Bài 6. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Trong đời sống cũng như trong khoa học - kỹ thuật, chúng ta thường xuyên đối mặt với các bài toán tìm phạm vi giá trị thỏa mãn một điều kiện an toàn hoặc ngân sách:

• Cần đạt điểm tổng kết tối thiểu bao nhiêu để đạt học lực Xuất sắc?
• Một chuyến xe tải chở tối đa bao nhiêu thùng hàng để không vượt quá tải trọng của cây cầu?
• Doanh nghiệp phải bán tối thiểu bao nhiêu sản phẩm để bắt đầu có lãi?

Tất cả các câu hỏi trên đều dẫn đến việc thiết lập và giải một Bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Trong bài học này, các em sẽ nắm vững định nghĩa, thành thạo hai quy tắc biến đổi tương đương cốt lõi, biết cách biểu diễn tập nghiệm trực quan trên trục số và ứng dụng giải các bài toán thực tiễn phong phú!

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Khái niệm: Bất phương trình $2x - 6 \le 0$ có phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn không?
2. Kiểm tra nghiệm: Số $x = 3$ có phải là nghiệm của bất phương trình $3x - 5 > 2$ không?
3. Quy tắc chuyển vế: Chuyển hạng tử $-4$ từ vế trái sang vế phải trong $2x - 4 < 0$ ta được gì?
4. Quy tắc nhân số âm: Nghiệm của bất phương trình $-2x < 8$ là gì?
5. Ký hiệu trục số: Khi biểu diễn tập nghiệm $x \ge 4$ trên trục số, ta dùng ngoặc tròn hay ngoặc vuông tại điểm $4$?

Mẹo hay

Đáp án nhẩm nhanh:

1. Phải, vì có dạng $ax + b \le 0$ với $a = 2 \ne 0$ và $b = -6$.
2. Có, vì $3(3) - 5 = 4 > 2$ (đúng).
3. $2x < 4$.
4. $x > -4$ (chia cả hai vế cho $-2 < 0$ nên phải đổi chiều từ $<$ thành $>$).
5. Dùng ngoặc vuông $[$ quay bề lõm về phía chiều lớn hơn (bên phải).

I. Lý thuyết Trọng tâm

1. Định nghĩa Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ghi nhớ

Định nghĩa: Bất phương trình dạng:

$$ax + b < 0 \quad (\text{hoặc } ax + b > 0; \ ax + b \le 0; \ ax + b \ge 0)$$

trong đó $a$ và $b$ là hai số đã cho, $a \ne 0$, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ:

• $3x - 5 > 0$ là bất phương trình bậc nhất ẩn $x$ (với $a = 3, b = -5$).
• $-2y + 7 \le 0$ là bất phương trình bậc nhất ẩn $y$ (với $a = -2, b = 7$).
• $0x + 4 > 0$ không phải là bất phương trình bậc nhất vì $a = 0$.
• $x^2 - 1 \ge 0$ không phải là bất phương trình bậc nhất vì ẩn $x$ có bậc 2.

2. Hai Quy tắc Biến đổi Tương đương

a) Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia, ta phải đổi dấu của hạng tử đó:

b) Quy tắc nhân với một số

• Khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất phương trình với cùng một số dương, ta giữ nguyên chiều bất phương trình:

  $$\text{Với } a > 0: \quad ax > b \iff x > \frac{b}{a}$$

• Khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất phương trình với cùng một số âm, ta đổi chiều bất phương trình:

  $$\text{Với } a < 0: \quad ax > b \iff x < \frac{b}{a}$$

Cẩn trọng

Luôn luôn kiểm tra dấu của hệ số gắn với biến trước khi chia:

$$-5x \ge 15 \implies x \le \frac{15}{-5} = -3 \quad (\text{Chiều } \ge \text{ đảo thành } \le)$$

3. Kỹ thuật Biểu diễn Tập nghiệm trên Trục số

Để biểu diễn tập nghiệm của một bất phương trình trên trục số, ta thực hiện:

1. Xác định điểm giới hạn $x_0$ trên trục số.
2. Vẽ dấu ngoặc tại điểm $x_0$:
   • Dùng ngoặc tròn ( hoặc ) nếu là bất đẳng thức nghiêm ngặt ($<, >$).
   • Dùng ngoặc vuông [ hoặc ] nếu có dấu bằng ($\le, \ge$).
3. Bề lõm của ngoặc hướng về phía tập nghiệm được chọn.
4. Gạch bỏ phần trục số không thuộc tập nghiệm.

II. Widget Tương tác: Giải & Biểu diễn Bất Phương Trình trên Trục Số Động

Nhập các hệ số $a, b, c$ và chọn dấu bất đẳng thức để theo dõi các bước giải tự động và quan sát trực quan trục số được vẽ trực tiếp!

III. Các Dạng Toán Trọng Tâm và Phương Pháp Giải Chi Tiết

Dạng 1: Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn cơ bản

Phương pháp giải:

1. Áp dụng quy tắc chuyển vế: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang vế trái, các hằng số sang vế phải.
2. Thu gọn hai vế về dạng $ax < b$ (hoặc $> b, \le b, \ge b$).
3. Chia cả hai vế cho $a$:
   • Nếu $a > 0$: Giữ nguyên chiều.
   • Nếu $a < 0$: Đổi chiều.
4. Kết luận tập nghiệm và biểu diễn trên trục số.

Bài toán 1:

Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: a) $3x - 12 > 0$. b) $5 - 2x \ge 11$. c) $4x - 7 < 7x + 8$.

Lời giải:

a) Ta có:

Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{x \mid x > 4\}$. Biểu diễn trục số: Đặt ngoặc ( tại điểm $4$ hướng sang phải, gạch bỏ toàn bộ phần bên trái số $4$.

b) Ta có:

Vì chia cho số âm $-2 < 0$ nên bất phương trình đổi chiều:

Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{x \mid x \le -3\}$. Biểu diễn trục số: Đặt ngoặc ] tại điểm $-3$ hướng sang trái, gạch bỏ toàn bộ phần bên phải số $-3$.

c) Chuyển các hạng tử chứa $x$ sang vế trái, hằng số sang vế phải:

Chia cả hai vế cho $-3 < 0$ (đổi chiều):

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{x \mid x > -5\}$.

Dạng 2: Giải bất phương trình quy về bậc nhất (chứa dấu ngoặc và mẫu số)

Phương pháp giải:

1. Khai triển các dấu ngoặc (hoặc quy đồng mẫu số chung nếu có mẫu là các hằng số dương).
2. Chuyển vế, thu gọn về dạng $ax > b$ hoặc $ax < b$.
3. Chia cho hệ số $a$ (chú ý đổi chiều nếu $a < 0$).

Bài toán 2:

Giải các bất phương trình sau: a) $2(x - 3) - 3(x + 1) \le 4x - 5$. b) $\frac{2x - 1}{3} - \frac{x - 2}{4} > \frac{x + 3}{6}$.

Lời giải:

a) Khai triển dấu ngoặc:

Chuyển vế:

Chia cho $-5 < 0$ (đổi chiều):

Vậy tập nghiệm là $S = \left\{x \mathrel{}\middle|\mathrel{} x \ge -\frac{4}{5}\right\}$.

b) Mẫu số chung của $3, 4, 6$ là $12 > 0$. Quy đồng mẫu số cả hai vế:

Vì mẫu số $12 > 0$ nên khi khử mẫu ta giữ nguyên chiều:

Khai triển:

Chuyển vế:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left\{x \mathrel{}\middle|\mathrel{} x > \frac{4}{3}\right\}$.

Dạng 3: Bất phương trình chứa tham số $m$

Bài toán 3:

Cho bất phương trình ẩn $x$:

a) Giải bất phương trình khi $m = 3$. b) Tìm $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Lời giải:

Bất phương trình tương đương:

a) Khi $m = 3$:

Vậy khi $m = 3$, tập nghiệm là $S = \left\{x \mathrel{}\middle|\mathrel{} x \ge -\frac{1}{5}\right\}$.

b) Để phương trình $(*)$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta phải có:

• $m^2 - 4 = 0 \iff m = 2$ hoặc $m = -2$.
• $2 - m \le 0 \iff m \ge 2$. Kết hợp lại ta được $m = 2$. Thử lại: Khi $m = 2$, $(*)$ trở thành $0x \ge 0$, luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$. Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm.

Dạng 4: Ứng dụng lập bất phương trình giải bài toán thực tế

Bài toán 4:

Một hãng taxi áp dụng biểu giá cước như sau:

• Giá mở cửa cho $1\text{ km}$ đầu tiên là $15\ 000\text{ đồng}$.
• Từ kilômét thứ hai trở đi, mỗi kilômét tiếp theo có giá cước là $12\ 000\text{ đồng}$. Bạn An có trong ví đúng $100\ 000\text{ đồng}$. Hỏi bạn An có thể đi taxi của hãng đó được quãng đường tối đa là bao nhiêu kilômét (làm tròn đến hàng phần mười)?

Lời giải:

• Gọi quãng đường bạn An đi taxi là $x\text{ (km, } x > 1\text{)}$.
• Quãng đường từ kilômét thứ hai trở đi là $x - 1\text{ (km)}$.
• Số tiền phải trả cho quãng đường này là:$$T = 15\ 000 + 12\ 000(x - 1)\text{ (đồng)}$$
• Vì bạn An chỉ có tối đa $100\ 000\text{ đồng}$ nên số tiền đi taxi phải thỏa mãn bất phương trình:$$15\ 000 + 12\ 000(x - 1) \le 100\ 000$$Chia cả hai vế cho $1\ 000$:$$15 + 12(x - 1) \le 100 \iff 15 + 12x - 12 \le 100$$$$\iff 12x + 3 \le 100 \iff 12x \le 97 \iff x \le \frac{97}{12} \approx 8,08\text{ km}$$

Kết luận: Bạn An có thể đi được quãng đường tối đa khoảng $8,0\text{ km}$ để không bị thiếu tiền.

IV. 5 Chuyên đề Khoa học & Ứng dụng Thực tiễn Hiện đại

Chuyên đề 1: Phân Tích Điểm Hòa Vốn Doanh Nghiệp (Break-Even Point)

Mọi startup công nghệ trước khi ra mắt sản phẩm đều phải giải bài toán bất phương trình lợi nhuận:

Trong đó $F$ là định phí (tiền thuê văn phòng, lương cứng), $V$ là biến phí mỗi sản phẩm và $P$ là giá bán. Bất phương trình này chỉ ra số lượng sản phẩm tối thiểu $x$ mà công ty phải bán để bắt đầu sinh lời.

Chuyên đề 2: Tải Trọng Cầu Cảng & An Toàn Logistics

Khi một đoàn xe container xếp hàng lên phà hoặc cầu vượt, hệ thống cảm biến cân tự động tại trạm thu phí kiểm tra bất phương trình tổng tải trọng:

Nếu bất phương trình này bị vi phạm (dù chỉ $1\%$), rào chắn tự động sẽ hạ xuống để ngăn chặn nguy cơ gãy sập kết cấu hạ tầng giao thông.

Chuyên đề 3: Cửa Sổ Trị Liệu trong Dược Lý Lâm Sàng (Therapeutic Window)

Trong y học, nồng độ của kháng sinh hoặc thuốc trợ tim trong huyết tương của bệnh nhân phải nằm trong một khoảng nghiêm ngặt biểu diễn bằng hệ bất phương trình:

Nếu nồng độ thấp hơn ngưỡng tối thiểu, thuốc không có tác dụng diệt khuẩn; nếu vượt quá ngưỡng ngộ độc, thuốc sẽ gây suy gan thận cấp tính. Bác sĩ dùng bất phương trình để tính toán chính xác khoảng thời gian giữa hai lần uống thuốc.

Chuyên đề 4: Tự Động Hóa Nhiệt Độ Data Center

Các trung tâm dữ liệu khổng lồ (chứa hàng triệu máy chủ AI) sử dụng hệ thống điều hòa thông minh được lập trình bằng bất phương trình:

Khi nhiệt độ $T > 25^\circ\text{C}$, hệ thống làm mát bằng chất lỏng tuần hoàn sẽ tự động nâng công suất bơm để tản nhiệt tức thì.

Chuyên đề 5: Chịu Tải Gió Động của Tuabin Điện Gió Ngoài Khơi

Các cánh quạt tuabin gió khổng lồ ở vùng biển Bạc Liêu hay Bình Thuận có hệ thống phanh thủy lực tự động kích hoạt khi tốc độ gió $v$ thỏa mãn:

Bất phương trình này giúp xoay cánh quạt song song với hướng gió để triệt tiêu lực cản, bảo vệ động cơ máy phát hàng triệu USD khỏi bị bão phá hủy.

V. 10 Câu hỏi Trắc nghiệm Tương tác kiểm tra Năng lực (Có chấm điểm tức thì)

@@PROTECTED_TOKEN_0@@

VI. Bài tập Tự luyện & Thử thách Phát triển Năng lực

Bài 1: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số

a) $4x - 8 > 0$. b) $7 - 3x \ge -2$. c) $2(3x - 1) - 4 < 5(x + 2)$. d) $\frac{x + 2}{4} - \frac{2x - 1}{3} \le 1$.

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên

a) Tìm tất cả các số nguyên dương $x$ thỏa mãn: $\frac{3x - 2}{5} < \frac{2x + 1}{3}$. b) Tìm tất cả các số nguyên $x$ thỏa mãn đồng thời cả hai bất phương trình:

Bài 3 (Thử thách thực tế):

Một cửa hàng kinh doanh đồ gia dụng nhập về một lô gồm $100$ chiếc nồi chiên không dầu với giá vốn $1\ 200\ 000\text{ đồng/chiếc}$. Chi phí vận chuyển và mặt bằng cho toàn bộ lô hàng là $10\ 000\ 000\text{ đồng}$. Cửa hàng dự định bán với giá niêm yết $1\ 800\ 000\text{ đồng/chiếc}$. Hỏi cửa hàng cần bán tối thiểu bao nhiêu chiếc nồi chiên để bắt đầu có lãi?