Bài 15. Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Số $\pi \approx 3{,}14159...$ là một trong những hằng số toán học kỳ diệu và bí ẩn nhất mà nhân loại từng tìm ra. Từ thời cổ đại, nhà bác học Archimedes thành Syracuse đã dùng phương pháp đa giác nội tiếp - ngoại tiếp để kẹp chặt giá trị của $\pi$ nhằm giải bài toán muôn thuở: Làm sao đo được một đường cong bằng thước đo thẳng?

Trong thực tế cuộc sống:

• Một bánh xe đạp hay ô tô lăn một vòng sẽ đưa phương tiện đi được quãng đường bằng đúng chu vi bánh xe.
• Chiếc quạt giấy xòe ra hay vòi tưới tự động xoay tròn trên cánh đồng tạo nên hình quạt tròn.
• Chiếc đĩa phanh xe máy, vòng bi cơ khí hay mặt cắt ống dẫn dầu tạo nên hình vành khuyên.

Làm thế nào để tính chính xác chiều dài mép cong của một chiếc bánh pizza, diện tích phần cỏ được máy tưới phủ kín, hay lượng kim loại cần dùng để đúc một vành bánh đà? Bài học hôm nay sẽ trang bị cho các em toàn bộ công thức và phương pháp tính toán chuẩn xác cho các hình thể hình học cong này!

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Chu vi: Một đường tròn có bán kính $R = 7\text{ cm}$. Chu vi đường tròn đó bằng bao nhiêu (lấy $\pi \approx \frac{22}{7}$)?
2. Độ dài cung nửa đường tròn: Cung có số đo $180^\circ$ của đường tròn $(O; R)$ có độ dài bằng bao nhiêu?
3. Diện tích hình tròn: Nếu bán kính hình tròn tăng lên gấp đôi thì diện tích của nó tăng lên gấp mấy lần?
4. Hình quạt tròn: Một hình quạt tròn bán kính $R = 6\text{ cm}$ có số đo góc ở tâm là $60^\circ$. Diện tích của hình quạt đó bằng bao nhiêu $\pi$?
5. Hình vành khuyên: Hai đường tròn đồng tâm có bán kính lần lượt là $5\text{ cm}$ và $3\text{ cm}$. Diện tích hình vành khuyên giữa chúng là bao nhiêu $\pi$?

Mẹo hay

Đáp án nhẩm nhanh:

1. $C = 2\pi R \approx 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44\text{ cm}$.
2. $l = \frac{\pi R \cdot 180}{180} = \pi R$ (bằng một nửa chu vi).
3. Tăng lên 4 lần (vì diện tích tỉ lệ thuận với bình phương bán kính: $S \propto R^2$).
4. $$S_q = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 60}{360} = \frac{36\pi}{6} = 6\pi\text{ cm}^2.$$
5. $S_{vk} = \pi (5^2 - 3^2) = \pi (25 - 9) = 16\pi\text{ cm}^2$.

I. Lý thuyết Trọng tâm

1. Công thức tính Độ dài Đường tròn (Chu vi) và Độ dài Cung tròn

a) Độ dài đường tròn

Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ (đường kính $d = 2R$) được tính theo công thức:

(Trong các phép tính thực tế, ta thường lấy số thập phân xấp xỉ $\pi \approx 3{,}14$ hoặc phân số $\pi \approx \frac{22}{7}$).

b) Độ dài cung tròn

Một đường tròn ứng với cung cả vòng tròn có số đo $360^\circ$ và độ dài là $2\pi R$.

• Cung $1^\circ$ trên đường tròn bán kính $R$ có độ dài là:$$\frac{2\pi R}{360} = \frac{\pi R}{180}$$
• Cung $n^\circ$ trên đường tròn bán kính $R$ có độ dài $l$ là:$$l = \frac{\pi R n}{180}$$

Ghi nhớ

Ý nghĩa của công thức độ dài cung: Độ dài cung $l$ tỉ lệ thuận với bán kính $R$ và số đo độ $n^\circ$ của cung. Từ công thức $l = \frac{\pi R n}{180}$, ta có thể biến đổi để tìm:

• Bán kính đường tròn: $R = \frac{180l}{\pi n}$
• Số đo độ của cung: $n = \frac{180l}{\pi R}$

2. Công thức tính Diện tích Hình tròn và Hình quạt tròn

a) Diện tích hình tròn

Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ (đường kính $d = 2R$) là:

b) Diện tích hình quạt tròn

Hình quạt tròn là một phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung đó.

• Toàn bộ hình tròn có góc ở tâm $360^\circ$ và diện tích là $\pi R^2$.
• Hình quạt tròn có số đo $1^\circ$ có diện tích là: $\frac{\pi R^2}{360}$.
• Hình quạt tròn bán kính $R$, cung $n^\circ$ có diện tích $S_q$:$$S_q = \frac{\pi R^2 n}{360}$$

Ghi nhớ

Mối liên hệ tương đương tuyệt đẹp giữa $S_q$ và $l$: Ta có thể viết lại:

$$S_q = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{\pi R n}{180} \cdot \frac{R}{2} = \frac{l \cdot R}{2}$$

Công thức này có cấu trúc giống hệt công thức tính diện tích tam giác:

$$\text{Diện tích quạt} = \frac{\text{đáy (độ dài cung } l) \times \text{chiều cao (bán kính } R)}{2}$$

3. Diện tích Hình vành khuyên (Annulus)

Ghi nhớ

Định nghĩa: Hình vành khuyên (hay hình xuyến phẳng) là phần mặt phẳng nằm giữa hai đường tròn đồng tâm.

Cho hai đường tròn đồng tâm $(O; R_1)$ và $(O; R_2)$ với $R_2 > R_1$:

• $R_1$: Bán kính đường tròn trong (bán kính nhỏ).
• $R_2$: Bán kính đường tròn ngoài (bán kính lớn).
• Chiều rộng của vành: $w = R_2 - R_1$.

Công thức tính diện tích hình vành khuyên:

$$S_{vk} = S_{(O; R_2)} - S_{(O; R_1)} = \pi R_2^2 - \pi R_1^2 = \pi (R_2^2 - R_1^2)$$

Hay:

$$S_{vk} = \pi (R_2 - R_1)(R_2 + R_1)$$

II. Mô phỏng Tương tác: Tính Toán Hình Quạt & Vành Khuyên

Thực nghiệm trực tiếp với bộ tính toán động dưới đây. Hãy điều chỉnh góc quét $n^\circ$ và hai bán kính $R_1, R_2$ để quan sát diện tích và độ dài cung được cập nhật tức thì theo thời gian thực!

III. Các Dạng Toán Trọng Tâm & Phương Pháp Giải

Dạng 1: Tính Độ dài Cung tròn và các Đại lượng Liên quan

Mẹo hay

Phương pháp cốt lõi: Xuất phát từ công thức:

$$l = \frac{\pi R n}{180}$$

• Nếu tìm $l$: Thay trực tiếp $R$ và $n$.
• Nếu tìm $R$: $R = \frac{180l}{\pi n}$.
• Nếu tìm số đo cung $n^\circ$: $n = \frac{180l}{\pi R}$.

Bài toán mẫu 1.1:

Một cung tròn có số đo $72^\circ$ trên một đường tròn có độ dài là $4\pi\text{ cm}$. a) Tính bán kính $R$ và chu vi của đường tròn đó. b) Tính độ dài của cung $120^\circ$ trên cùng đường tròn này.

Lời giải chi tiết: a) Từ công thức độ dài cung: $l = \frac{\pi R n}{180}$, thay $l = 4\pi$ và $n = 72$:

Chu vi của đường tròn là:

b) Độ dài của cung có số đo $n' = 120^\circ$ là:

Dạng 2: Tính Diện tích Hình quạt tròn

Mẹo hay

Phương pháp cốt lõi:

• Sử dụng một trong hai công thức:$$S_q = \frac{\pi R^2 n}{360} \quad \text{hoặc} \quad S_q = \frac{l \cdot R}{2}$$
• Nếu đề bài cho độ dài cung $l$ và bán kính $R$, ưu tiên dùng ngay $S_q = \frac{l \cdot R}{2}$ mà không cần qua bước trung gian tính góc $n^\circ$.

Bài toán mẫu 2.1:

Cho hình quạt tròn $(O; R)$ có độ dài cung tròn bằng $8\pi\text{ cm}$ và diện tích hình quạt bằng $48\pi\text{ cm}^2$. a) Tính bán kính $R$ của đường tròn. b) Tính số đo độ của cung tròn ứng với hình quạt đó.

Lời giải chi tiết: a) Áp dụng công thức liên hệ giữa diện tích hình quạt và độ dài cung:

Vậy bán kính của đường tròn là $12\text{ cm}$.

b) Tính số đo độ $n^\circ$ của cung: Thay $R = 12$ và $l = 8\pi$ vào công thức $l = \frac{\pi R n}{180}$:

Vậy số đo của cung hình quạt tròn là $120^\circ$.

Dạng 3: Tính Diện tích Hình vành khuyên và Hình viên phân

Mẹo hay

Phương pháp cốt lõi:

1. Hình vành khuyên: $S_{vk} = \pi (R_2^2 - R_1^2)$.
   • Chú ý bài toán dây tiếp tuyến: Nếu một dây $AB$ của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại $H$, thì $AB \perp OH$ tại $H \implies AH = \frac{AB}{2}$. Trong tam giác vuông $OHA$: $OA^2 - OH^2 = AH^2 \implies R_2^2 - R_1^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2$. Khi đó diện tích hình vành khuyên được tính cực kỳ bất ngờ:$$S_{vk} = \pi \left(\frac{AB}{2}\right)^2$$(Chỉ phụ thuộc vào độ dài dây tiếp xúc $AB$, không cần biết riêng lẻ $R_1$ và $R_2$!)
2. Hình viên phân (cung nhỏ $AB$):$$S_{\text{viên phân}} = S_{\text{quạt } AOB} - S_{\triangle AOB}$$

Bài toán mẫu 3.1:

Cho đường tròn $(O; R = 6\text{ cm})$ và dây $AB = 6\text{ cm}$. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây $AB$ và cung nhỏ $AB$.

Lời giải chi tiết:

          O
         / \
        /   \
       A-----B
        \___/  <-- Hình viên phân

1. Tính số đo góc ở tâm $\widehat{AOB}$: Tam giác $OAB$ có $OA = OB = AB = 6\text{ cm} \implies \triangle OAB$ là tam giác đều. Do đó $\widehat{AOB} = 60^\circ \implies \text{số đo cung } AB = 60^\circ$.

2. Tính diện tích hình quạt tròn $OAB$:

   $$S_{\text{quạt}} = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{\pi \times 6^2 \times 60}{360} = \frac{36\pi}{6} = 6\pi\text{ cm}^2$$

3. Tính diện tích tam giác đều $OAB$: Diện tích tam giác đều cạnh $a = 6\text{ cm}$ là:

   $$S_{\triangle OAB} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2$$

4. Tính diện tích hình viên phân:

   $$S_{\text{viên phân}} = S_{\text{quạt}} - S_{\triangle OAB} = 6\pi - 9\sqrt{3} \approx 6 \times 3{,}1416 - 9 \times 1{,}732 \approx 18{,}85 - 15{,}59 = 3{,}26\text{ cm}^2$$

Dạng 4: Bài toán Thực tế và Tối ưu Hóa Diện tích

Mẹo hay

Phương pháp cốt lõi:

• Chuyển đổi linh hoạt giữa vòng quay bánh xe, quãng đường ($S = N \times C = N \times 2\pi R$) và vận tốc ($v = \frac{S}{t}$).
• Thiết kế cắt ghép vật liệu: Diện tích hình tròn nội tiếp, diện tích phôi thừa bị cắt bỏ khi đục khoét hình tròn từ tấm tôn hình vuông ($S_{\text{thừa}} = S_{\text{vuông}} - S_{\text{tròn}} = 4R^2 - \pi R^2 = (4 - \pi)R^2$).

Bài toán mẫu 4.1:

Một vòi phun nước xoay tròn tự động đặt trên một bãi cỏ công viên có tầm phun xa tối đa là $8\text{ m}$. a) Nếu vòi phun quay liên tục cả vòng tròn $360^\circ$, hãy tính diện tích mặt cỏ được tưới nước. b) Do góc sân có một bức tường chắn gạch vuông góc, người quản lý điều chỉnh để vòi chỉ quét một góc $135^\circ$. Tính diện tích mặt cỏ được tưới trong chế độ này (lấy $\pi \approx 3{,}14$).

Lời giải chi tiết: a) Khi vòi quay cả vòng tròn $360^\circ$, phần cỏ được tưới tạo thành một hình tròn bán kính $R = 8\text{ m}$. Diện tích mặt cỏ được tưới là:

b) Khi vòi chỉ quét một góc $n = 135^\circ$, phần mặt cỏ được tưới là một hình quạt tròn bán kính $R = 8\text{ m}$ và góc ở tâm $135^\circ$. Diện tích mặt cỏ được tưới lúc này là:

IV. 5 Ứng dụng Khoa học Thực tiễn & Công nghệ Hiện đại

      ỨNG DỤNG HÌNH HỌC TRÒN TRONG ĐỜI SỐNG
 ┌────────────────────────────────────────────────────────┐
 │ 1. Odometer xe máy & Hệ thống chống bó cứng phanh ABS  │
 │ 2. Cánh quạt năng lượng mặt trời vệ tinh không gian   │
 │ 3. Hệ thống tưới tự động nông nghiệp Center-Pivot      │
 │ 4. Thiết kế đĩa phanh xe tản nhiệt & Vành khuyên ma sát│
 │ 5. Vòng tròn đồng hồ thiên văn & Vận tốc kim giây      │
 └────────────────────────────────────────────────────────┘

1. Đồng hồ đo quãng đường Odometer & Cảm biến phanh ABS

Cảm biến tốc độ xe máy và ô tô gắn trên vành bánh xe đếm số vòng quay của bánh xe trong một đơn vị thời gian.

• Nếu đường kính lốp xe là $d = 60\text{ cm}$, chu vi một vòng lăn là $C = \pi d \approx 1{,}885\text{ m}$.
• Cứ mỗi 1000 vòng quay, xe đã di chuyển được quãng đường $S = 1000 \times 1{,}885 = 1885\text{ m} = 1{,}885\text{ km}$. Hệ thống phanh điện tử ABS dựa chính xác vào công thức này để nhận diện bánh xe có bị trượt lết trên đường hay không khi phanh gấp.

2. Tấm pin mặt trời dạng nan quạt trên trạm vũ trụ

Các tàu thăm dò không gian như tàu Lucy của NASA (thăm dò các tiểu hành tinh Trojan của Sao Mộc) sử dụng hai tấm pin năng lượng mặt trời hình tròn khổng lồ đường kính $7{,}3\text{ m}$. Khi phóng lên bằng tên lửa đẩy, các tấm pin được gập lại như những chiếc quạt giấy, và khi vào quỹ đạo, chúng xòe ra từng cung hình quạt tròn $360^\circ$ để tối đa hóa diện tích thu nhận bức xạ Mặt Trời trong không gian sâu thẳm.

3. Nông nghiệp thông minh: Cánh đồng tròn Center-Pivot

Khi bay qua các vùng đất nông nghiệp tại Mỹ, Ả Rập Xê Út hay Tây Nguyên (Việt Nam), hành khách trên máy bay thường ngạc nhiên thấy những cánh đồng hình tròn xanh mướt giữa sa mạc. Đó là hệ thống tưới tự động xoay quanh một giếng nước trung tâm (Center-Pivot Irrigation). Cánh tay đòn bằng thép dài hàng trăm mét di chuyển quét thành các hình quạt tròn, bảo đảm mỗi mét vuông cây trồng đều nhận đủ lượng nước theo đúng diện tích quạt tròn đã tính toán.

4. Đĩa phanh xe máy & Hình vành khuyên ma sát

Mặt tiếp xúc của má phanh với đĩa phanh xe máy chính là một hình vành khuyên. Các kỹ sư cơ khí tính toán diện tích hình vành khuyên này ($S = \pi(R_2^2 - R_1^2)$) để cân bằng giữa hai yếu tố: diện tích ma sát đủ lớn để hãm xe an toàn, và diện tích vành đủ thông thoáng để tản nhiệt nhanh chóng, chống sôi dầu phanh và cong vênh đĩa.

5. Đồng hồ Tháp Big Ben và Vận tốc đầu mút kim

Kim phút của tháp đồng hồ Big Ben (London) dài $4{,}2\text{ m}$. Trong một giờ ($60$ phút), đầu mút kim phút quét qua một góc $360^\circ$, đi hết quãng đường bằng đúng chu vi đường tròn:

Như vậy mỗi phút, đầu kim phút di chuyển một cung dài khoảng $44\text{ cm}$ — mắt thường hoàn toàn có thể nhìn thấy đầu kim chuyển động!

V. 10 Câu hỏi Trắc nghiệm Tương tác Tự chấm

VI. Thử thách Thực tế & Bài tập Tự luyện

Thử thách Thực tế: Thiết kế Bồn Hoa Vành Khuyên Công Viên

Ban quản lý một công viên trung tâm dự định xây dựng một bồn hoa hình vành khuyên bao quanh một đài phun nước hình tròn ở chính giữa:

• Bán kính của hồ phun nước ở trung tâm là $R_1 = 3\text{ m}$.
• Lối trồng hoa là một hình vành khuyên có chiều rộng đúng $w = 2\text{ m}$.
• Chi phí trồng thảm hoa mười giờ là $150.000\text{ đồng/m}^2$.
• Viền đá trang trí bao quanh cả mép trong và mép ngoài của bồn hoa có chi phí hoàn thiện là $80.000\text{ đồng/m}$. Hãy tính tổng kinh phí để hoàn thiện công trình bồn hoa trên (lấy $\pi \approx 3{,}14$).

Mẹo hay

Hướng dẫn giải thử thách:

1. Bán kính ngoài của bồn hoa: $R_2 = R_1 + w = 3 + 2 = 5\text{ m}$.
2. Diện tích trồng hoa (diện tích hình vành khuyên):$$S_{vk} = \pi (R_2^2 - R_1^2) = \pi (5^2 - 3^2) = 16\pi \approx 16 \times 3{,}14 = 50{,}24\text{ m}^2$$Chi phí trồng hoa: $50{,}24 \times 150.000 = 7.536.000\text{ đồng}$.
3. Tổng chiều dài viền đá (chu vi mép ngoài + chu vi mép trong):$$L = C_1 + C_2 = 2\pi R_1 + 2\pi R_2 = 2\pi (R_1 + R_2) = 2\pi (3 + 5) = 16\pi \approx 50{,}24\text{ m}$$Chi phí làm viền đá: $50{,}24 \times 80.000 = 4.019.200\text{ đồng}$.
4. Tổng kinh phí hoàn thiện:$$\text{Tổng} = 7.536.000 + 4.019.200 = 11.555.200\text{ đồng}$$

Bài tập Tự luyện

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB = AC = 4\text{ cm}$. Vẽ cung tròn tâm $A$ bán kính $AB$ nằm trong tam giác. a) Tính độ dài cung tròn đó. b) Tính diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai cạnh $AB, AC$ và cung tròn ấy. c) Tính diện tích phần còn lại của tam giác nằm bên ngoài hình quạt.

Bài 2: Cho đường tròn $(O; 10\text{ cm})$ và điểm $M$ sao cho $OM = 6\text{ cm}$. Kẻ dây $AB$ đi qua $M$ và vuông góc với $OM$. a) Tính độ dài dây $AB$. b) Tính số đo của góc ở tâm $\widehat{AOB}$. c) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây $AB$ và cung nhỏ $AB$.

Bài 3: Một chiếc quạt giấy xòe ra tạo thành một hình quạt tròn có góc ở tâm là $150^\circ$. Phần nan quạt tre lộ ra (không dán giấy) dài $10\text{ cm}$, phần dán giấy kéo dài đến hết mép quạt dài $25\text{ cm}$ (tính từ trục đinh tâm quạt). a) Tính diện tích phần giấy dán trên hai mặt của chiếc quạt. b) Tính độ dài đường viền mép trên cùng của quạt.