Ôn tập Chương 6. Hàm số $y = ax^2$ ($a \ne 0$) và Phương trình bậc hai một ẩn

Chào mừng các em học sinh lớp 9 đến với bài tổng ôn tập Chương 6 — chuyên đề Đại số trọng tâm, then chốt và chiếm tỷ trọng điểm số cao nhất trong cấu trúc đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT trên cả nước!

Nếu như ở học kỳ 1, các em đã làm quen với phương trình bậc nhất hai ẩn và căn thức bậc hai, thì toàn bộ nền tảng Đại số của học kỳ 2 được xây dựng xoay quanh Chương 6: Hàm số bậc hai và Phương trình bậc hai một ẩn:

1. Bài 18 (Hàm số $y = ax^2$): Tính chất đồng biến, nghịch biến; hình dạng đường cong Parabol đối xứng qua $Oy$, điểm cực trị tại đỉnh $O(0; 0)$ và bài toán tương giao giữa Parabol và đường thẳng.
2. Bài 19 (Phương trình bậc hai một ẩn): Bản chất đại số, kỹ thuật giải phương trình khuyết, công thức nghiệm tổng quát với biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$ và công thức thu gọn $\Delta' = (b')^2 - ac$.
3. Bài 20 (Định lý Viète và ứng dụng): Mối quan hệ kỳ diệu giữa hệ số và các nghiệm ($S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, $P = x_1 x_2 = \frac{c}{a}$), quy tắc nhẩm nghiệm $a + b + c = 0$ và $a - b + c = 0$, tìm hai số biết tổng tích, tính giá trị biểu thức đối xứng và tìm tham số $m$.
4. Bài 21 (Giải bài toán bằng cách lập phương trình): Quy trình chuẩn 3 bước giải các bài toán thực tế chuyển động (ca-nô xuôi ngược dòng, tàu hỏa), năng suất lao động (làm chung - làm riêng), diện tích hình học và kinh tế tăng trưởng.

Bài tổng ôn tập này sẽ trang bị cho các em bản đồ tư duy sắc bén, củng cố toàn bộ phương pháp xử lý các dạng bài thi then chốt và thử sức với Đề kiểm tra 45 phút chuẩn định dạng ma trận kiểm tra đánh giá của Bộ GD&ĐT kèm barem điểm chi tiết đến từng $0{,}25$ điểm!

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Tính chất: Hàm số $y = -3x^2$ đồng biến trên khoảng nào?
2. Nhẩm nghiệm: Phương trình $x^2 - 11x + 10 = 0$ có các nghiệm là gì?
3. Biệt thức thu gọn: Phương trình $x^2 - 4x - 5 = 0$ có $\Delta'$ bằng bao nhiêu?
4. Biểu thức đối xứng: Nếu hai nghiệm thỏa mãn $x_1 + x_2 = 4$ và $x_1 x_2 = 1$ thì $x_1^2 + x_2^2$ bằng bao nhiêu?
5. Chuyển động sông: Vận tốc ca-nô là $x\text{ km/h}$, dòng nước là $3\text{ km/h}$. Vận tốc khi ca-nô đi ngược dòng là gì?

Mẹo hay

Đáp án nhẩm nhanh:

1. Đồng biến khi $x < 0$ (vì $a = -3 < 0$).
2. Vì $a + b + c = 1 - 11 + 10 = 0 \implies x_1 = 1; \ x_2 = 10$.
3. $\Delta' = (-2)^2 - 1 \times (-5) = 4 + 5 = 9$.
4. $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = 4^2 - 2(1) = 16 - 2 = 14$.
5. Vận tốc ngược dòng là $x - 3$ ($\text{km/h}$).

I. Bảng Tra cứu Toàn diện Công thức Chương 6

1. Bảng so sánh Tính chất Hàm số $y = ax^2$ ($a \ne 0$)

2. Bảng đối chiếu Công thức Nghiệm $\Delta$ và $\Delta'$

3. Bảng biến đổi Biểu thức Viète thường gặp trong Thi cử

II. Ma trận Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 (Chuẩn Bộ GD&ĐT)

Khung ma trận đánh giá năng lực học sinh theo 4 mức độ nhận thức:

• Thời gian làm bài: 45 phút.
• Hình thức kiểm tra: Kết hợp Trắc nghiệm khách quan ($30\%$) và Tự luận tự trình bày ($70\%$).

III. Đề Kiểm tra 45 Phút — Chương 6

Phần I. Trắc nghiệm Khách quan (3,0 điểm — 12 câu, mỗi câu 0,25 điểm)

Học sinh làm trực tiếp trên bảng tương tác tự chấm dưới đây:

Phần II. Tự luận (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm)

Cho Parabol $(P): y = \frac{1}{2}x^2$ và đường thẳng $(d): y = x + 4$. a) Vẽ đồ thị của Parabol $(P)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. (1,0 điểm) b) Tìm tọa độ các giao điểm của $(P)$ và $(d)$ bằng phương pháp đại số. (1,0 điểm)

Bài 2 (2,5 điểm)

Cho phương trình bậc hai: $x^2 - 2(m - 1)x + m^2 - 4 = 0$ ($m$ là tham số). a) Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$. (1,0 điểm) b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt, tìm $m$ để hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:

Bài 3 (2,5 điểm)

Hai đội tình nguyện cùng tham gia nạo vét một con mương dẫn nước tưới tiêu dài $300\text{ m}$. Nếu hai đội cùng làm thì sau $4\text{ ngày}$ sẽ hoàn thành. Nếu làm riêng thì đội thứ nhất nạo vét xong nhanh hơn đội thứ hai là $6\text{ ngày}$. a) Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội cần bao nhiêu ngày để hoàn thành con mương? (2,0 điểm) b) (Nâng cao): Ban chỉ đạo thưởng thêm $500.000\text{ đồng}$ cho mỗi mét mương hoàn thành trước tiến độ. Nếu đội thứ nhất được giao hoàn thành toàn bộ con mương trong $15\text{ ngày}$, hỏi đội thứ nhất sẽ nhận được bao nhiêu tiền thưởng? (0,5 điểm)

IV. Hướng dẫn Giải chi tiết & Barem Chấm điểm Tự luận

Bài 1 (2,0 điểm)

Ý a (1,0 điểm):

• Bảng giá trị của hàm số $y = \frac{1}{2}x^2$:

(Học sinh lập đúng bảng giá trị được $0{,}25\text{ điểm}$)

• Xác định 5 điểm trên hệ trục tọa độ $Oxy$: $A(-4; 8), B(-2; 2), O(0; 0), B'(2; 2), A'(4; 8)$. $(0{,}25\text{ điểm})$
• Vẽ hệ trục tọa độ $Oxy$ rõ ràng, có mũi tên và gốc $O$. $(0{,}25\text{ điểm})$
• Vẽ đường cong Parabol trơn tru, nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng, bề lõm quay lên trên. $(0{,}25\text{ điểm})$

Ý b (1,0 điểm):

• Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:$$\frac{1}{2}x^2 = x + 4 \iff x^2 - 2x - 8 = 0 \quad (0{,}25\text{ điểm})$$
• Tính $\Delta' = (-1)^2 - 1 \times (-8) = 1 + 8 = 9 > 0$. $(0{,}25\text{ điểm})$
• Phương trình có hai nghiệm:$$x_1 = \frac{1 + 3}{1} = 4 \implies y_1 = 4 + 4 = 8 \implies M(4; 8) \quad (0{,}25\text{ điểm})$$$$x_2 = \frac{1 - 3}{1} = -2 \implies y_2 = -2 + 4 = 2 \implies N(-2; 2) \quad (0{,}25\text{ điểm})$$
• Vậy $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $M(4; 8)$ và $N(-2; 2)$.

Bài 2 (2,5 điểm)

Ý a (1,0 điểm):

• Phương trình $x^2 - 2(m - 1)x + m^2 - 4 = 0$ có: $a = 1 \ne 0, b' = -(m - 1), c = m^2 - 4$.
• Biệt thức thu gọn:$$\Delta' = [-(m - 1)]^2 - 1 \cdot (m^2 - 4) \quad (0{,}25\text{ điểm})$$$$\Delta' = (m^2 - 2m + 1) - (m^2 - 4) = -2m + 5 \quad (0{,}25\text{ điểm})$$
• Để phương trình có hai nghiệm phân biệt:$$\Delta' > 0 \iff -2m + 5 > 0 \iff -2m > -5 \iff m < \frac{5}{2} \quad (0{,}5\text{ điểm})$$

Ý b (1,5 điểm):

• Với $m < \frac{5}{2}$, theo định lý Viète:$$\begin{cases} S = x_1 + x_2 = 2(m - 1) \\ P = x_1 x_2 = m^2 - 4 \end{cases} \quad (0{,}25\text{ điểm})$$
• Biến đổi hệ thức đề bài:$$x_1^2 + x_2^2 + x_1 x_2 = 11 \iff (x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2 = 11 \quad (0{,}25\text{ điểm})$$
• Thay $S$ và $P$ vào:$$[2(m - 1)]^2 - (m^2 - 4) = 11 \quad (0{,}25\text{ điểm})$$$$\iff 4(m^2 - 2m + 1) - m^2 + 4 = 11$$$$\iff 4m^2 - 8m + 4 - m^2 + 4 - 11 = 0 \iff 3m^2 - 8m - 3 = 0 \quad (0{,}25\text{ điểm})$$
• Giải phương trình bậc hai ẩn $m$:$$\Delta'_m = (-4)^2 - 3 \times (-3) = 16 + 9 = 25 = 5^2 > 0$$$$m_1 = \frac{4 + 5}{3} = 3; \quad m_2 = \frac{4 - 5}{3} = -\frac{1}{3} \quad (0{,}25\text{ điểm})$$
• Đối chiếu điều kiện $m < \frac{5}{2} = 2{,}5$:
  • $m_1 = 3 > 2{,}5$ (Loại).
  • $m_2 = -\frac{1}{3} < 2{,}5$ (Thỏa mãn).
• Vậy giá trị cần tìm là $m = -\frac{1}{3}$. $(0{,}25\text{ điểm})$

Bài 3 (2,5 điểm)

Ý a (2,0 điểm):

• Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình hoàn thành con mương là $x$ (ngày, điều kiện: $x > 4$). $(0{,}25\text{ điểm})$
• Thời gian đội thứ hai làm một mình hoàn thành con mương là: $x + 6$ (ngày). $(0{,}25\text{ điểm})$
• Trong $1\text{ ngày}$:
  • Đội 1 làm được: $\frac{1}{x}$ (con mương).
  • Đội 2 làm được: $\frac{1}{x + 6}$ (con mương).
  • Cả hai đội làm chung trong $4\text{ ngày}$ xong nên trong $1\text{ ngày}$ làm được: $\frac{1}{4}$ (con mương). $(0{,}5\text{ điểm})$
• Ta có phương trình:$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{4} \quad (0{,}25\text{ điểm})$$
• Quy đồng mẫu thức chung $4x(x + 6)$ và khử mẫu:$$4(x + 6) + 4x = x(x + 6) \iff 8x + 24 = x^2 + 6x \iff x^2 - 2x - 24 = 0 \quad (0{,}25\text{ điểm})$$
• Giải phương trình:$$\Delta' = (-1)^2 - 1 \times (-24) = 25 \implies x_1 = 1 + 5 = 6\text{ (thỏa mãn)}; \quad x_2 = 1 - 5 = -4\text{ (loại)} \quad (0{,}25\text{ điểm})$$
• Kết luận:
  • Đội 1 làm một mình xong trong $6\text{ ngày}$.
  • Đội 2 làm một mình xong trong $6 + 6 = 12\text{ ngày}$. $(0{,}25\text{ điểm})$

Ý b (0,5 điểm):

• Đội 1 làm một mình chỉ mất $6\text{ ngày}$, trong khi kế hoạch giao là $15\text{ ngày}$. Như vậy đội 1 hoàn thành trước tiến độ: $15 - 6 = 9\text{ ngày}$. $(0{,}25\text{ điểm})$
• Toàn bộ con mương dài $300\text{ m}$ đều được hoàn thành trước hạn quy định, do đó số tiền thưởng đội 1 nhận được là:$$\text{Tiền thưởng} = 300 \times 500.000 = 150.000.000\text{ đồng (150 triệu đồng)}. \quad (0{,}25\text{ điểm})$$

V. Kế hoạch Tiếp nối — Chinh phục Chương VII (Toán 9 Tập 2)

Chúc mừng các em đã xuất sắc hoàn thành Chương VI: Hàm số $y = ax^2$ và Phương trình bậc hai một ẩn — chuyên đề chiếm tới $35\%$ tổng số điểm bài thi môn Toán vào lớp 10!

Tiếp nối lộ trình chương trình Toán 9 mới, chúng ta sẽ bước sang một chuyên đề mang tính ứng dụng thực tiễn của thời đại kinh tế số và trí tuệ nhân tạo:

• Chương VII: Tần số và tần số tương đối:
  • Bài 22: Bảng tần số và biểu đồ tần số (biểu đồ cột, biểu đồ đoạn thẳng).
  • Bài 23: Bảng tần số tương đối và biểu đồ tần số tương đối (biểu đồ hình quạt tròn, biểu đồ cột tương đối).
  • Bài 24: Bảng tần số, tần số tương đối ghép nhóm và biểu đồ ghép nhóm.
  • Ôn tập Chương 7: Xử lý và phân tích dữ liệu thực nghiệm trong đời sống.

Hãy tự tin luyện tập lại các bài toán Viète và giải bài toán bằng cách lập phương trình để chuẩn bị sẵn sàng cho những thử thách tiếp theo nhé!