Ôn tập Chương 4. Tam giác bằng nhau

Chào mừng các em học sinh bước vào chuyên đề Tổng ôn tập toàn diện Chương IV: Tam giác bằng nhau trong chương trình Hình học Toán lớp 7!

Nếu như ở Chương III, các em đã làm quen với các khái niệm góc và hai đường thẳng song song, thì Chương IV chính là trọng tâm cốt lõi của hình học phẳng cấp THCS. Toàn bộ hệ thống định lý về sau — từ định lý Pythagore, tứ giác đặc biệt lớp 8 cho đến tam giác đồng dạng và đường tròn lớp 9 — đều xây dựng trên nền tảng vững chắc của các trường hợp bằng nhau của tam giác.

Xuyên suốt Chương IV, chúng ta đã chinh phục:

• Bài 12: Định lý tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng $180^\circ$ và tính chất góc ngoài của tam giác.
• Bài 13: Định nghĩa hai tam giác bằng nhau và trường hợp bằng nhau thứ nhất: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c).
• Bài 14: Hai trường hợp bằng nhau cơ bản: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c) và Góc - Cạnh - Góc (g.c.g).
• Bài 15: Bốn trường hợp bằng nhau đặc trưng của tam giác vuông (hai cạnh góc vuông, cạnh góc vuông - góc nhọn kề, cạnh huyền - góc nhọn, cạnh huyền - cạnh góc vuông).
• Bài 16: Tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông cân và tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.

Bài học này được biên soạn công phu với hệ thống sơ đồ kiến thức, các phòng thí nghiệm hình học tương tác, $5$ dạng toán điển hình, $5$ chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Olympic và $2$ đề kiểm tra chuẩn cấu trúc $45$ phút!

I. Hệ thống kiến thức trọng tâm

1. Tổng các góc trong một tam giác và góc ngoài

Quan trọng

ĐỊNH LÝ 1 (Tổng ba góc của một tam giác): Tổng ba góc trong một tam giác bất kỳ luôn bằng $180^\circ$:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ.$$

• Hệ quả đối với tam giác vuông: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau (tổng bằng $90^\circ$).
• Định nghĩa góc ngoài: Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc trong của tam giác đó.
• Tính chất góc ngoài: Mỗi góc ngoài của một tam giác có số đo bằng tổng số đo hai góc trong không kề với nó:$$\widehat{ACx} = \widehat{A} + \widehat{B} > \widehat{A}; \quad \widehat{ACx} > \widehat{B}.$$

2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác thường

Để chứng minh $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$, ta có $3$ trường hợp cơ bản:

1. Trường hợp 1 — Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c): Nếu $AB = A'B'$, $BC = B'C'$, $CA = C'A'$ thì $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$.

2. Trường hợp 2 — Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c): Nếu $AB = A'B'$, $\widehat{B} = \widehat{B'}$, $BC = B'C'$ thì $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$. (Lưu ý bắt buộc: Góc bằng nhau phải là góc xen giữa hai cạnh tương ứng).

3. Trường hợp 3 — Góc - Cạnh - Góc (g.c.g): Nếu $\widehat{B} = \widehat{B'}$, $BC = B'C'$, $\widehat{C} = \widehat{C'}$ thì $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$. (Lưu ý bắt buộc: Cạnh bằng nhau phải là cạnh kề với cả hai góc tương ứng).

3. Bốn trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Tam giác vuông đã có sẵn một góc bằng nhau là góc vuông ($90^\circ$). Do đó, các trường hợp bằng nhau được suy biến gọn gàng hơn:

4. Tam giác cân, Tam giác đều và Đường trung trực

Ghi nhớ

TÍNH CHẤT NỀN TẢNG CỦA TAM GIÁC CÂN: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ ($AB = AC$):

1. Hai góc ở đáy bằng nhau: $\widehat{B} = \widehat{C} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2}$.
2. Góc ở đỉnh: $\widehat{A} = 180^\circ - 2\widehat{B}$.
3. Đường phân giác góc $A$, đường trung tuyến ứng với đáy $BC$, đường cao kẻ từ $A$ và đường trung trực của cạnh $BC$ trùng nhau.

• Tam giác đều: Là tam giác có $3$ cạnh bằng nhau, tương đương $3$ góc bằng nhau và mỗi góc bằng $60^\circ$.
• Tam giác vuông cân: Vừa vuông vừa cân, có hai góc nhọn ở đáy bằng nhau và bằng $45^\circ$.
• Đường trung trực của đoạn thẳng: Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
  • Định lý thuận: Điểm nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút ($M \in d \implies MA = MB$).
  • Định lý đảo: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó ($MA = MB \implies M \in d$).

II. Phân dạng bài tập & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Tính số đo góc trong tam giác, tam giác cân

• Phương pháp:
  • Vận dụng định lý tổng ba góc bằng $180^\circ$.
  • Trong tam giác vuông: tính số đo góc còn lại bằng $90^\circ - \alpha$.
  • Trong tam giác cân: dùng công thức liên hệ giữa góc đỉnh và góc đáy.
  • Sử dụng tính chất góc ngoài để liên kết các góc rời rạc.

Bài toán 1: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 68^\circ$, số đo góc $\widehat{B}$ gấp đôi số đo góc $\widehat{C}$. Tính số đo các góc $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$.

Lời giải: Trong tam giác $ABC$, ta có:

Theo giả thiết, $\widehat{B} = 2\widehat{C}$, suy ra:

Từ đó:

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác bằng nhau và suy ra các đoạn thẳng, góc bằng nhau

• Phương pháp chuẩn 4 bước:
  1. Bước 1: Vẽ hình chuẩn xác, đánh dấu các dữ kiện bằng nhau lên hình.
  2. Bước 2: Xét hai tam giác cần chứng minh (chú ý viết đúng thứ tự đỉnh tương ứng).
  3. Bước 3: Liệt kê đầy đủ $3$ điều kiện (chỉ rõ giả thiết, cạnh chung, góc đối đỉnh, v.v.).
  4. Bước 4: Kết luận hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cụ thể (c.c.c, c.g.c, g.c.g, ch-gn...), từ đó suy ra các yếu tố tương ứng cần tìm.

Bài toán 2: Cho góc nhọn $\widehat{xOy}$. Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$, trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ sao cho $OA = OB$. Gọi $Oz$ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$. Lấy điểm $M$ bất kỳ trên tia $Oz$ ($M \ne O$). Chứng minh rằng: a) $\triangle OAM = \triangle OBM$. b) $MA = MB$ và $OM \perp AB$.

Lời giải:

a) Xét $\triangle OAM$ và $\triangle OBM$ có:

• $OA = OB$ (theo giả thiết);
• $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ (do $Oz$ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$);
• Cạnh $OM$ chung. $\implies \triangle OAM = \triangle OBM$ (c.g.c).

b) Vì $\triangle OAM = \triangle OBM$ (chứng minh câu a): $\implies MA = MB$ (hai cạnh tương ứng). Gọi $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB$. Xét $\triangle OAH$ và $\triangle OBH$ có:

• $OA = OB$ (giả thiết);
• $\widehat{AOH} = \widehat{BOH}$ ($Oz$ là phân giác);
• $OH$ chung. $\implies \triangle OAH = \triangle OBH$ (c.g.c). $\implies \widehat{OHA} = \widehat{OHB}$ (hai góc tương ứng). Mà $\widehat{OHA} + \widehat{OHB} = 180^\circ$ (hai góc kề bù) $\implies \widehat{OHA} = \widehat{OHB} = 90^\circ$. Vậy $OM \perp AB$ tại $H$.

Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc vuông góc

• Phương pháp:
  • Chứng minh hai tam giác bằng nhau để suy ra một cặp góc so le trong bằng nhau hoặc đồng vị bằng nhau $\implies$ hai đường thẳng song song.
  • Chứng minh hai góc kề bù bằng nhau $\implies$ mỗi góc bằng $90^\circ \implies$ vuông góc.

Bài toán 3: Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $D$ sao cho $MD = MA$. a) Chứng minh rằng $\triangle ABM = \triangle DCM$. b) Chứng minh $AB \parallel CD$. c) Kẻ $AH \perp BC$ ($H \in BC$), $DK \perp BC$ ($K \in BC$). Chứng minh $AH = DK$.

Lời giải: a) Xét $\triangle ABM$ và $\triangle DCM$ có:

• $AM = DM$ (theo giả thiết);
• $\widehat{AMB} = \widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh);
• $BM = CM$ ($M$ là trung điểm của $BC$). $\implies \triangle ABM = \triangle DCM$ (c.g.c).

b) Từ $\triangle ABM = \triangle DCM$ (câu a): $\implies \widehat{BAM} = \widehat{CDM}$ (hai góc tương ứng). Mà hai góc này ở vị trí so le trong đối với hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bị cắt bởi cát tuyến $AD$. Do đó $AB \parallel CD$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

c) Xét hai tam giác vuông $\triangle AHM$ (vuông tại $H$) và $\triangle DKM$ (vuông tại $K$):

• Cạnh huyền $AM = DM$ (giả thiết);
• $\widehat{AMH} = \widehat{DMK}$ (hai góc đối đỉnh). $\implies \triangle AHM = \triangle DKM$ (trường hợp cạnh huyền - góc nhọn). $\implies AH = DK$ (hai cạnh góc vuông tương ứng).

III. 5 Chuyên đề Nâng cao Bồi dưỡng Học sinh giỏi Olympic

Chuyên đề 1: Kỹ thuật dựng tam giác đều phụ để tính số đo góc

Mẹo hay

CHIÊU THỨC OLYMPIC: Khi gặp các bài toán cho tam giác cân có góc ở đỉnh là $20^\circ, 80^\circ, 100^\circ$, các phép tính góc thông thường sẽ bị "tắc đường". Chiêu thức đỉnh cao là dựng một tam giác đều phụ (có ba cạnh bằng nhau và ba góc bằng $60^\circ$) để liên kết các đoạn thẳng bằng nhau!

Bài toán Olympic 1: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A} = 20^\circ$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $D$ sao cho $AD = BC$. Tính số đo góc $\widehat{CBD}$.

Phân tích và Lời giải: Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $$\widehat{A} = 20^\circ \implies \widehat{B} = \widehat{C} = \frac{180^\circ - 20^\circ}{2} = 80^\circ.$$ Vì $AD = BC$ và góc $20^\circ$ gợi nhớ đến hiệu $80^\circ - 60^\circ = 20^\circ$, ta dựng tam giác đều phụ $BCE$ sao cho $E$ và $A$ cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ $BC$. Khi đó:

• $BC = BE = CE$ và $\widehat{BCE} = \widehat{CBE} = \widehat{BEC} = 60^\circ$.
• Góc $$\widehat{ACE} = \widehat{ACB} - \widehat{BCE} = 80^\circ - 60^\circ = 20^\circ.$$
• Vì $AD = BC$ mà $BC = CE \implies AD = CE$. Xét $\triangle ABD$ và $\triangle CAE$ có:
• $AB = CA$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$);
• $\widehat{BAD} = \widehat{ACE} = 20^\circ$;
• $AD = CE$ (chứng minh trên). $\implies \triangle ABD = \triangle CAE$ (c.g.c). $\implies BD = AE$ và $\widehat{ABD} = \widehat{CAE}$. Mặt khác, xét $\triangle ABE$ và $\triangle ACE$ có:
• $AB = AC$, $BE = CE$, cạnh $AE$ chung $\implies \triangle ABE = \triangle ACE$ (c.c.c). $\implies \widehat{BAE} = \widehat{CAE} = \frac{\widehat{BAC}}{2} = \frac{20^\circ}{2} = 10^\circ$. Từ đó $\widehat{ABD} = \widehat{CAE} = 10^\circ$. Vậy:$$\widehat{CBD} = \widehat{ABC} - \widehat{ABD} = 80^\circ - 10^\circ = 70^\circ.$$

Chuyên đề 2: Kỹ thuật kéo dài tia đối và tạo đoạn thẳng gấp đôi

Khi bài toán xuất hiện yếu tố trung điểm của một cạnh, phương pháp kinh điển nhất là kéo dài đường trung tuyến thêm một đoạn bằng chính nó để tạo thành một cặp tam giác bằng nhau dạng cánh bướm đối đỉnh.

Bài toán Olympic 2: Cho tam giác $ABC$ có $AB < AC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng:

Lời giải: Trên tia đối của tia $MA$, lấy điểm $E$ sao cho $ME = MA$. Xét $\triangle MAB$ và $\triangle MEC$ có:

• $MA = ME$ (cách dựng);
• $\widehat{AMB} = \widehat{EMC}$ (hai góc đối đỉnh);
• $MB = MC$ ($M$ là trung điểm $BC$). $\implies \triangle MAB = \triangle MEC$ (c.g.c). $\implies AB = CE$ và $\widehat{MAB} = \widehat{MEC}$. Theo giả thiết $AB < AC$, mà $AB = CE \implies CE < AC$. Trong tam giác $ACE$, vì cạnh $CE < AC$, theo quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác, ta suy ra:$$\widehat{CAE} < \widehat{CEA}.$$Mà $\widehat{CAE} = \widehat{MAC}$ và $\widehat{CEA} = \widehat{MEC} = \widehat{MAB}$. Do đó:$$\widehat{MAC} < \widehat{MAB} \quad (\text{điều phải chứng minh}).$$

Chuyên đề 3: Tính chất ba đường trung trực và Tâm đường tròn ngoại tiếp

Ghi nhớ

ĐỊNH LÝ ĐỒNG QUY CỦA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Bài toán Olympic 3: Cho tam giác nhọn $ABC$. Các đường trung trực của $AB$ và $AC$ cắt nhau tại điểm $O$. Chứng minh rằng: a) Điểm $O$ thuộc đường trung trực của cạnh $BC$. b) Nếu $\widehat{A} = 70^\circ$, hãy tính số đo góc $\widehat{BOC}$.

Lời giải: a) Vì $O$ thuộc đường trung trực của $AB \implies OA = OB$. Vì $O$ thuộc đường trung trực của $AC \implies OA = OC$. Từ đó suy ra $OB = OC$. Theo định lý đảo về đường trung trực: điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng $BC$ thì nằm trên đường trung trực của $BC$. Vậy $O$ thuộc đường trung trực của cạnh $BC$.

b) Vì $OA = OB = OC$:

• $\triangle OAB$ cân tại $O \implies \widehat{OBA} = \widehat{OAB}$.
• $\triangle OAC$ cân tại $O \implies \widehat{OCA} = \widehat{OAC}$. Từ đó:$$\widehat{OAB} + \widehat{OAC} = \widehat{BAC} = 70^\circ \implies \widehat{OBA} + \widehat{OCA} = 70^\circ.$$Xét tứ giác $ABOC$ (hoặc xét tổng góc trong tam giác): Góc $$\widehat{BOC} = 2 \times \widehat{BAC} = 2 \times 70^\circ = 140^\circ.$$

Chuyên đề 4: Phương pháp phản chứng trong chứng minh tam giác bằng nhau

Bài toán Olympic 4: Chứng minh rằng không thể tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là $a, b, c$ thỏa mãn đồng thời:

Lời giải: Giả sử phản chứng tồn tại tam giác $ABC$ có ba cạnh $BC = a, CA = b, AB = c$ thỏa mãn $a + b \le c$, tức là $BC + CA \le AB$. Theo bất đẳng thức tam giác, đường gấp khúc nối hai điểm $A$ và $B$ qua $C$ luôn có độ dài lớn hơn đoạn thẳng nối trực tiếp $A$ và $B$:

Điều này mâu thuẫn hoàn toàn với giả thiết phản chứng $a + b \le c$. Sự mâu thuẫn này chứng tỏ điều giả sử là sai. Vậy không tồn tại tam giác nào có $a + b \le c$.

Chuyên đề 5: Điểm Fermat và bài toán tối ưu khoảng cách

Trong một tam giác nhọn $ABC$, bài toán tìm điểm $P$ sao cho tổng khoảng cách:

đạt giá trị nhỏ nhất được gọi là Bài toán Fermat - Torricelli. Bằng phép quay hoặc dựng tam giác đều phụ ra phía ngoài ba cạnh của tam giác $ABC$, điểm $P$ tối ưu chính là điểm nhìn ba cạnh của tam giác dưới các góc bằng nhau và bằng $120^\circ$:

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác kiểm tra năng lực

Hãy chọn đáp án đúng cho mỗi câu hỏi dưới đây, sau đó bấm nút để kiểm tra kết quả ngay lập tức:

V. Đề kiểm tra 45 phút tổng kết Chương 4 (Có hướng dẫn giải)

ĐỀ SỐ 1 (Thời gian: 45 phút — Ma trận chuẩn GDPT 2018)

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 điểm)

Mỗi câu đúng được 0,5 điểm.

Câu 1: Tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 45^\circ, \widehat{B} = 65^\circ$. Số đo góc $C$ là:

• A. $70^\circ$
• B. $80^\circ$
• C. $90^\circ$
• D. $60^\circ$

Câu 2: Cho $\triangle ABC = \triangle MNP$, biết $AC = 7\text{ cm}$. Cạnh nào của $\triangle MNP$ có độ dài bằng $7\text{ cm}$?

• A. $MN$
• B. $NP$
• C. $MP$
• D. Không xác định được

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Biết $\widehat{B} = 50^\circ$, góc ở đỉnh $\widehat{A}$ có số đo là:

• A. $50^\circ$
• B. $80^\circ$
• C. $65^\circ$
• D. $100^\circ$

Câu 4: Trường hợp bằng nhau nào dưới đây không áp dụng cho hai tam giác thường?

• A. Cạnh - Cạnh - Cạnh
• B. Cạnh - Góc - Cạnh
• C. Cạnh huyền - Góc nhọn
• D. Góc - Cạnh - Góc

Câu 5: Điểm $P$ cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng $MN$ thì $P$ nằm trên:

• A. Đường song song với $MN$
• B. Đường trung trực của $MN$
• C. Tia phân giác của góc tạo bởi $MN$
• D. Đoạn thẳng $MN$

Câu 6: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{C} = 30^\circ$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

• A. $\widehat{B} = 60^\circ$
• B. $\widehat{B} = 30^\circ$
• C. $AB = BC$
• D. $AC = \frac{1}{2}BC$

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm): Cho tam giác $DEF$ có $\widehat{D} = 70^\circ$. Hai góc $E$ và $F$ có tỉ lệ $\frac{\widehat{E}}{\widehat{F}} = \frac{5}{6}$. Tính số đo các góc $\widehat{E}$ và $\widehat{F}$.

Bài 2 (4,0 điểm): Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ ($\widehat{A} < 90^\circ$). Kẻ $BH \perp AC$ tại $H$ và $CK \perp AB$ tại $K$. a) Chứng minh rằng $\triangle ABH = \triangle ACK$. b) Chứng minh $AH = AK$ và $\triangle AHK$ cân tại $A$. c) Gọi $I$ là giao điểm của $BH$ và $CK$. Chứng minh $AI$ là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$ và $AI \perp BC$.

Bài 3 (1,0 điểm — Vận dụng cao): Cho đoạn thẳng $AB$. Tìm tập hợp tất cả các điểm $M$ trong mặt phẳng sao cho tam giác $MAB$ cân tại $M$.

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ SỐ 1

VI. Tổng kết ghi nhớ

1. Tổng ba góc: Luôn là $180^\circ$. Góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề nó.
2. Ba trường hợp bằng nhau cơ bản: $c.c.c$, $c.g.c$ (góc kẹp giữa), $g.c.g$ (cạnh kẹp giữa).
3. Bốn trường hợp tam giác vuông: $cgv - cgv$, $cgv - gn$, $ch - gn$, $ch - cgv$.
4. Tam giác cân: Hai góc đáy bằng nhau. Bốn đường xuất phát từ đỉnh (cao, phân giác, trung tuyến, trung trực) trùng làm một.
5. Đường trung trực: Vuông góc tại trung điểm và là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.