Bài 10. Tứ giác

Hãy quan sát thế giới xung quanh bạn: màn hình máy tính, chiếc bàn học, khung cửa sổ hay mặt sân bóng đá — hầu hết các đồ vật và công trình kiến trúc quen thuộc đều có hình dáng của một tứ giác.

Nếu như ở lớp 7, chúng ta đã khám phá trọn vẹn tam giác với định lí kinh điển: Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$, thì bước sang lớp 8, chúng ta sẽ mở rộng không gian hình học phẳng với Tứ giác — đa giác có 4 đỉnh và 4 cạnh.

Chỉ bằng một đường chéo nối hai đỉnh đối diện, tứ giác được phân tách thành hai tam giác ghép lại. Từ đó, một sự thật toán học kỳ diệu xuất hiện:

Bài học mở đầu cho Chương 3 (Tứ giác) sẽ giúp các em:

1. Nắm vững định nghĩa tứ giác và nhận diện chính xác tứ giác lồi.
2. Khắc sâu Định lí tổng các góc của một tứ giác luôn bằng $360^\circ$.
3. Tính toán thành thạo góc trong, góc ngoài và giải quyết các bài toán đo đạc thực tiễn.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Gợi nhớ lớp 7: Tổng ba góc trong một tam giác bằng bao nhiêu độ?
2. Kẻ đường chéo: Một tứ giác có bao nhiêu đường chéo? Khi kẻ một đường chéo, tứ giác chia thành mấy tam giác?
3. Phản xạ nhanh: Tứ giác $ABCD$ có $$\widehat{A} = 100^\circ, \widehat{B} = 80^\circ, \widehat{C} = 110^\circ.$$ Góc $\widehat{D}$ bằng bao nhiêu độ?
4. Tứ giác đặc biệt: Một tứ giác có 4 góc bằng nhau thì mỗi góc bằng bao nhiêu độ? Tứ giác đó là hình gì?
5. Tư duy logic: Một tứ giác có thể có cả 4 góc đều là góc nhọn (nhỏ hơn $90^\circ$) được không? Vì sao?

Mẹo hay

Gợi ý phản xạ:

1. Tổng ba góc trong tam giác luôn bằng $180^\circ$.
2. Có $2$ đường chéo ($AC$ và $BD$). Kẻ một đường chéo chia tứ giác thành $2$ tam giác.
3. $\widehat{D} = 360^\circ - (100^\circ + 80^\circ + 110^\circ) = 360^\circ - 290^\circ = 70^\circ$.
4. Mỗi góc bằng $\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$. Đó là hình chữ nhật (hoặc hình vuông).
5. Không thể! Nếu cả 4 góc đều nhọn thì tổng 4 góc sẽ nhỏ hơn $4 \times 90^\circ = 360^\circ$, mâu thuẫn với định lí tổng các góc bằng $360^\circ$.

I. Lý thuyết trọng tâm & Bản chất hình học

1. Định nghĩa tứ giác và tứ giác lồi

• Tứ giác $ABCD$ là hình gồm bốn đoạn thẳng $AB, BC, CD, DA$, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

  • Các điểm $A, B, C, D$ gọi là các đỉnh.
  • Các đoạn thẳng $AB, BC, CD, DA$ gọi là các cạnh.
  • Hai đỉnh cùng thuộc một cạnh gọi là hai đỉnh kề nhau (ví dụ $A$ và $B$).
  • Hai đỉnh không kề nhau gọi là hai đỉnh đối nhau (ví dụ $A$ và $C$, $B$ và $D$).
  • Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau gọi là đường chéo (tứ giác có đúng $2$ đường chéo là $AC$ và $BD$).

• Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.

  • Cách kiểm tra tứ giác lồi bằng mắt thường: Kẻ một đường thẳng chứa bất kì cạnh nào, toàn bộ phần còn lại của tứ giác luôn nằm về một phía của đường thẳng đó.
  • Quy ước: Từ nay về sau, khi nói đến "tứ giác" mà không giải thích gì thêm, ta ngầm hiểu đó là tứ giác lồi.

2. Định lí tổng các góc của một tứ giác

Quan trọng

ĐỊNH LÍ CỐT LÕI: Tổng các góc trong một tứ giác luôn bằng $360^\circ$:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ$$

Chứng minh định lí:

Xét tứ giác $ABCD$. Nối đường chéo $AC$. Đường chéo $AC$ chia tứ giác thành hai tam giác $\triangle ABC$ và $\triangle ADC$.

• Trong $\triangle ABC$: $\widehat{A_1} + \widehat{B} + \widehat{C_1} = 180^\circ$.
• Trong $\triangle ADC$: $\widehat{A_2} + \widehat{D} + \widehat{C_2} = 180^\circ$. Cộng từng vế hai đẳng thức trên:$$(\widehat{A_1} + \widehat{A_2}) + \widehat{B} + (\widehat{C_1} + \widehat{C_2}) + \widehat{D} = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$$Vì $\widehat{A_1} + \widehat{A_2} = \widehat{A}$ và $\widehat{C_1} + \widehat{C_2} = \widehat{C}$, ta được:$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ\quad (\text{đpcm})$$

Hệ quả quan trọng:

1. Một tứ giác không thể có nhiều hơn 3 góc nhọn (vì nếu có 4 góc nhọn thì tổng $< 4 \times 90^\circ = 360^\circ$).
2. Một tứ giác không thể có nhiều hơn 3 góc tù (vì nếu có 4 góc tù thì tổng $> 4 \times 90^\circ = 360^\circ$).
3. Nếu một tứ giác có 3 góc vuông thì góc còn lại bắt buộc phải là góc vuông.

3. Góc ngoài của tứ giác

• Định nghĩa: Góc kề bù với một góc trong của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác tại đỉnh đó.
• Tại mỗi đỉnh của tứ giác, ta có 2 góc ngoài đối đỉnh với nhau (có số đo bằng nhau).
• Tính chất tổng các góc ngoài: Tổng các góc ngoài tại 4 đỉnh (mỗi đỉnh chọn 1 góc ngoài) của một tứ giác lồi luôn bằng $360^\circ$.

Chứng minh:

Gọi $\widehat{A_n}, \widehat{B_n}, \widehat{C_n}, \widehat{D_n}$ lần lượt là các góc ngoài tại 4 đỉnh. Vì mỗi góc ngoài kề bù với góc trong tương ứng:

Tương tự cho các góc còn lại. Cộng 4 góc ngoài:

II. 4 Dạng toán trọng tâm & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Tính số đo các góc của một tứ giác

Phương pháp giải: Sử dụng định lí tổng các góc trong tứ giác bằng $360^\circ$:

Bài toán 1:

Cho tứ giác $ABCD$. a) Biết $$\widehat{A} = 75^\circ, \widehat{B} = 110^\circ, \widehat{C} = 85^\circ.$$ Tính số đo góc $\widehat{D}$. b) Biết $\widehat{A} = 65^\circ, \widehat{B} = 115^\circ$ và $\widehat{C} - \widehat{D} = 20^\circ$. Tính số đo góc $\widehat{C}$ và $\widehat{D}$.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí tổng các góc trong tứ giác $ABCD$:

Thay số:

Vậy $\widehat{D} = 90^\circ$ (góc vuông).

b) Ta có:

Theo đề bài: $\widehat{C} - \widehat{D} = 20^\circ$. Đây là bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu:

Vậy $\widehat{C} = 100^\circ$ và $\widehat{D} = 80^\circ$.

Dạng 2: Tứ giác có các góc lập thành dãy tỉ số bằng nhau

Phương pháp giải: Biểu diễn số đo các góc theo một biến số $x$ (hoặc hệ số $k$), sau đó lập phương trình tổng bằng $360^\circ$ để tìm $x$.

Bài toán 2:

a) Tứ giác $ABCD$ có các góc tỉ lệ với $1; 2; 3; 4$:

Tính số đo mỗi góc của tứ giác $ABCD$. b) Tứ giác $MNPQ$ có $\widehat{M} : \widehat{N} : \widehat{P} : \widehat{Q} = 3 : 4 : 5 : 6$. Tính số đo các góc của tứ giác.

Lời giải:

a) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

Từ đó suy ra:

• $\widehat{A} = 1 \cdot 36^\circ = 36^\circ$.
• $\widehat{B} = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$.
• $\widehat{C} = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$.
• $\widehat{D} = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$. Kiểm tra lại: $36^\circ + 72^\circ + 108^\circ + 144^\circ = 360^\circ$ (chính xác tuyệt đối).

b) Đặt $$\widehat{M} = 3x, \widehat{N} = 4x, \widehat{P} = 5x, \widehat{Q} = 6x$$ ($x > 0$). Vì tổng 4 góc trong tứ giác bằng $360^\circ$:

Số đo các góc là:

• $\widehat{M} = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$.
• $\widehat{N} = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$.
• $\widehat{P} = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$.
• $\widehat{Q} = 6 \cdot 20^\circ = 120^\circ$.

Dạng 3: Bài toán liên quan đến góc ngoài và tia phân giác

Phương pháp giải:

• Góc ngoài tại đỉnh $A$ kề bù với góc trong: $\widehat{A_n} = 180^\circ - \widehat{A}$.
• Tia phân giác chia góc thành hai nửa bằng nhau. Vận dụng tổng góc tam giác để thiết lập mối liên hệ giữa các góc.

Bài toán 3:

Cho tứ giác $ABCD$. Các tia phân giác của góc $\widehat{A}$ và góc $\widehat{B}$ cắt nhau tại điểm $I$. a) Chứng minh rằng: $\widehat{AIB} = \frac{\widehat{C} + \widehat{D}}{2}$. b) Cho $\widehat{C} = 80^\circ$ và $\widehat{D} = 120^\circ$. Tính số đo góc $\widehat{AIB}$.

Lời giải:

a) Trong $\triangle AIB$, ta có:

Vì $AI$ và $BI$ lần lượt là tia phân giác của $\widehat{A}$ và $\widehat{B}$:

Do đó:

Mặt khác, trong tứ giác $ABCD$:

Thay vào biểu thức trên:

b) Thay số: $\widehat{C} = 80^\circ, \widehat{D} = 120^\circ$:

Dạng 4: Bất đẳng thức tam giác và chu vi tứ giác

Phương pháp giải: Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại ($a + b > c$).

Bài toán 4:

Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại điểm $O$. Gọi chu vi tứ giác là $P = AB + BC + CD + DA$. Chứng minh rằng:

Lời giải:

1. Chứng minh vế trái: $AC + BD > \frac{P}{2}$: Xét 4 tam giác nhỏ có chung đỉnh $O$:

• Trong $\triangle OAB$: $OA + OB > AB$.
• Trong $\triangle OBC$: $OB + OC > BC$.
• Trong $\triangle OCD$: $OC + OD > CD$.
• Trong $\triangle ODA$: $OD + OA > DA$. Cộng từng vế 4 bất đẳng thức trên:$$2(OA + OC) + 2(OB + OD) > AB + BC + CD + DA$$Vì $OA + OC = AC$ và $OB + OD = BD$, ta được:$$2(AC + BD) > P \implies AC + BD > \frac{P}{2}\quad (1)$$

2. Chứng minh vế phải: $AC + BD < P$: Xét các tam giác tạo bởi đường chéo và các cạnh của tứ giác:

• Trong $\triangle ABC$: $AC < AB + BC$.
• Trong $\triangle ADC$: $AC < AD + DC$. Cộng lại: $2AC < AB + BC + CD + DA = P \implies AC < \frac{P}{2}$. Tương tự:
• Trong $\triangle ABD$: $BD < AB + AD$.
• Trong $\triangle CBD$: $BD < BC + CD$. Cộng lại: $2BD < P \implies BD < \frac{P}{2}$. Cộng hai kết quả:$$AC + BD < \frac{P}{2} + \frac{P}{2} = P\quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:

III. 5 Chuyên đề ứng dụng thực tế & Mở rộng chuyên sâu

1. Kiến trúc kết cấu: Tính biến dạng của khung tứ giác vs Khung tam giác

Hãy quan sát giàn giáo xây dựng hay cần cẩu tháp: Chúng luôn được giằng chéo để tạo thành các hình tam giác thay vì để nguyên hình tứ giác.

• Một khung tam giác có cấu trúc cứng vững tuyệt đối (nếu biết 3 cạnh thì hình dáng tam giác cố định, không thể xê dịch).
• Một khung tứ giác có 4 cạnh không đổi nhưng các góc có thể thay đổi liên tục (bị biến dạng xiên xẹo khi chịu ngoại lực). Để gia cố một khung cửa sổ hoặc cổng rào tứ giác, người thợ mộc luôn đóng thêm một thanh gỗ chéo theo đường chéo để chia tứ giác thành hai tam giác chịu lực vững chãi!

2. Trắc địa & Định vị vệ tinh toàn cầu (GPS Trilateration)

Để xác định vị trí của một người dùng trên Trái Đất trong không gian 2D, hệ thống GPS kết nối với ít nhất 3 hoặc 4 vệ tinh. Bốn điểm (3 vệ tinh và 1 máy thu) tạo thành một tứ giác trắc địa. Bằng cách đo thời gian truyền tín hiệu vô tuyến để tính khoảng cách các cạnh và góc của tứ giác, vệ tinh xác định vị trí kinh độ - vĩ độ chính xác đến từng mét.

3. Đồ họa máy tính 3D: Lưới đa giác (Quads vs Tris)

Trong các phần mềm làm phim hoạt hình 3D (Blender, Maya) và trò chơi điện tử, mô hình nhân vật được tạo nên từ hàng triệu đa giác phẳng ghép lại. Các họa sĩ kỹ thuật số luôn ưu tiên sử dụng lưới tứ giác (Quads) cho các bề mặt cơ thể uốn lượn (khuôn mặt, cơ bắp) vì tứ giác cho phép dòng lưới (Edge loops) chạy tự nhiên và biến dạng mượt mà khi cử động mà không bị nếp nhăn gãy khúc như lưới tam giác.

4. Thiết kế mái nhà & Thoát nước mưa

Một mái nhà 4 mái (Mái dốc bánh ú / Mansard roof) được ghép bởi 2 mặt hình thang và 2 mặt hình tam giác. Kỹ sư xây dựng tính toán độ dốc góc phẳng của tứ giác mái để đảm bảo nước mưa chảy xiết thoát nhanh, không bị ứ đọng gây ẩm mốc tường nhà.

5. Nghệ thuật gấp giấy Origami: Nếp gấp tứ giác lồi Kawazaki

Trong toán học Origami ứng dụng, định lý Kawasaki và Maekawa phát biểu rằng: Tại một điểm nút nếp gấp phẳng có 4 nếp gấp tạo thành một tứ giác góc quanh đỉnh, tổng các góc so le luôn bằng $180^\circ$. Nguyên lý này hiện được các kỹ sư NASA ứng dụng để gấp các tấm pin mặt trời khổng lồ của trạm vũ trụ vào trong thân tên lửa đẩy nhỏ gọn!

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác tự chấm

V. Đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận & Barem điểm chi tiết

Ma trận đề kiểm tra 45 phút

Đề bài tự luận (7.0 điểm)

Bài 1 (2.5 điểm): a) Cho tứ giác $ABCD$ có $$\widehat{A} = 80^\circ, \widehat{B} = 105^\circ, \widehat{D} = 65^\circ.$$ Tính số đo góc $\widehat{C}$. (1.5 điểm) b) Tứ giác $EFGH$ có $\widehat{E} = 70^\circ, \widehat{F} = 90^\circ$ và $\widehat{G} = 2\widehat{H}$. Tính số đo góc $\widehat{G}$ và $\widehat{H}$. (1.0 điểm)

Bài 2 (2.0 điểm): Cho tứ giác $ABCD$. Biết số đo các góc $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}, \widehat{D}$ lần lượt tỉ lệ thuận với các số $4; 3; 2; 1$. a) Tính số đo mỗi góc của tứ giác $ABCD$. (1.25 điểm) b) Tính số đo góc ngoài tại đỉnh $A$ và đỉnh $D$. (0.75 điểm)

Bài 3 (1.5 điểm): Cho tứ giác $ABCD$. Các tia phân giác của hai góc $\widehat{C}$ và $\widehat{D}$ cắt nhau tại điểm $E$. Tia phân giác ngoài của hai góc $\widehat{C}$ và $\widehat{D}$ cắt nhau tại điểm $F$. a) Chứng minh rằng: $\widehat{CED} = \frac{\widehat{A} + \widehat{B}}{2}$. (1.0 điểm) b) Chứng minh rằng: $CE \perp CF$ và tứ giác $CEDF$ có hai góc vuông. (0.5 điểm)

Bài 4 (1.0 điểm): Cho tứ giác $ABCD$ và một điểm $M$ bất kì nằm trong tứ giác. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ $M$ đến 4 đỉnh $MA + MB + MC + MD$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M$ trùng với giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

Barem điểm chi tiết & Hướng dẫn chấm tự luận