Ôn tập Chương 9. Tam giác đồng dạng

Chương 9: Tam giác đồng dạng là một trong những chương hình học trọng tâm và có thời lượng lớn nhất trong toàn bộ chương trình Toán 8. Kiến thức của chương không chỉ liên kết chặt chẽ với Định lí Thalès ở Chương 4 mà còn là nền tảng trực tiếp để các em học tốt môn Lượng giác (Sin, Cos, Tan), Đường tròn và Hình học giải tích ở lớp 9 cũng như trong kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT.

Bài ôn tập này sẽ hệ thống hóa toàn bộ kiến thức qua bản đồ tư duy, cung cấp bảng đối chiếu các trường hợp đồng dạng, ma trận đề thi 45 phút chuẩn Bộ GD&ĐT, đề kiểm tra kèm lời giải chi tiết và 10 câu trắc nghiệm tương tác tự chấm!

I. Bảng so sánh toàn diện các trường hợp đồng dạng

Ứng dụng Tương tác Trực quan

Cỗ máy Tổng hợp: Kiểm tra Tính Đồng dạng & Tính Toán Hình học

Nhập các cạnh của hai tam giác hoặc chọn kiểm tra tam giác vuông để cỗ máy tự động phân tích các trường hợp đồng dạng, tỉ số chu vi và tỉ số diện tích:

II. Ma trận Đề kiểm tra 45 phút Chuẩn Bộ GD&ĐT

Cấu trúc đề kiểm tra: Trắc nghiệm 3 điểm (12 câu), Tự luận 7 điểm (4 bài).

III. Đề kiểm tra 45 phút có lời giải & Barem điểm chi tiết

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 điểm)

(Gồm 12 câu trắc nghiệm tương tác được tích hợp đầy đủ ở Phần V bên dưới để các em học sinh tự chấm điểm trực tiếp).

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm):

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6\text{ cm}, AC = 9\text{ cm}, BC = 12\text{ cm}$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = 2\text{ cm}$. Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, cắt cạnh $AC$ tại $N$. a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng $\triangle AMN \backsim \triangle ABC$ và tìm tỉ số đồng dạng $k$. b) (1,0 điểm) Tính độ dài các đoạn thẳng $AN, NC$ và $MN$.

Lời giải Bài 1:

• a) Vì $MN \parallel BC$ ($M \in AB, N \in AC$), theo định lí về tam giác đồng dạng:$$\triangle AMN \backsim \triangle ABC\quad (0.5\text{ điểm})$$Tỉ số đồng dạng là:$$k = \frac{AM}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\quad (0.5\text{ điểm})$$
• b) Vì $\triangle AMN \backsim \triangle ABC$ với tỉ số $k = \frac{1}{3}$:$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} = \frac{1}{3}\quad (0.25\text{ điểm})$$
  • Tính $AN$: $\frac{AN}{9} = \frac{1}{3} \implies AN = \frac{9 \cdot 1}{3} = 3\text{ cm}\quad (0.25\text{ điểm}).$
  • Tính $NC$: $NC = AC - AN = 9 - 3 = 6\text{ cm}\quad (0.25\text{ điểm})$.
  • Tính $MN$: $\frac{MN}{12} = \frac{1}{3} \implies MN = \frac{12 \cdot 1}{3} = 4\text{ cm}\quad (0.25\text{ điểm}).$

Bài 2 (1,5 điểm):

Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$, $AB < CD$). Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại điểm $O$. a) (0,75 điểm) Chứng minh rằng $\triangle OAB \backsim \triangle OCD$. b) (0,75 điểm) Biết $AB = 4\text{ cm}, CD = 10\text{ cm}$ và diện tích tam giác $OAB$ là $8\text{ cm}^2$. Tính diện tích tam giác $OCD$.

Lời giải Bài 2:

• a) Vì $AB \parallel CD$:
  • $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$ (hai góc so le trong) $(0.25\text{ điểm})$.
  • $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$ (hai góc so le trong) $(0.25\text{ điểm})$. Suy ra $\triangle OAB \backsim \triangle OCD\text{ (g - g)}\quad (0.25\text{ điểm})$.
• b) Tỉ số đồng dạng giữa $\triangle OAB$ và $\triangle OCD$ là:$$k = \frac{AB}{CD} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\quad (0.25\text{ điểm})$$Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng:$$\frac{S_{OAB}}{S_{OCD}} = k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}\quad (0.25\text{ điểm})$$Suy ra diện tích tam giác $OCD$ là:$$S_{OCD} = S_{OAB} : \frac{4}{25} = 8 \cdot \frac{25}{4} = 50\text{ cm}^2\quad (0.25\text{ điểm})$$

Bài 3 (1,5 điểm):

Một chiếc cổng trường hình parabol có khung bảo vệ bằng thép dạng tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$. Cạnh huyền $BC = 25\text{ dm}$, một cạnh góc vuông $AB = 15\text{ dm}$. a) (0,75 điểm) Tính độ dài cạnh góc vuông $AC$ của khung bảo vệ. b) (0,75 điểm) Để tăng cường độ cứng vững, người ta hàn một thanh giằng thẳng $AH$ vuông góc với cạnh huyền $BC$ ($H \in BC$). Tính độ dài thanh giằng $AH$.

Lời giải Bài 3:

• a) Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$:$$BC^2 = AB^2 + AC^2 \implies AC^2 = BC^2 - AB^2\quad (0.25\text{ điểm})$$Thay số:$$AC^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400 \implies AC = \sqrt{400} = 20\text{ dm}\quad (0.5\text{ điểm})$$
• b) Xét diện tích $\triangle ABC$:$$S_{ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}AH \cdot BC \implies AB \cdot AC = AH \cdot BC\quad (0.25\text{ điểm})$$Suy ra:$$AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12\text{ dm}\quad (0.5\text{ điểm})$$Vậy thanh giằng $AH$ dài $12\text{ dm}$ (hay $1.2\text{ m}$).

Bài 4 (2,0 điểm):

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, các đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại trực tâm $H$ ($D \in AC, E \in AB$). a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng $\triangle ABD \backsim \triangle ACE$, từ đó suy ra $AD \cdot AC = AE \cdot AB$. b) (1,0 điểm) Chứng minh rằng $\triangle ADE \backsim \triangle ABC$ và $\widehat{ADE} = \widehat{ABC}$.

Lời giải Bài 4:

• a)
  • Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$:
    • $\widehat{ADB} = \widehat{AEC} = 90^\circ$ (do $BD \perp AC, CE \perp AB$) $(0.25\text{ điểm})$.
    • Góc $\widehat{A}$ là góc chung $(0.25\text{ điểm})$. Suy ra: $\triangle ABD \backsim \triangle ACE\text{ (g - g)}\quad (0.25\text{ điểm})$.
  • Suy ra tỉ số giữa các cạnh tương ứng:$$\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} \implies AD \cdot AC = AE \cdot AB\text{ (đpcm)}\quad (0.25\text{ điểm})$$
• b)
  • Từ đẳng thức $AD \cdot AC = AE \cdot AB$, ta suy ra tỉ lệ thức:$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\quad (0.25\text{ điểm})$$
  • Xét $\triangle ADE$ và $\triangle ABC$:
    • Góc $\widehat{A}$ là góc chung $(0.25\text{ điểm})$.
    • $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ (chứng minh trên) $(0.25\text{ điểm})$. Suy ra: $\triangle ADE \backsim \triangle ABC\text{ (c - g - c)}\quad (0.25\text{ điểm})$.
  • Do hai tam giác đồng dạng, các góc tương ứng bằng nhau:$$\widehat{ADE} = \widehat{ABC}\text{ (đpcm)}$$

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác tự chấm