Bài 16. Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Khi quan sát kim tự tháp Giza sừng sững bên bờ sông Nile qua bốn ngàn năm bão cát, tháp Eiffel vươn cao kiêu hãnh giữa bầu trời Paris hay những mái nhà rường truyền thống của người Việt, chúng ta đều nhận thấy một điểm chung kỳ diệu: hình tam giác cân.

Vì sao các kiến trúc sư vĩ đại nhất của nhân loại luôn chọn hình tam giác cân làm bộ khung chịu lực chính? Vì trong tất cả các hình đa giác, tam giác cân sở hữu một trục đối xứng hoàn hảo, chia đôi trọng tải đều sang hai phía và tạo nên sự cân bằng cơ học bền vững nhất trong tự nhiên.

Ẩn giấu đằng sau sự vững chãi của tam giác cân chính là một khái niệm cốt lõi của hình học phẳng: Đường trung trực của đoạn thẳng — quỹ tích của tất cả các điểm cách đều hai đầu mút, chiếc chìa khóa vạn năng để định vị vị trí trạm phát sóng viễn thông, tâm đường tròn ngoại tiếp và giải quyết vô số bài toán tối ưu trong đời sống hiện đại.

Khởi động — Ôn luyện phản xạ nền tảng (5–7 phút)

Trước khi vào bài học mới, các em hãy cùng kiểm tra nhanh $5$ câu hỏi khởi động sau:

1. Tổng ba góc trong tam giác: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 70^\circ$ và $\widehat{B} = \widehat{C}$. Tính số đo của góc $\widehat{B}$ và góc $\widehat{C}$.
2. Trung điểm của đoạn thẳng: Điểm $I$ được gọi là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi nào?
3. Đường thẳng vuông góc: Hai đường thẳng $d$ và $a$ cắt nhau tại điểm $I$. Cần điều kiện gì về góc để $d \perp a$?
4. Trường hợp bằng nhau c.c.c: Nếu điểm $M$ có $MA = MB$ và $I$ là trung điểm của $AB$, hai tam giác $\triangle MIA$ và $\triangle MIB$ có bằng nhau không? Vì sao?
5. Góc phụ nhau: Trong tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$, nếu $\widehat{B} = 45^\circ$ thì góc $\widehat{C}$ bằng bao nhiêu độ?

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Tam giác cân và các tính chất đặc trưng

Quan trọng

ĐỊNH NGHĨA TAM GIÁC CÂN: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC$:

• Tam giác $ABC$ gọi là cân tại đỉnh $A$.
• $AB, AC$ gọi là hai cạnh bên.
• $BC$ gọi là cạnh đáy.
• $\widehat{B}, \widehat{C}$ gọi là hai góc ở đáy.
• $\widehat{A}$ gọi là góc ở đỉnh.

Ghi nhớ

ĐỊNH LÝ 1 (Tính chất hai góc ở đáy): Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

$$\triangle ABC \text{ cân tại } A \implies \widehat{B} = \widehat{C}.$$

Chứng minh định lý 1 bằng trường hợp bằng nhau c.c.c / c.g.c: Gọi $H$ là trung điểm của cạnh đáy $BC$ ($HB = HC$). Nối $A$ với $H$. Xét $\triangle ABH$ và $\triangle ACH$ có:

• $AB = AC$ ($\triangle ABC$ cân tại $A$);
• $HB = HC$ ($H$ là trung điểm $BC$);
• Cạnh $AH$ chung. $\implies \triangle ABH = \triangle ACH$ (c.c.c). $\implies \widehat{B} = \widehat{C}$ (hai góc tương ứng).

Từ đó ta có công thức tính nhanh số đo các góc trong tam giác cân:

• Biết góc ở đỉnh $\widehat{A}$: $\widehat{B} = \widehat{C} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2}$.
• Biết một góc ở đáy $\widehat{B}$: $\widehat{A} = 180^\circ - 2\widehat{B}$.

Mẹo hay

ĐỊNH LÝ 2 (Dấu hiệu nhận biết tam giác cân): Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

$$\triangle ABC \text{ có } \widehat{B} = \widehat{C} \implies \triangle ABC \text{ cân tại } A.$$

2. Tam giác đều và Tam giác vuông cân

2.1. Tam giác đều

Quan trọng

ĐỊNH NGHĨA: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

HỆ QUẢ CỐT LÕI:

• Trong một tam giác đều, ba góc bằng nhau và mỗi góc bằng $60^\circ$:$$\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ.$$
• Dấu hiệu nhận biết tam giác đều:
  1. Tam giác có $3$ cạnh bằng nhau là tam giác đều.
  2. Tam giác có $3$ góc bằng nhau là tam giác đều.
  3. Tam giác cân có một góc bằng $60^\circ$ là tam giác đều.

2.2. Tam giác vuông cân

Ghi nhớ

ĐỊNH NGHĨA: Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông vừa cân (có một góc vuông và hai cạnh góc vuông bằng nhau).

TÍNH CHẤT GÓC: Trong tam giác vuông cân, hai góc nhọn ở đáy phụ nhau và bằng nhau:

$$\widehat{B} = \widehat{C} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ.$$

3. Đường trung trực của đoạn thẳng

Quan trọng

ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC: Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Đường thẳng $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB \iff \begin{cases} d \perp AB \text{ tại } I \\ IA = IB \end{cases}.$

Hai định lý vàng của đường trung trực

Quan trọng

ĐỊNH LÝ THUẬN (Tính chất của điểm thuộc đường trung trực): Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

$$M \in d \implies MA = MB.$$

ĐỊNH LÝ ĐẢO (Dấu hiệu nhận biết điểm thuộc đường trung trực): Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

$$MA = MB \implies M \text{ nằm trên đường trung trực của } AB.$$

Ý nghĩa hình học to lớn: Tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách đều hai điểm cố định $A$ và $B$ chính là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Nếu ta tìm được hai điểm phân biệt $M$ và $N$ cùng cách đều $A$ và $B$ ($MA = MB$ và $NA = NB$), thì đường thẳng $MN$ chính là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$!

4. Mối liên hệ mật thiết giữa Tam giác cân và Đường trung trực

Trong tam giác $ABC$ cân tại $A$:

• Vì $AB = AC$, theo định lý đảo, đỉnh $A$ thuộc đường trung trực của cạnh đáy $BC$.
• Gọi $H$ là trung điểm của cạnh đáy $BC$, đoạn thẳng $AH$ thỏa mãn:
  1. $AH$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.
  2. $AH$ là đường cao kẻ từ đỉnh $A$ ($AH \perp BC$).
  3. $AH$ là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy $BC$.
  4. $AH$ là tia phân giác của góc ở đỉnh $\widehat{BAC}$ ($\widehat{BAH} = \widehat{CAH}$).

Ghi nhớ

Trong một tam giác cân, bốn đường xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đáy (đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực) trùng nhau hoàn toàn thành một đường thẳng duy nhất.

II. Các dạng bài tập điển hình và phương pháp giải

Dạng 1: Tính số đo các góc trong tam giác cân và tam giác đều

Ví dụ 1

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. a) Biết $\widehat{A} = 50^\circ$, tính số đo góc $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$. b) Biết $\widehat{B} = 72^\circ$, tính số đo góc $\widehat{A}$. c) Góc ngoài tại đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ có mối liên hệ gì với hai góc ở đáy $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$?

Lời giải: a) Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{B} = \widehat{C}$. Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác:

b) Vì $\widehat{B} = 72^\circ \implies \widehat{C} = 72^\circ$. Góc ở đỉnh $A$ là:

c) Gọi góc ngoài tại đỉnh $A$ là $\widehat{A_{\text{ngoài}}}$. Theo tính chất góc ngoài của tam giác:

Vì $\widehat{B} = \widehat{C}$ nên:

Ghi nhớ: Góc ngoài tại đỉnh của tam giác cân bằng hai lần một góc ở đáy.

Dạng 2: Chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều

Phương pháp giải

Để chứng minh tam giác $ABC$ cân tại $A$, ta có thể dùng một trong hai cách:

1. Cách 1 (Về cạnh): Chứng minh $AB = AC$ (thường gắn vào hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh này).
2. Cách 2 (Về góc): Chứng minh $\widehat{B} = \widehat{C}$ (dùng định lý tổng ba góc, góc so le trong, góc đối đỉnh...).

Ví dụ 2

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AD = AE$. a) Chứng minh rằng $BE = CD$. b) Gọi $K$ là giao điểm của $BE$ và $CD$. Chứng minh rằng tam giác $KBC$ là tam giác cân.

Lời giải: a) Xét $\triangle ABE$ và $\triangle ACD$ có:

• $AB = AC$ ($\triangle ABC$ cân tại $A$);
• $\widehat{A}$ là góc chung;
• $AE = AD$ (theo giả thiết). Suy ra $\triangle ABE = \triangle ACD$ (c.g.c). $\implies BE = CD$ (hai cạnh tương ứng).

b) Từ $\triangle ABE = \triangle ACD \implies \widehat{ABE} = \widehat{ACD}$ (hai góc tương ứng). Mặt khác, vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$. Ta có:

Do đó $\widehat{KBC} = \widehat{KCB}$. Tam giác $KBC$ có hai góc ở đáy bằng nhau nên $\triangle KBC$ là tam giác cân tại $K$.

Dạng 3: Vận dụng tính chất đường trung trực để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau

Ví dụ 3

Cho tam giác nhọn $ABC$. Đường trung trực của cạnh $AB$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $M$. a) Biết $AC = 7\text{ cm}$ và $BC = 11\text{ cm}$, tính chu vi tam giác $AMC$. b) Biết $\widehat{B} = 35^\circ$, tính số đo góc $\widehat{BAM}$ và góc $\widehat{AMC}$.

Lời giải: a) Vì điểm $M$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, theo định lý thuận của đường trung trực:

Chu vi của tam giác $AMC$ là:

b) Vì $MA = MB$, tam giác $MAB$ cân tại $M$. Suy ra $\widehat{BAM} = \widehat{B} = 35^\circ$. Góc $\widehat{AMC}$ là góc ngoài tại đỉnh $M$ của $\triangle MAB$ nên:

Dạng 4: Chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng

Phương pháp giải

Để chứng minh đường thẳng $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, có 2 cách chính:

1. Theo định nghĩa: Chứng minh $d$ đi qua trung điểm của $AB$ và $d \perp AB$.
2. Theo định lý đảo: Tìm hai điểm $M$ và $N$ phân biệt thuộc đường thẳng $d$ sao cho $MA = MB$ và $NA = NB$. Khi đó $MN$ chính là đường trung trực của $AB$.

Ví dụ 4 (Mô hình hình con diều - Kite)

Cho đoạn thẳng $AB$. Lấy điểm $C$ và điểm $D$ nằm về hai phía đối nhau so với đường thẳng $AB$ sao cho $CA = CB$ và $DA = DB$. Chứng minh rằng đường thẳng $CD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Lời giải:

• Vì $CA = CB$, điểm $C$ cách đều hai đầu mút $A$ và $B$. Theo định lý đảo về đường trung trực, điểm $C$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
• Vì $DA = DB$, điểm $D$ cách đều hai đầu mút $A$ và $B$. Theo định lý đảo về đường trung trực, điểm $D$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Vì $C$ và $D$ là hai điểm phân biệt cùng nằm trên đường trung trực của $AB$, nên đường thẳng nối hai điểm $C$ và $D$ chính là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Do đó $CD$ vuông góc với $AB$ tại trung điểm của $AB$.

III. 5 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Olympic

Chuyên đề 1: Kỹ thuật dựng tam giác đều phụ để tính góc kinh điển ($20^\circ - 80^\circ - 80^\circ$)

Trong các kỳ thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh và Olympic quốc tế, bài toán tam giác cân $ABC$ có $\widehat{A} = 20^\circ$ và $\widehat{B} = \widehat{C} = 80^\circ$ là một bài toán huyền thoại. Các phương pháp chứng minh thông thường bằng cộng trừ góc thuần túy đều dẫn tới bế tắc. Chìa khóa vàng giải quyết bài toán này là: Dựng thêm một tam giác đều phụ.

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A} = 20^\circ$. Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ chứa điểm $A$, dựng tam giác đều $BCM$. Chứng minh rằng tia $AM$ là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$ và tính số đo góc $\widehat{MAC}$.

Phân tích & Lời giải:

1. Vì $\triangle BCM$ đều nên $BM = CM = BC$ và $\widehat{MBC} = \widehat{MCB} = 60^\circ$.
2. Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $$\widehat{A} = 20^\circ \implies \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \frac{180^\circ - 20^\circ}{2} = 80^\circ.$$
3. Do đó:$$\widehat{ABM} = \widehat{ABC} - \widehat{MBC} = 80^\circ - 60^\circ = 20^\circ.$$$$\widehat{ACM} = \widehat{ACB} - \widehat{MCB} = 80^\circ - 60^\circ = 20^\circ.$$
4. Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACM$ có:
   • $AB = AC$ ($\triangle ABC$ cân tại $A$);
   • $BM = CM$ ($\triangle BCM$ đều);
   • Cạnh $AM$ chung. $\implies \triangle ABM = \triangle ACM$ (c.c.c). $\implies \widehat{BAM} = \widehat{CAM} = \frac{\widehat{A}}{2} = \frac{20^\circ}{2} = 10^\circ$. Vậy tia $AM$ là tia phân giác của góc $\widehat{A}$ và góc $\widehat{MAC} = 10^\circ$.

Chuyên đề 2: Điểm Fermat và Bài toán vị trí đặt trạm trung tâm viễn thông

Bài toán thực tế: Ba khu dân cư $A, B, C$ nằm tại ba đỉnh của một tam giác có các góc đều nhỏ hơn $120^\circ$. Một công ty viễn thông cần đặt một trạm chuyển tiếp $F$ sao cho tổng độ dài đường dây cáp nối từ trạm tới cả ba khu dân cư là ngắn nhất:

Điểm $F$ tối ưu này được nhà toán học Pierre de Fermat tìm ra vào thế kỷ XVII. Bằng cách dựng ra phía ngoài tam giác ba tam giác đều $ABC', BCA', CAB'$, các đoạn thẳng $AA', BB', CC'$ đồng quy tại đúng điểm $F$ (gọi là Điểm Fermat). Tại điểm này, các góc nhìn nối tới ba đỉnh đều bằng nhau:

Đây là nền tảng của mạng lưới đường truyền mạng trục viễn thông và thiết kế mạng lưới đường ống cấp thoát nước đô thị hiện đại.

Chuyên đề 3: Bất đẳng thức đường trung trực và Bài toán tìm đường ngắn nhất của Heron

Bài toán người cưỡi ngựa bên bờ sông (Heron xứ Alexandria): Một người cưỡi ngựa từ vị trí trang trại $A$ cần đi ra bờ sông thẳng $d$ để cho ngựa uống nước tại điểm $M$, sau đó trở về trang trại $B$ nằm cùng phía với bờ sông. Hãy tìm vị trí điểm $M$ trên bờ sông $d$ sao cho tổng quãng đường $AM + MB$ là ngắn nhất.

Phương pháp giải bằng đường trung trực:

1. Lấy điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua đường thẳng $d$ (tức là $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AA'$).
2. Khi đó với mọi điểm $M$ trên bờ sông $d$, ta luôn có:$$MA = MA'.$$
3. Do đó tổng quãng đường đi là:$$AM + MB = MA' + MB.$$
4. Theo bất đẳng thức tam giác, đối với ba điểm $A', M, B$:$$MA' + MB \ge A'B.$$Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ba điểm $A', M, B$ thẳng hàng, tức là điểm $M$ chính là giao điểm của đường thẳng nối $A'B$ với bờ sông $d$! Nguyên lý này giải thích định luật phản xạ ánh sáng (tia sáng truyền theo đường ngắn nhất) và là cơ sở thiết kế thấu kính quang học, gương chiếu hậu ô tô.

Chuyên đề 4: Ba đường trung trực đồng quy trong tam giác

Quan trọng

ĐỊNH LÝ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC: Trong một tam giác, ba đường trung trực của ba cạnh đồng quy tại một điểm duy nhất. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Chứng minh ngắn gọn: Gọi $O$ là giao điểm của hai đường trung trực của cạnh $AB$ và cạnh $AC$.

• Vì $O$ thuộc trung trực của $AB \implies OA = OB$.
• Vì $O$ thuộc trung trực của $AC \implies OA = OC$. Từ đó suy ra $OB = OC$. Theo định lý đảo của đường trung trực, điểm $O$ bắt buộc phải nằm trên đường trung trực của cạnh còn lại $BC$. Vậy ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua điểm $O$, và ta có:$$OA = OB = OC = R.$$

Chuyên đề 5: Khám phá kiến trúc truyền thống vì kèo mái nhà Việt Nam

Trong kiến trúc nhà gỗ cổ truyền Việt Nam (nhà rường Huế, nhà kẻ truyền Bắc Bộ), bộ vì kèo mái nhà luôn có dạng một tam giác cân lớn:

• Hai thanh kèo đóng vai trò hai cạnh bên $AB, AC$.
• Câu đầu (thanh xà ngang) đóng vai trò cạnh đáy $BC$.
• Thanh trụ tim (cột trốn dựng đứng từ trung điểm câu đầu lên đỉnh nóc) nằm trên đường trung trực của cạnh đáy, đảm bảo giữ đỉnh nóc không bị lệch tâm, triệt tiêu hoàn toàn lực xô ngang do gió bão nhiệt đới gây ra.

IV. Luyện tập tương tác — 10 Quiz kiểm tra năng lực

V. Tóm tắt và ghi nhớ cốt lõi