh, 12 cạnh, 6 mặt, 4 đường chéo xuyên tâm, công thức diện tích xung quanh $S_{xq} = 2(a + b)h$ và thể tích $V = a \cdot b \cdot h$.
2. Bài 37: Hình lăng trụ đứng tam giác và tứ giác — Mở rộng khái niệm mặt đáy đa giác song song, các mặt bên hình chữ nhật vuông góc thẳng đứng, công thức tổng quát $S_{xq} = C_{\text{đáy}} \cdot h$ và $V = S_{\text{đáy}} \cdot h$.

Bài ôn tập tổng hợp này sẽ giúp các em xâu chuỗi toàn bộ Chương 10 thành một hệ thống vững chắc, phân biệt rạch ròi các khối hình, làm chủ kỹ năng đổi đơn vị đo thể tích và giải quyết trọn vẹn các bài toán thực tiễn trong các kỳ thi!

Khởi động — Thử thách phản xạ toàn diện 5 câu (5 phút)

1. Công thức thể tích chung: Công thức tính thể tích tổng quát của mọi hình lăng trụ đứng là gì?
2. Hình lập phương: Nếu thể tích của một hình lập phương là $125\text{ cm}^3$, độ dài cạnh của nó bằng bao nhiêu?
3. Diện tích xung quanh: Muốn tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng, ta lấy đại lượng nào nhân với chiều cao?
4. Đổi đơn vị: Một bể chứa có thể tích $3{,}5\text{ m}^3$. Bể chứa được bao nhiêu lít nước?
5. Số mặt bên: Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình ngũ giác (5 cạnh) thì có bao nhiêu mặt bên và có tất cả bao nhiêu mặt?

Mẹo hay

Đáp án nhẩm nhanh:

1. $V = S_{\text{đáy}} \cdot h$ (Diện tích đáy nhân với chiều cao).
2. Cạnh $a = \sqrt[3]{125} = 5\text{ cm}$.
3. Chu vi đáy ($C_{\text{đáy}}$).
4. $3{,}5 \times 1000 = 3500\text{ lít}$.
5. Có $5$ mặt bên và tổng cộng $5 + 2 = 7$ mặt.

I. Bảng So sánh và Tổng hợp Công thức 4 Hình Khối

II. Các dạng toán trọng tâm và Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Tính diện tích quét sơn, lát gạch trong xây dựng thực tế

Phương pháp giải:

1. Xác định hình khối của căn phòng/bể nước.
2. Xác định các bề mặt cần tính:
   • Nếu là căn phòng: $S_{\text{sơn}} = S_{xq} + S_{\text{trần}} - S_{\text{cửa}}$.
   • Nếu là bể nước không nắp: $S_{\text{lát gạch}} = S_{xq} + S_{\text{đáy}}$.
3. Nhân với đơn giá để ra tổng chi phí.

Bài toán 1:

Một căn phòng học có dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài $8\text{ m}$, chiều rộng $6\text{ m}$ và chiều cao $3{,}5\text{ m}$. Người ta muốn sơn trần nhà và bốn bức tường phía trong phòng. Biết tổng diện tích các cửa là $12\text{ m}^2$. a) Tính diện tích cần sơn của phòng học đó. b) Biết sơn phòng hai lớp cần $1\text{ kg}$ sơn cho mỗi $8\text{ m}^2$ tường. Hỏi cần chuẩn bị bao nhiêu kilôgam sơn? c) Nếu giá tiền công sơn là $25\,000$ đồng/$\text{m}^2$, tính tổng chi phí tiền công sơn phòng học.

Lời giải:

a)

• Chu vi nền phòng học:$$C_{\text{đáy}} = 2 \cdot (8 + 6) = 2 \cdot 14 = 28\text{ (m)}$$
• Diện tích xung quanh (bốn bức tường):$$S_{xq} = 28 \cdot 3{,}5 = 98\text{ (m}^2\text{)}$$
• Diện tích trần nhà:$$S_{\text{trần}} = 8 \cdot 6 = 48\text{ (m}^2\text{)}$$
• Tổng diện tích bốn bức tường và trần nhà:$$S = S_{xq} + S_{\text{trần}} = 98 + 48 = 146\text{ (m}^2\text{)}$$
• Diện tích cần sơn thực tế (trừ diện tích các cửa):$$S_{\text{sơn}} = 146 - 12 = 134\text{ (m}^2\text{)}$$

b) Số kilôgam sơn cần chuẩn bị là:

c) Tổng chi phí tiền công sơn là:

Dạng 2: Bài toán chứa nước, máy bơm và mực nước dâng cao

Phương pháp giải:

• Thể tích nước dâng lên bằng diện tích đáy nhân với chiều cao mực nước dâng:$$\Delta V = S_{\text{đáy}} \cdot \Delta h$$
• Thời gian bơm đầy: $t = \frac{V}{\text{Công suất bơm}}$.

Bài toán 2:

Một bể bơi có dạng hình lăng trụ đứng với mặt cắt ngang theo chiều dọc là một hình thang vuông có chiều sâu thoai thoải: chỗ cạn nhất sâu $1\text{ m}$, chỗ sâu nhất sâu $2\text{ m}$. Chiều dài của bể bơi là $25\text{ m}$ và chiều rộng của bể bơi là $10\text{ m}$. a) Tính thể tích nước tối đa mà bể bơi có thể chứa khi đầy nước. b) Người ta dùng hai máy bơm, mỗi máy bơm có công suất $25\text{ m}^3/\text{giờ}$ để bơm nước vào bể. Hỏi sau bao lâu thì bể đầy nước?

Lời giải:

Bể bơi là một hình lăng trụ đứng có:

• Mặt đáy là hình thang vuông với đáy lớn $2\text{ m}$, đáy nhỏ $1\text{ m}$ và chiều cao hình thang là chiều dài bể $25\text{ m}$.
• Chiều cao của hình lăng trụ đứng chính là chiều rộng của bể: $h = 10\text{ m}$.

a) Diện tích mặt đáy hình thang là:

Thể tích nước tối đa của bể bơi là:

(Tương đương $375\,000$ lít nước).

b) Tổng công suất của hai máy bơm là:

Thời gian để bơm đầy bể nước là:

Dạng 3: Bài toán thả vật thể chìm vào bể nước (Định luật Ác-si-mét)

Phương pháp giải: Khi thả một vật thể chìm hoàn toàn vào nước, thể tích của vật thể đúng bằng thể tích của phần nước dâng lên:

Bài toán 3:

Một bể cá hình hộp chữ nhật có đáy dài $60\text{ cm}$, rộng $40\text{ cm}$. Mực nước ban đầu trong bể cao $30\text{ cm}$. Người ta thả chìm hoàn toàn một hòn non bộ bằng đá vào trong bể thì thấy mực nước dâng lên cao $35\text{ cm}$. a) Tính thể tích của hòn non bộ bằng đá đó. b) Biết khối lượng riêng của đá là $2{,}6\text{ g/cm}^3$. Tính khối lượng của hòn non bộ ra kilôgam.

Lời giải:

a) Chiều cao mực nước dâng lên là:

Diện tích đáy bể cá là:

Thể tích của hòn non bộ bằng thể tích phần nước dâng lên:

b) Khối lượng của hòn non bộ là:

Dạng 4: Tối ưu hóa đóng gói và chia cắt vật liệu

Phương pháp giải: Phân tích tính chia hết của các kích thước theo ba phương trong không gian (dài, rộng, cao) để tìm số lượng lớn nhất các khối con có thể xếp được mà không bị cắt gọt lãng phí.

Bài toán 4:

Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có kích thước $60\text{ cm} \times 40\text{ cm} \times 30\text{ cm}$. Người thợ mộc muốn cưa khối gỗ đó thành các khối lập phương nhỏ bằng nhau có cạnh lớn nhất mà không để thừa mẩu gỗ nào. a) Hỏi cạnh của khối lập phương nhỏ nhất định phải bằng bao nhiêu centimét? b) Người thợ mộc sẽ cưa được tất cả bao nhiêu khối lập phương nhỏ như vậy?

Lời giải:

a) Gọi độ dài cạnh của khối lập phương nhỏ là $a$ ($a \in \mathbb{N}^*$, đơn vị cm). Để không thừa mẩu gỗ nào, các kích thước $60\text{ cm}, 40\text{ cm}, 30\text{ cm}$ phải chia hết cho $a$. Do đó $a$ là ước chung của $60, 40, 30$. Để cạnh khối lập phương là lớn nhất thì $a$ phải là Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của $60, 40, 30$:

• $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
• $40 = 2^3 \cdot 5$
• $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$$$\implies a = \text{ƯCLN}(60, 40, 30) = 2 \cdot 5 = 10\text{ (cm)}$$Vậy cạnh của khối lập phương nhỏ lớn nhất là $10\text{ cm}$.

b) Số khối lập phương nhỏ cưa được là:

• Theo chiều dài: $60 : 10 = 6$ (khối).
• Theo chiều rộng: $40 : 10 = 4$ (khối).
• Theo chiều cao: $30 : 10 = 3$ (khối). Tổng số khối lập phương cưa được là:$$N = 6 \cdot 4 \cdot 3 = 72\text{ (khối lập phương)}$$

III. 5 Chuyên đề Thực tế và Nâng cao Tư duy Khoa học

Chuyên đề 1: Trực quan Hóa Không gian và Bản vẽ Phối cảnh Trục đo (Isometric Projection)

Trong các bản vẽ kỹ thuật cơ khí và kiến trúc xây dựng:

• Làm thế nào các kỹ sư biểu diễn được vật thể 3 chiều lên tờ giấy phẳng 2 chiều mà không bị méo mó tỉ lệ?
• Họ sử dụng Hình chiếu Trục đo Đẳng cự (Isometric Projection): Ba trục tọa độ $Ox, Oy, Oz$ tạo với nhau các góc bằng nhau $120^\circ$. Mọi đường thẳng song song trong không gian thực đều được vẽ song song trên bản vẽ, cho phép các kỹ sư đọc kích thước chính xác để lập trình máy gia công CNC tự động.

Chuyên đề 2: Tối ưu Hóa Bao bì Carton và Bảo vệ Môi trường

Hàng năm, các hãng công nghệ lớn như Apple, Samsung liên tục thu nhỏ kích thước vỏ hộp đựng điện thoại:

• Khi loại bỏ củ sạc khỏi hộp iPhone, độ dày vỏ hộp giảm từ $5\text{ cm}$ xuống $2{,}5\text{ cm}$ (giảm một nửa thể tích!).
• Một container vận tải trước đây chỉ chở được $100\,000$ chiếc máy thì nay chở được $200\,000$ chiếc.
• Giảm số chuyến bay vận chuyển hàng ngàn lượt, tiết kiệm hàng triệu lít nhiên liệu phản lực và cắt giảm hàng trăm ngàn tấn khí thải $CO_2$ gây hiệu ứng nhà kính mỗi năm!

Chuyên đề 3: Định lý Đa diện Euler ($V - E + F = 2$)

Năm 1750, nhà toán học thiên tài Leonhard Euler đã công bố công thức bất hủ liên hệ giữa ba đại lượng của mọi khối đa diện lồi:

ĐỊNH LÝ ĐA DIỆN EULER:

$$\text{Số đỉnh } (V) - \text{Số cạnh } (E) + \text{Số mặt } (F) = 2$$

Kiểm chứng:

• Hình hộp chữ nhật: $V = 8$ đỉnh, $E = 12$ cạnh, $F = 6$ mặt $\implies 8 - 12 + 6 = 2$ (Chính xác!).
• Lăng trụ đứng tam giác: $V = 6$ đỉnh, $E = 9$ cạnh, $F = 5$ mặt $\implies 6 - 9 + 5 = 2$ (Chính xác!). Công thức topo học thanh nhã này là nền tảng để các nhà hóa học phát hiện ra phân tử Fullerene $C_{60}$ hình quả bóng đá (giải Nobel Hóa học 1996).

Chuyên đề 4: Hiệu ứng Đập nước và Áp suất Thủy tĩnh theo Chiều sâu

Tại sao các con đập thủy điện khổng lồ (như Thủy điện Sơn La, Hòa Bình) hay các đê chắn sóng luôn có thiết kế dạng Hình lăng trụ đứng có đáy hình thang cân (chân đập rất dày và đỉnh đập hẹp dần)? Theo định luật áp suất thủy tĩnh trong Vật lý:

Càng xuống sâu dưới đáy sông, áp suất của cột nước nén lên thân đập càng tăng tỷ lệ thuận với độ sâu $h$. Chân đập hình thang được mở rộng cực dày để chịu lực đẩy hàng triệu tấn của dòng nước, đảm bảo an toàn tuyệt đối cho đồng bằng phía hạ lưu.

Chuyên đề 5: Khối Đa diện Đều Platon (Platonic Solids) trong Vũ trụ học

Trong toàn bộ không gian 3 chiều của vũ trụ, có bao nhiêu khối đa diện đều mà tất cả các mặt là các đa giác đều bằng nhau và các đỉnh đều giống nhau? Từ thời Hy Lạp cổ đại, triết gia Platon đã chứng minh: Chỉ có đúng 5 khối đa diện đều tồn tại trong vũ trụ:

1. Tứ diện đều (4 mặt tam giác đều) — Tượng trưng cho Lửa.
2. Khối lập phương (6 mặt vuông) — Tượng trưng cho Đất.
3. Bát diện đều (8 mặt tam giác đều) — Tượng trưng cho Khí.
4. Thập nhị diện đều (12 mặt ngũ giác đều) — Tượng trưng cho Vũ trụ tinh tú.
5. Nhị thập diện đều (20 mặt tam giác đều) — Tượng trưng cho Nước. Hình lập phương mà các em học chính là một trong năm hình khối thiêng liêng nhất của hình học vũ trụ!

IV. 10 Câu hỏi Trắc nghiệm Tương tác kiểm tra Năng lực (Có chấm điểm tức thì)

@@PROTECTED_TOKEN_0@@

V. Đề Kiểm tra 45 phút Đánh giá Năng lực Chương 10 (Chuẩn Ma trận & Barem Điểm)

1. Ma trận đề kiểm tra

2. Đề bài chi tiết

Bài 1 (2,5 điểm): Một bể nước hình hộp chữ nhật có kích thước lòng trong: chiều dài $2\text{ m}$, chiều rộng $1{,}5\text{ m}$ và chiều cao $1{,}2\text{ m}$. a) Tính diện tích xung quanh của bể nước đó. b) Tính dung tích chứa nước tối đa của bể theo lít. c) Hiện tại bể đang chứa $2700$ lít nước. Tính chiều cao của mực nước trong bể.

Bài 2 (2,5 điểm): Một chiếc lều cắm trại bằng vải bạt có dạng hình lăng trụ đứng tam giác. Đáy là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài $1{,}5\text{ m}$ và $2\text{ m}$, cạnh huyền dài $2{,}5\text{ m}$. Chiều dài của lều là $3\text{ m}$. a) Tính diện tích xung quanh của chiếc lều (diện tích ba mặt bên). b) Tính thể tích không gian bên trong chiếc lều.

Bài 3 (2,5 điểm): Một khúc gỗ hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thang cân với đáy lớn $30\text{ cm}$, đáy nhỏ $18\text{ cm}$, chiều cao hình thang là $8\text{ cm}$. Chiều cao của khúc gỗ là $50\text{ cm}$. a) Tính diện tích mặt đáy của khúc gỗ. b) Tính thể tích của khúc gỗ đó ra đềximét khối ($\text{dm}^3$).

Bài 4 (2,5 điểm — Vận dụng cao): a) Một bể kính nuôi cá hình lập phương có cạnh $40\text{ cm}$ chứa nước cao $25\text{ cm}$. Người ta thả vào bể một khối đá thì thấy mực nước dâng lên cao $28\text{ cm}$. Tính thể tích của khối đá đó. b) Một công ty sản xuất cần đóng gói các hộp bánh hình lập phương cạnh $10\text{ cm}$ vào các thùng carton hình hộp chữ nhật kích thước $50\text{ cm} \times 40\text{ cm} \times 35\text{ cm}$. Hỏi mỗi thùng carton có thể chứa tối đa bao nhiêu hộp bánh như vậy?

3. Hướng dẫn chấm & Barem điểm chi tiết