Bài 17. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Trong thế giới kỹ thuật cơ khí và tự nhiên, hiếm khi chúng ta thấy một đường tròn tồn tại đơn độc:

• Hai bánh răng ăn khớp trong đồng hồ đeo tay hay hộp số ô tô phải tiếp xúc ngoài chính xác tại một điểm tiếp xúc để truyền động không va đập.
• Vòng xích xe đạp ôm trọn hai đĩa líp tạo nên các đường tiếp tuyến chung ngoài.
• Các thấu kính trong ống kính máy ảnh tinh vi được sắp xếp đồng trục và lồng vào nhau để hội tụ ánh sáng không bị quang sai.
• Hai vòng tròn lan truyền trên mặt nước khi ta thả hai viên sỏi giao nhau tại hai điểm mút sóng bạc.

Sự tương tác hình học giữa hai đường tròn mang lại những định lý phong phú và đẹp mắt nhất về tính đối xứng của đường nối tâm và tiếp tuyến chung. Trong bài học này, chúng ta sẽ cùng khảo sát toàn diện mọi vị trí tương đối có thể có giữa hai đường tròn và các ứng dụng đột phá của chúng!

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Khoảng cách tâm: Cho hai đường tròn $(O; 7\text{ cm})$ và $(O'; 3\text{ cm})$ có đoạn nối tâm $OO' = 10\text{ cm}$. Hai đường tròn này ở vị trí tương đối nào?
2. Tiếp xúc trong: Cho $(O; 8\text{ cm})$ và $(O'; 2\text{ cm})$ tiếp xúc trong với nhau. Đoạn nối tâm $OO'$ dài bao nhiêu cm?
3. Đường nối tâm: Hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Đoạn thẳng $OO'$ có quan hệ vuông góc thế nào với đoạn thẳng $AB$?
4. Số tiếp tuyến chung: Hai đường tròn ở ngoài nhau hoàn toàn có tối đa bao nhiêu tiếp tuyến chung?
5. Tiếp điểm: Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm của chúng có nằm trên đường nối tâm không?

Mẹo hay

Đáp án nhẩm nhanh:

1. Vì $OO' = 10 = 7 + 3 = R + r \implies$ tiếp xúc ngoài.
2. $OO' = R - r = 8 - 2 = 6\text{ cm}$.
3. $OO'$ là đường trung trực của dây chung $AB$ ($OO' \perp AB$ tại trung điểm của $AB$).
4. Có 4 tiếp tuyến chung (2 tiếp tuyến chung ngoài và 2 tiếp tuyến chung trong).
5. Luôn luôn nằm trên đường nối tâm.

I. Lý thuyết Trọng tâm

Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; r)$ với $R \ge r$. Gọi khoảng cách giữa hai tâm là $d = OO'$.

1. Ba Vị trí Tương đối của Hai Đường tròn

2. Tính chất của Đường Nối Tâm

Đường thẳng đi qua tâm của hai đường tròn gọi là đường nối tâm. Đoạn thẳng nối hai tâm gọi là đoạn nối tâm.

Vì tâm $O$ là tâm đối xứng của $(O)$ và $O'$ là tâm đối xứng của $(O')$, nên:

Ghi nhớ

Tính chất trục đối xứng: Đường nối tâm $OO'$ là trục đối xứng của hình tạo bởi cả hai đường tròn $(O)$ và $(O')$.

Từ tính chất đối xứng này, ta rút ra hai định lý quan trọng bậc nhất:

Ghi nhớ

Định lý 1 (Trường hợp cắt nhau): Nếu hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$ thì:

• $OO'$ là đường trung trực của dây chung $AB$.
• Do đó: $OO' \perp AB$ tại $H$ và $HA = HB$.

Định lý 2 (Trường hợp tiếp xúc nhau): Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm $A$ nằm trên đường nối tâm $OO'$:

• Tiếp xúc ngoài: Điểm $A$ nằm giữa $O$ và $O'$ ($OO' = OA + O'A = R + r$).
• Tiếp xúc trong: Điểm $O'$ nằm giữa $O$ và $A$ ($OO' = OA - O'A = R - r$).
• Tiếp tuyến chung tại tiếp điểm $A$ luôn vuông góc với đường nối tâm $OO'$.

3. Tiếp tuyến Chung của Hai Đường tròn

Ghi nhớ

Định nghĩa: Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

• Tiếp tuyến chung ngoài: Là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm $OO'$.
• Tiếp tuyến chung trong: Là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm $OO'$.

 Tiếp tuyến chung ngoài
 -----------------------
      ( O )     ( O' )
 --------\-------/------
          \     /
           \   /  <-- Tiếp tuyến chung trong cắt OO'
            \ /
             X

II. Mô phỏng Tương tác: Vị trí Tương đối của Hai Đường tròn

Dưới đây là mô phỏng hình học động. Các em có thể kéo thanh trượt khoảng cách tâm $d = OO'$ để trực tiếp chứng kiến hai đường tròn chuyển trạng thái liên tục từ "Ở ngoài nhau" $\to$ "Tiếp xúc ngoài" $\to$ "Cắt nhau" $\to$ "Tiếp xúc trong" $\to$ "Đựng nhau" $\to$ "Đồng tâm"!

III. Các Dạng Toán Trọng Tâm & Phương Pháp Giải

Dạng 1: Xác định Vị trí Tương đối của Hai Đường tròn

Mẹo hay

Phương pháp cốt lõi: Tính tổng $R + r$ và hiệu $R - r$ rồi so sánh với khoảng cách tâm $d = OO'$:

• $d > R + r \iff$ Ngoài nhau.
• $d = R + r \iff$ Tiếp xúc ngoài.
• $R - r < d < R + r \iff$ Cắt nhau.
• $d = R - r \iff$ Tiếp xúc trong.
• $d < R - r \iff$ Đựng nhau (nếu $d = 0$: đồng tâm).

Bài toán mẫu 1.1:

Cho hai đường tròn $(O; 8\text{ cm})$ và $(O'; 5\text{ cm})$. Điền vị trí tương đối và số tiếp tuyến chung vào bảng sau tương ứng với các giá trị của khoảng cách tâm $d = OO'$: a) $d = 13\text{ cm}$ b) $d = 15\text{ cm}$ c) $d = 7\text{ cm}$ d) $d = 3\text{ cm}$ e) $d = 2\text{ cm}$

Lời giải chi tiết: Ta có: $R = 8\text{ cm}$, $r = 5\text{ cm}$.

• Tổng hai bán kính: $R + r = 8 + 5 = 13\text{ cm}$.
• Hiệu hai bán kính: $R - r = 8 - 5 = 3\text{ cm}$.

a) Với $d = 13\text{ cm} = R + r \implies$ Hai đường tròn tiếp xúc ngoài (có $3$ tiếp tuyến chung). b) Với $d = 15\text{ cm} > R + r \implies$ Hai đường tròn ở ngoài nhau (có $4$ tiếp tuyến chung). c) Với $d = 7\text{ cm}$, nhận thấy $3 < 7 < 13 \iff R - r < d < R + r \implies$ Hai đường tròn cắt nhau (có $2$ tiếp tuyến chung ngoài). d) Với $d = 3\text{ cm} = R - r \implies$ Hai đường tròn tiếp xúc trong (có $1$ tiếp tuyến chung). e) Với $d = 2\text{ cm} < R - r \implies$ Hai đường tròn đựng nhau (chứa nhau) (không có tiếp tuyến chung).

Dạng 2: Bài toán về Hai Đường tròn Cắt nhau

Mẹo hay

Phương pháp cốt lõi: Khi hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; r)$ cắt nhau tại hai điểm $A, B$:

1. Dây chung là $AB$. Đoạn $OO'$ là đường trung trực của $AB$: $OO' \perp AB$ tại $H$ và $HA = HB = \frac{AB}{2}$.
2. Đặt $OH = d_1$ và $O'H = d_2$. Ta có hệ phương trình Pythagore:$$\left\{ \begin{array}{l} d_1 + d_2 = OO' \\ R^2 - d_1^2 = r^2 - d_2^2 = AH^2 \end{array} \right.$$Giải hệ tìm $d_1, d_2$, từ đó tính ra $AH$ và $AB = 2AH$.

Bài toán mẫu 2.1:

Cho hai đường tròn $(O; 20\text{ cm})$ và $(O'; 15\text{ cm})$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Biết đoạn nối tâm $OO' = 25\text{ cm}$. a) Chứng minh $\triangle OAO'$ là tam giác vuông. b) Tính độ dài dây chung $AB$.

Lời giải chi tiết:

           A
          /|\
         / | \
        O--H--O'
         \ | /
          \|/
           B

a) Xét tam giác $OAO'$ có các cạnh: $OA = R = 20\text{ cm}$, $O'A = r = 15\text{ cm}$, $OO' = 25\text{ cm}$. Ta có:

Nhận thấy $OA^2 + O'A^2 = OO'^2$, theo định lý Pythagore đảo: $\triangle OAO'$ là tam giác vuông tại $A$.

b) Tính độ dài dây chung $AB$: Theo tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau: $OO'$ là đường trung trực của dây chung $AB \implies OO' \perp AB$ tại $H$ và $H$ là trung điểm của $AB$. Đoạn $AH$ chính là đường cao ứng với cạnh huyền $OO'$ trong tam giác vuông $OAO'$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OAO'$:

Độ dài dây chung $AB$ là:

Dạng 3: Bài toán về Hai Đường tròn Tiếp xúc nhau

Mẹo hay

Phương pháp cốt lõi:

• Tiếp điểm $A$ nằm trên đường nối tâm $OO'$.
• Tiếp tuyến chung tại $A$ luôn vuông góc với $OO'$.
• Kẻ tiếp tuyến chung ngoài cắt tiếp tuyến chung trong tại $M$. Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau: $MA = MB = MC \implies \triangle ABC$ vuông tại $A$!

Bài toán mẫu 3.1:

Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; r)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $A$. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $BC$ ($B \in (O), C \in (O')$). Tiếp tuyến chung trong tại $A$ cắt $BC$ tại $M$. a) Chứng minh điểm $M$ là trung điểm của $BC$ và tam giác $ABC$ vuông tại $A$. b) Chứng minh $\widehat{OMO'} = 90^\circ$ và tính độ dài $BC$ theo $R$ và $r$.

Lời giải chi tiết:

       B-------M-------C  <-- Tiếp tuyến chung ngoài
       |      /|\      |
       |     / | \     |
       O----A--+--O'

a) Chứng minh $M$ là trung điểm của $BC$ và $\triangle ABC$ vuông tại $A$:

• Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau từ điểm $M$:
  • Đối với đường tròn $(O)$: $MB$ và $MA$ là hai tiếp tuyến $\implies MB = MA$.
  • Đối với đường tròn $(O')$: $MC$ và $MA$ là hai tiếp tuyến $\implies MC = MA$.
• Suy ra $MB = MC = MA = \frac{1}{2} BC$.
• Vì $MB = MC$ nên $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$.
• Tam giác $ABC$ có đường trung tuyến $AM$ ứng với cạnh $BC$ bằng một nửa cạnh $BC$ ($AM = \frac{1}{2} BC$), do đó $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ($\widehat{BAC} = 90^\circ$).

b) Chứng minh $\widehat{OMO'} = 90^\circ$ và tính $BC$:

• Tia $MO$ là tia phân giác của $\widehat{BMA}$, tia $MO'$ là tia phân giác của $\widehat{CMA}$.
• Vì $\widehat{BMA}$ và $\widehat{CMA}$ là hai góc kề bù, nên hai tia phân giác của chúng vuông góc với nhau:$$MO \perp MO' \implies \widehat{OMO'} = 90^\circ$$
• Tam giác $OMO'$ vuông tại $M$ có đường cao $MA$ (do tiếp tuyến chung trong $MA \perp OO'$ tại tiếp điểm $A$).
• Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OMO'$:$$MA^2 = OA \cdot O'A = R \cdot r \implies MA = \sqrt{R \cdot r}$$
• Vì $BC = 2MA$ nên:$$BC = 2\sqrt{R \cdot r}$$

Dạng 4: Độ dài Tiếp tuyến Chung Ngoài và Chung Trong

Mẹo hay

Phương pháp cốt lõi: Kẻ đoạn $O'K \perp OB$ ($K \in OB$). Khi đó tứ giác $BC O' K$ là hình chữ nhật: $BC = O'K$ và $BK = O'C = r$. Đoạn $OK = OB - BK = R - r$. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $OKO'$ tại $K$:

$$O'K^2 = OO'^2 - OK^2 \iff BC^2 = d^2 - (R - r)^2$$

$\implies BC = \sqrt{d^2 - (R - r)^2}$ (đối với tiếp tuyến chung ngoài). Tương tự đối với tiếp tuyến chung trong: $d_{\text{ttct}} = \sqrt{d^2 - (R + r)^2}$.

Bài toán mẫu 4.1:

Cho hai đường tròn $(O; 9\text{ cm})$ và $(O'; 4\text{ cm})$ ở ngoài nhau, có khoảng cách tâm $OO' = 13\text{ cm}$. a) Tính độ dài đoạn tiếp tuyến chung ngoài $AB$ ($A \in (O), B \in (O')$). b) Tính độ dài đoạn tiếp tuyến chung trong $CD$ ($C \in (O), D \in (O')$).

Lời giải chi tiết: a) Độ dài tiếp tuyến chung ngoài $AB$: Kẻ $O'K \perp OA$ tại $K$. Tứ giác $AB O' K$ là hình chữ nhật $\implies AB = O'K$ và $AK = O'B = r = 4\text{ cm}$. Đoạn $OK = OA - AK = 9 - 4 = 5\text{ cm}$. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $OKO'$ (vuông tại $K$):

Vậy độ dài đoạn tiếp tuyến chung ngoài là $AB = 12\text{ cm}$.

b) Độ dài tiếp tuyến chung trong $CD$: Kẻ $O'H \perp OC$ kéo dài tại $H$. Tứ giác $CD O' H$ là hình chữ nhật $\implies CD = O'H$ và $CH = O'D = r = 4\text{ cm}$. Đoạn $OH = OC + CH = 9 + 4 = 13\text{ cm}$. Nhận thấy $OH = OO' = 13\text{ cm}$, điều này dẫn đến $O'H = \sqrt{13^2 - 13^2} = 0$, tức là hai đường tròn này thực tế có $d = R + r$ (tiếp xúc ngoài) thì đoạn tiếp tuyến chung trong suy biến thành $0$. Nhưng đề bài cho $OO' = 13\text{ cm}$, mà $R + r = 9 + 4 = 13\text{ cm}$. Do đó hai đường tròn này thực chất tiếp xúc ngoài! Tiếp tuyến chung trong đi qua tiếp điểm và chỉ có độ dài tiếp tuyến chung ngoài là $12\text{ cm}$.

IV. 5 Ứng dụng Khoa học Thực tiễn & Công nghệ Hiện đại

    ỨNG DỤNG HÌNH HỌC HAI ĐƯỜNG TRÒN TRONG ĐỜI SỐNG
 ┌────────────────────────────────────────────────────────┐
 │ 1. Bánh răng cơ khí: Tiếp xúc ngoài & Tỉ số truyền động│
 │ 2. Hệ truyền động xích xe đạp & Tiếp tuyến chung ngoài │
 │ 3. Ống kính máy ảnh cao cấp: Cụm thấu kính đồng trục   │
 │ 4. Biểu đồ Venn trong Khoa học Dữ liệu và Tập hợp      │
 │ 5. Khí tượng học: Radar Doppler kép quét vùng mưa bão   │
 └────────────────────────────────────────────────────────┘

1. Bánh răng cơ khí và Tỉ số truyền động ăn khớp

Hai bánh răng trong hộp số đồng hồ hoặc động cơ ô tô hoạt động dựa trên mô hình hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Đường tròn chia (pitch circle) của hai bánh răng tiếp xúc với nhau tại một điểm duy nhất nằm trên đường nối tâm. Tỉ số truyền động giữa hai trục quay tỉ lệ nghịch với bán kính của hai đường tròn:

Nhờ sự tiếp xúc trơn tru tại tiếp điểm đường nối tâm, lực truyền đi êm ái mà không làm gãy các răng cưa kim loại.

2. Bộ đĩa líp và Xích truyền động Xe đạp

Hệ thống dẫn động xe đạp gồm đĩa xích trước (gắn bàn đạp) và líp sau (gắn trục bánh xe): Hai nhánh xích căng trên và căng dưới khi đạp xe đóng vai trò là hai tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn đĩa và líp. Chiều dài dây xích được tính bằng tổng hai đoạn tiếp tuyến chung ngoài cộng với hai cung tròn ôm lấy đĩa và líp, bảo đảm xích luôn căng vừa vặn không bị tuột xích khi vận hành.

3. Cụm thấu kính quang học máy ảnh (Lens Elements)

Một ống kính máy ảnh chuyên nghiệp (như ống tele 70-200mm) chứa bên trong từ 15 đến 23 thấu kính đơn lẻ. Mặt cắt của các thấu kính này là các cung tròn lồng vào nhau, thỏa mãn điều kiện đồng trục (các tâm $O_1, O_2, O_3...$ cùng nằm trên một đường thẳng). Khoảng cách giữa các tâm thấu kính được tính toán theo mô hình "đựng nhau" và "tiếp xúc" để triệt tiêu hiện tượng sắc sai và méo hình quang học.

4. Biểu đồ Venn trong Khoa học Dữ liệu và Logic

Biểu đồ Venn biểu diễn mối quan hệ giữa các tập hợp dữ liệu:

• Hai tập hợp có phần tử chung được mô tả bởi hai đường tròn cắt nhau (phần giao nhau là dây chung và hình trăng khuyết đôi).
• Một tập con chứa hoàn toàn trong tập mẹ được mô tả bởi hai đường tròn đựng nhau.
• Hai tập hợp rời nhau không có phần tử chung là hai đường tròn ở ngoài nhau.

5. Khí tượng học: Radar Doppler kép (Dual-Doppler Radar Overlap)

Trong dự báo bão và thời tiết nguy hiểm, hai trạm radar khí tượng đặt cách nhau $100\text{ km}$ cùng phát sóng quét bầu trời. Vùng giao nhau của hai chùm quét tròn chính là bài toán hai đường tròn cắt nhau. Trong vùng giao nhau này, máy tính tổng hợp vận tốc gió từ hai phương chiếu khác nhau để dựng nên bản đồ vectơ gió 3D và cảnh báo lốc xoáy với độ chính xác từng phút.

V. 10 Câu hỏi Trắc nghiệm Tương tác Tự chấm

VI. Thử thách Thực tế & Bài tập Tự luyện

Thử thách Thực tế: Cơ cấu Truyền động Bánh Răng Đồng Hồ

Trong một cơ cấu đồng hồ cổ:

• Bánh răng chủ động $(O_1)$ có bán kính $R_1 = 36\text{ mm}$ tiếp xúc ngoài với bánh răng truyền động $(O_2)$ có bán kính $R_2 = 12\text{ mm}$.
• Bánh răng $(O_2)$ lại tiếp xúc ngoài với bánh răng kim phút $(O_3)$ có bán kính $R_3 = 24\text{ mm}$.
• Cả ba tâm $O_1, O_2, O_3$ thẳng hàng theo đúng thứ tự đó.

1. Hãy tính khoảng cách giữa tâm bánh răng đầu tiên $O_1$ và bánh răng cuối cùng $O_3$.
2. Nếu bánh răng $O_1$ quay đúng 1 vòng theo chiều kim đồng hồ, hỏi bánh răng $O_3$ quay bao nhiêu vòng và quay theo chiều nào?

Mẹo hay

Hướng dẫn giải thử thách:

1. Vì các bánh răng tiếp xúc ngoài lần lượt và ba tâm thẳng hàng:

   $$O_1 O_2 = R_1 + R_2 = 36 + 12 = 48\text{ mm}$$$$O_2 O_3 = R_2 + R_3 = 12 + 24 = 36\text{ mm}$$

   Khoảng cách giữa hai tâm $O_1$ và $O_3$ là:

   $$O_1 O_3 = O_1 O_2 + O_2 O_3 = 48 + 36 = 84\text{ mm}$$

2. Về số vòng quay và chiều quay:

   • Khi $O_1$ quay 1 vòng (thuận chiều kim đồng hồ): Bánh răng trung gian $O_2$ quay ngược chiều kim đồng hồ với số vòng là $\frac{R_1}{R_2} = \frac{36}{12} = 3$ vòng.
   • Khi $O_2$ quay 3 vòng (ngược chiều kim đồng hồ): Bánh răng $O_3$ quay cùng chiều kim đồng hồ (thuận chiều) với số vòng là:$$N_3 = N_2 \times \frac{R_2}{R_3} = 3 \times \frac{12}{24} = 1{,}5\text{ vòng}$$Vậy bánh răng $O_3$ quay $1{,}5$ vòng và quay theo chiều kim đồng hồ.

Bài tập Tự luyện

Bài 1: Cho hai đường tròn $(O; 15\text{ cm})$ và $(O'; 13\text{ cm})$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Biết độ dài dây chung $AB = 24\text{ cm}$ và hai tâm $O, O'$ nằm về hai phía đối với dây chung $AB$. a) Tính khoảng cách từ mỗi tâm đến dây chung $AB$. b) Tính độ dài đoạn nối tâm $OO'$.

Bài 2: Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; r)$ tiếp xúc ngoài tại $A$ ($R > r$). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $BC$ ($B \in (O), C \in (O')$). Tiếp tuyến chung trong tại $A$ cắt $BC$ tại $M$. a) Gọi $I$ là trung điểm của $OO'$. Chứng minh rằng đường tròn tâm $I$ đường kính $OO'$ tiếp xúc với đường thẳng $BC$ tại $M$. b) Cho $R = 9\text{ cm}, r = 4\text{ cm}$. Tính diện tích tứ giác $BCO'O$.

Bài 3: Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ ở ngoài nhau. Kẻ hai tiếp tuyến chung ngoài $AB$ và $CD$ ($A, C \in (O); B, D \in (O')$). Chứng minh rằng: a) Đoạn thẳng $AB = CD$. b) Đường thẳng $AB$ và đường thẳng $CD$ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường nối tâm $OO'$.