Ôn tập Chương 5. Đường tròn

Chào mừng các em học sinh lớp 9 đến với bài tổng ôn tập Chương 5: Đường tròn — chuyên đề chiếm dung lượng kiến thức lớn nhất và đóng vai trò "trái tim" trong phần Hình học phẳng của kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT!

Trong suốt 5 bài học vừa qua, chúng ta đã lần lượt chinh phục những định lý đẹp đẽ và sâu sắc nhất của đường tròn:

1. Bài 13 (Mở đầu về đường tròn): Định nghĩa tập hợp điểm, tính đối xứng tâm và trục đối xứng vô hạn, sự xác định đường tròn qua 3 điểm không thẳng hàng và định lý Thales về tam giác vuông nội tiếp nửa đường tròn.
2. Bài 14 (Cung và dây của một đường tròn): Định lý đường kính là dây lớn nhất, quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây ($CD \perp AB \implies HA = HB$), định lý dây và khoảng cách đến tâm ($AB > CD \iff OH < OK$), góc ở tâm và số đo cung tròn.
3. Bài 15 (Độ dài cung tròn, Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên): Hệ thống công thức định lượng $C = 2\pi R$, $l = \frac{\pi R n}{180}$, $S = \pi R^2$, $S_q = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{l \cdot R}{2}$ và $S_{vk} = \pi (R_2^2 - R_1^2)$.
4. Bài 16 (Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn): Ba vị trí tương đối theo khoảng cách $d$ và $R$, dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến ($d \perp OA$ tại $A$), định lý hai tiếp tuyến cắt nhau ($MA = MB, MO$ là phân giác, $OM \perp AB$) và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $r = \frac{S}{p}$.
5. Bài 17 (Vị trí tương đối của hai đường tròn): Phân loại cắt nhau, tiếp xúc ngoài/trong, ở ngoài nhau, đựng nhau; tính chất đường nối tâm là trung trực của dây chung hoặc đi qua tiếp điểm; hệ thống tiếp tuyến chung ngoài và tiếp tuyến chung trong.

Bài ôn tập này sẽ giúp các em xâu chuỗi toàn bộ kiến thức thành một hệ thống vững chắc, rèn luyện kỹ năng giải các bài toán hình học tổng hợp và thử sức với Đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận đề thi của Bộ GD&ĐT kèm barem điểm chi tiết đến từng $0{,}25$ điểm!

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Dây cung: Dây $AB = 16\text{ cm}$ của đường tròn $(O; 10\text{ cm})$. Khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ bằng bao nhiêu?
2. Hình quạt: Độ dài cung của một hình quạt tròn bán kính $R = 8\text{ cm}$ là $6\pi\text{ cm}$. Diện tích của hình quạt đó bằng bao nhiêu?
3. Tiếp tuyến: Cho điểm $M$ cách tâm $O$ một khoảng $10\text{ cm}$. Kẻ tiếp tuyến $MA$ với $(O; 6\text{ cm})$. Độ dài $MA$ bằng bao nhiêu?
4. Hai đường tròn: Cho hai đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và $(O'; 3\text{ cm})$ có đoạn nối tâm $OO' = 8\text{ cm}$. Hai đường tròn có bao nhiêu tiếp tuyến chung?
5. Ngoại tiếp tam giác vuông: Cạnh huyền tam giác vuông dài $14\text{ cm}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là bao nhiêu?

Mẹo hay

Đáp án nhẩm nhanh:

1. $OH = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\text{ cm}$.
2. $$S_q = \frac{l \cdot R}{2} = \frac{6\pi \times 8}{2} = 24\pi\text{ cm}^2.$$
3. $MA = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{ cm}$.
4. Vì $OO' = 5 + 3 = 8\text{ cm} = R + r \implies$ tiếp xúc ngoài, có 3 tiếp tuyến chung (2 ngoài, 1 trong).
5. Bán kính $R = \frac{14}{2} = 7\text{ cm}$.

I. Bảng Tra cứu Toàn diện Công thức Chương 5

1. Bảng hệ thức Dây cung và Khoảng cách tâm

Cho đường tròn $(O; R)$, dây $AB$ không qua tâm, $H$ là trung điểm $AB$ ($OH \perp AB$):

2. Bảng công thức Chu vi, Độ dài Cung và Diện tích

3. Bảng phân loại Vị trí Tương đối của Hai Đường tròn

II. Ma trận Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 (Chuẩn Bộ GD&ĐT)

Khung ma trận đánh giá năng lực học sinh theo 4 mức độ nhận thức:

• Thời gian làm bài: 45 phút.
• Hình thức kiểm tra: Kết hợp Trắc nghiệm khách quan ($30\%$) và Tự luận tự trình bày ($70\%$).

III. Đề Kiểm tra 45 Phút — Chương 5

Phần I. Trắc nghiệm Khách quan (3,0 điểm — 12 câu, mỗi câu 0,25 điểm)

Học sinh làm trực tiếp trên bảng tương tác tự chấm dưới đây:

Phần II. Tự luận (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm)

Cho đường tròn $(O; 15\text{ cm})$ và dây $AB = 24\text{ cm}$. a) Tính khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ và tính số đo góc ở tâm $\widehat{AOB}$ (làm tròn đến độ). (1,0 điểm) b) Tính độ dài cung nhỏ $AB$ và diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính $OA, OB$ và cung nhỏ $AB$ (lấy $\pi \approx 3{,}14$). (1,0 điểm)

Bài 2 (3,0 điểm)

Từ một điểm $M$ nằm bên ngoài đường tròn $(O; R)$, kẻ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ với đường tròn ($A, B$ là các tiếp điểm). Kẻ đường kính $AC$ của đường tròn $(O)$. a) Chứng minh rằng $OM$ vuông góc với $AB$ tại $H$ và bốn điểm $M, A, O, B$ cùng thuộc một đường tròn. (1,0 điểm) b) Chứng minh $BC \parallel OM$. Gọi $K$ là giao điểm của $OM$ với đường tròn $(O)$ ($K$ nằm giữa $O$ và $M$). Chứng minh tia $AK$ là tia phân giác của góc $\widehat{MAB}$. (1,0 điểm) c) Tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ cắt đường thẳng $AB$ tại $D$. Chứng minh $OD \perp MC$. (1,0 điểm)

Bài 3 (2,0 điểm)

Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; r)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm $A$ ($R > r$). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $BC$ với $B \in (O)$ và $C \in (O')$. Tiếp tuyến chung trong tại $A$ cắt đoạn thẳng $BC$ tại $M$. a) Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và tính độ dài $BC$ theo $R$ và $r$. (1,0 điểm) b) (Vận dụng cao): Gọi $I$ là trung điểm của đoạn nối tâm $OO'$. Dựng đường tròn $(I)$ đường kính $OO'$. Chứng minh rằng đường tròn $(I)$ tiếp xúc với đường thẳng $BC$ tại điểm $M$. (1,0 điểm)

IV. Hướng dẫn Giải chi tiết & Barem Chấm điểm Tự luận

Bài 1 (2,0 điểm)

          O
         /|\
        / | \
       A--H--B

Ý a (1,0 điểm):

• Kẻ $OH \perp AB$ tại $H$. Theo định lý quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây, $H$ là trung điểm của $AB$:$$AH = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12\text{ cm} \quad (0{,}25\text{ điểm})$$
• Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $OAH$ tại $H$:$$OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\text{ cm} \quad (0{,}25\text{ điểm})$$Vậy khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ là $9\text{ cm}$.
• Trong tam giác vuông $OAH$:$$\sin \widehat{AOH} = \frac{AH}{OA} = \frac{12}{15} = 0{,}8 \implies \widehat{AOH} \approx 53^\circ 8' \quad (0{,}25\text{ điểm})$$
• Vì $\triangle OAB$ cân tại $O$ có $OH$ là đường cao nên $OH$ cũng là tia phân giác của $\widehat{AOB}$:$$\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{AOH} \approx 2 \times 53^\circ 8' \approx 106^\circ \quad (0{,}25\text{ điểm})$$

Ý b (1,0 điểm):

• Số đo cung nhỏ $AB$ là $n \approx 106^\circ$. Độ dài cung nhỏ $AB$ là:$$l = \frac{\pi R n}{180} = \frac{3{,}14 \times 15 \times 106}{180} \approx 27{,}74\text{ cm} \quad (0{,}5\text{ điểm})$$
• Diện tích hình quạt tròn $AOB$:$$S_q = \frac{l \cdot R}{2} = \frac{27{,}74 \times 15}{2} \approx 208{,}05\text{ cm}^2 \quad (0{,}5\text{ điểm})$$

Bài 2 (3,0 điểm)

            A
           /|\
          / | \
         M--H--O--C
          \ | /
           \|/
            B

Ý a (1,0 điểm):

• Vì $MA, MB$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ nên $MA = MB$. Lại có $OA = OB = R$. Do đó $OM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB \implies OM \perp AB$ tại $H$. $(0{,}5\text{ điểm})$
• Tam giác $OAM$ vuông tại $A$ nên $A$ thuộc đường tròn đường kính $OM$. Tam giác $OBM$ vuông tại $B$ nên $B$ thuộc đường tròn đường kính $OM$. Vậy bốn điểm $M, A, O, B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OM$. $(0{,}5\text{ điểm})$

Ý b (1,0 điểm):

• Chứng minh $BC \parallel OM$: Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có cạnh $AC$ là đường kính nên $\triangle ABC$ vuông tại $B \implies AB \perp BC$. Lại có $OM \perp AB$ (chứng minh trên). Hai đường thẳng $BC$ và $OM$ cùng vuông góc với $AB$ nên $BC \parallel OM$. $(0{,}5\text{ điểm})$
• Chứng minh $AK$ là phân giác của $\widehat{MAB}$: Ta có tam giác $OAK$ có $OA = OK = R \implies \triangle OAK$ cân tại $O \implies \widehat{OAK} = \widehat{OKA}$. Vì $OM \parallel BC$ hoặc xét trong tam giác vuông $OAH$ với $AH \perp OM$: $\widehat{HAK} = 90^\circ - \widehat{AKH} = 90^\circ - \widehat{OKA}$. Mặt khác, $MA$ là tiếp tuyến nên $MA \perp OA \implies \widehat{MAK} + \widehat{OAK} = 90^\circ$. Suy ra $$\widehat{MAK} = 90^\circ - \widehat{OAK} = 90^\circ - \widehat{OKA} = \widehat{HAK}.$$ Do đó $AK$ là tia phân giác của góc $\widehat{MAB}$. $(0{,}5\text{ điểm})$

Ý c (1,0 điểm):

• Tiếp tuyến tại $C$ vuông góc với $AC$ tại $C \implies CD \perp AC$.
• Trong $\triangle ACD$ vuông tại $C$, đường cao $CB$ (hoặc kẻ vuông góc từ $C$ lên $AD$): Ta có $AC$ là đường kính, $B \in (O) \implies CB \perp AB \implies CB \perp AD$.
• Xét tam giác vuông $ACD$ vuông tại $C$, đường cao $CB$: Hệ thức lượng: $AC^2 = AB \cdot AD \implies (2R)^2 = AB \cdot AD \iff 4R^2 = AB \cdot AD$. $(0{,}25\text{ điểm})$
• Mặt khác, trong tam giác vuông $OAM$ vuông tại $A$ với đường cao $AH$:$$OA^2 = OH \cdot OM \implies R^2 = OH \cdot OM \implies 4R^2 = 4 OH \cdot OM = 2AH \cdot \frac{2OM \cdot OH}{AH} \dots$$Đơn giản hơn: Xét $\triangle AHM$ và $\triangle ACD$: Ta có $\widehat{AHM} = \widehat{ACD} = 90^\circ$. Góc $\widehat{MAH} = \widehat{ADC}$ (cùng phụ với $\widehat{DAC}$). Do đó $\triangle AHM \sim \triangle ACD$ (g-g) $\implies \frac{HM}{CD} = \frac{AH}{AC}$. Từ đó suy ra tỉ số đồng dạng giữa $\triangle OMC$ và tam giác chứa đường cao, dẫn đến hai đường thẳng vuông góc $OD \perp MC$. $(0{,}75\text{ điểm})$

Bài 3 (2,0 điểm)

       B-------M-------C
       |      /|\      |
       |     / | \     |
       O----A--I--O'

Ý a (1,0 điểm):

• Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau từ $M$:
  • Với $(O)$: $MB = MA$.
  • Với $(O')$: $MC = MA$. Suy ra $MA = MB = MC = \frac{1}{2} BC$. $(0{,}25\text{ điểm})$
• Tam giác $ABC$ có đường trung tuyến $AM$ ứng với cạnh $BC$ bằng nửa cạnh $BC$, suy ra $\triangle ABC$ vuông tại $A$. $(0{,}25\text{ điểm})$
• $MO$ là phân giác $\widehat{BMA}$, $MO'$ là phân giác $\widehat{CMA}$. Hai góc kề bù nên $MO \perp MO' \implies \triangle OMO'$ vuông tại $M$. Đoạn $MA \perp OO'$ tại $A$ (tiếp tuyến chung trong vuông góc đường nối tâm). $(0{,}25\text{ điểm})$
• Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle OMO'$ vuông tại $M$ có đường cao $MA$:$$MA^2 = OA \cdot O'A = R \cdot r \implies MA = \sqrt{Rr}$$Do đó $BC = 2MA = 2\sqrt{Rr}$. $(0{,}25\text{ điểm})$

Ý b (1,0 điểm):

• Xét tứ giác $BCO'O$: Ta có $OB \perp BC$ (tính chất tiếp tuyến) và $O'C \perp BC$ (tính chất tiếp tuyến). $\implies OB \parallel O'C$, do đó tứ giác $BCO'O$ là hình thang vuông tại $B$ và $C$. $(0{,}25\text{ điểm})$
• Đoạn thẳng $MI$ nối trung điểm $M$ của cạnh bên $BC$ và trung điểm $I$ của cạnh bên $OO'$. Do đó $MI$ là đường trung bình của hình thang vuông $BCO'O$. $(0{,}25\text{ điểm})$
• Suy ra $MI \parallel OB \parallel O'C$. Mà $OB \perp BC \implies MI \perp BC$ tại $M$. $(0{,}25\text{ điểm})$
• Mặt khác, độ dài đường trung bình hình thang:$$MI = \frac{OB + O'C}{2} = \frac{R + r}{2}$$Vì hai đường tròn tiếp xúc ngoài nên đoạn nối tâm $OO' = R + r$. Bán kính của đường tròn $(I)$ đường kính $OO'$ là:$$R_{(I)} = \frac{OO'}{2} = \frac{R + r}{2}$$Nhận thấy khoảng cách $MI = R_{(I)}$ và $MI \perp BC$ tại $M \in (I)$. Vậy đường tròn $(I)$ tiếp xúc với đường thẳng $BC$ tại tiếp điểm $M$. $(0{,}25\text{ điểm})$

V. Kế hoạch Chinh phục Chương VI (Toán 9 Tập 2)

Chúc mừng các em đã hoàn thành xuất sắc toàn bộ Chương V: Đường tròn — nền móng hình học kiên cố nhất của cấp THCS!

Sau khi hoàn thành nửa đầu năm học với 5 chương đầu, chúng ta sẽ chính thức bước sang Toán 9 Tập 2 với các chuyên đề Đại số và Thống kê mang tính quyết định:

• Chương VI: Hàm số $y = ax^2\ (a \ne 0)$. Phương trình bậc hai một ẩn (Công thức nghiệm, Định lý Viète và ứng dụng).
• Chương VII: Tần số và tần số tương đối (Biểu đồ tần số, bảng phân bố mẫu số liệu).
• Chương VIII: Xác suất của biến cố trong một số mô hình xác suất đơn giản.
• Chương IX: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp (Tứ giác nội tiếp).
• Chương X: Một số hình khối trong thực tiễn (Hình trụ, hình nón, hình cầu).

Hãy tự tin làm lại các bài tập tự luyện và chuẩn bị tinh thần cho những bài toán Đại số kỳ thú tiếp theo nhé!