Ôn tập Chương 10. Một số hình khối trong thực tiễn

Chào mừng các em học sinh lớp 9 đến với bài tổng ôn tập Chương 10: Một số hình khối trong thực tiễn — trạm dừng chân cuối cùng và trọn vẹn nhất của toàn bộ chương trình Toán 9!

Trong các kỳ thi vào lớp 10 THPT, câu hỏi về hình học không gian thực tế luôn là "mỏ điểm" quý giá: các bài toán tính thể tích thùng chứa, diện tích tôn gò nón lá, bồn cầu lưu trữ, hay lượng nước dâng khi thả viên bi... đều trực tiếp ứng dụng các công thức của Chương 10:

1. Bài 31 (Hình trụ): Quay hình chữ nhật quanh một cạnh. Chiều cao bằng đường sinh ($l = h$). Diện tích xung quanh $S_{xq} = 2\pi R h$, diện tích toàn phần $S_{tp} = 2\pi R(h+R)$, thể tích $V = \pi R^2 h$.
2. Bài 32 (Hình nón & Nón cụt): Quay tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông. Tam giác Pythagore giữa trục, bán kính và đường sinh ($l = \sqrt{h^2 + R^2}$). Diện tích xung quanh $S_{xq} = \pi R l$, thể tích $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$.
3. Bài 33 (Hình cầu): Quay nửa hình tròn quanh đường kính. Diện tích mặt cầu $S = 4\pi R^2$, thể tích khối cầu $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, bán kính mặt cắt $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.
4. Tuyệt tác tỷ lệ vàng Archimedes: Khi một hình nón, một hình cầu và một hình trụ cùng có bán kính $R$ và chiều cao $h = 2R$, thể tích của chúng luôn tuân theo tỷ số kỳ diệu:$$V_{\text{nón}} : V_{\text{cầu}} : V_{\text{trụ}} = 1 : 2 : 3$$

Bài viết này hệ thống hóa toàn bộ công thức, cung cấp ma trận đề kiểm tra chuẩn định dạng Bộ GD&ĐT, kèm Đề kiểm tra 45 phút (Trắc nghiệm tương tác 3 điểm + Tự luận phân hóa 7 điểm) có barem điểm chi tiết từng $0,25$ điểm.

Ma trận Đề kiểm tra 45 phút Chương 10 (Chuẩn Bộ GD&ĐT)

Đề kiểm tra 45 phút: Chương 10 - Toán 9

Phần I. Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm — 12 câu, mỗi câu 0,25đ)

Phần II. Tự luận (7,0 điểm — 4 bài toán)

Bài 1 (1,5 điểm): Hình trụ trong sản xuất bao bì

Một hộp sữa bột trẻ em hình trụ bằng thiếc có đường kính đáy là $12\text{ cm}$ và chiều cao là $18\text{ cm}$. a) Tính diện tích thiếc cần dùng để sản xuất vỏ hộp sữa (bao gồm cả nắp và đáy, coi mép hàn không đáng kể, lấy $\pi \approx 3,14$).
b) Tính dung tích thực tế (thể tích) của hộp sữa theo đơn vị lít.

Bài 2 (1,5 điểm): Hình nón & Nón lá truyền thống

Một nghệ nhân làm một chiếc nón lá hình nón có đường kính vành nón đáy là $42\text{ cm}$ và độ dài đường sinh từ đỉnh đến vành nón là $29\text{ cm}$. a) Tính chiều cao của chiếc nón lá.
b) Người ta dùng lá nón lợp phủ kín mặt xung quanh chiếc nón. Tính diện tích lá nón cần dùng (lấy $\pi \approx 3,14$).
c) Tính thể tích khoảng không gian rỗng bên trong chiếc nón.

Bài 3 (2,0 điểm): Hình cầu & Thả vật vào chất lỏng

Một bình thủy tinh hình trụ có bán kính đáy $R_{\text{trụ}} = 8\text{ cm}$ đang chứa nước đến độ cao $15\text{ cm}$. Người ta thả chìm hoàn toàn vào bình một quả cầu bằng đồng đặc có bán kính $R_{\text{cầu}} = 6\text{ cm}$. a) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của quả cầu đồng.
b) Hỏi sau khi thả chìm quả cầu, mực nước trong bình dâng lên thêm bao nhiêu xentimét? (Biết nước không tràn ra ngoài).
c) Chiều cao mới của mực nước trong bình là bao nhiêu?

Bài 4 (2,0 điểm - Vận dụng cao): Hệ thức Vàng Archimedes & Tối ưu hóa

a) (1,0 điểm): Một khối cầu bán kính $R$ nội tiếp khít khao bên trong một khối trụ tròn xoay (tiếp xúc với cả hai mặt đáy và mặt xung quanh của khối trụ).

• Biểu diễn chiều cao $h$ và bán kính đáy của hình trụ theo $R$.
• Chứng minh rằng diện tích mặt cầu bằng đúng diện tích xung quanh của khối trụ.
• Chứng minh rằng thể tích khối cầu bằng đúng $\frac{2}{3}$ thể tích khối trụ.

b) (1,0 điểm): Một phao cứu sinh trên biển được ghép từ hai phần: phần dưới là một bán cầu (nửa hình cầu) bán kính $R = 30\text{ cm}$, phần trên là một hình nón có đáy trùng với mặt cắt của bán cầu và chiều cao $h = 40\text{ cm}$.

• Tính độ dài đường sinh của phần hình nón.
• Tính diện tích toàn bộ bề mặt bên ngoài của chiếc phao cứu sinh để quét sơn phản quang.
• Tính thể tích của chiếc phao cứu sinh.

Đáp án chi tiết & Barem chấm điểm Phần Tự luận

Bài 1 (1,5 điểm)

a) (1,0 điểm)

• Bán kính đáy của hộp sữa: $$R = \frac{12}{2} = 6\text{ (cm)}$$ (0,25đ)
• Diện tích xung quanh: $$S_{xq} = 2\pi R h \approx 2 \times 3,14 \times 6 \times 18 = 678,24\text{ (cm}^2\text{)}$$ (0,25đ)
• Diện tích hai đáy: $$2S_{\text{đáy}} = 2\pi R^2 \approx 2 \times 3,14 \times 6^2 = 226,08\text{ (cm}^2\text{)}$$ (0,25đ)
• Diện tích thiếc cần dùng (diện tích toàn phần): $$S_{tp} = S_{xq} + 2S_{\text{đáy}} \approx 678,24 + 226,08 = 904,32\text{ (cm}^2\text{)}$$ (0,25đ)

b) (0,5 điểm)

• Thể tích của hộp sữa là: $$V = \pi R^2 h \approx 3,14 \times 6^2 \times 18 = 3,14 \times 36 \times 18 = 2\,034,72\text{ (cm}^3\text{)}$$ (0,25đ)
• Đổi ra lít: $$V \approx 2,03\text{ lít}$$ (0,25đ)

Bài 2 (1,5 điểm)

a) (0,5 điểm)

• Bán kính đáy chiếc nón: $$R = \frac{42}{2} = 21\text{ (cm)}$$ (0,25đ)
• Áp dụng định lý Pythagore tính chiều cao nón: $$h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{841 - 441} = \sqrt{400} = 20\text{ (cm)}$$ (0,25đ)

b) (0,5 điểm)

• Diện tích lá nón cần dùng (diện tích xung quanh): $$S_{xq} = \pi R l \approx 3,14 \times 21 \times 29 = 1\,912,26\text{ (cm}^2\text{)}$$ (0,5đ)

c) (0,5 điểm)

• Thể tích khoảng không gian bên trong chiếc nón: $$V = \frac{1}{3}\pi R^2 h \approx \frac{1}{3} \times 3,14 \times 21^2 \times 20 = \frac{1}{3} \times 3,14 \times 441 \times 20 = 9\,231,6\text{ (cm}^3\text{)}$$ (0,5đ)

Bài 3 (2,0 điểm)

a) (0,75 điểm)

• Diện tích mặt cầu của quả cầu đồng: $$S_{\text{cầu}} = 4\pi R_{\text{cầu}}^2 = 4\pi \times 6^2 = 144\pi \approx 452,39\text{ (cm}^2\text{)}$$ (0,375đ)
• Thể tích của quả cầu đồng: $$V_{\text{cầu}} = \frac{4}{3}\pi R_{\text{cầu}}^3 = \frac{4}{3}\pi \times 6^3 = 288\pi \approx 904,78\text{ (cm}^3\text{)}$$ (0,375đ)

b) (0,75 điểm)

• Thể tích nước dâng lên bằng đúng thể tích quả cầu đồng thả vào: $$V_{\text{dâng}} = V_{\text{cầu}} = 288\pi\text{ (cm}^3\text{)}$$ (0,25đ)
• Mặt khác, thể tích nước dâng lên có đáy là hình tròn đáy bình trụ bán kính $R_{\text{trụ}} = 8\text{ cm}$ và chiều cao dâng là $\Delta h$: $$V_{\text{dâng}} = \pi R_{\text{trụ}}^2 \Delta h = \pi \times 8^2 \times \Delta h = 64\pi \Delta h$$ (0,25đ)
• Ta có phương trình: $$64\pi \Delta h = 288\pi \implies \Delta h = \frac{288}{64} = 4,5\text{ (cm)}$$ (0,25đ)
• Vậy mực nước trong bình dâng lên thêm $4,5\text{ cm}$.

c) (0,5 điểm)

• Chiều cao mới của mực nước trong bình là: $$h_{\text{mới}} = 15 + 4,5 = 19,5\text{ (cm)}$$ (0,5đ)

Bài 4 (2,0 điểm)

a) (1,0 điểm)

• Vì khối cầu bán kính $R$ nội tiếp khối trụ nên hình trụ có:
  • Bán kính đáy: $R_{\text{trụ}} = R$.
  • Chiều cao hình trụ bằng đường kính khối cầu: $h = 2R$. (0,25đ)
• Diện tích xung quanh của hình trụ:$$S_{xq,\text{trụ}} = 2\pi R_{\text{trụ}} h = 2\pi R (2R) = 4\pi R^2$$Mặt khác diện tích mặt cầu là $S_{\text{cầu}} = 4\pi R^2$. Do đó: $S_{\text{cầu}} = S_{xq,\text{trụ}}$. (đpcm) (0,375đ)
• Thể tích khối trụ:$$V_{\text{trụ}} = \pi R^2 h = \pi R^2 (2R) = 2\pi R^3$$Thể tích khối cầu là $V_{\text{cầu}} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Tỉ số: $$\frac{V_{\text{cầu}}}{V_{\text{trụ}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{2\pi R^3} = \frac{2}{3} \implies V_{\text{cầu}} = \frac{2}{3}V_{\text{trụ}} \quad (\text{đpcm})$$ (0,375đ)

b) (1,0 điểm)

• Độ dài đường sinh của phần hình nón: $$l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = 50\text{ (cm)}$$ (0,25đ)
• Diện tích toàn bộ bề mặt bên ngoài phao cứu sinh gồm: diện tích xung quanh hình nón và diện tích của nửa mặt cầu (bán cầu): $$S_{\text{ngoài}} = S_{xq,\text{nón}} + S_{\text{bán cầu}} = \pi R l + \frac{1}{2}(4\pi R^2) = \pi R l + 2\pi R^2$$ (0,25đ) $$S_{\text{ngoài}} = \pi \times 30 \times 50 + 2\pi \times 30^2 = 1\,500\pi + 1\,800\pi = 3\,300\pi \approx 10\,367,26\text{ (cm}^2\text{)}$$ (0,25đ)
• Thể tích của chiếc phao cứu sinh gồm thể tích khối nón và thể tích nửa khối cầu:$$V = V_{\text{nón}} + V_{\text{bán cầu}} = \frac{1}{3}\pi R^2 h + \frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\pi R^3\right) = \frac{1}{3}\pi R^2 h + \frac{2}{3}\pi R^3$$$$V = \frac{1}{3}\pi \times 30^2 \times 40 + \frac{2}{3}\pi \times 30^3 = 12\,000\pi + 18\,000\pi = 30\,000\pi \approx 94\,247,78\text{ (cm}^3\text{)}$$Đổi ra lít: $V \approx 94,25\text{ lít}$. (0,25đ)