Bài 12. Tổng các góc trong một tam giác

Trong hình học, tam giác là hình đa giác cơ bản và vững chãi nhất. Dù tam giác đó có hình thù như thế nào:

• Một tam giác nhọn đều đặn như biển báo giao thông nguy hiểm.
• Một tam giác vuông cứng cáp như chiếc êke của người thợ mộc hay khung mái nhà vì kèo thép.
• Hay một tam giác tù trải rộng như cánh buồm căng gió lướt sóng ra khơi...

Có một chân lý toán học kỳ diệu luôn đúng cho mọi tam giác trên mặt phẳng: Tổng số đo ba góc trong một tam giác luôn luôn bằng $180^\circ$!

Không phải ngẫu nhiên mà định lý này được xem là viên gạch nền móng đầu tiên của toàn bộ chương Tam giác bằng nhau. Nhờ định lý này, ta giải thích được vì sao một tam giác không thể có hai góc vuông, làm chủ quan hệ phụ nhau của hai góc nhọn trong tam giác vuông, và khai phá tính chất góc ngoài cực kỳ lợi hại. Bài học hôm nay sẽ cùng các em khám phá định lý tuyệt đẹp này, kèm theo $5$ chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Olympic với các công thức góc phân giác kinh điển!

Khởi động — Kiểm tra kiến thức nền tảng (5–7 phút)

Hãy khởi động cùng $5$ câu hỏi nhanh để kích hoạt tư duy góc và tam giác:

1. Phân loại góc: Hãy ghép đúng loại góc với khoảng số đo tương ứng:
   • Góc nhọn $\to$?
   • Góc vuông $\to$?
   • Góc tù $\to$?
   • Góc bẹt $\to$?
2. Hai góc phụ nhau: Hai góc phụ nhau có tổng số đo bằng bao nhiêu độ? Tìm số đo của góc phụ với góc $38^\circ$.
3. Hai góc kề bù: Nếu hai góc kề bù nhau và một góc bằng $125^\circ$, hãy tính số đo của góc còn lại.
4. Thí nghiệm ghép giấy: Nếu em dùng kéo cắt rời ba góc của một tam giác giấy bất kỳ rồi đặt ba đỉnh chụm vào nhau trên một đường thẳng, em quan sát thấy điều gì?
5. Góc so le trong: Cho $xy \parallel BC$. Cát tuyến $AB$ tạo với $xy$ và $BC$ hai góc so le trong. Hai góc này có quan hệ gì?

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Định lý tổng ba góc của một tam giác

Quan trọng

ĐỊNH LÝ: Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$.

Trong tam giác $ABC$, ta luôn có:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ.$$

Chứng minh định lý:

Qua đỉnh $A$, kẻ đường thẳng $xy \parallel BC$ ($Ax$ nằm về phía $B$, $Ay$ nằm về phía $C$).

1. Vì $xy \parallel BC$ bị cắt bởi cát tuyến $AB$ nên:$$\widehat{A_1} = \widehat{B}$$(hai góc so le trong).
2. Vì $xy \parallel BC$ bị cắt bởi cát tuyến $AC$ nên:$$\widehat{A_3} = \widehat{C}$$(hai góc so le trong).
3. Hai tia $Ax$ và $Ay$ là hai tia đối nhau nên góc $\widehat{xAy}$ là góc bẹt:$$\widehat{A_1} + \widehat{A_2} + \widehat{A_3} = 180^\circ.$$Thay $\widehat{A_1} = \widehat{B}$ và $\widehat{A_3} = \widehat{C}$, ta được:$$\widehat{B} + \widehat{BAC} + \widehat{C} = 180^\circ \iff \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ.$$(Định lý được chứng minh).

2. Phân loại tam giác theo số đo góc

Dựa vào định lý tổng ba góc bằng $180^\circ$, các nhà toán học chia mọi tam giác thành $3$ loại theo góc:

Ghi nhớ

HỆ QUẢ TẤT YẾU: Một tam giác không bao giờ có thể có hai góc vuông hoặc hai góc tù.
Vì sao? Nếu có hai góc vuông, tổng hai góc đó đã là $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, khiến góc thứ ba bằng $0^\circ$ (vô lý!). Nếu có hai góc tù, tổng hai góc đã vượt quá $180^\circ$, trái với định lý tổng ba góc!

3. Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau

Quan trọng

ĐỊNH LÝ TAM GIÁC VUÔNG: Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau (tổng số đo bằng $90^\circ$).

Nếu $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ($\widehat{A} = 90^\circ$), thì:

$$\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ.$$

Chứng minh:
Theo định lý tổng ba góc trong $\triangle ABC$:

4. Góc ngoài của tam giác và tính chất

a) Định nghĩa góc ngoài

Ghi nhớ

Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc trong của tam giác đó.

Mỗi đỉnh của một tam giác có hai góc ngoài đối đỉnh nhau (có cùng số đo). Một tam giác có tổng cộng $3$ góc trong và $6$ góc ngoài (chia thành $3$ cặp đối đỉnh).

b) Tính chất của góc ngoài

Quan trọng

ĐỊNH LÝ TÍNH CHẤT GÓC NGOÀI: Mỗi góc ngoài của một tam giác có số đo bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

$$\widehat{ACx} = \widehat{A} + \widehat{B}.$$

Chứng minh:
Vì $\widehat{ACx}$ kề bù với góc trong $\widehat{C}$ nên:

Mặt khác, theo định lý tổng ba góc trong $\triangle ABC$:

Do đó:

Ghi nhớ

HỆ QUẢ SO SÁNH: Góc ngoài của tam giác luôn lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.

$$\widehat{ACx} > \widehat{A}, \quad \widehat{ACx} > \widehat{B}.$$

II. Bảng so sánh trực quan & Các cạm bẫy tư duy

1. Bảng tóm tắt quan hệ các loại góc trong và góc ngoài tam giác

2. Bốn cạm bẫy học sinh rất hay mắc phải

Lưu ý / Cảnh báo

CẠM BẪY 1: Nhầm lẫn "phụ nhau" thành "bù nhau" trong tam giác vuông

• Sai lầm: Học sinh tính góc nhọn $\widehat{C} = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$.
• Chỉnh lý đúng: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau ($90^\circ$). Do đó $\widehat{C} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

Lưu ý / Cảnh báo

CẠM BẪY 2: Bộ ba góc không thỏa mãn tổng bằng $180^\circ$ Nhiều bài toán bẫy đưa ra bộ ba số đo như $50^\circ, 60^\circ, 80^\circ$ rồi hỏi tam giác đó thuộc loại gì.

• Cảnh giác: Kiểm tra tổng trước: $50^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 190^\circ \neq 180^\circ$. Không tồn tại tam giác nào có ba góc như vậy!

Lưu ý / Cảnh báo

CẠM BẪY 3: Cộng cả góc trong kề khi tính góc ngoài Góc ngoài tại đỉnh $C$ chỉ bằng tổng hai góc trong không kề ($\widehat{A} + \widehat{B}$), tuyệt đối không cộng thêm góc $\widehat{C}$ bên trong!

Lưu ý / Cảnh báo

CẠM BẪY 4: Nhầm góc ngoài với góc đối đỉnh của góc trong Góc ngoài là góc kề bù (kéo dài một cạnh), không phải là góc đối đỉnh với góc trong tam giác.

III. Các dạng toán điển hình & Lời giải chi tiết

Dạng 1: Tính số đo một góc khi biết hai góc còn lại trong tam giác

Phương pháp giải: Áp dụng công thức rút ra từ định lý tổng ba góc:

Ví dụ 1

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 72^\circ$ và $\widehat{B} = 48^\circ$. a) Tính số đo của góc $\widehat{C}$.
b) Tam giác $ABC$ là tam giác nhọn, tam giác vuông hay tam giác tù? Vì sao?

Lời giải: a) Áp dụng định lý tổng ba góc trong $\triangle ABC$, ta có:

Suy ra số đo của góc $\widehat{C}$ là:

b) Tam giác $ABC$ có ba góc: $\widehat{A} = 72^\circ < 90^\circ$, $\widehat{B} = 48^\circ < 90^\circ$ và $\widehat{C} = 60^\circ < 90^\circ$.
Vì cả ba góc đều là góc nhọn nên tam giác $ABC$ là tam giác nhọn.

Dạng 2: Tính số đo các góc trong tam giác vuông

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai góc nhọn phụ nhau:

Ví dụ 2

Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$. a) Biết $\widehat{N} = 42^\circ$, tính số đo của góc $\widehat{P}$.
b) Giả sử góc $\widehat{N}$ gấp đôi góc $\widehat{P}$. Tính số đo của mỗi góc nhọn $\widehat{N}$ và $\widehat{P}$.

Lời giải: a) Vì tam giác $MNP$ vuông tại $M$ nên hai góc nhọn $\widehat{N}$ và $\widehat{P}$ phụ nhau:

b) Vì $\widehat{N} = 2\widehat{P}$, thay vào đẳng thức phụ nhau:

Từ đó suy ra số đo góc $\widehat{N}$:

Dạng 3: Tính góc hoặc chứng minh hệ thức dựa vào góc ngoài của tam giác

Phương pháp giải: Sử dụng công thức góc ngoài: $\widehat{G_{\text{ngoai}}} = \widehat{A} + \widehat{B}$. Hoặc dùng quan hệ kề bù: $\widehat{G_{\text{ngoai}}} = 180^\circ - \widehat{G_{\text{trong}}}$.

Ví dụ 3

Cho tam giác $DEF$. Tia phân giác của góc $\widehat{D}$ cắt cạnh $EF$ tại điểm $K$. Biết rằng $\widehat{E} = 50^\circ$ và $\widehat{F} = 30^\circ$. a) Tính số đo góc $\widehat{EDF}$.
b) Tính số đo của góc $\widehat{DKF}$ (sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác $DEK$).

Lời giải: a) Áp dụng định lý tổng ba góc trong $\triangle DEF$:

b) Vì $DK$ là tia phân giác của góc $\widehat{EDF}$ nên:

Xét tam giác $DEK$, góc $\widehat{DKF}$ là góc ngoài tại đỉnh $K$ (do $E, K, F$ thẳng hàng).
Theo định lý tính chất góc ngoài của tam giác:

Dạng 4: Thiết lập phương trình chứa biến $x$ hoặc tỉ lệ thức tìm các góc

Phương pháp giải: Nếu đề bài cho tỉ số giữa các góc hoặc biểu thức đại số chứa ẩn $x$:

1. Thiết lập phương trình: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.
2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau hoặc giải phương trình bậc nhất tìm $x$.
3. Thay lại tính từng góc.

Ví dụ 4

Tìm các góc của tam giác $ABC$, biết rằng số đo ba góc $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}$ tỉ lệ với các số $2 : 3 : 4$.

Lời giải: Theo đề bài, các góc $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}$ tỉ lệ với $2 : 3 : 4$, ta có dãy tỉ số bằng nhau:

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

Từ đó suy ra số đo từng góc:

Kiểm tra lại: $40^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 180^\circ$ (chính xác).

Dạng 5: Bài toán mô hình hóa thực tế

Ví dụ 5 (Thiết kế độ dốc an toàn cho cầu thang bộ)

Trong tiêu chuẩn thiết kế xây dựng, một cầu thang bộ an toàn tựa lên sàn nhà nằm ngang và dẫn lên chiếu nghỉ tầng lầu. Mặt sàn nhà và bức tường đứng đỡ cầu thang tạo với nhau một góc vuông $90^\circ$. Các kỹ sư đo được góc nghiêng của đường dốc cầu thang so với mặt sàn nhà nằm ngang là $\alpha = 34^\circ$. Hỏi góc $\beta$ mà đường dốc cầu thang tạo với bức tường đỡ thẳng đứng bằng bao nhiêu độ?

Lời giải: Đường dốc cầu thang, mặt sàn nhà và bức tường thẳng đứng tạo thành một tam giác vuông (vuông tại giao điểm giữa sàn nhà và tường). Trong tam giác vuông đó, góc nghiêng so với mặt sàn $\alpha$ và góc tạo với bức tường $\beta$ là hai góc nhọn phụ nhau. Do đó:

Vậy đường dốc cầu thang tạo với bức tường thẳng đứng một góc $\beta = 56^\circ$.

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác (Quiz)

V. 5 Chuyên đề Olympic & Học sinh giỏi (HSG) bứt phá

Chuyên đề 1: Công thức góc tạo bởi hai tia phân giác trong của tam giác

Quan trọng

ĐỊNH LÝ GÓC PHÂN GIÁC TRONG: Trong tam giác $ABC$, hai tia phân giác của hai góc $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ cắt nhau tại điểm $I$. Khi đó góc $\widehat{BIC}$ được tính theo góc $\widehat{A}$ bởi công thức:

$$\widehat{BIC} = 90^\circ + \frac{\widehat{A}}{2}.$$

Bài toán 1.1 (Chứng minh công thức)

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 80^\circ$. Hai tia phân giác của góc $\widehat{B}$ và góc $\widehat{C}$ cắt nhau tại điểm $I$. Tính số đo của góc $\widehat{BIC}$.

                     A
                    / \
                   /   \
                  /  I  \
                 / .   . \
                B---------C

Lời giải:

1. Áp dụng định lý tổng ba góc trong $\triangle ABC$:$$\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A}.$$
2. Vì $BI$ là tia phân giác của $\widehat{B}$ và $CI$ là tia phân giác của $\widehat{C}$ nên:$$\widehat{IBC} = \frac{\widehat{B}}{2}, \quad \widehat{ICB} = \frac{\widehat{C}}{2}.$$
3. Xét tam giác $IBC$, tổng ba góc bằng $180^\circ$:$$\widehat{BIC} = 180^\circ - (\widehat{IBC} + \widehat{ICB}) = 180^\circ - \left(\frac{\widehat{B} + \widehat{C}}{2}\right).$$
4. Thay $\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A}$ vào biểu thức:$$\widehat{BIC} = 180^\circ - \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\widehat{A}}{2} = 90^\circ + \frac{\widehat{A}}{2}.$$Áp dụng với $\widehat{A} = 80^\circ$:$$\widehat{BIC} = 90^\circ + \frac{80^\circ}{2} = 90^\circ + 40^\circ = 130^\circ.$$

Chuyên đề 2: Công thức góc tạo bởi hai tia phân giác ngoài của tam giác

Quan trọng

ĐỊNH LÝ GÓC PHÂN GIÁC NGOÀI: Trong tam giác $ABC$, hai tia phân giác của hai góc ngoài tại đỉnh $B$ và đỉnh $C$ cắt nhau tại điểm $J$. Khi đó góc $\widehat{BJC}$ được tính theo công thức:

$$\widehat{BJC} = 90^\circ - \frac{\widehat{A}}{2}.$$

Bài toán 2.1

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 60^\circ$. Hai tia phân giác của hai góc ngoài tại đỉnh $B$ và đỉnh $C$ cắt nhau tại $J$. Tính số đo của góc $\widehat{BJC}$.

Lời giải:

1. Góc ngoài tại đỉnh $B$ có số đo là $180^\circ - \widehat{B}$.
   Tia phân giác chia đôi nên góc nhỏ bên trong là:$$\widehat{JBC} = \frac{180^\circ - \widehat{B}}{2} = 90^\circ - \frac{\widehat{B}}{2}.$$
2. Tương tự, tại đỉnh $C$:$$\widehat{JCB} = \frac{180^\circ - \widehat{C}}{2} = 90^\circ - \frac{\widehat{C}}{2}.$$
3. Xét tam giác $JBC$:$$\widehat{BJC} = 180^\circ - (\widehat{JBC} + \widehat{JCB}) = 180^\circ - \left(180^\circ - \frac{\widehat{B} + \widehat{C}}{2}\right) = \frac{\widehat{B} + \widehat{C}}{2}.$$
4. Vì $\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A}$, suy ra:$$\widehat{BJC} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2} = 90^\circ - \frac{\widehat{A}}{2}.$$Áp dụng với $\widehat{A} = 60^\circ$:$$\widehat{BJC} = 90^\circ - \frac{60^\circ}{2} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.$$

Chuyên đề 3: Góc tạo bởi một tia phân giác trong và một tia phân giác ngoài

Quan trọng

ĐỊNH LÝ GÓC PHÂN GIÁC TRONG - NGOÀI: Tia phân giác trong của góc $\widehat{B}$ và tia phân giác ngoài của góc $\widehat{C}$ cắt nhau tại điểm $K$. Khi đó:

$$\widehat{BKC} = \frac{\widehat{A}}{2}.$$

Bài toán 3.1

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 74^\circ$. Tia phân giác của góc trong $\widehat{B}$ và tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh $C$ cắt nhau tại điểm $K$. Tính số đo góc $\widehat{BKC}$.

Lời giải:

1. Xét tam giác $BKC$, góc ngoài tại đỉnh $C$ của $\triangle BKC$ là góc tạo bởi tia phân giác ngoài $CK$ với tia đối của $BC$:$$\widehat{ACx} = \widehat{A} + \widehat{B} \implies \widehat{KCx} = \frac{\widehat{A} + \widehat{B}}{2}.$$
2. Mặt khác, trong $\triangle KBC$, góc $\widehat{KCx}$ là góc ngoài tại $C$:$$\widehat{KCx} = \widehat{BKC} + \widehat{KBC} = \widehat{BKC} + \frac{\widehat{B}}{2}.$$
3. Cân bằng hai vế:$$\widehat{BKC} + \frac{\widehat{B}}{2} = \frac{\widehat{A}}{2} + \frac{\widehat{B}}{2} \implies \widehat{BKC} = \frac{\widehat{A}}{2}.$$Áp dụng số:$$\widehat{BKC} = \frac{74^\circ}{2} = 37^\circ.$$

Chuyên đề 4: Định lý tổng ba góc ngoài tại ba đỉnh của tam giác

Ghi nhớ

ĐỊNH LÝ TỔNG BA GÓC NGOÀI: Tổng số đo ba góc ngoài tại ba đỉnh của một tam giác luôn bằng $360^\circ$.

Bài toán 4.1 (Chứng minh định lý)

Chứng minh rằng nếu tại mỗi đỉnh của tam giác $ABC$, ta lấy một góc ngoài, thì tổng số đo của ba góc ngoài đó luôn bằng $360^\circ$.

Lời giải: Gọi ba góc ngoài tại ba đỉnh $A, B, C$ lần lượt là $\widehat{A_1}, \widehat{B_1}, \widehat{C_1}$.

• Vì mỗi góc ngoài kề bù với một góc trong tương ứng nên:$$\widehat{A_1} = 180^\circ - \widehat{A}$$$$\widehat{B_1} = 180^\circ - \widehat{B}$$$$\widehat{C_1} = 180^\circ - \widehat{C}$$
• Cộng từng vế của cả ba đẳng thức trên:$$\widehat{A_1} + \widehat{B_1} + \widehat{C_1} = (180^\circ - \widehat{A}) + (180^\circ - \widehat{B}) + (180^\circ - \widehat{C})$$$$\widehat{A_1} + \widehat{B_1} + \widehat{C_1} = 540^\circ - (\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C}).$$
• Mà theo định lý tổng ba góc trong tam giác: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.
  Do đó:$$\widehat{A_1} + \widehat{B_1} + \widehat{C_1} = 540^\circ - 180^\circ = 360^\circ.$$(Định lý được chứng minh).

Chuyên đề 5: Hệ thức góc của tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền

Quan trọng

ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CAO TAM GIÁC VUÔNG: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, kẻ đường cao $AH \perp BC$ ($H \in BC$). Khi đó:

$$\widehat{BAH} = \widehat{C}, \quad \widehat{CAH} = \widehat{B}.$$

Bài toán 5.1

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B} = 65^\circ$. Kẻ đường cao $AH$ ($H \in BC$). Tính số đo các góc $\widehat{C}, \widehat{BAH}$ và $\widehat{CAH}$.

Lời giải:

1. Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$:$$\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ.$$
2. Xét $\triangle ABH$ vuông tại $H$:$$\widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat{B} = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ.$$Nhận xét: $\widehat{BAH} = \widehat{C} = 25^\circ$ (cùng phụ với $\widehat{B}$).
3. Xét $\triangle ACH$ vuông tại $H$:$$\widehat{CAH} = 90^\circ - \widehat{C} = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ.$$Nhận xét: $\widehat{CAH} = \widehat{B} = 65^\circ$ (cùng phụ với $\widehat{C}$).

VI. Bộ đề kiểm tra chuẩn hóa

ĐỀ 1: KIỂM TRA 15 PHÚT (Mức độ Nhận biết & Thông hiểu)

A. Trắc nghiệm (6 điểm — Mỗi câu 1 điểm)

Câu 1. Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng:
A. $90^\circ$
B. $180^\circ$
C. $270^\circ$
D. $360^\circ$

Câu 2. Tam giác vuông có một góc nhọn bằng $44^\circ$. Số đo góc nhọn còn lại là:
A. $44^\circ$
B. $46^\circ$
C. $56^\circ$
D. $136^\circ$

Câu 3. Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{A} = 50^\circ, \widehat{B} = 70^\circ$. Số đo góc $\widehat{C}$ là:
A. $50^\circ$
B. $60^\circ$
C. $70^\circ$
D. $80^\circ$

Câu 4. Cho tam giác có một góc tù. Hai góc còn lại bắt buộc phải là:
A. Hai góc vuông
B. Một góc nhọn và một góc vuông
C. Hai góc nhọn
D. Hai góc tù

Câu 5. Góc ngoài tại đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ bằng:
A. $\widehat{B} + \widehat{C}$
B. $180^\circ - \widehat{B}$
C. $\widehat{A} + \widehat{B}$
D. $\widehat{A} + \widehat{C}$

Câu 6. Cho $\triangle ABC$ cân tại $A$ có góc $\widehat{B} = 70^\circ$. Số đo của góc ở đỉnh $\widehat{A}$ là:
A. $70^\circ$
B. $55^\circ$
C. $40^\circ$
D. $110^\circ$

B. Tự luận (4 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $\widehat{C} = 32^\circ$. Kẻ đường cao $AH$ ($H \in BC$).
a) Tính số đo góc $\widehat{B}$.
b) Tính số đo góc $\widehat{HAC}$.

Bài 2 (2,0 điểm). Cho tam giác $MNP$ có $\widehat{M} = 80^\circ$ và $\widehat{N} - \widehat{P} = 20^\circ$. Hãy tính số đo của mỗi góc $\widehat{N}$ và $\widehat{P}$.

HƯỚNG DẪN CHẤM & ĐÁP ÁN ĐỀ 15 PHÚT

Bảng đáp án trắc nghiệm

Hướng dẫn tự luận

• Bài 1 (2,0 điểm):

  • a) Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên hai góc nhọn phụ nhau: $$\widehat{B} = 90^\circ - \widehat{C} = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$$ (1,0 điểm).
  • b) Trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$: $$\widehat{HAC} = 90^\circ - \widehat{C} = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$$ (1,0 điểm).

• Bài 2 (2,0 điểm):

  • Theo định lý tổng ba góc trong $\triangle MNP$: $$\widehat{N} + \widehat{P} = 180^\circ - \widehat{M} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$$ (0,5 điểm).
  • Kết hợp với $\widehat{N} - \widehat{P} = 20^\circ$: $\widehat{N} = \frac{100^\circ + 20^\circ}{2} = 60^\circ$ (0,75 điểm). $\widehat{P} = 100^\circ - 60^\circ = 40^\circ$ (0,75 điểm).

ĐỀ 2: KIỂM TRA 45 PHÚT (Đề 1 tiết định kỳ chuẩn ma trận)

MA TRẬN ĐỀ THI

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (4,0 điểm — 8 câu, mỗi câu 0,5 điểm)

Câu 1. Trong một tam giác vuông, tổng số đo hai góc nhọn bằng:
A. $45^\circ$
B. $90^\circ$
C. $180^\circ$
D. $360^\circ$

Câu 2. Tam giác có ba góc bằng nhau là:
A. Tam giác vuông cân
B. Tam giác đều
C. Tam giác tù
D. Tam giác vuông

Câu 3. Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{A} = 40^\circ, \widehat{B} = 60^\circ$. Góc ngoài tại đỉnh $C$ có số đo là:
A. $80^\circ$
B. $100^\circ$
C. $120^\circ$
D. $140^\circ$

Câu 4. Cho $\triangle ABC$ có ba góc tỉ lệ với $1 : 2 : 3$. Tam giác $ABC$ là loại tam giác nào?
A. Tam giác nhọn
B. Tam giác vuông
C. Tam giác tù
D. Tam giác đều

Câu 5. Một góc ngoài của tam giác bằng $110^\circ$, một góc trong không kề với nó bằng $45^\circ$. Góc trong không kề còn lại bằng:
A. $55^\circ$
B. $65^\circ$
C. $70^\circ$
D. $135^\circ$

Câu 6. Khẳng định nào sau đây là SAI?
A. Trong tam giác, góc ngoài luôn lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó
B. Tam giác có thể có một góc vuông và một góc tù
C. Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$
D. Tổng ba góc ngoài tại ba đỉnh của tam giác bằng $360^\circ$

Câu 7. Cho $\triangle DEF$ vuông tại $D$, biết $\widehat{E} = 3\widehat{F}$. Số đo của góc $\widehat{E}$ là:
A. $22{,}5^\circ$
B. $45^\circ$
C. $67{,}5^\circ$
D. $30^\circ$

Câu 8. Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{A} = 70^\circ$. Hai tia phân giác của góc $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ cắt nhau tại $I$. Số đo góc $\widehat{BIC}$ là:
A. $110^\circ$
B. $125^\circ$
C. $135^\circ$
D. $140^\circ$

PHẦN II. TỰ LUẬN (6,0 điểm — 3 bài)

Bài 1 (3,0 điểm).
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 70^\circ$ và $\widehat{C} = 30^\circ$.
a) Tính số đo góc $\widehat{A}$. Tam giác $ABC$ là tam giác gì? (1,5 điểm)
b) Kẻ tia phân giác $AD$ của góc $\widehat{A}$ ($D \in BC$). Tính số đo các góc $\widehat{ADB}$ và $\widehat{ADC}$ (1,5 điểm).

Bài 2 (2,0 điểm).
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Kẻ đường cao $AH$ ($H \in BC$).
a) Chứng minh rằng $\widehat{BAH} = \widehat{C}$ (1,0 điểm).
b) Tia phân giác của góc $\widehat{BAH}$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $K$. Chứng minh rằng $\widehat{AKB} = 90^\circ + \frac{\widehat{C}}{2}$ (1,0 điểm).

Bài 3 (1,0 điểm — Dành cho học sinh giỏi phân hóa điểm 10).
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = \alpha$. Hai tia phân giác của hai góc ngoài tại đỉnh $B$ và đỉnh $C$ cắt nhau tại điểm $J$.
a) Chứng minh công thức: $\widehat{BJC} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ (0,5 điểm).
b) Tìm giá trị của $\alpha$ để góc $\widehat{BJC} = 45^\circ$ (0,5 điểm).

HƯỚNG DẪN CHẤM & ĐÁP ÁN ĐỀ 45 PHÚT

Bảng đáp án trắc nghiệm (4,0 điểm)