Bài 37. Hình lăng trụ đứng tam giác và Hình lăng trụ đứng tứ giác

Khi đi cắm trại trong rừng, chiếc lều vải chữ A che mưa gió có hình dáng gì? Khi thưởng thức thanh sô-cô-la Toblerone nổi tiếng của Thụy Sĩ, hộp đựng của nó có cấu trúc thế nào? Hay những cuốn lịch để bàn hình tam giác, những viên gạch lát vỉa hè hình lục giác, những con đê chắn sóng hình thang bên bờ biển?

Tất cả những vật thể quen thuộc đó đều có chung một cấu trúc hình học không gian tuyệt đẹp: Hình lăng trụ đứng.

Nếu hình hộp chữ nhật có hai mặt đáy là hình chữ nhật thì hình lăng trụ đứng mở rộng đáy ra thành tam giác, tứ giác, hình thang hay bất kỳ đa giác nào. Sự kết hợp giữa đáy phẳng song song và các mặt bên hình chữ nhật vuông góc thẳng đứng tạo nên một kết cấu chịu lực phi thường.

Bài 37 sẽ trang bị cho các em kiến thức toàn diện về cấu tạo, cách tính diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác, giúp các em tự tin ứng dụng vào các bài toán thực tiễn của cuộc sống!

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Số mặt bên: Một hình lăng trụ đứng tam giác có bao nhiêu mặt bên và các mặt bên đó là hình gì?
2. Số mặt đáy: Một hình lăng trụ đứng có bao nhiêu mặt đáy? Hai mặt đáy có quan hệ gì với nhau?
3. Cạnh bên: Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng có mối quan hệ gì về phương hướng và độ dài?
4. Chu vi tam giác: Một tam giác có độ dài ba cạnh là $3\text{ cm}, 4\text{ cm}, 5\text{ cm}$. Chu vi của tam giác bằng bao nhiêu?
5. Diện tích hình thang: Công thức tính diện tích hình thang có đáy lớn $a$, đáy nhỏ $b$ và chiều cao $h$ là gì?

Mẹo hay

Đáp án nhẩm nhanh:

1. Có $3$ mặt bên, tất cả đều là các hình chữ nhật.
2. Có $2$ mặt đáy bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.
3. Các cạnh bên song song và bằng nhau (độ dài cạnh bên chính là chiều cao lăng trụ).
4. $C = 3 + 4 + 5 = 12\text{ cm}$.
5. $S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$.

I. Lý thuyết Trọng tâm

1. Hình Lăng Trụ Đứng Tam Giác

a) Định nghĩa và cấu tạo

Hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$ gồm có:

• Hai mặt đáy: Mặt đáy $ABC$ và mặt đáy $A'B'C'$ là hai hình tam giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.
• Ba mặt bên: $ABB'A', BCC'B', CAA'C'$ đều là các hình chữ nhật.
• Ba cạnh bên: $AA', BB', CC'$ song song và có độ dài bằng nhau. Độ dài của một cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng, thường kí hiệu là $h$.
• 6 đỉnh: $A, B, C, A', B', C'$.
• 9 cạnh: Gồm 6 cạnh đáy và 3 cạnh bên.

2. Hình Lăng Trụ Đứng Tứ Giác

a) Định nghĩa và cấu tạo

Hình lăng trụ đứng tứ giác $ABCD.A'B'C'D'$ gồm có:

• Hai mặt đáy: Mặt đáy $ABCD$ và mặt đáy $A'B'C'D'$ là hai hình tứ giác bằng nhau (có thể là hình bình hành, hình thoi, hình thang...) nằm trên hai mặt phẳng song song.
• Bốn mặt bên: Đều là các hình chữ nhật.
• Bốn cạnh bên: Song song và có độ dài bằng nhau ($AA' = BB' = CC' = DD' = h$).
• 8 đỉnh và 12 cạnh.

(Chú ý: Hình hộp chữ nhật và hình lập phương chính là các trường hợp đặc biệt của hình lăng trụ đứng tứ giác khi đáy là hình chữ nhật hoặc hình vuông).

3. Công thức tính Diện tích xung quanh và Thể tích của Hình lăng trụ đứng

Quan trọng

CÔNG THỨC CHUNG CHO MỌI HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG:

1. Diện tích xung quanh ($S_{xq}$):

   $$S_{xq} = C_{\text{đáy}} \cdot h$$

   Bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.

2. Diện tích toàn phần ($S_{tp}$):

   $$S_{tp} = S_{xq} + 2 \cdot S_{\text{đáy}}$$

   Bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích hai mặt đáy.

3. Thể tích ($V$):

   $$V = S_{\text{đáy}} \cdot h$$

   Bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

II. Các dạng toán trọng tâm và Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Nhận diện các yếu tố và đọc hình khai triển

Phương pháp giải: Khi trải phẳng một hình lăng trụ đứng lên mặt bàn:

• Các mặt bên trải ra thành một hình chữ nhật lớn có chiều dài bằng chu vi đáy ($C_{\text{đáy}}$) và chiều rộng bằng chiều cao ($h$).
• Hai mặt đáy gắn vào hai mép đối diện của hình chữ nhật lớn.

Bài toán 1:

Cho một hình lăng trụ đứng tam giác có kích thước đáy là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là $6\text{ cm}$ và $8\text{ cm}$, cạnh huyền bằng $10\text{ cm}$. Chiều cao của lăng trụ bằng $12\text{ cm}$. a) Kể tên số mặt, số đỉnh và số cạnh của hình lăng trụ. b) Tính diện tích của một mặt đáy. c) Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đó.

Lời giải:

a) Hình lăng trụ đứng tam giác có:

• 5 mặt: Gồm 2 mặt đáy tam giác và 3 mặt bên hình chữ nhật.
• 6 đỉnh.
• 9 cạnh: Gồm 6 cạnh đáy và 3 cạnh bên.

b) Mặt đáy là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $a = 6\text{ cm}$ và $b = 8\text{ cm}$. Diện tích mặt đáy là:

c) Chu vi của mặt đáy tam giác là:

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là:

Dạng 2: Tính thể tích của Hình lăng trụ đứng tam giác

Phương pháp giải:

1. Tính diện tích tam giác đáy: $S_{\text{đáy}} = \frac{1}{2} a \cdot h_a$ (hoặc $\frac{1}{2} a \cdot b$ nếu là tam giác vuông).
2. Áp dụng công thức thể tích: $V = S_{\text{đáy}} \cdot h$.

Bài toán 2:

Một thanh sô-cô-la có dạng hình lăng trụ đứng tam giác. Đáy là một tam giác đều có cạnh $3\text{ cm}$ và chiều cao của tam giác đáy là $2{,}6\text{ cm}$. Chiều dài của thanh sô-cô-la (chiều cao lăng trụ) là $20\text{ cm}$. a) Tính thể tích của thanh sô-cô-la. b) Biết khối lượng riêng của sô-cô-la là $1{,}2\text{ g/cm}^3$. Tính khối lượng của thanh sô-cô-la đó.

Lời giải:

a) Diện tích của một mặt đáy tam giác đều là:

Thể tích của thanh sô-cô-la là:

b) Khối lượng của thanh sô-cô-la là:

Dạng 3: Tính diện tích và thể tích của Lăng trụ đứng tứ giác (Đáy hình thang)

Phương pháp giải:

1. Tính diện tích hình thang đáy: $S_{\text{đáy}} = \frac{(a + b) \cdot h_{\text{thang}}}{2}$.
2. Tính chu vi đáy: $C_{\text{đáy}} = a + b + c + d$.
3. Tính $S_{xq} = C_{\text{đáy}} \cdot h$ và $V = S_{\text{đáy}} \cdot h$.

Bài toán 3:

Một con đê chắn sóng bằng bê tông có mặt cắt ngang là một hình thang cân có đáy lớn $5\text{ m}$, đáy nhỏ $3\text{ m}$, chiều cao của hình thang là $2\text{ m}$ và hai cạnh bên của hình thang mỗi cạnh dài $2{,}24\text{ m}$. Chiều dài của đoạn đê chắn sóng là $50\text{ m}$. a) Tính diện tích mặt cắt ngang (diện tích đáy lăng trụ) của con đê. b) Tính thể tích bê tông cần dùng để đúc đoạn đê chắn sóng đó. c) Người ta quét một lớp sơn chống thấm xung quanh mặt ngoài của thân đê (hai mặt dốc bên và mặt đỉnh đê, không sơn mặt đáy tiếp giáp mặt đất). Tính diện tích cần quét sơn.

Lời giải:

Con đê là một hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thang cân và chiều cao lăng trụ là $h = 50\text{ m}$.

a) Diện tích mặt cắt ngang (mặt đáy) là:

b) Thể tích bê tông cần dùng là:

c) Phần diện tích cần quét sơn gồm hai mặt bên ứng với hai cạnh bên ($2{,}24\text{ m}$) và một mặt bên ứng với đáy nhỏ ($3\text{ m}$):

• Tổng chiều rộng của ba mặt cần sơn là:$$C' = 2{,}24 + 3 + 2{,}24 = 7{,}48\text{ (m)}$$
• Diện tích cần quét sơn là:$$S_{\text{sơn}} = C' \cdot h = 7{,}48 \cdot 50 = 374\text{ (m}^2\text{)}$$

Dạng 4: Bài toán dựng lều và sản xuất bao bì thực tế

Phương pháp giải: Quy mô hình thực tế về hình lăng trụ đứng tam giác. Chiều dài chiếc lều chính là chiều cao lăng trụ $h$. Diện tích vải bạt chính là diện tích xung quanh (hoặc toàn phần tùy theo lều có đáy vải hay không).

Bài toán 4:

Một chiếc lều trại du lịch bằng vải bạt có dạng hình lăng trụ đứng tam giác với kích thước như sau: hai mặt mái lều nghiêng mỗi bên dài $2\text{ m}$, đáy lều rộng $2{,}4\text{ m}$ và chiều dài lều là $3\text{ m}$. Chiều cao từ đỉnh lều xuống mặt đất là $1{,}6\text{ m}$. a) Tính diện tích vải bạt cần dùng để dựng chiếc lều đó (bao gồm cả hai mái lều, hai cửa lều hình tam giác ở hai đầu và đáy lều, bỏ qua mép may). b) Tính thể tích không gian không khí bên trong chiếc lều.

Lời giải:

a) Chiếc lều là hình lăng trụ đứng tam giác có:

• Đáy là tam giác cân có cạnh đáy $2{,}4\text{ m}$, hai cạnh bên là $2\text{ m}$, chiều cao tam giác là $1{,}6\text{ m}$.
• Chiều cao lăng trụ là $h = 3\text{ m}$.

Diện tích hai mặt đáy tam giác (hai đầu lều):

Chu vi của mặt đáy tam giác:

Diện tích xung quanh của lều (hai mái và mặt đáy lều):

Tổng diện tích vải bạt cần dùng là:

b) Thể tích không gian bên trong chiếc lều là:

III. 5 Chuyên đề Thực tế và Nâng cao Tư duy Khoa học

Chuyên đề 1: Lăng kính Quang học và Thí nghiệm Tán sắc của Newton (1666)

Năm 1666, chàng sinh viên 23 tuổi Isaac Newton đã làm một thí nghiệm làm thay đổi lịch sử quang học: Cho một chùm ánh sáng Mặt Trời chiếu qua một chiếc lăng kính thủy tinh hình lăng trụ đứng tam giác.

• Chùm ánh sáng trắng bị bẻ cong và tán sắc thành dải cầu vồng 7 màu: Đỏ, Cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím.
• Lăng trụ đứng tam giác với hai mặt bên nghiêng góc nhau đóng vai trò như một môi trường khúc xạ vi sai, chứng minh rằng ánh sáng trắng thực chất là sự hòa trộn của vô số ánh sáng đơn sắc.

Chuyên đề 2: Cấu trúc Tổ ong Hình lăng trụ Lục giác và Bài toán Tối ưu Thần thánh

Tại sao loài ong mật qua hàng triệu năm tiến hóa lại luôn xây tổ dạng những ống lăng trụ đứng lục giác đều mà không phải hình lăng trụ tam giác hay hình tròn? Năm 1999, nhà toán học Thomas Hales đã chứng minh Giả thuyết Tổ ong (Honeycomb Conjecture): Lăng trụ lục giác đều là hình khối phân chia không gian phẳng hoàn hảo nhất, sử dụng chu vi mép sáp nhỏ nhất để bao quanh một diện tích thể tích chứa mật ong lớn nhất! Loài ong đã biết ứng dụng bài toán tối ưu cực trị toán học trước con người hàng triệu năm!

Chuyên đề 3: Cột Đá Bazan Cổ Thạch và Kỳ quan Ghềnh Đá Đĩa Phú Yên

Tại Ghềnh Đá Đĩa (Phú Yên) hay bờ biển Giant's Causeway (Bắc Ireland), hàng vạn cột đá bazan hình lăng trụ đứng ngũ giác và lục giác cao hàng chục mét xếp chồng khít khao như tổ ong khổng lồ.

• Hàng triệu năm trước, khi dòng dung nham núi lửa nguội đi, bề mặt đá co ngót đẳng hướng về các tâm làm nguội.
• Lực co ngót tự nhiên đã bẻ gãy khối đá bazan thành các cột lăng trụ đứng lục giác có độ bền cơ học vững chãi nhất trước sóng gió biển Đông.

Chuyên đề 4: Máy in 3D FDM và Nguyên lý Lát cắt Lăng trụ Vi phân

Làm thế nào một chiếc máy in 3D có thể tạo ra một bức tượng rồng hay một chiếc cúp lưu niệm phức tạp? Phần mềm cắt lớp (Slicer) biến đổi mô hình 3D thành hàng ngàn lớp mỏng xếp chồng lên nhau:

• Mỗi lớp in dày khoảng $0{,}1 - 0{,}2\text{ mm}$ thực chất là một khối lăng trụ đứng vi mô có diện tích đáy $S_i$ và chiều cao $\Delta h$.
• Thể tích của vật thể in 3D chính là tổng thể tích của tất cả các khối lăng trụ vi phân đó:$$V \approx \sum S_i \cdot \Delta h$$Đây chính là nền tảng của phép tính Tích phân Riemann trong Giải tích đại học!

Chuyên đề 5: Khí động học Tàng hình F-117 Nighthawk và Thiết kế Góc lăng trụ

Chiếc máy bay ném bom tàng hình đầu tiên trên thế giới F-117 Nighthawk không có bất kỳ một đường cong tròn nào trên thân máy bay. Thân vỏ của nó được ghép từ hàng chục tấm phẳng tạo thành các hình lăng trụ góc cạnh:

• Sóng radar của đối phương khi bắn tới các mặt phẳng hình chữ nhật nghiêng sẽ bị phản xạ chệch hướng lên trời hoặc xuống đất thay vì phản xạ ngược lại đài phát radar.
• Diện tích phản xạ radar (RCS) của một chiếc máy bay dài $20\text{ m}$ giảm xuống chỉ bằng kích thước của một con chim sẻ!

IV. 10 Câu hỏi Trắc nghiệm Tương tác kiểm tra Năng lực (Có chấm điểm tức thì)

@@PROTECTED_TOKEN_0@@

V. Bài tập Tự luyện và Đề rèn luyện Tư duy

Bài tập 1:

Một hình lăng trụ đứng tam giác có chiều cao $15\text{ cm}$. Đáy là một tam giác có ba cạnh lần lượt là $5\text{ cm}, 12\text{ cm}, 13\text{ cm}$. a) Chứng minh rằng tam giác đáy là một tam giác vuông. b) Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng đó. c) Tính thể tích của hình lăng trụ đứng đó.

Bài tập 2:

Một bồn chứa nước bằng inox hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh $1{,}2\text{ m}$ và chiều cao của bồn là $1{,}8\text{ m}$. a) Tính dung tích tối đa của bồn chứa nước theo lít. b) Hiện tại lượng nước trong bồn đang chiếm $70\%$ dung tích của bồn. Hỏi cần bơm thêm bao nhiêu lít nước nữa thì bồn đầy?

Bài tập 3 (Toán thực tế):

Một cái chặn giấy bằng pha lê có dạng hình lăng trụ đứng tứ giác. Đáy là hình thang vuông có hai đáy lần lượt là $4\text{ cm}$ và $6\text{ cm}$, chiều cao của hình thang là $3\text{ cm}$. Chiều cao của khối chặn giấy pha lê là $8\text{ cm}$. a) Tính thể tích của khối pha lê. b) Biết khối lượng riêng của pha lê là $2{,}5\text{ g/cm}^3$. Tính khối lượng của cái chặn giấy đó.