Gia Sư Thông Minhgia sư thông minh.Chấm thitrắc nghiệmFree
← Trở về thư viện

Ôn tập Chương 3: Căn bậc hai và căn bậc ba - Toàn diện Lý thuyết, Ma trận Rút gọn và Đề kiểm tra 45 phút

Hệ thống hóa toàn bộ kiến thức Chương 3 Toán 9: Căn bậc hai số học, khai phương nhân chia, biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức, căn bậc ba kèm widget mô phỏng tương tác, 10 quiz và đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận barem điểm.

#Toán học#Toán 9#Đại số 9#Căn bậc hai#Căn bậc ba#Rút gọn biểu thức#Trục căn thức ở mẫu#Ôn tập chương 3#Kết nối tri thức

Mục lục bài viết22 mục

Ôn tập Chương 3. Căn bậc hai và căn bậc ba

Chào mừng các em học sinh lớp 9 đến với bài tổng ôn tập trọng điểm của Học kỳ 1!

Trong suốt 4 bài học vừa qua của Chương 3: Căn bậc hai và căn bậc ba, chúng ta đã cùng nhau chinh phục chuyên đề chiếm tỷ trọng điểm số lớn nhất và có mặt trong 100%100\% các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT công lập trên toàn quốc:

  1. Bài 7 (Căn bậc hai và căn thức bậc hai): Căn bậc hai số học, điều kiện xác định A⩾0A \ge 0, và hằng đẳng thức nền tảng A2=∣A∣\sqrt{A^2} = |A|.
  2. Bài 8 (Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia): Quy tắc tách và ghép căn thức qua phép nhân a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} và phép chia ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.
  3. Bài 9 (Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai): Bộ công cụ tinh xảo: Đưa thừa số ra ngoài/vào trong dấu căn, khử mẫu, và trục căn thức ở mẫu bằng lượng liên hợp.
  4. Bài 10 (Căn bậc ba và căn thức bậc ba): Mở rộng không gian đại số sang bậc ba với hằng đẳng thức (a3)3=a(\sqrt[3]{a})^3 = a, không còn rào cản điều kiện không âm, giải phóng tư duy hình khối lập phương.

Bài tổng ôn tập này sẽ giúp các em xâu chuỗi toàn bộ hệ thống công thức, rèn luyện kỹ năng giải các câu hỏi phụ thi vào 10 (tìm xx nguyên để biểu thức nguyên, cực trị đại số), tương tác với widget phân tích căn thức và thử sức với đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận barem điểm của Bộ GD&ĐT!

BẢN ĐỒ KIẾN THỨC TỔNG ÔN CHƯƠNG 3 (TOÁN 9)

1. Căn bậc hai số học

• ĐKXĐ: A\sqrt{A} có nghĩa   ⟺  A⩾0\iff A \ge 0.
• Hằng đẳng thức: A2=∣A∣\sqrt{A^2} = |A|.
• So sánh: a<b  ⟺  a<ba < b \iff \sqrt{a} < \sqrt{b} (a,b⩾0a, b \ge 0).

2. Phép tính Căn bậc hai

• a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a,b⩾0a, b \ge 0).
• ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a⩾0,b>0a \ge 0, b > 0).
• Lưu ý: a+b≠a+b\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}.

3. Kỹ thuật Rút gọn căn thức

• Đưa ra ngoài: A2B=∣A∣B\sqrt{A^2 B} = |A|\sqrt{B}.
• Khử mẫu: AB=AB∣B∣\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{AB}}{|B|}.
• Trục căn thức: Dùng lượng liên hợp (A∓B)(\sqrt{A} \mp \sqrt{B}).

4. Căn bậc ba

• Tồn tại với mọi số thực a∈Ra \in \mathbb{R}.
• (a3)3=a33=a(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a (không có trị tuyệt đối).
• −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

  1. Hằng đẳng thức: Tính nhanh giá trị của (2−5)2+5\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} + \sqrt{5}.
  2. Khai căn nhân: Giá trị của 8⋅18\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} bằng bao nhiêu?
  3. Trục căn thức: Trục căn thức ở mẫu của phân số 33\frac{3}{\sqrt{3}}.
  4. Căn bậc ba: Giá trị của biểu thức −643+273\sqrt[3]{-64} + \sqrt[3]{27} bằng bao nhiêu?
  5. Điều kiện: Căn thức 1x−4\sqrt{\frac{1}{x - 4}} có nghĩa khi nào?
Mẹo hay

Đáp án nhẩm nhanh:

  1. ∣2−5∣+5=(5−2)+5=25−2.|2 - \sqrt{5}| + \sqrt{5} = (\sqrt{5} - 2) + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 2.
  2. 8⋅18=144=12\sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144} = 12.
  3. 333=3\frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}.
  4. −4+3=−1-4 + 3 = -1.
  5. Tử dương 1>01 > 0 nên mẫu phải dương: x−4>0  ⟺  x>4x - 4 > 0 \iff x > 4.

I. Bảng Tra cứu Toàn diện Công thức Căn thức Đại số

1. Bảng 9 công thức biến đổi căn thức cốt lõi

STT Tên phép biến đổi Công thức tổng quát Điều kiện áp dụng
1 Hằng đẳng thức căn bậc hai A2=∥A∥\sqrt{A^2} = \|A\| Mọi biểu thức AA
2 Khai phương một tích A⋅B=A⋅B\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B} A⩾0,B⩾0A \ge 0, B \ge 0
3 Khai phương một thương AB=AB\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} A⩾0,B>0A \ge 0, B > 0
4 Đưa thừa số ra ngoài căn A2B=∥A∥B\sqrt{A^2 B} = \|A\|\sqrt{B} B⩾0B \ge 0
5 Đưa thừa số vào trong căn AB={A2Bkhi A⩾0−A2Bkhi A<0A\sqrt{B} = \begin{cases} \sqrt{A^2 B} & \text{khi } A \ge 0 \\ -\sqrt{A^2 B} & \text{khi } A < 0 \end{cases} B⩾0B \ge 0
6 Khử mẫu biểu thức lấy căn AB=AB∥B∥\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{AB}}{\|B\|} AB⩾0,B≠0AB \ge 0, B \ne 0
7 Trục căn thức (mẫu đơn) AB=ABB\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A\sqrt{B}}{B} B>0B > 0
8 Trục căn thức (mẫu liên hợp) CA±B=C(A∓B)A−B\frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}} = \frac{C(\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A - B} A⩾0,B⩾0,A≠BA \ge 0, B \ge 0, A \ne B
9 Hằng đẳng thức căn bậc ba (A3)3=A33=A(\sqrt[3]{A})^3 = \sqrt[3]{A^3} = A Mọi biểu thức A∈RA \in \mathbb{R}

II. Widget Tương tác: Máy Tính Rút Gọn Căn Số & Trục Căn Thức Tổng Hợp

Thực hành kiểm tra các biểu thức căn số phức tạp. Chọn biểu thức mẫu để theo dõi các bước biến đổi chi tiết từ căn cồng kềnh thành phân số hoặc số nguyên tối giản:

MÔ PHỎNG QUY TRÌNH RÚT GỌN CĂN BẬC HAI & CĂN BẬC BA

III. Các Dạng Toán Trọng Tâm và Phương Pháp Giải Chi Tiết

Dạng 1: Rút gọn biểu thức số chứa căn lồng căn (Dạng a±b\sqrt{a \pm \sqrt{b}})

Phương pháp giải:

  1. Đưa biểu thức dưới căn về dạng hằng đẳng thức (x±y)2=x2±2xy+y2(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2.
  2. Tìm hai số x,yx, y sao cho: {x2+y2=a2xy=b\begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ 2xy = \sqrt{b} \end{cases}.
  3. Áp dụng (x±y)2=∣x±y∣\sqrt{(x \pm y)^2} = |x \pm y|.

Bài toán 1:

Tính giá trị của biểu thức:

A=8−215−8+215A = \sqrt{8 - 2\sqrt{15}} - \sqrt{8 + 2\sqrt{15}}

Lời giải:

Xét biểu thức dưới dấu căn:

  • 8−215=5−253+3=(5−3)2.8 - 2\sqrt{15} = 5 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + 3 = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2.
  • 8+215=5+253+3=(5+3)2.8 + 2\sqrt{15} = 5 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + 3 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2.

Khi đó:

A=(5−3)2−(5+3)2=∣5−3∣−∣5+3∣A = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} - \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{3}| - |\sqrt{5} + \sqrt{3}|

Vì 5>3  ⟹  5−3>0\sqrt{5} > \sqrt{3} \implies \sqrt{5} - \sqrt{3} > 0, nên ∣5−3∣=5−3|\sqrt{5} - \sqrt{3}| = \sqrt{5} - \sqrt{3}.

A=(5−3)−(5+3)=5−3−5−3=−23A = (\sqrt{5} - \sqrt{3}) - (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = \sqrt{5} - \sqrt{3} - \sqrt{5} - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}

Dạng 2: Bài toán Rút gọn biểu thức chứa biến & Các câu hỏi phụ thi vào 10

Bài toán 2:

Cho hai biểu thức:

A=x+4x−1vaˋB=3x+1x−1−2x−1A = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 1} \quad \text{và} \quad B = \frac{3\sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{2}{\sqrt{x} - 1}

với x⩾0x \ge 0 và x≠1x \ne 1. a) Tính giá trị của biểu thức AA khi x=9x = 9. b) Rút gọn biểu thức BB. c) Đặt P=A⋅BP = A \cdot B. Tìm các số nguyên xx để biểu thức PP nhận giá trị nguyên. d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức PP.

Lời giải:

a) Khi x=9x = 9 (thỏa mãn ĐKXĐ):

x=9=3  ⟹  A=3+43−1=72\sqrt{x} = \sqrt{9} = 3 \implies A = \frac{3 + 4}{3 - 1} = \frac{7}{2}

b) Phân tích mẫu thức: x−1=(x−1)(x+1)x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1). MTC là (x−1)(x+1)(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1).

B=3x+1(x−1)(x+1)−2(x+1)(x−1)(x+1)B = \frac{3\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} - \frac{2(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}B=3x+1−2x−2(x−1)(x+1)=x−1(x−1)(x+1)=1x+1B = \frac{3\sqrt{x} + 1 - 2\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}

c) Biểu thức PP:

P=A⋅B=x+4x−1⋅1x+1=x+4x−1hoặc giữ dạng: P=x+4x+1P = A \cdot B = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} + 4}{x - 1} \quad \text{hoặc giữ dạng: } P = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 1}

(Nếu xét tích P=x+4x+1P = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 1} khi A=x+4x+1A = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 1}) Xét biểu thức:

P=x+4x+1=(x+1)+3x+1=1+3x+1P = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1) + 3}{\sqrt{x} + 1} = 1 + \frac{3}{\sqrt{x} + 1}

Để P∈ZP \in \mathbb{Z} với x∈Zx \in \mathbb{Z}: Vì x⩾0  ⟹  x+1⩾1x \ge 0 \implies \sqrt{x} + 1 \ge 1. Ước dương của 33 là {1;3}\{1; 3\}.

  • x+1=1  ⟺  x=0  ⟹  x=0\sqrt{x} + 1 = 1 \iff \sqrt{x} = 0 \implies x = 0 (thỏa mãn).
  • x+1=3  ⟺  x=2  ⟹  x=4\sqrt{x} + 1 = 3 \iff \sqrt{x} = 2 \implies x = 4 (thỏa mãn). Vậy x∈{0;4}x \in \{0; 4\}.

d) Tìm GTNN của P=1+3x+1P = 1 + \frac{3}{\sqrt{x} + 1}: Vì x⩾0  ⟹  x⩾0  ⟹  x+1⩾1x \ge 0 \implies \sqrt{x} \ge 0 \implies \sqrt{x} + 1 \ge 1. Phân số 3x+1\frac{3}{\sqrt{x} + 1} có tử dương nên đạt GTLN khi mẫu số nhỏ nhất (x+1=1  ⟹  Pmax⁡=4\sqrt{x} + 1 = 1 \implies P_{\max} = 4). Khi x→+∞x \to +\infty thì 3x+1→0\frac{3}{\sqrt{x} + 1} \to 0, do đó P>1P > 1 nhưng không đạt GTNN nếu xx không bị chặn trên.

Dạng 3: Giải phương trình vô tỉ

Bài toán 3:

Giải các phương trình sau: a) 4x−8+x−2−139x−18=4\sqrt{4x - 8} + \sqrt{x - 2} - \frac{1}{3}\sqrt{9x - 18} = 4. b) x2−4x+4=2x−1\sqrt{x^2 - 4x + 4} = 2x - 1. c) x+33+5−x3=2\sqrt[3]{x + 3} + \sqrt[3]{5 - x} = 2.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: x⩾2x \ge 2. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

4(x−2)+x−2−139(x−2)=4\sqrt{4(x - 2)} + \sqrt{x - 2} - \frac{1}{3}\sqrt{9(x - 2)} = 42x−2+x−2−13⋅3x−2=42\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} - \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{x - 2} = 4(2+1−1)x−2=4  ⟺  2x−2=4  ⟺  x−2=2(2 + 1 - 1)\sqrt{x - 2} = 4 \iff 2\sqrt{x - 2} = 4 \iff \sqrt{x - 2} = 2

Bình phương hai vế:

x−2=4  ⟹  x=6 (thỏa ma˜n ĐK)x - 2 = 4 \implies x = 6\text{ (thỏa mãn ĐK)}

Vậy nghiệm của phương trình là x=6x = 6.

b) Biến đổi vế trái:

(x−2)2=2x−1  ⟺  ∣x−2∣=2x−1\sqrt{(x - 2)^2} = 2x - 1 \iff |x - 2| = 2x - 1

Điều kiện có nghiệm: 2x−1⩾0  ⟺  x⩾122x - 1 \ge 0 \iff x \ge \frac{1}{2}.

  • Trường hợp 1: x⩾2  ⟹  x−2=2x−1  ⟺  x=−1x \ge 2 \implies x - 2 = 2x - 1 \iff x = -1 (loại vì không thỏa mãn x⩾2x \ge 2).
  • Trường hợp 2: 12⩽x<2  ⟹  −(x−2)=2x−1  ⟺  2−x=2x−1  ⟺  3x=3  ⟹  x=1\frac{1}{2} \le x < 2 \implies -(x - 2) = 2x - 1 \iff 2 - x = 2x - 1 \iff 3x = 3 \implies x = 1 (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1x = 1.

c) Đặt u=x+33u = \sqrt[3]{x + 3} và v=5−x3v = \sqrt[3]{5 - x}. Ta có hệ:

{u+v=2u3+v3=(x+3)+(5−x)=8\begin{cases} u + v = 2 \\ u^3 + v^3 = (x + 3) + (5 - x) = 8 \end{cases}

Áp dụng hằng đẳng thức u3+v3=(u+v)3−3uv(u+v)u^3 + v^3 = (u + v)^3 - 3uv(u + v):

8=23−3uv(2)  ⟺  8=8−6uv  ⟺  −6uv=0  ⟹  uv=08 = 2^3 - 3uv(2) \iff 8 = 8 - 6uv \iff -6uv = 0 \implies uv = 0

Suy ra u=0u = 0 hoặc v=0v = 0:

  • u=0  ⟺  x+33=0  ⟺  x=−3u = 0 \iff \sqrt[3]{x + 3} = 0 \iff x = -3.
  • v=0  ⟺  5−x3=0  ⟺  x=5v = 0 \iff \sqrt[3]{5 - x} = 0 \iff x = 5. Vậy tập nghiệm của phương trình là S={−3;5}S = \{-3; 5\}.

Dạng 4: Ứng dụng Bất đẳng thức Cô-si cho biểu thức chứa căn

Bài toán 4:

Cho x>0x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M=x+3+4xM = x + 3 + \frac{4}{x}

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương xx và 4x\frac{4}{x}:

x+4x⩾2x⋅4x=24=4x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4

Cộng 33 vào cả hai vế:

M=x+4x+3⩾4+3=7M = x + \frac{4}{x} + 3 \ge 4 + 3 = 7

Dấu bằng xảy ra khi:

x=4x  ⟺  x2=4  ⟹  x=2 (vıˋ x>0)x = \frac{4}{x} \iff x^2 = 4 \implies x = 2\text{ (vì } x > 0\text{)}

Vậy giá trị nhỏ nhất của MM là 77, đạt được khi x=2x = 2.

IV. 5 Chuyên đề Khoa học & Ứng dụng Thực tiễn Hiện đại

Chuyên đề 1: Mô Hình Trí Tuệ Nhân Tạo Xử Lý Tín Hiệu Sóng Điện Não (EEG)

Trong công nghệ giao diện não - máy tính (Neuralink, BCI): Tín hiệu sóng não được lọc nhiễu qua phép biến đổi sóng con (Wavelet Transform). Phép chia và nhân liên hợp căn bậc hai giúp phân tách chính xác tần số sóng Alpha và Beta, cho phép người khuyết tật điều khiển cánh tay robot chỉ bằng suy nghĩ.

Chuyên đề 2: Tối Ưu Hóa Dòng Điện Cao Tần & Hiệu Ứng Bề Mặt (Skin Depth)

Trong kỹ thuật truyền tải điện năng cao tần: Dòng điện xoay chiều có xu hướng chỉ chạy ở lớp vỏ ngoài của dây dẫn với độ sâu bề mặt δ\delta:

δ=ρπfμ\delta = \sqrt{\frac{\rho}{\pi f \mu}}

Việc rút gọn biểu thức căn thức tần số ff giúp các kỹ sư viễn thông chế tạo dây cáp mạ bạc rỗng ruột, tiết kiệm hàng triệu tấn kim loại quý mà vẫn truyền dẫn tín hiệu 5G hoàn hảo.

Chuyên đề 3: Tính Toán Thời Gian Rơi Của Tàu Thăm Hiểm Sao Hỏa

Khi tàu thám hiểm Perseverance hạ cánh xuống Sao Hỏa, hệ thống máy tính tự hành giải hệ phương trình vi phân chuyển động có chứa căn thức:

v=v02+2gMarshv = \sqrt{v_0^2 + 2g_{\text{Mars}} h}

Nhờ tính toán căn thức theo thời gian thực đến phần triệu giây, tên lửa hãm retro-rocket khai hỏa đúng thời điểm, đặt xe tự hành tiếp đất an toàn tuyệt đối.

Chuyên đề 4: Tỷ Lệ Đòn Bẩy Tài Chính & Khấu Hao Máy Móc Doanh Nghiệp

Trong kế toán quản trị: Phương pháp tính khấu hao tài sản cố định theo số dư giảm dần kép sử dụng công thức tỉ lệ khấu hao r=1−SCnr = 1 - \sqrt[n]{\frac{S}{C}} (trong đó SS là giá trị thanh lý, CC là nguyên giá, nn là số năm sử dụng). Việc khai căn bậc nn giúp doanh nghiệp tối ưu hóa nghĩa vụ thuế thu nhập.

Chuyên đề 5: Khí Động Học Cánh Máy Bay Siêu Thanh (Prandtl-Glauert Rule)

Khi máy bay Concorde bay tiến gần tới vận tốc âm thanh (M→1M \to 1), hệ số áp suất trên bề mặt cánh máy bay tỷ lệ nghịch với căn bậc hai:

Cp=Cp01−M2C_p = \frac{C_{p0}}{\sqrt{1 - M^2}}

Phép trục căn thức ở mẫu là công cụ toán học sống còn giúp các nhà vật lý hàng không thiết kế hình dạng cánh tam giác xuôi, giúp máy bay vượt qua bức tường âm thanh mà không bị vỡ nát.

V. 10 Câu hỏi Trắc nghiệm Tương tác kiểm tra Năng lực (Có chấm điểm tức thì)

@@PROTECTED_TOKEN_0@@

VI. Đề Kiểm tra 45 phút Đánh giá Năng lực Chương 3 (Chuẩn Ma trận & Barem Điểm)

1. Ma trận đề kiểm tra 45 phút

Mạch nội dung Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao Tổng điểm
Căn bậc hai số học & ĐKXĐ 1,0 đ (C1a) 1,0 đ (C1b) 2,0 đ
Rút gọn biểu thức số chứa căn 1,5 đ (C2a) 1,0 đ (C2b) 2,5 đ
Rút gọn biểu thức chứa biến (Chuẩn thi vào 10) 1,5 đ (C3a) 1,0 đ (C3b) 2,5 đ
Giải phương trình chứa căn thức 1,0 đ (C4a) 1,0 đ (C4b) 2,0 đ
Căn bậc ba & Bất đẳng thức cực trị 1,0 đ (C5) 1,0 đ
Tổng điểm 2,0 đ 4,0 đ 3,0 đ 1,0 đ 10,0 đ

2. Đề bài chi tiết

Bài 1 (2,0 điểm): a) Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau: A=3x−9vaˋB=25−xA = \sqrt{3x - 9} \quad \text{và} \quad B = \sqrt{\frac{2}{5 - x}}. b) So sánh các cặp số sau (không dùng máy tính cầm tay): 353\sqrt{5} và 525\sqrt{2}.

Bài 2 (2,5 điểm): Rút gọn các biểu thức số sau: a) M=248−327+75M = 2\sqrt{48} - 3\sqrt{27} + \sqrt{75}. b) N=23−1−23+1+(1−3)2N = \frac{2}{\sqrt{3} - 1} - \frac{2}{\sqrt{3} + 1} + \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}.

Bài 3 (2,5 điểm): Cho hai biểu thức:

A=x+2x−2vaˋB=xx+2+4xx−4A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} \quad \text{và} \quad B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{4\sqrt{x}}{x - 4}

với x⩾0x \ge 0 và x≠4x \ne 4. a) Tính giá trị của biểu thức AA khi x=16x = 16. b) Rút gọn biểu thức BB. c) Đặt P=BAP = \frac{B}{A}. Tìm các giá trị của xx để P=13P = \frac{1}{3}.

Bài 4 (2,0 điểm): Giải các phương trình sau: a) 2x−5=3\sqrt{2x - 5} = 3. b) 4x−8−2x−24=3\sqrt{4x - 8} - 2\sqrt{\frac{x - 2}{4}} = 3.

Bài 5 (1,0 điểm — Vận dụng cao): a) Tính giá trị của biểu thức: K=20+1423+20−1423K = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}. b) Cho a,b>0a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Q=a+bab+aba+bQ = \frac{a + b}{\sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{ab}}{a + b}

3. Hướng dẫn chấm & Barem điểm chi tiết

Bài Ý Nội dung giải chi tiết Điểm
Bài 1 (2,0 đ) a - A=3x−9A = \sqrt{3x - 9} xác định   ⟺  3x−9⩾0  ⟺  3x⩾9  ⟺  x⩾3\iff 3x - 9 \ge 0 \iff 3x \ge 9 \iff x \ge 3.
- B=25−xB = \sqrt{\frac{2}{5 - x}} xác định   ⟺  5−x>0  ⟺  x<5\iff 5 - x > 0 \iff x < 5.		 0,5 đ

0,5 đ
b Ta đưa thừa số vào trong dấu căn:
- 35=32⋅5=9⋅5=453\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}.
- 52=52⋅2=25⋅2=505\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}.
Vì 45<50  ⟹  45<5045 < 50 \implies \sqrt{45} < \sqrt{50}. Vậy 35<523\sqrt{5} < 5\sqrt{2}.		 0,5 đ

0,5 đ
Bài 2 (2,5 đ) a Phân tích các căn thức:
- 48=43  ⟹  248=83\sqrt{48} = 4\sqrt{3} \implies 2\sqrt{48} = 8\sqrt{3}.
- 27=33  ⟹  327=93\sqrt{27} = 3\sqrt{3} \implies 3\sqrt{27} = 9\sqrt{3}.
- 75=53\sqrt{75} = 5\sqrt{3}.
M=83−93+53=(8−9+5)3=43.M = 8\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (8 - 9 + 5)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}.		 0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
b Trục căn thức ở mẫu:
23−1−23+1=2(3+1)−2(3−1)3−1=23+2−23+22=42=2.\frac{2}{\sqrt{3} - 1} - \frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1) - 2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{2\sqrt{3} + 2 - 2\sqrt{3} + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2.
Khai căn: (1−3)2=∣1−3∣=3−1\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1 (vì 1<31 < \sqrt{3}).
Khi đó N=2+(3−1)=3+1N = 2 + (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 1.		 0,75 đ

0,5 đ
Bài 3 (2,5 đ) a Thay x=16x = 16 (TMĐK) vào AA:
x=16=4  ⟹  A=4+24−2=62=3.\sqrt{x} = \sqrt{16} = 4 \implies A = \frac{4 + 2}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3.		 0,5 đ
b Ta có x−4=(x−2)(x+2)x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2).
B=x(x−2)(x−2)(x+2)+4x(x−2)(x+2)B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} + \frac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}
=x−2x+4x(x−2)(x+2)=x+2x(x−2)(x+2)= \frac{x - 2\sqrt{x} + 4\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{x + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}
=x(x+2)(x−2)(x+2)=xx−2= \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}.		 0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ
c P=BA=xx−2:x+2x−2=xx+2.P = \frac{B}{A} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} : \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}.
Để P=13  ⟺  xx+2=13  ⟺  3x=x+2P = \frac{1}{3} \iff \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{3} \iff 3\sqrt{x} = \sqrt{x} + 2
  ⟺  2x=2  ⟺  x=1  ⟹  x=1\iff 2\sqrt{x} = 2 \iff \sqrt{x} = 1 \implies x = 1 (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy x=1x = 1 thì P=13P = \frac{1}{3}.		 0,5 đ

0,5 đ
Bài 4 (2,0 đ) a ĐKXĐ: 2x−5⩾0  ⟺  x⩾522x - 5 \ge 0 \iff x \ge \frac{5}{2}.
Bình phương hai vế: 2x−5=32  ⟺  2x−5=9  ⟺  2x=14  ⟹  x=72x - 5 = 3^2 \iff 2x - 5 = 9 \iff 2x = 14 \implies x = 7 (TMĐK).
Vậy nghiệm của phương trình là x=7x = 7.		 0,25 đ
0,75 đ
b ĐKXĐ: x⩾2x \ge 2.
Phương trình tương đương:
2x−2−2⋅x−22=3  ⟺  2x−2−x−2=32\sqrt{x - 2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{2} = 3 \iff 2\sqrt{x - 2} - \sqrt{x - 2} = 3
  ⟺  x−2=3  ⟺  x−2=9  ⟹  x=11\iff \sqrt{x - 2} = 3 \iff x - 2 = 9 \implies x = 11 (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy nghiệm là x=11x = 11.		 0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
Bài 5 (1,0 đ) a Đặt u=20+1423u = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} và v=20−1423v = \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}.
Ta có: u3+v3=(20+142)+(20−142)=40u^3 + v^3 = (20 + 14\sqrt{2}) + (20 - 14\sqrt{2}) = 40.
u⋅v=(20+142)(20−142)3=400−3923=83=2u \cdot v = \sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 - 14\sqrt{2})} = \sqrt[3]{400 - 392} = \sqrt[3]{8} = 2.
Áp dụng hằng đẳng thức K3=(u+v)3=u3+v3+3uv(u+v)K^3 = (u + v)^3 = u^3 + v^3 + 3uv(u + v):
K3=40+3(2)K  ⟺  K3−6K−40=0K^3 = 40 + 3(2)K \iff K^3 - 6K - 40 = 0.
  ⟺  (K−4)(K2+4K+10)=0\iff (K - 4)(K^2 + 4K + 10) = 0.
Vì K2+4K+10=(K+2)2+6>0K^2 + 4K + 10 = (K + 2)^2 + 6 > 0 nên K−4=0  ⟹  K=4K - 4 = 0 \implies K = 4.		 0,25 đ

0,25 đ
b Đặt t=a+babt = \frac{a + b}{\sqrt{ab}}.
Áp dụng BĐT Cô-si: a+b⩾2ab  ⟹  t⩾2a + b \ge 2\sqrt{ab} \implies t \ge 2.
Khi đó: Q=t+1t=(t4+1t)+3t4.Q = t + \frac{1}{t} = \left(\frac{t}{4} + \frac{1}{t}\right) + \frac{3t}{4}.
Áp dụng Cô-si: t4+1t⩾2t4⋅1t=1\frac{t}{4} + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt{\frac{t}{4} \cdot \frac{1}{t}} = 1.
Vì t⩾2  ⟹  3t4⩾3⋅24=32t \ge 2 \implies \frac{3t}{4} \ge \frac{3 \cdot 2}{4} = \frac{3}{2}.
Do đó Q⩾1+32=52Q \ge 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}. Dấu bằng khi t=2  ⟺  a=bt = 2 \iff a = b.
Vậy GTNN của QQ là 52\frac{5}{2}.		 0,25 đ

0,25 đ
NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP

Tự kiểm tra kiến thức

Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.

✦ Mẹo học tập

Học từng chút một, nghỉ ngơi đều đặn.

✦ KIẾN THỨC CÙNG CHUYÊN MỤC

Bài viết cùng chủ đề

Khám phá thêm các bài học và bài tập liên quan để ôn luyện vững vàng hơn.

Toán họcBài học

Ôn tập Chương 1: Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Toàn diện Lý thuyết, Ma trận Phương pháp và Đề kiểm tra 45 phút

Hệ thống hóa toàn bộ kiến thức Chương 1 Toán 9: Khái niệm phương trình & hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình kèm widget mô phỏng hình học, 10 quiz tương tác và đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận barem điểm.

Đọc bài học