Gia Sư Thông Minhgia sư thông minh.Chấm thitrắc nghiệmFree
← Trở về thư viện

Ôn tập Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Toàn diện Lý thuyết, Ma trận Giải tam giác và Đề kiểm tra 45 phút

Hệ thống hóa toàn bộ kiến thức Chương 4 Toán 9: Tỉ số lượng giác góc nhọn, hai góc phụ nhau, hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông, ứng dụng đo đạc thực tế kèm widget mô phỏng tương tác, 10 quiz và đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận barem điểm.

#Toán học#Toán 9#Hình học 9#Hệ thức lượng#Tỉ số lượng giác#Giải tam giác vuông#Đo đạc thực tế#Ôn tập chương 4#Kết nối tri thức

Mục lục bài viết23 mục

Ôn tập Chương 4. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chào mừng các em học sinh lớp 9 đến với bài tổng ôn tập Chương 4 — chương mở đầu cho toàn bộ phân môn Hình học lượng giác của cấp Trung học cơ sở!

Nếu như trong các lớp dưới, chúng ta chủ yếu nghiên cứu các tính chất định tính của hình học (tam giác bằng nhau, tam giác đồng dạng, đường song song), thì ở Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông, hình học đã bước sang một kỷ nguyên mới: Định lượng hóa các góc và cạnh bằng công cụ lượng giác:

  1. Bài 11 (Tỉ số lượng giác của góc nhọn): Bốn khái niệm nền móng sin⁡,cos⁡,tan⁡,cot⁡\sin, \cos, \tan, \cot, tính chất kỳ diệu của hai góc phụ nhau, bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt (30∘,45∘,60∘30^\circ, 45^\circ, 60^\circ) và các hằng đẳng thức lượng giác bất biến như sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
  2. Bài 12 (Một số hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông và ứng dụng): Các công thức tính cạnh góc vuông qua cạnh huyền và cạnh góc vuông kia, kỹ năng giải tam giác vuông toàn diện trong 4 trường hợp, và kỹ thuật đo đạc gián tiếp chiều cao, khoảng cách qua góc nâng và góc hạ.

Bài tổng ôn tập này sẽ giúp các em xâu chuỗi toàn bộ hệ thống công thức thành bản đồ tư duy sắc bén, rèn luyện kỹ năng kẻ thêm đường cao để giải tam giác thường, trải nghiệm widget trắc địa tương tác và thử sức với đề kiểm tra 45 phút chuẩn định dạng ma trận kiểm tra đánh giá của Bộ GD&ĐT!

BẢN ĐỒ KIẾN THỨC TỔNG ÔN CHƯƠNG 4 (TOÁN 9)

1. Tỉ số lượng giác góc nhọn

• sin⁡=ĐoˆˊiHuyeˆˋn; cos⁡=KeˆˋHuyeˆˋn\sin = \frac{\text{Đối}}{\text{Huyền}}; \ \cos = \frac{\text{Kề}}{\text{Huyền}}
• tan⁡=ĐoˆˊiKeˆˋ; cot⁡=KeˆˋĐoˆˊi\tan = \frac{\text{Đối}}{\text{Kề}}; \ \cot = \frac{\text{Kề}}{\text{Đối}}
• Với góc nhọn: 0<sin⁡,cos⁡<10 < \sin, \cos < 1; tan⁡,cot⁡>0\tan, \cot > 0.

2. Hai góc phụ nhau (α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ)

• sin⁡α=cos⁡β\sin \alpha = \cos \beta
• cos⁡α=sin⁡β\cos \alpha = \sin \beta
• tan⁡α=cot⁡β\tan \alpha = \cot \beta
• cot⁡α=tan⁡β\cot \alpha = \tan \beta

3. Hệ thức Cạnh và Góc

• b=a⋅sin⁡B=a⋅cos⁡Cb = a \cdot \sin B = a \cdot \cos C
• c=a⋅sin⁡C=a⋅cos⁡Bc = a \cdot \sin C = a \cdot \cos B
• b=c⋅tan⁡B=c⋅cot⁡Cb = c \cdot \tan B = c \cdot \cot C
• c=b⋅tan⁡C=b⋅cot⁡Bc = b \cdot \tan C = b \cdot \cot B

4. Giải tam giác & Đo đạc

• Biết 2 yếu tố (ít nhất 1 cạnh).
• Kẻ đường cao để tách tam giác thường thành 2 tam giác vuông.
• Góc nâng nhìn lên, góc hạ nhìn xuống.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

  1. Công thức cạnh góc vuông: Cho tam giác ABCABC vuông tại AA có cạnh huyền a=16 cma = 16\text{ cm} và B^=30∘\widehat{B} = 30^\circ. Cạnh ACAC dài bao nhiêu?
  2. Hằng đẳng thức: Biểu thức sin⁡225∘+cos⁡225∘\sin^2 25^\circ + \cos^2 25^\circ bằng bao nhiêu?
  3. Phụ nhau: Tính nhanh tỉ số tan⁡32∘cot⁡58∘\frac{\tan 32^\circ}{\cot 58^\circ}.
  4. Giải tam giác: Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45∘45^\circ và cạnh huyền dài 62 cm6\sqrt{2}\text{ cm}. Hai cạnh góc vuông dài bao nhiêu?
  5. Đo đạc: Từ đỉnh ngọn hải đăng cao 40 m40\text{ m}, nhìn xuống con thuyền dưới góc hạ 45∘45^\circ. Con thuyền cách chân hải đăng bao nhiêu mét?
Mẹo hay

Đáp án nhẩm nhanh:

  1. AC=a⋅sin⁡B=16⋅sin⁡30∘=16⋅0,5=8 cm.AC = a \cdot \sin B = 16 \cdot \sin 30^\circ = 16 \cdot 0,5 = 8\text{ cm}.
  2. Bằng 11.
  3. Bằng 11 (vì 32∘+58∘=90∘  ⟹  tan⁡32∘=cot⁡58∘32^\circ + 58^\circ = 90^\circ \implies \tan 32^\circ = \cot 58^\circ).
  4. Cạnh góc vuông bằng 62⋅sin⁡45∘=62⋅22=6 cm.6\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\text{ cm}.
  5. Góc so le trong bằng 45∘  ⟹  d=40⋅cot⁡45∘=40 m45^\circ \implies d = 40 \cdot \cot 45^\circ = 40\text{ m}.

I. Bảng Tra cứu Toàn diện Công thức Hệ thức lượng

1. Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt

Đại lượng 0∘0^\circ 30∘30^\circ 45∘45^\circ 60∘60^\circ 90∘90^\circ
sin⁡α\sin \alpha 00 12\frac{1}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 32\frac{\sqrt{3}}{2} 11
cos⁡α\cos \alpha 11 32\frac{\sqrt{3}}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 12\frac{1}{2} 00
tan⁡α\tan \alpha 00 33\frac{\sqrt{3}}{3} 11 3\sqrt{3} Không xác định
cot⁡α\cot \alpha Không xác định 3\sqrt{3} 11 33\frac{\sqrt{3}}{3} 00

2. Các hệ thức lượng giác cơ bản thường dùng trong thi cử

  1. tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} và cot⁡α=cos⁡αsin⁡α\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.
  2. tan⁡α⋅cot⁡α=1  ⟺  cot⁡α=1tan⁡α\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \iff \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}.
  3. sin⁡2α+cos⁡2α=1  ⟹  {sin⁡α=1−cos⁡2αcos⁡α=1−sin⁡2α\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \begin{cases} \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \\ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \end{cases} (với góc nhọn α\alpha).
  4. 1+tan⁡2α=1cos⁡2α1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}.
  5. 1+cot⁡2α=1sin⁡2α1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}.

II. Widget Tương tác: Thước Ngắm Đo Đạc Tam Giác Đạc Thực Tế

Hãy mô phỏng một kỹ sư trắc địa đo chiều cao của một tòa nhà Landmark. Bạn có thể thay đổi khoảng cách từ vị trí đứng đến tòa nhà (dd) và góc nâng của ống kính ngắm (α\alpha):

MÔ PHỎNG ĐO CHIỀU CAO TÒA NHÀ BẰNG GÓC NÂNG LƯỢNG GIÁC

d = 30 m

α = 40°

III. Các Dạng Toán Trọng Tâm và Phương Pháp Giải Chi Tiết

Dạng 1: Rút gọn biểu thức lượng giác và chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải:

  • Dùng tính chất hai góc phụ nhau để chuyển về cùng một góc.
  • Áp dụng các hằng đẳng thức sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1; tan⁡x⋅cot⁡x=1\tan x \cdot \cot x = 1; 1+tan⁡2x=1cos⁡2x1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}.

Bài toán 1:

Tính giá trị các biểu thức sau: a) A=sin⁡210∘+sin⁡220∘+⋯+sin⁡280∘A = \sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \dots + \sin^2 80^\circ. b) B=2sin⁡38∘cos⁡52∘−3tan⁡25∘⋅tan⁡65∘B = \frac{2\sin 38^\circ}{\cos 52^\circ} - 3\tan 25^\circ \cdot \tan 65^\circ. c) Chứng minh đẳng thức: cos⁡α1+sin⁡α+tan⁡α=1cos⁡α\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \tan \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}.

Lời giải:

a) Biểu thức AA có 88 số hạng. Nhóm các góc phụ nhau (10∘+80∘=90∘  ⟹  sin⁡80∘=cos⁡10∘10^\circ + 80^\circ = 90^\circ \implies \sin 80^\circ = \cos 10^\circ):

  • sin⁡210∘+sin⁡280∘=sin⁡210∘+cos⁡210∘=1.\sin^2 10^\circ + \sin^2 80^\circ = \sin^2 10^\circ + \cos^2 10^\circ = 1.
  • sin⁡220∘+sin⁡270∘=sin⁡220∘+cos⁡220∘=1.\sin^2 20^\circ + \sin^2 70^\circ = \sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ = 1.
  • sin⁡230∘+sin⁡260∘=sin⁡230∘+cos⁡230∘=1.\sin^2 30^\circ + \sin^2 60^\circ = \sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = 1.
  • sin⁡240∘+sin⁡250∘=sin⁡240∘+cos⁡240∘=1.\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ = \sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ = 1. Vậy A=1+1+1+1=4A = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.

b) Vì 38∘+52∘=90∘  ⟹  cos⁡52∘=sin⁡38∘38^\circ + 52^\circ = 90^\circ \implies \cos 52^\circ = \sin 38^\circ. Vì 25∘+65∘=90∘  ⟹  tan⁡65∘=cot⁡25∘  ⟹  tan⁡25∘⋅tan⁡65∘=1.25^\circ + 65^\circ = 90^\circ \implies \tan 65^\circ = \cot 25^\circ \implies \tan 25^\circ \cdot \tan 65^\circ = 1. Khi đó:

B=2sin⁡38∘sin⁡38∘−3(1)=2−3=−1B = \frac{2\sin 38^\circ}{\sin 38^\circ} - 3(1) = 2 - 3 = -1

c) Biến đổi vế trái:

VT=cos⁡α1+sin⁡α+sin⁡αcos⁡α=cos⁡2α+sin⁡α(1+sin⁡α)cos⁡α(1+sin⁡α)VT = \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin \alpha(1 + \sin \alpha)}{\cos \alpha(1 + \sin \alpha)}=cos⁡2α+sin⁡α+sin⁡2αcos⁡α(1+sin⁡α)=(sin⁡2α+cos⁡2α)+sin⁡αcos⁡α(1+sin⁡α)=1+sin⁡αcos⁡α(1+sin⁡α)=1cos⁡α=VP= \frac{\cos^2 \alpha + \sin \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos \alpha(1 + \sin \alpha)} = \frac{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \sin \alpha}{\cos \alpha(1 + \sin \alpha)} = \frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha(1 + \sin \alpha)} = \frac{1}{\cos \alpha} = VP

Đẳng thức đã được chứng minh.

Dạng 2: Giải tam giác vuông và tính diện tích tam giác

Bài toán 2:

Cho tam giác ABCABC vuông tại AA, có đường cao AHAH. Biết AB=6 cmAB = 6\text{ cm} và B^=30∘\widehat{B} = 30^\circ. a) Giải tam giác vuông ABCABC. b) Tính độ dài đường cao AHAH và đoạn thẳng BHBH. c) Tính diện tích tam giác ABHABH.

Lời giải:

a) Trong tam giác ABCABC vuông tại AA:

  • Góc C^=90∘−B^=90∘−30∘=60∘.\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.
  • Cạnh huyền BC=ABcos⁡B=6cos⁡30∘=632=123=43 cm.BC = \frac{AB}{\cos B} = \frac{6}{\cos 30^\circ} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\text{ cm}.
  • Cạnh góc vuông AC=AB⋅tan⁡B=6⋅tan⁡30∘=6⋅33=23 cm.AC = AB \cdot \tan B = 6 \cdot \tan 30^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\text{ cm}.

b) Xét tam giác ABHABH vuông tại HH:

  • AH=AB⋅sin⁡B=6⋅sin⁡30∘=6⋅12=3 cm.AH = AB \cdot \sin B = 6 \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\text{ cm}.
  • BH=AB⋅cos⁡B=6⋅cos⁡30∘=6⋅32=33 cm.BH = AB \cdot \cos B = 6 \cdot \cos 30^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm}.

c) Diện tích tam giác ABHABH:

SABH=12⋅AH⋅BH=12⋅3⋅33=932 cm2S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2}\text{ cm}^2

Dạng 3: Kẻ đường cao giải các bài toán tam giác nhọn và hình thang

Bài toán 3:

Cho hình thang cân ABCDABCD (AB∥CDAB \parallel CD) có đáy nhỏ AB=4 cmAB = 4\text{ cm}, đáy lớn CD=10 cmCD = 10\text{ cm} và cạnh bên AD=BC=5 cmAD = BC = 5\text{ cm}. a) Tính chiều cao của hình thang cân. b) Tính số đo góc D^\widehat{D} ở đáy lớn (làm tròn đến độ). c) Tính diện tích của hình thang cân ABCDABCD.

Lời giải:

a) Kẻ các đường cao AH⊥CDAH \perp CD và BK⊥CDBK \perp CD (H,K∈CDH, K \in CD). Tứ giác ABKHABKH là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)   ⟹  HK=AB=4 cm\implies HK = AB = 4\text{ cm}. Vì hình thang cân nên hai tam giác vuông △AHD=△BKC\triangle AHD = \triangle BKC (cạnh huyền - góc nhọn):

DH=KC=CD−HK2=10−42=3 cmDH = KC = \frac{CD - HK}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3\text{ cm}

Xét tam giác AHDAHD vuông tại HH, áp dụng định lý Pythagoras:

AH=AD2−DH2=52−32=25−9=16=4 cmAH = \sqrt{AD^2 - DH^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\text{ cm}

b) Trong tam giác vuông AHDAHD:

cos⁡D=DHAD=35=0,6  ⟹  D^≈53∘\cos D = \frac{DH}{AD} = \frac{3}{5} = 0,6 \implies \widehat{D} \approx 53^\circ

c) Diện tích hình thang cân ABCDABCD:

SABCD=(AB+CD)⋅AH2=(4+10)⋅42=28 cm2S_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \cdot AH}{2} = \frac{(4 + 10) \cdot 4}{2} = 28\text{ cm}^2

Dạng 4: Bài toán thực tế đo đạc khoảng cách gián tiếp

Bài toán 4:

Một người đi thuyền từ bờ bên này sang bờ bên kia của một con sông rộng 250 m250\text{ m}. Do nước sông chảy xiết, con thuyền bị trôi dạt lệch một góc α=20∘\alpha = 20^\circ so với phương thẳng đứng vuông góc với bờ sông. a) Hỏi chiếc thuyền đã phải chèo một quãng đường thực tế dài bao nhiêu mét để sang bờ bên kia? b) Chiếc thuyền đã bị dòng nước đẩy trôi xuôi theo bờ sông một đoạn bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

Mô hình hóa hình học: Gọi con sông được giới hạn bởi hai đường thẳng song song cách nhau d=250 md = 250\text{ m}. Gọi AA là điểm xuất phát, BB là điểm đối diện vuông góc bên bờ kia (AB=250 mAB = 250\text{ m}), CC là điểm thực tế thuyền cập bến. Tam giác ABCABC vuông tại BB, có góc lệch BAC^=20∘\widehat{BAC} = 20^\circ.

a) Quãng đường thực tế thuyền đi là cạnh huyền ACAC:

AC=ABcos⁡20∘=250cos⁡20∘≈2500,9397≈266,0 mAC = \frac{AB}{\cos 20^\circ} = \frac{250}{\cos 20^\circ} \approx \frac{250}{0,9397} \approx 266,0\text{ m}

b) Đoạn đường thuyền bị nước đẩy trôi xuôi là cạnh góc vuông BCBC:

BC=AB⋅tan⁡20∘=250⋅tan⁡20∘≈250⋅0,3640≈91,0 mBC = AB \cdot \tan 20^\circ = 250 \cdot \tan 20^\circ \approx 250 \cdot 0,3640 \approx 91,0\text{ m}

Kết luận: Thuyền đi một đoạn thực tế khoảng 266,0 m266,0\text{ m} và bị trôi dạt khoảng 91,0 m91,0\text{ m}.

IV. 5 Chuyên đề Khoa học & Ứng dụng Thực tiễn Hiện đại

Chuyên đề 1: Hệ Thống Dẫn Đường Tàu Vũ Trụ Chếch Góc (Attitude Control)

Khi kính viễn vọng không gian James Webb xoay góc quan sát các thiên hà cách xa hàng tỷ năm ánh sáng, các con quay hồi chuyển bánh đà phản lực (Reaction Wheels) giải các hệ thức lượng giác tam giác vuông góc nghiêng Euler để hướng ống kính chính xác đến từng phần triệu của một độ góc (Micro-arcsecond).

Chuyên đề 2: Kỹ Thuật Bắn Tọa Độ Pháo Binh & Tên Lửa Phòng Không

Trong tác chiến quân sự: Radar phòng không khóa mục tiêu máy bay không người lái (UAV) bằng cách đo cự ly nghiêng RR và góc tà θ\theta. Máy tính đường đạn tức thì tính ra độ cao bay của mục tiêu h=R⋅sin⁡θh = R \cdot \sin \theta và cự ly nằm ngang d=R⋅cos⁡θd = R \cdot \cos \theta, kích hoạt tên lửa đánh chặn mục tiêu trong vài giây.

Chuyên đề 3: Thiết Kế Mái Dốc Thoát Nước Nhà Xưởng Chống Bão

Mái nhà dân dụng và nhà xưởng công nghiệp tại miền Trung Việt Nam luôn được thiết kế với độ dốc thoát nước tối thiểu từ 10∘10^\circ đến 15∘15^\circ. Hệ thức tang góc dốc giúp các kỹ sư xây dựng tính toán chiều dài xà gồ và diện tích tôn lợp, vừa đảm bảo thoát nước mưa xối xả vừa chịu được áp lực gió bão cấp 13 giật lật mái.

Chuyên đề 4: Góc Tới Ánh Sáng Mặt Trời Trong Nông Nghiệp Thông Minh

Các nhà kính trồng hoa công nghệ cao (Đà Lạt) sử dụng các cảm biến đo góc tới của tia nắng θ\theta. Hệ thức lượng giác cạnh và góc điều khiển các tấm rèm che tự động đóng mở, đảm bảo cây trồng quang hợp tối đa mà không bị cháy lá do bức xạ nhiệt dư thừa.

Chuyên đề 5: Lập Trình Mô Phỏng Động Học Cánh Tay Robot 2 Khớp (Forward Kinematics)

Trong các dây chuyền lắp ráp ô tô tự động: Vị trí tọa độ (x;y)(x; y) của đầu gắp robot được tính toán từ độ dài hai cánh tay đòn l1,l2l_1, l_2 và các góc quay θ1,θ2\theta_1, \theta_2 thông qua hệ thức lượng giác:

{x=l1cos⁡θ1+l2cos⁡(θ1+θ2)y=l1sin⁡θ1+l2sin⁡(θ1+θ2)\begin{cases} x = l_1 \cos \theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \\ y = l_1 \sin \theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \end{cases}

Hệ thức lượng trong tam giác vuông chính là trái tim toán học của toàn bộ ngành cơ điện tử và robot học hiện đại.

V. 10 Câu hỏi Trắc nghiệm Tương tác kiểm tra Năng lực (Có chấm điểm tức thì)

@@PROTECTED_TOKEN_0@@

VI. Đề Kiểm tra 45 phút Đánh giá Năng lực Chương 4 (Chuẩn Ma trận & Barem Điểm)

1. Ma trận đề kiểm tra 45 phút

Mạch nội dung Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao Tổng điểm
Tỉ số lượng giác & Góc phụ nhau 1,0 đ (C1a) 1,0 đ (C1b) 2,0 đ
Hệ thức giữa cạnh và góc trong △\triangle vuông 1,5 đ (C2a) 1,0 đ (C2b) 2,5 đ
Giải tam giác vuông & Tam giác thường 1,5 đ (C3a) 1,0 đ (C3b) 2,5 đ
Bài toán thực tế đo đạc góc nâng góc hạ 1,0 đ (C4a) 1,0 đ (C4b) 2,0 đ
Chứng minh đẳng thức lượng giác nâng cao 1,0 đ (C5) 1,0 đ
Tổng điểm 2,0 đ 4,0 đ 3,0 đ 1,0 đ 10,0 đ

2. Đề bài chi tiết

Bài 1 (2,0 điểm): a) Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần (không dùng máy tính cầm tay):

sin⁡24∘;cos⁡35∘;sin⁡54∘;cos⁡70∘\sin 24^\circ; \quad \cos 35^\circ; \quad \sin 54^\circ; \quad \cos 70^\circ

b) Tính giá trị của biểu thức:

P=sin⁡232∘+sin⁡258∘−tan⁡48∘cot⁡42∘+tan⁡20∘⋅tan⁡70∘P = \sin^2 32^\circ + \sin^2 58^\circ - \frac{\tan 48^\circ}{\cot 42^\circ} + \tan 20^\circ \cdot \tan 70^\circ

Bài 2 (2,5 điểm): Cho tam giác ABCABC vuông tại AA, có đường cao AHAH. Biết AB=9 cmAB = 9\text{ cm} và AC=12 cmAC = 12\text{ cm}. a) Tính độ dài cạnh huyền BCBC, đường cao AHAH và đoạn thẳng BHBH. b) Tính số đo góc B^\widehat{B} và góc C^\widehat{C} (làm tròn đến độ).

Bài 3 (2,5 điểm): Cho tam giác ABCABC có B^=45∘\widehat{B} = 45^\circ, C^=30∘\widehat{C} = 30^\circ và cạnh AC=8 cmAC = 8\text{ cm}. Kẻ đường cao AH⊥BCAH \perp BC (H∈BCH \in BC). a) Tính độ dài đường cao AHAH và cạnh ABAB. b) Tính độ dài cạnh BCBC và diện tích tam giác ABCABC.

Bài 4 (2,0 điểm): Một người đứng tại bờ biển ở điểm AA nhìn ngắm một ngọn hải đăng dựng trên một vách đá thẳng đứng.

  • Góc nâng nhìn lên chân ngọn hải đăng (đỉnh vách đá BB) là α=30∘\alpha = 30^\circ.
  • Góc nâng nhìn lên đỉnh ngọn hải đăng (điểm CC) là β=45∘\beta = 45^\circ. Khoảng cách từ người quan sát đến chân vách đá (theo phương nằm ngang) là 60 m60\text{ m}. a) Tính chiều cao của vách đá BB so với mặt biển. b) Tính chiều cao của ngọn hải đăng BCBC (từ chân BB đến đỉnh CC).

Bài 5 (1,0 điểm — Vận dụng cao): Cho tam giác nhọn ABCABC có ba góc đều nhọn, các đường cao AD,BE,CFAD, BE, CF cắt nhau tại trực tâm HH. Chứng minh rằng:

SDEF=(1−cos⁡2A−cos⁡2B−cos⁡2C)⋅SABCS_{DEF} = \left(1 - \cos^2 A - \cos^2 B - \cos^2 C\right) \cdot S_{ABC}

3. Hướng dẫn chấm & Barem điểm chi tiết

Bài Ý Nội dung giải chi tiết Điểm
Bài 1 (2,0 đ) a Đổi các tỉ số cosin về sin bằng tính chất hai góc phụ nhau:
- cos⁡35∘=sin⁡(90∘−35∘)=sin⁡55∘\cos 35^\circ = \sin(90^\circ - 35^\circ) = \sin 55^\circ.
- cos⁡70∘=sin⁡(90∘−70∘)=sin⁡20∘\cos 70^\circ = \sin(90^\circ - 70^\circ) = \sin 20^\circ.
Ta có dãy các góc: 20∘<24∘<54∘<55∘20^\circ < 24^\circ < 54^\circ < 55^\circ.
Vì khi góc tăng thì sin tăng nên: sin⁡20∘<sin⁡24∘<sin⁡54∘<sin⁡55∘\sin 20^\circ < \sin 24^\circ < \sin 54^\circ < \sin 55^\circ.
Vậy thứ tự tăng dần là: cos⁡70∘<sin⁡24∘<sin⁡54∘<cos⁡35∘\cos 70^\circ < \sin 24^\circ < \sin 54^\circ < \cos 35^\circ.		 0,5 đ

0,5 đ
b Ta có 32∘+58∘=90∘  ⟹  sin⁡58∘=cos⁡32∘  ⟹  sin⁡232∘+sin⁡258∘=1.32^\circ + 58^\circ = 90^\circ \implies \sin 58^\circ = \cos 32^\circ \implies \sin^2 32^\circ + \sin^2 58^\circ = 1.
Lại có 48∘+42∘=90∘  ⟹  cot⁡42∘=tan⁡48∘  ⟹  tan⁡48∘cot⁡42∘=1.48^\circ + 42^\circ = 90^\circ \implies \cot 42^\circ = \tan 48^\circ \implies \frac{\tan 48^\circ}{\cot 42^\circ} = 1.
Và 20∘+70∘=90∘  ⟹  tan⁡70∘=cot⁡20∘  ⟹  tan⁡20∘⋅tan⁡70∘=1.20^\circ + 70^\circ = 90^\circ \implies \tan 70^\circ = \cot 20^\circ \implies \tan 20^\circ \cdot \tan 70^\circ = 1.
Thay vào: P=1−1+1=1P = 1 - 1 + 1 = 1.		 0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Bài 2 (2,5 đ) a Áp dụng định lý Pythagoras trong △ABC\triangle ABC vuông tại AA:
BC=AB2+AC2=92+122=81+144=225=15 cm.BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\text{ cm}.
Áp dụng hệ thức lượng:
- AB⋅AC=BC⋅AH  ⟹  AH=AB⋅ACBC=9⋅1215=7,2 cm.AB \cdot AC = BC \cdot AH \implies AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{9 \cdot 12}{15} = 7,2\text{ cm}.
- AB2=BC⋅BH  ⟹  BH=AB2BC=9215=8115=5,4 cm.AB^2 = BC \cdot BH \implies BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{9^2}{15} = \frac{81}{15} = 5,4\text{ cm}.		 0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ
b Trong △ABC\triangle ABC vuông tại AA:
sin⁡B=ACBC=1215=0,8  ⟹  B^≈53∘.\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{15} = 0,8 \implies \widehat{B} \approx 53^\circ.
Suy ra C^=90∘−B^≈90∘−53∘=37∘\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} \approx 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ.		 0,5 đ
0,5 đ
Bài 3 (2,5 đ) a Xét △ACH\triangle ACH vuông tại HH:
AH=AC⋅sin⁡C=8⋅sin⁡30∘=8⋅12=4 cm.AH = AC \cdot \sin C = 8 \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\text{ cm}.
Xét △ABH\triangle ABH vuông cân tại HH (vì B^=45∘\widehat{B} = 45^\circ):
AB=AHsin⁡B=4sin⁡45∘=422=42 cm.AB = \frac{AH}{\sin B} = \frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2}\text{ cm}.		 0,5 đ

0,75 đ
b Trong △ABH\triangle ABH: BH=AH=4 cmBH = AH = 4\text{ cm}.
Trong △ACH\triangle ACH: HC=AC⋅cos⁡C=8⋅cos⁡30∘=8⋅32=43 cm.HC = AC \cdot \cos C = 8 \cdot \cos 30^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\text{ cm}.
Suy ra: BC=BH+HC=4+43=4(1+3) cmBC = BH + HC = 4 + 4\sqrt{3} = 4(1 + \sqrt{3})\text{ cm}.
Diện tích: SABC=12⋅BC⋅AH=12⋅4(1+3)⋅4=8(1+3) cm2.S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 4(1 + \sqrt{3}) \cdot 4 = 8(1 + \sqrt{3})\text{ cm}^2.		 0,5 đ

0,75 đ
Bài 4 (2,0 đ) a Gọi chân vách đá là DD. Tam giác ABDABD vuông tại DD:
Chiều cao vách đá là:
BD=AD⋅tan⁡α=60⋅tan⁡30∘=60⋅33=203≈34,6 m.BD = AD \cdot \tan \alpha = 60 \cdot \tan 30^\circ = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3} \approx 34,6\text{ m}.		 0,5 đ

0,5 đ
b Tam giác ACDACD vuông tại DD:
Chiều cao từ đỉnh hải đăng đến mặt biển là:
CD=AD⋅tan⁡β=60⋅tan⁡45∘=60⋅1=60 m.CD = AD \cdot \tan \beta = 60 \cdot \tan 45^\circ = 60 \cdot 1 = 60\text{ m}.
Chiều cao ngọn hải đăng:
BC=CD−BD=60−203≈60−34,6=25,4 mBC = CD - BD = 60 - 20\sqrt{3} \approx 60 - 34,6 = 25,4\text{ m}.		 0,5 đ

0,5 đ
Bài 5 (1,0 đ) Nhận xét các tam giác đồng dạng:
- Tứ giác BCEFBCEF nội tiếp   ⟹  △AEF∽△ABC\implies \triangle AEF \backsim \triangle ABC với tỉ số đồng dạng kA=AEAB=cos⁡Ak_A = \frac{AE}{AB} = \cos A.
Do đó SAEFSABC=kA2=cos⁡2A  ⟹  SAEF=cos⁡2A⋅SABC.\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}} = k_A^2 = \cos^2 A \implies S_{AEF} = \cos^2 A \cdot S_{ABC}.
- Tương tự:
SBFD=cos⁡2B⋅SABCS_{BFD} = \cos^2 B \cdot S_{ABC} và SCDE=cos⁡2C⋅SABCS_{CDE} = \cos^2 C \cdot S_{ABC}.
Mặt khác, diện tích tam giác DEFDEF bằng:
SDEF=SABC−(SAEF+SBFD+SCDE)S_{DEF} = S_{ABC} - (S_{AEF} + S_{BFD} + S_{CDE})
=SABC−(cos⁡2A⋅SABC+cos⁡2B⋅SABC+cos⁡2C⋅SABC)= S_{ABC} - (\cos^2 A \cdot S_{ABC} + \cos^2 B \cdot S_{ABC} + \cos^2 C \cdot S_{ABC})
=(1−cos⁡2A−cos⁡2B−cos⁡2C)⋅SABC= (1 - \cos^2 A - \cos^2 B - \cos^2 C) \cdot S_{ABC}.
Đẳng thức được chứng minh hoàn tất.		 0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ
NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP

Tự kiểm tra kiến thức

Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.

✦ Mẹo học tập

Học từng chút một, nghỉ ngơi đều đặn.

✦ KIẾN THỨC CÙNG CHUYÊN MỤC

Bài viết cùng chủ đề

Khám phá thêm các bài học và bài tập liên quan để ôn luyện vững vàng hơn.

Toán họcBài học

Toán 9 Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông và ứng dụng - Giải tam giác vuông & Đo đạc thực tế

Lý thuyết toàn diện và bài tập Bài 12 Toán 9: Hệ thức giữa cạnh góc vuông với cạnh huyền và góc nhọn, quy trình 4 trường hợp giải tam giác vuông, bài toán đo chiều cao khoảng cách thực tế, widget giải tam giác vuông và 10 quiz có giải chi tiết.

Đọc bài học