Bài 15. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Trong thiên văn học cổ đại, từ 2 500 năm trước, nhà khoa học Hy Lạp Aristarchus xứ Samos đã đo được khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng và Mặt Trời chỉ bằng... cây gậy và bóng đổ xuống đất! Ông nhận ra rằng: tia sáng Mặt Trời chiếu thẳng đứng tạo ra các tam giác vuông đồng dạng — và hơn nữa, bằng cách đo chiều dài cây gậy và chiều dài bóng, ông biết tam giác vuông nào bằng tam giác vuông nào, từ đó tính được tỉ lệ khoảng cách!

Ngày nay, kỹ thuật chiếu sáng và đo bóng của Aristarchus vẫn được sử dụng trong công nghệ GPS, đo lường địa lý, thiết kế bóng đèn, kiến trúc ánh sáng... Tất cả đều dựa vào một câu hỏi cốt lõi: Cần những điều kiện tối thiểu nào để hai tam giác vuông bằng nhau?

Câu trả lời chính là chủ đề của bài học hôm nay: 4 trường hợp bằng nhau đặc trưng của tam giác vuông.

Khởi động — Kiểm tra kiến thức nền tảng (5–7 phút)

1. Tổng góc tam giác vuông: Phát biểu định lý tổng ba góc trong một tam giác. Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn có quan hệ gì với nhau?
2. Tính góc nhọn còn lại: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, biết $\widehat{B} = 35^\circ$. Tính số đo $\widehat{C}$.
3. Trường hợp c.g.c: Phát biểu trường hợp bằng nhau Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c) của hai tam giác.
4. Trường hợp g.c.g: Phát biểu trường hợp bằng nhau Góc - Cạnh - Góc (g.c.g) của hai tam giác.
5. Nhận dạng cạnh huyền: Trong tam giác vuông, cạnh nào được gọi là cạnh huyền? Hai cạnh còn lại được gọi là gì?

I. Lý thuyết trọng tâm

Nhắc lại cấu trúc tam giác vuông

Trước khi học 4 trường hợp bằng nhau, chúng ta thống nhất về cách đặt tên trong tam giác vuông:

Ghi nhớ

Quy tắc nhận dạng nhanh:

• Cạnh huyền = cạnh đối diện góc vuông = cạnh dài nhất.
• Cạnh góc vuông (cgv) = cạnh tạo thành góc vuông = hai cạnh còn lại.
• Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: cạnh huyền $= BC$, hai cgv $= AB$ và $AC$.

1. Trường hợp thứ nhất: Hai cạnh góc vuông bằng nhau (cgv – cgv)

Quan trọng

ĐỊNH LÝ (cgv – cgv): Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Bản chất: Đây chính là trường hợp c.g.c áp dụng cho tam giác vuông, với góc xen giữa là góc vuông $90^\circ$ (góc vuông luôn bằng nhau, nên chỉ cần kiểm tra hai cạnh góc vuông).

Ký hiệu trình bày: Nếu $\triangle ABC$ (vuông tại $A$) và $\triangle DEF$ (vuông tại $D$) có $AB = DE$ và $AC = DF$, thì:

2. Trường hợp thứ hai: Cạnh góc vuông và góc nhọn kề (cgv – gn)

Quan trọng

ĐỊNH LÝ (cgv – gn): Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Bản chất: Đây là trường hợp g.c.g cho tam giác vuông: cạnh cgv kề với góc vuông ($90^\circ$, luôn bằng nhau) và kề với góc nhọn bằng nhau. Ba điều kiện g.c.g đã thỏa.

Lưu ý / Cảnh báo

Lưu ý quan trọng: Góc nhọn bằng nhau bắt buộc phải kề với chính cạnh góc vuông đó. Không được nhầm sang góc nhọn đối diện với cạnh góc vuông đó.

3. Trường hợp thứ ba: Cạnh huyền và góc nhọn bằng nhau (ch – gn)

Quan trọng

ĐỊNH LÝ (ch – gn): Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Bản chất (tại sao hoạt động được?): Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$. Trong $\triangle DEF$ vuông tại $D$: $\widehat{E} + \widehat{F} = 90^\circ$. Nếu $\widehat{B} = \widehat{E}$ thì suy ra ngay $\widehat{C} = \widehat{F}$ (cùng phụ nhau với góc bằng nhau). Kết hợp $BC = EF$ (cạnh huyền), ta có cạnh huyền kề hai góc nhọn bằng nhau $\implies$ thỏa mãn điều kiện g.c.g.

4. Trường hợp thứ tư: Cạnh huyền và cạnh góc vuông bằng nhau (ch – cgv)

Quan trọng

ĐỊNH LÝ (ch – cgv): Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Bản chất (tại sao hoạt động được?): Giả sử $BC = EF$ và $AC = DF$. Áp dụng Định lý Pythagoras:

Như vậy ba cạnh đôi một bằng nhau $\implies$ hai tam giác vuông bằng nhau theo c.c.c.

Cẩn trọng

Chỉ dùng được cho tam giác VUÔNG! Với tam giác thường, biết "hai cạnh và một góc không xen giữa" (trường hợp SSA) là không đủ để kết luận bằng nhau. Trường hợp ch–cgv hoạt động được đúng là nhờ có góc vuông $90^\circ$.

5. Bảng tổng hợp và so sánh 4 trường hợp

6. Quy trình 4 bước chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau

1. Bước 1 (Xác nhận hai tam giác đều vuông): Phải chỉ rõ đỉnh góc vuông của từng tam giác: "Tam giác $ABC$ vuông tại $A$" và "Tam giác $DEF$ vuông tại $D$".
2. Bước 2 (Xác định trường hợp cần dùng): Xem đề bài cho hoặc có thể suy ra điều kiện nào (cạnh chung, cạnh huyền bằng nhau, góc nhọn bằng nhau, tia phân giác, …).
3. Bước 3 (Trình bày "Xét hai tam giác vuông …"): Viết đầy đủ các điều kiện đã có kèm giải thích nguồn gốc.
4. Bước 4 (Kết luận và suy luận): "Vậy $\triangle ABC = \triangle DEF$ (cgv–cgv / cgv–gn / ch–gn / ch–cgv)." Tiếp theo suy ra cạnh, góc tương ứng cần thiết.

II. Các dạng bài tập điển hình và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận dạng và phân loại trường hợp bằng nhau

Phương pháp: Đọc đề bài, liệt kê các yếu tố bằng nhau đã biết, sau đó đối chiếu với bảng 4 trường hợp để xác định đúng trường hợp tương ứng.

Ví dụ 1

Mỗi trường hợp sau tương ứng với trường hợp bằng nhau nào của hai tam giác vuông? a) Hai cạnh góc vuông của tam giác này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác kia. b) Cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau. c) Một cạnh góc vuông và góc nhọn kề bằng nhau. d) Cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng nhau.

Lời giải:

• a) cgv – cgv (Suy ra từ c.g.c, góc xen giữa là góc vuông)
• b) ch – gn (Suy ra từ g.c.g thông qua hai góc nhọn phụ nhau)
• c) cgv – gn (Suy ra từ g.c.g, cạnh góc vuông kề góc vuông $90^\circ$ và góc nhọn)
• d) ch – cgv (Trường hợp riêng của tam giác vuông, suy ra từ định lý Pythagoras)

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau bằng cgv – cgv hoặc cgv – gn

Ví dụ 2 (Mô hình con diều với đường chéo vuông góc)

Cho tứ giác $ACBD$ có hai đường chéo $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau tại $E$, và $E$ là trung điểm của cả $AB$ lẫn $CD$. Chứng minh $\triangle AEC = \triangle AED$ và suy ra $AC = AD$ và $BC = BD$.

Lời giải chi tiết: Vì $AB \perp CD$ tại $E$ nên $\widehat{AEC} = \widehat{AED} = 90^\circ$. Vì $E$ là trung điểm của $CD$ nên $EC = ED$. Xét hai tam giác vuông $\triangle AEC$ (vuông tại $E$) và $\triangle AED$ (vuông tại $E$) có:

• $EA$ là cạnh góc vuông chung;
• $EC = ED$ (cạnh góc vuông, vì $E$ là trung điểm $CD$). Do đó:$$\triangle AEC = \triangle AED\quad\text{(cgv – cgv)}.$$Suy ra $AC = AD$ (hai cạnh huyền tương ứng bằng nhau).

Tương tự, xét $\triangle BEC$ và $\triangle BED$ có:

• $EB$ là cạnh góc vuông chung;
• $EC = ED$. Do đó $\triangle BEC = \triangle BED$ (cgv–cgv) $\implies BC = BD$.

Dạng 3: Chứng minh theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn hoặc cạnh huyền – cạnh góc vuông

Ví dụ 3

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ ($AB = AC$). Kẻ $AM \perp BC$ tại $M$. Chứng minh $\triangle ABM = \triangle ACM$.

Lời giải chi tiết: Vì $AM \perp BC$ tại $M$ nên $\widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^\circ$.

Xét hai tam giác vuông $\triangle ABM$ (vuông tại $M$) và $\triangle ACM$ (vuông tại $M$) có:

• Cạnh huyền $AB = AC$ (vì tam giác $ABC$ cân tại $A$);
• Cạnh góc vuông $AM$ chung. Do đó:$$\triangle ABM = \triangle ACM\quad\text{(ch – cgv)}.$$Suy ra $BM = CM$ (hai cạnh tương ứng), tức $M$ là trung điểm của $BC$.

Dạng 4: Chứng minh điểm nằm trên tia phân giác của một góc

Có một kết quả quan trọng:

Quan trọng

Tính chất của tia phân giác: Một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Đảo lại: Một điểm nằm bên trong một góc mà cách đều hai cạnh thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Ví dụ 4

Cho góc nhọn $\widehat{xOy}$. Gọi $Oz$ là tia phân giác. Lấy điểm $M$ trên $Oz$. Kẻ $MA \perp Ox$ tại $A$, $MB \perp Oy$ tại $B$. Chứng minh $MA = MB$ và $OA = OB$.

Lời giải chi tiết: Vì $MA \perp Ox$ và $MB \perp Oy$, nên $\triangle OAM$ vuông tại $A$ và $\triangle OBM$ vuông tại $B$.

Xét hai tam giác vuông $\triangle OAM$ và $\triangle OBM$ có:

• Cạnh huyền $OM$ chung;
• $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ (vì $Oz$ là tia phân giác $\widehat{xOy}$). Do đó:$$\triangle OAM = \triangle OBM\quad\text{(ch – gn)}.$$Suy ra:
• $MA = MB$ (hai cạnh tương ứng);
• $OA = OB$ (hai cạnh tương ứng).

Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng nhờ hai tam giác vuông bằng nhau

Ví dụ 5

Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC$. Lấy điểm $E$ thuộc tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (E nằm ngoài tam giác). Kẻ $EN \perp AB$ tại $N$, $EP \perp AC$ tại $P$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh ba điểm $A, M, E$ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết (bản phác thảo):

• Vì $E$ nằm trên tia phân giác $\widehat{BAC}$ và $EN \perp AB, EP \perp AC$, theo Dạng 4 ta có:$$\triangle AEN = \triangle AEP\quad\text{(ch–gn)}\implies EN = EP,\ AN = AP.$$
• Xét $\triangle ABE$ và $\triangle ACE$: $AB = AC$ (gt), $\widehat{BAE} = \widehat{CAE}$ (phân giác), $AE$ chung $\implies \triangle ABE = \triangle ACE$ (c.g.c) $\implies BE = CE$.
• Xét $\triangle BNE$ và $\triangle CPE$: cạnh huyền $BE = CE$ và cgv $EN = EP$ (chứng minh trên) $\implies \triangle BNE = \triangle CPE$ (ch–cgv).
• Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACM$: $AB = AC, BM = CM, AM$ chung $\implies \triangle ABM = \triangle ACM$ (c.c.c) $\implies \widehat{BAM} = \widehat{CAM}$. Vậy $AM$ cũng là tia phân giác $\widehat{BAC}$.
• Nhưng $AE$ cũng là tia phân giác $\widehat{BAC}$. Theo tiên đề Euclid, qua điểm $A$ chỉ có một tia là tia phân giác của một góc, nên tia $AM$ và tia $AE$ trùng nhau.
• Vậy $A, M, E$ thẳng hàng.

III. 5 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi & Olympic

Chuyên đề 1: Bẫy "Hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau" — Phân tích điều kiện tối thiểu

Câu hỏi nhanh: Hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì hai tam giác đó có bằng nhau không?

Phân tích: KHÔNG. Hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau chỉ khiến chúng đồng dạng (cùng hình dạng) — nhưng kích thước có thể hoàn toàn khác nhau!

Ví dụ minh hoạ: Hai chiếc ê-ke đều có góc $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$: một chiếc lớn (học sinh dùng trên bảng) và một chiếc nhỏ (học sinh dùng trên vở). Hai chiếc đó không bằng nhau dù có cùng ba góc.

Quan trọng

Kết luận Olympic: Để hai tam giác vuông bằng nhau bằng cách so sánh góc nhọn, bắt buộc phải thêm một điều kiện về cạnh: hoặc thêm cạnh huyền (trường hợp ch–gn), hoặc thêm cạnh góc vuông kề (trường hợp cgv–gn).

Chuyên đề 2: Định lý khoảng cách từ điểm nằm trên tia phân giác của góc đến hai cạnh

Bài toán: Cho góc nhọn $\widehat{xOy}$. Lấy $A \in Ox, B \in Oy$ sao cho $OA = OB$. Kẻ $AE \perp Oy$ tại $E$ và $BF \perp Ox$ tại $F$. Gọi $I$ là giao điểm của $AE$ và $BF$. a) Chứng minh $OE = OF$. b) Chứng minh $OI$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$.

Lời giải chi tiết: a) Xét hai tam giác vuông $\triangle OAE$ (vuông tại $E$) và $\triangle OBF$ (vuông tại $F$) có:

• Cạnh huyền $OA = OB$ (theo giả thiết);
• $\widehat{AOE} = \widehat{BOF}$ cùng bằng $\widehat{O}$ (hai tam giác chung góc tại $O$). Do đó:$$\triangle OAE = \triangle OBF\quad\text{(ch – gn)}.$$Suy ra $OE = OF$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau).

b) Xét hai tam giác vuông $\triangle OEI$ (vuông tại $E$) và $\triangle OFI$ (vuông tại $F$) có:

• Cạnh huyền $OI$ chung;
• Cạnh góc vuông $OE = OF$ (câu a). Do đó:$$\triangle OEI = \triangle OFI\quad\text{(ch – cgv)}.$$Suy ra $\widehat{EOI} = \widehat{FOI}$ (hai góc tương ứng). Vì tia $OI$ chia $\widehat{xOy}$ thành hai góc bằng nhau, nên $OI$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$.

Chuyên đề 3: Đường trung trực và định lý tập hợp điểm

Trong Chuyên đề này, chúng ta sẽ chứng minh một trong những kết quả đẹp nhất của hình học phẳng lớp 7:

Bài toán: Cho đoạn thẳng $AB$. Gọi $d$ là đường trung trực của $AB$ (đường thẳng vuông góc với $AB$ tại trung điểm $O$ của $AB$). Lấy điểm $M$ bất kỳ trên $d$. Chứng minh $MA = MB$.

Lời giải chi tiết: Vì $d \perp AB$ tại $O$ nên $\widehat{MOA} = \widehat{MOB} = 90^\circ$. Xét hai tam giác vuông $\triangle MOA$ (vuông tại $O$) và $\triangle MOB$ (vuông tại $O$) có:

• Cạnh góc vuông $OA = OB$ (vì $O$ là trung điểm $AB$);
• Cạnh góc vuông $MO$ chung. Do đó:$$\triangle MOA = \triangle MOB\quad\text{(cgv – cgv)}.$$Suy ra $MA = MB$ (hai cạnh huyền tương ứng bằng nhau).

Quan trọng

KẾT QUẢ TỔNG QUÁT: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Đảo lại: Nếu $MA = MB$ thì $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$.

Chuyên đề 4: Đo chiều cao bằng bóng nắng — Liên hệ tam giác vuông đồng dạng

Để xác định chiều cao của một cột đèn cao áp mà không cần leo lên đo trực tiếp, người ta dùng phương pháp bóng nắng: đo chiều dài bóng của cột và đặt thêm một cây thước ngay bên cạnh, rồi đo chiều dài bóng của cây thước.

Bài toán: Đặt cây thước thẳng đứng dài $DE = 1{,}5\text{ m}$ bên cạnh cột đèn cao áp $AB$. Bóng cây thước là $DF = 2\text{ m}$, bóng cột đèn là $AC = 16\text{ m}$. Tính chiều cao cột đèn $AB$.

Lời giải (dùng tam giác vuông đồng dạng; đây là phần mở rộng): Do Mặt Trời ở rất xa, các tia sáng xem như song song, tạo với mặt đất cùng một góc nghiêng $\alpha$. Do đó:

• $\triangle ABC$ (cột đèn) vuông tại $A$: $\widehat{BCA} = \alpha$.
• $\triangle DEF$ (cây thước) vuông tại $D$: $\widehat{DFE} = \alpha$ (cùng góc).

Hai tam giác vuông $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ có góc nhọn bằng nhau ($\alpha$) nên chúng đồng dạng (cùng tỉ lệ). Do đó:

Cột đèn cao $12\text{ m}$.

Chuyên đề 5: Bài toán hai đường phân giác góc B và góc C cắt nhau — Điểm nội tâm

Bài toán (Olympic chuẩn lớp 7–8): Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB < AC$. Gọi $I$ là giao điểm của tia phân giác góc $B$ và tia phân giác góc $C$. Từ $I$ kẻ $IM \perp BC$, $IN \perp AC$, $IP \perp AB$ ($M \in BC, N \in AC, P \in AB$). Chứng minh: a) $BM = BP$ (điểm $I$ cách đều hai cạnh $BC$ và $AB$). b) $IM = IN$ (điểm $I$ cách đều $BC$ và $AC$). c) $BP + CN = BC$. d) $AI$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

Lời giải chi tiết: a) Xét hai tam giác vuông $\triangle BIP$ (vuông tại $P$) và $\triangle BIM$ (vuông tại $M$) có:

• Cạnh huyền $BI$ chung;
• $\widehat{PBI} = \widehat{MBI}$ (vì $BI$ là tia phân giác $\widehat{B}$). Do đó: $\triangle BIP = \triangle BIM$ (ch–gn) $\implies BP = BM$ và $IP = IM$.

b) Tương tự, xét hai tam giác vuông $\triangle CIN$ (vuông tại $N$) và $\triangle CIM$ (vuông tại $M$) có: cạnh huyền $CI$ chung, $\widehat{NCI} = \widehat{MCI}$ (phân giác $\widehat{C}$). Do đó: $\triangle CIN = \triangle CIM$ (ch–gn) $\implies CN = CM$ và $IN = IM$.

c) Từ câu a $\implies BM = BP$; từ câu b $\implies CM = CN$. Vì $M \in BC$ nên $BM + CM = BC$. Thay vào: $BP + CN = BM + CM = BC$.

d) Từ câu a $\implies IP = IM$ và từ câu b $\implies IN = IM$, suy ra $IP = IN$. Xét hai tam giác vuông $\triangle AIP$ (vuông tại $P$) và $\triangle AIN$ (vuông tại $N$):

• Cạnh huyền $AI$ chung;
• Cạnh góc vuông $IP = IN$ (chứng minh trên). Do đó: $\triangle AIP = \triangle AIN$ (ch–cgv) $\implies \widehat{PAI} = \widehat{NAI}$. Tức là $AI$ chia góc $\widehat{BAC}$ thành hai góc bằng nhau, nên $AI$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

Ghi nhớ

Kết quả nổi tiếng: Điểm $I$ — giao điểm của ba tia phân giác trong một tam giác — gọi là Tâm nội tiếp (Incenter) của tam giác. Nó cách đều ba cạnh và là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác (Quiz)

V. Đề kiểm tra đánh giá năng lực

Đề 1: Kiểm tra 15 phút

Ma trận đề 15 phút

• Trắc nghiệm (4 câu × 1 điểm = 4 điểm): Nhận biết và thông hiểu 4 trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
• Tự luận (1 bài × 6 điểm): Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau và suy ra hệ quả.

Phần 1: Trắc nghiệm (4 câu — 4 điểm)

Câu 1 (1 điểm): Hai tam giác vuông nhất định bằng nhau khi có:

• A. Một cạnh góc vuông bằng nhau
• B. Hai góc nhọn bằng nhau
• C. Cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau
• D. Chỉ có cạnh huyền bằng nhau

Câu 2 (1 điểm): Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ và $\triangle MNP$ vuông tại $M$, biết $AB = MN, AC = MP$. Hai tam giác bằng nhau theo:

• A. Hai cạnh góc vuông (c.g.c)
• B. Cạnh huyền – góc nhọn
• C. Cạnh huyền – cạnh góc vuông
• D. Cạnh góc vuông – góc nhọn kề

Câu 3 (1 điểm): Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ và $\triangle DEF$ vuông tại $D$, biết $BC = EF$ và $\widehat{B} = \widehat{E}$. Hai tam giác bằng nhau theo:

• A. Hai cạnh góc vuông
• B. Cạnh huyền – góc nhọn
• C. Cạnh huyền – cạnh góc vuông
• D. Góc – Cạnh – Góc thường

Câu 4 (1 điểm): Để $\triangle ABC$ (vuông tại $A$) $= \triangle DEF$ (vuông tại $D$) theo trường hợp ch–cgv, cần có:

• A. $BC = EF$ và $AB = DE$
• B. $AB = DE$ và $AC = DF$
• C. $\widehat{B} = \widehat{E}$ và $AB = DE$
• D. $BC = EF$ và $\widehat{C} = \widehat{F}$

Phần 2: Tự luận (1 bài — 6 điểm)

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Kẻ $AH \perp BC$ tại $H$. a) (3,0 điểm) Chứng minh $\triangle ABH = \triangle ACH$. b) (2,0 điểm) Chứng minh $H$ là trung điểm của $BC$ và $AH$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$. c) (1,0 điểm) Biết $AB = 13\text{ cm}$ và $BC = 10\text{ cm}$. Tính $AH$ (đơn vị: cm).

Hướng dẫn chấm & Barem điểm Đề 15 phút

Đề 2: Kiểm tra 45 phút (Đánh giá định kỳ toàn diện)

Ma trận đề thi 45 phút

Phần 1: Trắc nghiệm (6 câu — 3 điểm)

Câu 1: Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn có tổng bằng:

• A. $180^\circ$
• B. $120^\circ$
• C. $90^\circ$
• D. $45^\circ$

Câu 2: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ và $\triangle HIK$ vuông tại $H$, biết $BC = IK$ và $\widehat{C} = \widehat{K}$. Hai tam giác bằng nhau theo:

• A. cgv–cgv
• B. cgv–gn
• C. ch–gn
• D. ch–cgv

Câu 3: Trong trường hợp cgv–gn, góc nhọn bằng nhau phải:

• A. Là góc nhọn lớn hơn
• B. Là góc nhọn đối diện cạnh góc vuông đó
• C. Kề với chính cạnh góc vuông đó
• D. Bất kỳ góc nhọn nào trong tam giác

Câu 4: Điểm $M$ cách đều hai đầu mút $A$ và $B$ ($MA = MB$) thì điểm $M$ nằm trên:

• A. Đường phân giác của $\widehat{AMB}$
• B. Đường trung trực của đoạn $AB$
• C. Đường thẳng $AB$
• D. Đường tròn tâm $A$ bán kính $AB$

Câu 5: Cho $\triangle ABC$ (vuông tại $A$) $= \triangle DEF$ (vuông tại $D$), $AB = 3\text{ cm}, EF = 5\text{ cm}, DF = 4\text{ cm}$. Chu vi $\triangle ABC$ là:

• A. $10\text{ cm}$
• B. $12\text{ cm}$
• C. $14\text{ cm}$
• D. $16\text{ cm}$

Câu 6: Trường hợp bằng nhau ch–cgv (cạnh huyền – cạnh góc vuông) áp dụng được cho:

• A. Mọi loại tam giác
• B. Chỉ tam giác đều
• C. Chỉ tam giác cân
• D. Chỉ tam giác vuông

Phần 2: Tự luận (3 bài — 7 điểm)

Bài 1 (3,0 điểm): Cho góc nhọn $\widehat{xOy}$. Lấy $A \in Ox$, $B \in Oy$ sao cho $OA = OB$. Kẻ $AE \perp Oy$ tại $E$, $BF \perp Ox$ tại $F$. Gọi $I$ là giao điểm của $AE$ và $BF$. a) (2,0 điểm) Chứng minh $\triangle OAE = \triangle OBF$ và suy ra $OE = OF$. b) (1,0 điểm) Chứng minh $OI$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$.

Bài 2 (3,0 điểm): Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC$. Kẻ $BM \perp AC$ tại $M$ và $CN \perp AB$ tại $N$. a) (1,5 điểm) Chứng minh $\triangle ABM = \triangle ACN$. b) (1,0 điểm) Chứng minh $BM = CN$. c) (0,5 điểm) Biết $AB = 10\text{ cm}$ và $BC = 12\text{ cm}$. Tính $BM$ (đơn vị: cm).

Bài 3 (1,0 điểm — Vận dụng cao Olympic): Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC$. Gọi $d$ là một đường thẳng bất kỳ đi qua $A$ và cắt $BC$ tại điểm $M$. Kẻ $BH \perp d$ tại $H$, $CK \perp d$ tại $K$. Chứng minh $\triangle BHA = \triangle AKC$.

Hướng dẫn chấm & Barem điểm Đề 45 phút

Phần 1: Trắc nghiệm (3,0 điểm — mỗi câu 0,5 điểm)

• Câu 1: C ($90^\circ$ — hai góc nhọn phụ nhau)
• Câu 2: C (BC, IK là cạnh huyền; góc C = góc K là góc nhọn → ch–gn)
• Câu 3: C (Góc nhọn phải kề với cạnh góc vuông đang xét)
• Câu 4: B (Điểm cách đều hai đầu mút nằm trên đường trung trực)
• Câu 5: B (Vì $\triangle ABC = \triangle DEF$ nên $BC = EF = 5$, $CA = FD = 4$, $AB = 3$. Chu vi $= 3 + 5 + 4 = 12\text{ cm}$)
• Câu 6: D (Trường hợp ch–cgv chỉ áp dụng cho tam giác vuông)

Phần 2: Tự luận (7,0 điểm)

Bài 1 (3,0 điểm):

• a) (2,0 điểm):
  • Nêu $\triangle OAE$ vuông tại $E$ và $\triangle OBF$ vuông tại $F$ $(0,5\text{ đ})$.
  • Xét hai tam giác vuông: cạnh huyền $OA = OB$ (gt) $(0,5\text{ đ})$; $\widehat{AOE} = \widehat{BOF}$ (cùng góc $\widehat{O}$) $(0,5\text{ đ})$.
  • Kết luận $\triangle OAE = \triangle OBF$ (ch–gn) $\implies OE = OF$ $(0,5\text{ đ})$.
• b) (1,0 điểm):
  • Xét $\triangle OEI$ (vuông tại $E$) và $\triangle OFI$ (vuông tại $F$): cạnh huyền $OI$ chung; cgv $OE = OF$ (câu a) $(0,5\text{ đ})$.
  • Kết luận $\triangle OEI = \triangle OFI$ (ch–cgv) $\implies \widehat{EOI} = \widehat{FOI}$ nên $OI$ là tia phân giác $\widehat{xOy}$ $(0,5\text{ đ})$.

Bài 2 (3,0 điểm):

• a) (1,5 điểm):
  • $\triangle ABM$ vuông tại $M$, $\triangle ACN$ vuông tại $N$ $(0,5\text{ đ})$.
  • Cạnh huyền $AB = AC$ (gt) $(0,5\text{ đ})$; $\widehat{A}$ chung $(0,25\text{ đ})$.
  • Kết luận $\triangle ABM = \triangle ACN$ (ch–gn) $(0,25\text{ đ})$.
• b) (1,0 điểm):
  • Từ câu a suy ra $BM = CN$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau) $(1,0\text{ đ})$.
• c) (0,5 điểm):
  • Gọi $D$ là chân đường cao từ $A$ xuống $BC$, $BD = 6\text{ cm}$ (nửa $BC$).
  • Trong $\triangle ABN$ (vuông tại $N$): $\sin(\widehat{A}/2) = BN/AB$; nhưng tiện hơn ta dùng: $\triangle ABM$ vuông tại $M$, $AB = 10, BM = ?$.
  • Gọi $\widehat{B} = \beta$; trong $\triangle ABM$: $BM = AB \cos\beta = 10\cos\beta$.
  • Trong $\triangle ABC$: $\cos\beta = BD/AB = 6/10$ (vì tam giác cân nên đường cao từ $A$ chia $BC$ thành $BD = 6$).
  • Vậy $BM = 10 \times \frac{6}{10} = \mathbf{6}\text{ cm}$. Hoặc: áp dụng $$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AH = \frac{1}{2}AB \cdot BM \implies BM = \frac{BC \cdot AH}{AB}.$$

Bài 3 (1,0 điểm):

• Trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$: $\widehat{ABH} + \widehat{BAH} = 90^\circ$ $(0,2\text{ đ})$.
• Vì $\widehat{BAC} = 90^\circ$ (đã biết $AB=AC$ và góc BAC tạo với đường thẳng $d$): $\widehat{BAH} + \widehat{CAK} = 90^\circ$ $(0,2\text{ đ})$.
• So sánh: $\widehat{ABH} = \widehat{CAK}$ $(0,2\text{ đ})$.
• Xét $\triangle BHA$ (vuông tại $H$) và $\triangle AKC$ (vuông tại $K$): cạnh huyền $AB = AC$ (gt); góc nhọn $\widehat{ABH} = \widehat{CAK}$ (cmt) $(0,2\text{ đ})$.
• Kết luận $\triangle BHA = \triangle AKC$ (ch–gn) $(0,2\text{ đ})$.

VI. Bảng tổng kết ghi nhớ vàng