Bài 16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Hãy tưởng tượng ánh Mặt Trời lúc bình minh đang dần nhô lên từ đường chân trời trên mặt biển bao la:

• Khi vầng thái dương còn nằm lơ lửng phía trên: đường chân trời và Mặt Trời không giao nhau.
• Đúng khoảnh khắc vầng sáng vừa chạm khẽ vào mép nước biển: đường chân trời trở thành tiếp tuyến duy nhất của đĩa Mặt Trời.
• Và khi bình minh ló rạng, mặt trời chìm một phần xuống biển: đường chân trời cắt đĩa tròn tại hai điểm mút sóng bạc.

Hình ảnh thi vị đó chính là mô hình trực quan hoàn hảo cho ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn trong hình học. Trong đó, khái niệm tiếp tuyến và tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau là một trong những viên ngọc quý giá nhất của hình học phẳng, xuất hiện trong hầu hết các bài toán hình học ôn thi vào lớp 10 THPT trên cả nước!

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. So sánh khoảng cách: Cho đường tròn $(O; 5\text{ cm})$. Đường thẳng $\Delta$ cách tâm $O$ một khoảng $d = 4\text{ cm}$. Hỏi $\Delta$ và đường tròn có bao nhiêu điểm chung?
2. Tiếp tuyến: Cho điểm $A$ thuộc đường tròn $(O; R)$. Để đường thẳng $d$ đi qua $A$ là tiếp tuyến của $(O)$, đường thẳng $d$ phải vuông góc với đoạn thẳng nào?
3. Tiếp tuyến cắt nhau: Từ điểm $M$ ở ngoài $(O; 3\text{ cm})$, kẻ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ ($A, B$ là tiếp điểm). Biết $MA = 4\text{ cm}$, độ dài $MB$ bằng bao nhiêu?
4. Góc tiếp tuyến: Từ $M$ ngoài $(O)$, kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$. Biết $\widehat{AMB} = 70^\circ$, số đo của góc ở tâm $\widehat{AOB}$ bằng bao nhiêu độ?
5. Đường tròn nội tiếp: Tâm đường tròn nội tiếp một tam giác là giao điểm của ba đường gì trong tam giác đó?

Mẹo hay

Đáp án nhẩm nhanh:

1. Có 2 điểm chung (vì $d = 4 < R = 5 \implies$ đường thẳng cắt đường tròn).
2. Vuông góc với bán kính $OA$ tại tiếp điểm $A$.
3. $MB = MA = 4\text{ cm}$ (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
4. $\widehat{AOB} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ (vì tứ giác $MAOB$ có 2 góc vuông tại $A$ và $B$).
5. Là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.

I. Lý thuyết Trọng tâm

1. Ba Vị trí Tương đối của Đường thẳng và Đường tròn

Gọi khoảng cách từ tâm $O$ của đường tròn $(O; R)$ đến đường thẳng $\Delta$ là $d = OH$ ($H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $\Delta$).

Ghi nhớ

Định lý về tiếp tuyến: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

$$\Delta \text{ tiếp xúc } (O) \text{ tại } A \implies \Delta \perp OA \text{ tại } A$$

2. Dấu hiệu Nhận biết Tiếp tuyến của Đường tròn

Làm thế nào để chứng minh một đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$? Có 2 dấu hiệu căn bản:

Ghi nhớ

Dấu hiệu 1 (Phương pháp góc vuông - Phổ biến nhất): Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

$$\left. \begin{array}{l} A \in (O) \\ \Delta \perp OA \text{ tại } A \end{array} \right\} \implies \Delta \text{ là tiếp tuyến của } (O) \text{ tại } A$$

Dấu hiệu 2 (Phương pháp khoảng cách): Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

$$d(O, \Delta) = R \implies \Delta \text{ là tiếp tuyến của } (O)$$

3. Tính chất của Hai Tiếp tuyến Cắt nhau

Từ một điểm $M$ nằm bên ngoài đường tròn $(O; R)$, ta luôn vẽ được hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ đến đường tròn ($A, B$ là hai tiếp điểm).

              A
             /|
            / |
           M--+--O
            \ |
             \|
              B

Xét hai tam giác vuông $\triangle OAM$ (vuông tại $A$) và $\triangle OBM$ (vuông tại $B$):

• Cạnh huyền $OM$ chung.
• Cạnh góc vuông $OA = OB = R$. Do đó $\triangle OAM = \triangle OBM$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Từ sự bằng nhau của hai tam giác vuông này, ta suy ra:

Ghi nhớ

Định lý về hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

1. Điểm đó cách đều hai tiếp điểm:$$MA = MB$$
2. Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến:$$\widehat{AMO} = \widehat{BMO} = \frac{1}{2} \widehat{AMB}$$
3. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm:$$\widehat{AOM} = \widehat{BOM} = \frac{1}{2} \widehat{AOB}$$
4. Đường thẳng $OM$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai tiếp điểm $AB$:$$OM \perp AB \quad \text{tại } H \quad \text{và} \quad HA = HB$$
5. Hệ thức lượng quen thuộc trong tam giác vuông $OAM$ (đường cao $AH$):$$MA^2 = MH \cdot MO \quad \text{và} \quad OA^2 = OH \cdot MO = R^2$$

4. Đường tròn Nội tiếp Tam giác

Ghi nhớ

Định nghĩa:

• Đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, và tam giác đó gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.
• Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó (vì tâm cách đều ba cạnh).

Công thức tính bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp: Gọi $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của $\triangle ABC$, $p = \frac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi, $S$ là diện tích tam giác:

$$S = S_{\triangle IBC} + S_{\triangle ICA} + S_{\triangle IAB} = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = p \cdot r \implies r = \frac{S}{p}$$

Trường hợp đặc biệt - Tam giác vuông tại $A$: Tứ giác tạo bởi đỉnh góc vuông $A$ và tâm $I$ là một hình vuông cạnh $r$. Do đó:

$$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{AB + AC - BC}{2}$$

II. Mô phỏng Tương tác: Hai Tiếp Tuyến Cắt Nhau

Dưới đây là mô hình tương tác động thể hiện điểm $M$ bên ngoài đường tròn $(O)$. Các em có thể kéo vị trí điểm $M$ tiến lại gần hoặc ra xa tâm $O$ để quan sát góc mở tiếp tuyến, sự đối xứng hoàn hảo của $MA = MB$, và kiểm chứng $OM \perp AB$!

III. Các Dạng Toán Trọng Tâm & Phương Pháp Giải

Dạng 1: Xác định Vị trí Tương đối Dựa vào Khoảng cách $d$ và Bán kính $R$

Mẹo hay

Phương pháp cốt lõi: So sánh độ dài khoảng cách $d$ từ tâm đến đường thẳng với bán kính $R$:

• $d < R \iff$ Cắt nhau ($2$ điểm chung).
• $d = R \iff$ Tiếp xúc nhau ($1$ điểm chung duy nhất).
• $d > R \iff$ Không giao nhau ($0$ điểm chung).

Bài toán mẫu 1.1:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 8\text{ cm}$. Vẽ đường tròn $(B; 6\text{ cm})$. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng $AC$ và đường thẳng $BC$ đối với đường tròn $(B)$.

Lời giải chi tiết:

1. Đối với đường thẳng $AC$: Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A \implies BA \perp AC$ tại $A$. Do đó khoảng cách từ tâm $B$ đến đường thẳng $AC$ chính là đoạn $BA$:

   $$d(B, AC) = BA = 6\text{ cm}$$

   Mặt khác bán kính đường tròn tâm $B$ là $R = 6\text{ cm}$. Nhận thấy $d(B, AC) = R = 6\text{ cm}$, suy ra đường thẳng $AC$ tiếp xúc với đường tròn $(B)$ tại tiếp điểm $A$ (tức $AC$ là tiếp tuyến của $(B)$).

2. Đối với đường thẳng $BC$: Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $ABC$:

   $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}$$

   Kẻ $AH \perp BC$ tại $H$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$:

   $$BA \cdot AC = AH \cdot BC \implies AH = \frac{BA \cdot AC}{BC} = \frac{6 \times 8}{10} = 4{,}8\text{ cm}$$

   Kẻ đường cao $BK$ từ $B$ xuống $BC$, khoảng cách từ $B$ đến $BC$ bằng $0$ (vì $B \in BC$). Nhận thấy $d(B, BC) = 0 < R = 6\text{ cm}$. Do đó đường thẳng $BC$ cắt đường tròn $(B)$ tại hai điểm phân biệt.

Dạng 2: Chứng minh một Đường thẳng là Tiếp tuyến của Đường tròn

Mẹo hay

Phương pháp cốt lõi (Phổ biến 90% các đề thi): Để chứng minh đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại điểm $A$:

1. Chỉ ra điểm $A$ thuộc đường tròn $(O)$ ($OA = R$).
2. Chứng minh góc $\widehat{OAd} = 90^\circ$ ($OA \perp d$). Các kỹ thuật thường dùng để chứng minh góc vuông: tổng các góc phụ nhau, tam giác bằng nhau, định lý Pythagore đảo, hoặc sử dụng tính chất hình chữ nhật/hình vuông.

Bài toán mẫu 2.1:

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Đường cao $AH$ và $BK$ cắt nhau tại $I$. Vẽ đường tròn $(O)$ có đường kính là $AI$. Chứng minh rằng $BK$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

Lời giải chi tiết:

          A
         /|\
        / | \
       K--I--\
      /   |   \
     B----+----C
          H

1. Vì đường tròn $(O)$ có đường kính là $AI$ nên tâm $O$ là trung điểm của $AI$. Tam giác $AKI$ vuông tại $K$ (do $BK \perp AC$) có $KO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AI$:

   $$KO = \frac{1}{2} AI = OI = OA$$

   Suy ra điểm $K$ thuộc đường tròn $(O)$.

2. Ta cần chứng minh $BK \perp OK$ tại $K$, tức là chứng minh $\widehat{OKB} = 90^\circ$: Ta có: $\widehat{OKB} = \widehat{OKI} + \widehat{IKB}$.

• Vì $\triangle OKI$ có $OK = OI$ nên $\triangle OKI$ cân tại $O \implies \widehat{OKI} = \widehat{OIK}$.
• Lại có $\widehat{OIK} = \widehat{BIH}$ (hai góc đối đỉnh).
• Trong tam giác vuông $BHI$ (vuông tại $H$): $\widehat{BIH} + \widehat{IBH} = 90^\circ$. Suy ra: $\widehat{OKI} + \widehat{IBH} = 90^\circ$.

Mặt khác, trong tam giác cân $ABC$ ($AB = AC$), đường cao $AH$ đồng thời là đường phân giác $\implies \widehat{BAH} = \widehat{CAH}$. Xét hai tam giác vuông $\triangle ABH$ và $\triangle ACK$:

Hơn nữa trong $\triangle BCK$ vuông tại $K$: $$\widehat{KBC} + \widehat{KCB} = 90^\circ \implies \widehat{IBH} + \widehat{C} = 90^\circ.$$ Kết hợp lại ta được: $\widehat{OKI} + \widehat{IKB} = 90^\circ \implies \widehat{OKB} = 90^\circ$. Do đó $BK \perp OK$ tại điểm $K \in (O)$. Vậy $BK$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

Dạng 3: Vận dụng Tính chất Hai Tiếp tuyến Cắt nhau

Mẹo hay

Phương pháp cốt lõi: Khi bài toán có hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ ($MA, MB$ là tiếp tuyến):

• Luôn tận dụng: $MA = MB$, $OM$ là đường trung trực của $AB$.
• Áp dụng các hệ thức lượng: $MA^2 = MH \cdot MO$, $OA^2 = OH \cdot MO = R^2$, $MA \cdot OA = AH \cdot MO$.
• Khi kẻ thêm một tiếp tuyến thứ ba cắt $MA, MB$ tại $C, D$, áp dụng tính chất cộng đoạn thẳng tiếp tuyến: Chu vi $\triangle MCD = MC + MD + CD = MC + MD + CA' + DA' = MA + MB = 2MA$ (đại lượng bất biến không đổi!).

Bài toán mẫu 3.1:

Từ điểm $M$ ở ngoài đường tròn $(O; R)$, kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$ với đường tròn ($A, B$ là tiếp điểm). Kẻ đường kính $AC$. a) Chứng minh $OM \perp AB$ và $BC \parallel OM$. b) Biết $R = 6\text{ cm}$, $OM = 10\text{ cm}$. Tính độ dài các đoạn thẳng $MA$ và $AB$.

Lời giải chi tiết: a) Chứng minh $OM \perp AB$ và $BC \parallel OM$:

• Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $MA = MB$ và $OA = OB = R$. Do đó $OM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB \implies OM \perp AB$ tại $H$.
• Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có cạnh $AC$ là đường kính nên $\triangle ABC$ vuông tại $B \implies AB \perp BC$.
• Ta có: $\left. \begin{array}{l} OM \perp AB \\ BC \perp AB \end{array} \right\} \implies BC \parallel OM$ (cùng vuông góc với $AB$).

b) Tính $MA$ và $AB$:

• Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $OAM$ (vuông tại $A$ do $MA$ là tiếp tuyến):$$MA = \sqrt{OM^2 - OA^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8\text{ cm}$$
• Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OAM$ với đường cao $AH$:$$AH \cdot OM = OA \cdot MA \implies AH = \frac{OA \cdot MA}{OM} = \frac{6 \times 8}{10} = 4{,}8\text{ cm}$$Vì $H$ là trung điểm của $AB$ nên:$$AB = 2AH = 2 \times 4{,}8 = 9{,}6\text{ cm}$$

Dạng 4: Bán kính Đường tròn Nội tiếp Tam giác

Mẹo hay

Phương pháp cốt lõi:

• Tam giác bất kỳ: $r = \frac{S}{p}$ với $p = \frac{a+b+c}{2}$.
• Tam giác vuông tại $A$: $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{AB + AC - BC}{2}$.
• Tam giác đều cạnh $a$: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Bài toán mẫu 4.1:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có các cạnh góc vuông $AB = 9\text{ cm}$, $AC = 12\text{ cm}$. a) Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. b) Tính bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Lời giải chi tiết: Áp dụng định lý Pythagore trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$:

a) Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền $BC$:

b) Bán kính đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$: Cách 1 (Công thức đặc biệt cho tam giác vuông):

Cách 2 (Dùng diện tích và nửa chu vi):

• Nửa chu vi: $p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{9 + 12 + 15}{2} = 18\text{ cm}$.
• Diện tích tam giác vuông: $$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54\text{ cm}^2.$$
• Bán kính đường tròn nội tiếp:$$r = \frac{S}{p} = \frac{54}{18} = 3\text{ cm}$$

IV. 5 Ứng dụng Khoa học Thực tiễn & Công nghệ Hiện đại

    ỨNG DỤNG TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG TRÒN TRONG ĐỜI SỐNG
 ┌────────────────────────────────────────────────────────┐
 │ 1. Cơ cấu dây đai truyền động Pulley & Dây cu-roa      │
 │ 2. Thiết kế nút giao thông đảo xuyến (Roundabout)      │
 │ 3. Quang học: Sự hình thành bóng nửa tối khi nhật thực │
 │ 4. Đạn đạo hàng không vũ trụ: Tách tầng theo tiếp tuyến│
 │ 5. Gia công cơ khí chính xác: Lập trình dao tiện CNC   │
 └────────────────────────────────────────────────────────┘

1. Dây cu-roa truyền động cơ học (Belt and Pulley System)

Trong động cơ ô tô, xe máy và máy giặt, các bánh đà (pulley) truyền chuyển động cho nhau thông qua dây cu-roa. Hai nhánh của sợi dây căng nối giữa hai bánh đà chính là tiếp tuyến chung ngoài hoặc tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn. Các kỹ sư cơ khí sử dụng tính chất tiếp tuyến để tính toán chính xác góc ôm tiếp xúc và chiều dài tổng thể của dây curoa, bảo đảm lực ma sát truyền tải công suất tối đa mà không bị trượt.

2. Thiết kế Nút giao thông Đảo xuyến (Vòng xoay Roundabout)

Để giảm thiểu tai nạn tại các ngã tư đông đúc, các kỹ sư cầu đường xây dựng đảo xuyến hình tròn ở giữa. Các luồng phương tiện từ các nhánh đường đi vào vòng xoay không đâm vuông góc vào nhau, mà hòa dòng nhẹ nhàng theo hướng tiếp tuyến với vòng xuyến trung tâm. Thiết kế tiếp tuyến này triệt tiêu hoàn toàn góc xung đột trực diện, giảm thiểu đến $90\%$ nguy cơ va chạm nghiêm trọng!

3. Vùng bóng tối và bóng nửa tối (Umbra and Penumbra)

Trong hiện tượng Nhật thực:

• Mặt Trời là nguồn sáng hình cầu lớn, Mặt Trăng là vật chắn hình cầu nhỏ hơn.
• Các tia sáng đi qua mép ngoài của cả hai thiên thể tạo thành các tiếp tuyến chung ngoài, giới hạn vùng bóng nửa tối (Penumbra).
• Các tia sáng chéo nhau đi qua mép đối diện tạo thành các tiếp tuyến chung trong, hội tụ lại tạo thành đỉnh nón của vùng bóng tối hoàn toàn (Umbra). Người đứng trong vùng tiếp tuyến bóng tối này sẽ quan sát được Nhật thực toàn phần tuyệt đẹp!

4. Tách tầng tên lửa đẩy và Đưa vệ tinh vào quỹ đạo

Khi tên lửa đẩy đưa vệ tinh vào quỹ đạo quanh Trái Đất, để chuyển đổi từ quỹ đạo tròn sang quỹ đạo elip chuyển tiếp (quỹ đạo Hohmann), động cơ phản lực sẽ khai hỏa theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo tròn hiện tại. Lực đẩy tiếp tuyến này làm tăng tốc độ góc mà không làm lãng phí nhiên liệu do lực cản hướng tâm, giúp tàu vũ trụ đạt vận tốc vũ trụ cấp một và cấp hai tối ưu nhất.

5. Lập trình tiện phay CNC trong gia công cơ khí

Máy cắt kim loại bằng tia laser hoặc dao tiện CNC khi cắt gọt bề mặt cong tròn phải luôn điều khiển đầu mũi dao di chuyển theo vectơ vận tốc trùng với tiếp tuyến tức thời của đường biên dạng chi tiết. Nếu đầu dao đi lệch khỏi tiếp tuyến dù chỉ $0{,}01\text{ mm}$, chi tiết cơ khí sẽ bị lẹm hoặc sinh bavia, làm hỏng toàn bộ sản phẩm gia công chính xác.

V. 10 Câu hỏi Trắc nghiệm Tương tác Tự chấm

VI. Thử thách Thực tế & Bài tập Tự luyện

Thử thách Thực tế: Đo Bán kính Bồn chứa Xăng dầu ngầm

Một trạm xăng dầu có một bồn chứa kim loại ngầm hình trụ tròn. Vì bồn đã được chôn dưới đất, các kỹ sư không thể đào lên để đo trực tiếp đường kính. Họ tiến hành đặt hai thanh gióng thẳng tạo thành một góc vuông $\widehat{xMy} = 90^\circ$ tiếp xúc ngoài với thân bồn chứa tại hai điểm $A$ và $B$. Bằng máy đo laser, khoảng cách từ đỉnh góc vuông $M$ đến điểm gần nhất $P$ trên mặt cong của bồn đo được là $MP = 29{,}3\text{ cm}$. Hãy tính bán kính $R$ của bồn chứa xăng dầu đó.

Mẹo hay

Hướng dẫn giải thử thách: Vì hai thanh gióng tiếp xúc với bồn chứa tại $A$ và $B$, nên $MA, MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn tiết diện bồn chứa $(O; R)$. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:

• $MA \perp OA$ và $MB \perp OB$.
• Góc $\widehat{AMB} = 90^\circ$. Tứ giác $MAOB$ có 3 góc vuông tại $M, A, B$ và hai cạnh kề $OA = OB = R$, nên $MAOB$ là hình vuông cạnh $R$! Đoạn chéo $MO$ của hình vuông là:$$MO = R\sqrt{2}$$Điểm $P$ là giao điểm của đoạn $MO$ với đường tròn $(O)$, do đó $OP = R$. Suy ra:$$MP = MO - OP = R\sqrt{2} - R = R(\sqrt{2} - 1)$$Thay số $MP = 29{,}3\text{ cm}$:$$R = \frac{MP}{\sqrt{2} - 1} = \frac{29{,}3}{1{,}4142 - 1} = \frac{29{,}3}{0{,}4142} \approx 70{,}7\text{ cm}$$Vậy bán kính bồn chứa khoảng $70{,}7\text{ cm}$ (đường kính khoảng $1{,}41\text{ m}$).

Bài tập Tự luyện

Bài 1: Cho đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và điểm $M$ cách $O$ một khoảng $13\text{ cm}$. Kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$ với $(O)$ ($A, B$ là tiếp điểm). a) Tính độ dài các tiếp tuyến $MA, MB$. b) Kẻ đường cao $AH$ của $\triangle OAM$. Tính $AH$ và độ dài dây tiếp điểm $AB$. c) Tính diện tích tứ giác $MAOB$.

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Gọi $Ax, By$ là các tia vuông góc với $AB$ ($Ax, By$ và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ $AB$). Qua điểm $M$ trên nửa đường tròn ($M \ne A, B$), kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt $Ax$ tại $C$ và $By$ tại $D$. a) Chứng minh $\widehat{COD} = 90^\circ$. b) Chứng minh $CD = AC + BD$. c) Chứng minh tích $AC \cdot BD$ không đổi khi $M$ di chuyển trên nửa đường tròn.

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ có chu vi $24\text{ cm}$ và diện tích $24\text{ cm}^2$. a) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. b) Giả sử tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $A$ có cạnh đáy $BC = 6\text{ cm}$. Hãy tính độ dài các cạnh bên $AB, AC$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp của nó.