Ôn tập Chương 9. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Chào mừng các em học sinh lớp 9 đến với bài tổng ôn tập Chương 9: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp — chương học chiếm vị trí then chốt, trung tâm và chiếm trọn vẹn điểm số câu Hình học trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT!

Nếu như ở học kỳ 1, Chương V đã giới thiệu các yếu tố hình học sơ khởi về đường tròn, dây cung và tiếp tuyến, thì Chương 9 chính là nơi toàn bộ kiến thức Hình học phẳng THCS thăng hoa rực rỡ nhất:

1. Bài 27 (Góc nội tiếp): Bản chất của góc có đỉnh trên đường tròn, định lý số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn ($$\widehat{A} = \frac{1}{2}\text{sd}(\text{cung } BC) = \frac{1}{2}\widehat{BOC}$$) và hệ quả bất hủ: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông ($90^\circ$).
2. Bài 28 (Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác): Phương pháp xác định tâm $O$ (giao 3 trung trực) và tâm $I$ (giao 3 phân giác), công thức tính nhanh bán kính $R, r$ cho tam giác vuông, tam giác đều ($R = 2r$) và công thức diện tích $r = \frac{S}{p}$.
3. Bài 29 (Tứ giác nội tiếp): "Vua của các bài toán hình học lớp 9", thuần thục 4 dấu hiệu nhận biết vàng (tổng hai góc đối bằng $180^\circ$, hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh, bốn đỉnh cách đều một điểm, hình thang cân).
4. Bài 30 (Đa giác đều): Hai đường tròn đồng tâm, công thức tính góc ở đỉnh, góc ở tâm, tính chất lục giác đều ($a = R$) và nguyên lý lát phẳng mặt phẳng.

Bài tổng ôn tập này sẽ trang bị cho các em bản đồ tư duy toàn diện, các phương pháp tư duy chứng minh hình học sắc sảo và cơ hội thử sức với Đề kiểm tra 45 phút chuẩn định dạng ma trận Bộ GD&ĐT kèm barem điểm chi tiết từng $0,25$ điểm.

Ma trận Đề kiểm tra 45 phút Chương 9 (Chuẩn Bộ GD&ĐT)

Đề kiểm tra 45 phút: Chương 9 - Toán 9

Phần I. Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm — 12 câu, mỗi câu 0,25đ)

Phần II. Tự luận (7,0 điểm — 4 bài toán)

Bài 1 (1,5 điểm): Góc nội tiếp & Tam giác vuông

Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. Lấy điểm $C$ trên nửa đường tròn ($C$ khác $A$ và $B$). Kẻ đường cao $CH \perp AB$ ($H \in AB$). a) Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $C$.
b) Biết $AC = R$, hãy tính số đo các góc nhọn của tam giác $ABC$ và tính độ dài $CH$ theo $R$.

Bài 2 (1,5 điểm): Bán kính đường tròn nội tiếp & ngoại tiếp

Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $12\text{ cm}$. a) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ và bán kính đường tròn nội tiếp $r$ của tam giác $ABC$.
b) Tính diện tích hình vành khăn nằm giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Bài 3 (3,0 điểm - Trọng tâm bài thi vào 10): Tứ giác nội tiếp toàn diện

Cho đường tròn tâm $O$ và một điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn. Từ $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AB, AC$ với đường tròn ($B, C$ là các tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$. a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn này.
b) Chứng minh $AO \perp BC$ tại $H$ và $AH \cdot AO = AB^2$.
c) Kẻ cát tuyến $ADE$ của đường tròn $(O)$ ($D$ nằm giữa $A$ và $E$, tia $AE$ nằm giữa hai tia $AB$ và $AO$). Chứng minh tam giác $ABD$ đồng dạng với tam giác $AEB$, từ đó suy ra $AB^2 = AD \cdot AE$.
d) Chứng minh tứ giác $DHOE$ nội tiếp đường tròn.

Bài 4 (1,0 điểm - Vận dụng cao): Đa giác đều & Bất đẳng thức hình học

Cho lục giác đều $ABCDEF$ có cạnh bằng $a$. a) Tính diện tích của lục giác đều $ABCDEF$ theo $a$.
b) Lấy một điểm $M$ tùy ý nằm bên trong lục giác đều. Gọi khoảng cách từ $M$ đến 6 cạnh của lục giác đều lần lượt là $d_1, d_2, d_3, d_4, d_5, d_6$. Chứng minh rằng tổng $d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 + d_6$ luôn là một hằng số không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$.

Đáp án chi tiết & Barem chấm điểm Phần Tự luận

Bài 1 (1,5 điểm)

a) (0,75 điểm)

• Điểm $C$ nằm trên đường tròn đường kính $AB$. (0,25đ)
• Suy ra góc $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn: $$\widehat{ACB} = 90^\circ$$ (0,25đ)
• Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $C$. (0,25đ)

b) (0,75 điểm)

• Cạnh huyền $AB = 2R$. Ta có: $$\cos \widehat{BAC} = \frac{AC}{AB} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2} \implies \widehat{BAC} = 60^\circ$$ (0,25đ)
• Trong tam giác vuông $ABC$: $$\widehat{ABC} = 90^\circ - \widehat{BAC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$ (0,25đ)
• Độ dài đường cao $CH$: $$CH = AC \cdot \sin \widehat{BAC} = R \cdot \sin 60^\circ = \frac{R\sqrt{3}}{2}$$ (0,25đ)

Bài 2 (1,5 điểm)

a) (1,0 điểm)

• Chiều cao của tam giác đều cạnh $a = 12\text{ cm}$: $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\text{ (cm)}$$ (0,25đ)
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $$R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \times 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\text{ (cm)}$$ (0,5đ)
• Bán kính đường tròn nội tiếp: $$r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \times 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\text{ (cm)}$$ (0,25đ)

b) (0,5 điểm)

• Diện tích hình vành khăn: $$S = \pi (R^2 - r^2) = \pi \left[ (4\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2 \right]$$ (0,25đ) $$S = \pi (48 - 12) = 36\pi \approx 113,10\text{ (cm}^2\text{)}$$ (0,25đ)

Bài 3 (3,0 điểm)

a) (0,75 điểm)

• Vì $AB, AC$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ nên: $AB \perp OB \implies \widehat{ABO} = 90^\circ$ và $AC \perp OC \implies \widehat{ACO} = 90^\circ$. (0,25đ)
• Xét tứ giác $ABOC$: $$\widehat{ABO} + \widehat{ACO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$ (0,25đ)
• Do đó tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn. Tâm là trung điểm của đoạn thẳng $AO$. (0,25đ)

b) (0,75 điểm)

• Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $AB = AC$ và $OB = OC = R$. Suy ra $AO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC \implies AO \perp BC$ tại $H$. (0,25đ)
• Xét tam giác $ABO$ vuông tại $B$ có đường cao $BH$: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: $$AB^2 = AH \cdot AO$$ (0,5đ)

c) (0,75 điểm)

• Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AEB$:
  • Góc $\widehat{BAE}$ là góc chung. (0,25đ)
  • $\widehat{ABD} = \widehat{AEB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung $BD$). (0,25đ)
• Suy ra $\Delta ABD \backsim \Delta AEB$ (g.g). $$\implies \frac{AB}{AE} = \frac{AD}{AB} \implies AB^2 = AD \cdot AE$$ (0,25đ)

d) (0,75 điểm)

• Từ câu b và câu c: $$AH \cdot AO = AD \cdot AE \implies \frac{AH}{AE} = \frac{AD}{AO}$$ (0,25đ)
• Xét $\Delta AHD$ và $\Delta AEO$:
  • Góc $\widehat{OAE}$ chung.
  • $\frac{AH}{AE} = \frac{AD}{AO}$. $\implies \Delta AHD \backsim \Delta AEO$ (c.g.c). (0,25đ)
• Suy ra $\widehat{AHD} = \widehat{AEO}$. Mặt khác, $$\widehat{AHD} + \widehat{DHO} = 180^\circ \implies \widehat{AEO} + \widehat{DHO} = 180^\circ.$$ Do tổng hai góc đối bằng $180^\circ$, tứ giác $DHOE$ nội tiếp đường tròn. (0,25đ)

Bài 4 (1,0 điểm)

a) (0,5 điểm)

• Lục giác đều cạnh $a$ gồm $6$ tam giác đều cạnh $a$ ghép lại: $$S = 6 \times \left( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$$ (0,5đ)

b) (0,5 điểm)

• Nối $M$ với 6 đỉnh của lục giác đều, lục giác được chia thành 6 tam giác nhỏ có đáy là các cạnh của lục giác đều (đều có độ dài bằng $a$) và chiều cao tương ứng là $d_1, d_2, d_3, d_4, d_5, d_6$. (0,25đ)
• Tổng diện tích 6 tam giác nhỏ chính bằng diện tích lục giác đều $S$:$$S = \frac{1}{2} a d_1 + \frac{1}{2} a d_2 + \frac{1}{2} a d_3 + \frac{1}{2} a d_4 + \frac{1}{2} a d_5 + \frac{1}{2} a d_6$$$$S = \frac{1}{2} a (d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 + d_6)$$
• Suy ra: $$d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 + d_6 = \frac{2S}{a} = \frac{2}{a} \times \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = 3a\sqrt{3}$$ (0,25đ)
• Vì $a$ là độ dài cạnh cố định nên $3a\sqrt{3}$ là một hằng số không đổi. Ta có điều phải chứng minh.