Bài 13. Hình chữ nhật

Từ trang sách giáo khoa, màn hình điện thoại, tấm bảng đen lớp học đến khung cửa sổ hay mặt sân bóng đá — Hình chữ nhật là hình dạng nhân tạo phổ biến nhất trong thế giới văn minh loài người.

Tại sao con người lại ưa chuộng hình chữ nhật đến vậy? Bởi vì nó là sự kết hợp hoàn mỹ giữa tính đối xứng của hình thang cân và sự song song vững chãi của hình bình hành, cùng với $4$ góc vuông chuẩn mực giúp mọi đồ vật dễ dàng xếp chồng, ghép khít và tận dụng tối đa không gian sống.

Đặc biệt, trong hình học phẳng, hình chữ nhật còn ẩn chứa một "bảo bối" vô cùng quyền năng: Định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông. Định lý này chính là chìa khóa vàng giúp các em giải quyết hàng loạt bài toán hình học hóc búa từ lớp 8 đến kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10!

Bài học này sẽ giúp các em:

1. Thấu hiểu bản chất hình học của hình chữ nhật: Vừa là hình bình hành đặc biệt, vừa là hình thang cân đặc biệt.
2. Khắc sâu tính chất: Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
3. Làm chủ $4$ dấu hiệu nhận biết then chốt để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật.
4. Vận dụng thành thạo Định lý trung tuyến trong tam giác vuông (cả định lý thuận và đảo).

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Khái niệm: Tứ giác có 4 góc vuông được gọi là hình gì?
2. Góc và cạnh: Trong hình chữ nhật $ABCD$, nếu biết cạnh $AB = 8\text{ cm}, BC = 6\text{ cm}$ thì đường chéo $AC$ bằng bao nhiêu?
3. Phản xạ tam giác vuông: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh huyền $BC = 20\text{ cm}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Độ dài đoạn thẳng $AM$ bằng bao nhiêu?
4. Nhận biết nhanh: Một hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình gì?
5. Cạm bẫy: "Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật" — Đúng hay Sai?

Mẹo hay

Gợi ý phản xạ:

1. Đó là hình chữ nhật.
2. Theo định lí Pythagore trong $\triangle ABC$ vuông tại $B$: $AC = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.
3. Vì $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông: $AM = \frac{BC}{2} = \frac{20}{2} = 10\text{ cm}$.
4. Đó là hình chữ nhật (Dấu hiệu nhận biết 4).
5. Đúng! Vì cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình bình hành; hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau thì là hình chữ nhật.

I. Lý thuyết trọng tâm & Bản chất hình học

1. Định nghĩa hình chữ nhật

Quan trọng

ĐỊNH NGHĨA: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

$$ABCD\text{ là hình chữ nhật} \iff \widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90^\circ$$

Từ định nghĩa trên:

• Vì có các góc đối bằng nhau ($$\widehat{A} = \widehat{C} = 90^\circ, \widehat{B} = \widehat{D} = 90^\circ$$), hình chữ nhật là một hình bình hành.
• Vì có hai góc kề đáy bằng nhau ($\widehat{C} = \widehat{D} = 90^\circ$) và $AB \parallel CD$, hình chữ nhật là một hình thang cân.

2. Các tính chất đặc trưng của hình chữ nhật

Vì hình chữ nhật vừa là hình bình hành vừa là hình thang cân nên nó kế thừa trọn vẹn toàn bộ tính chất của cả hai hình:

1. Về cạnh: Các cạnh đối song song và bằng nhau ($AB \parallel CD, AD \parallel BC$ và $AB = CD, AD = BC$).
2. Về góc: Bốn góc bằng nhau và bằng $90^\circ$.
3. Về đường chéo (Tính chất vương giả):

   Ghi nhớ

   Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

   $$AC = BD\quad\text{và}\quad OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2}$$

   Điều này có nghĩa là giao điểm $O$ cách đều cả 4 đỉnh $A, B, C, D$. Bốn đỉnh của hình chữ nhật luôn cùng nằm trên một đường tròn tâm $O$, bán kính $R = \frac{AC}{2}$.

4. Đối xứng:
   • Có $1$ tâm đối xứng là giao điểm $O$ của hai đường chéo.
   • Có $2$ trục đối xứng là hai đường thẳng đi qua trung điểm của hai cặp cạnh đối diện.

3. Định lý áp dụng vào tam giác vuông

Tính chất hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm và bằng nhau của hình chữ nhật dẫn tới một định lí hình học vô cùng đẹp đẽ và quan trọng trong tam giác vuông:

Quan trọng

ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC VUÔNG:

1. (Định lý thuận): Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.$$\triangle ABC\text{ vuông tại } A,\; M\text{ là trung điểm } BC \implies AM = \frac{BC}{2} = MB = MC$$
2. (Định lý đảo): Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.$$\triangle ABC\text{ có } AM\text{ là trung tuyến},\; AM = \frac{BC}{2} \implies \triangle ABC\text{ vuông tại } A$$

Chứng minh định lí:

• Chứng minh thuận: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, trung tuyến $AM$. Trên tia đối của tia $MA$, lấy điểm $D$ sao cho $MD = MA$. Tứ giác $ABDC$ có hai đường chéo $AD$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường nên $ABDC$ là hình bình hành. Mặt khác $\widehat{BAC} = 90^\circ$, suy ra $ABDC$ là hình chữ nhật. Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau: $AD = BC$. Vì $AM = \frac{AD}{2}$ nên $AM = \frac{BC}{2}\quad (\text{đpcm})$.
• Chứng minh đảo: Tương tự, nếu $AM = \frac{BC}{2}$ thì $AD = 2AM = BC$. Hình bình hành $ABDC$ có hai đường chéo $AD = BC$ nên $ABDC$ là hình chữ nhật $\implies \widehat{BAC} = 90^\circ\quad (\text{đpcm})$.

4. 4 Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, ta áp dụng một trong $4$ dấu hiệu sau:

Mẹo hay

4 DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH CHỮ NHẬT:

1. Tứ giác có $3$ góc vuông là hình chữ nhật.
2. Hình thang cân có $1$ góc vuông là hình chữ nhật.
3. Hình bình hành có $1$ góc vuông là hình chữ nhật.
4. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Mẹo tư duy:

• Thường gặp nhất là: Chứng minh tứ giác là hình bình hành trước, sau đó chỉ ra tứ giác có thêm $1$ góc vuông (Dấu hiệu 3) hoặc hai đường chéo bằng nhau (Dấu hiệu 4).

II. 4 Dạng toán trọng tâm & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Tính độ dài cạnh, đường chéo và diện tích hình chữ nhật

Phương pháp giải:

1. Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông: $AC^2 = AB^2 + BC^2 \implies AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$.
2. Chu vi $P = 2(a + b)$, diện tích $S = a \cdot b$.
3. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.

Bài toán 1:

Cho hình chữ nhật $ABCD$. a) Biết độ dài cạnh $AB = 15\text{ cm}$ và đường chéo $AC = 17\text{ cm}$. Tính độ dài cạnh $AD$, chu vi và diện tích của hình chữ nhật $ABCD$. b) Giao điểm hai đường chéo là $O$. Kẻ $OH \perp AB$ ($H \in AB$). Biết $AC = 26\text{ cm}$ và $AD = 10\text{ cm}$. Tính độ dài đoạn thẳng $OH$.

Lời giải:

a) Trong $\triangle ABC$ vuông tại $B$, theo định lí Pythagore:

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD = BC = 8\text{ cm}$.

• Chu vi hình chữ nhật:$$P = 2(AB + AD) = 2(15 + 8) = 2 \cdot 23 = 46\text{ cm}$$
• Diện tích hình chữ nhật:$$S = AB \cdot AD = 15 \cdot 8 = 120\text{ cm}^2$$

b) Xét tam giác vuông $\triangle ABD$ vuông tại $A$:

Vì $O$ là trung điểm của đường chéo $BD$ và $OH \perp AB$, $AD \perp AB \implies OH \parallel AD$. Trong $\triangle ABD$, đoạn thẳng $OH$ đi qua trung điểm $O$ của $BD$ và song song với $AD$, nên $OH$ là đường trung bình của $\triangle ABD$. Suy ra:

Dạng 2: Chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật

Phương pháp giải:

• Cách 1: Chỉ ra tứ giác có 3 góc vuông ($\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = 90^\circ$).
• Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình bình hành, sau đó chứng minh có 1 góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau.

Bài toán 2:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ($H \in BC$). Từ $H$ kẻ $HD \perp AB$ ($D \in AB$) và $HE \perp AC$ ($E \in AC$). a) Chứng minh tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật. b) Chứng minh $AH = DE$. c) Gọi $O$ là giao điểm của $AH$ và $DE$. Chứng minh $OA = OD = OH = OE$.

Lời giải:

a) Xét tứ giác $ADHE$:

• $\widehat{DAE} = \widehat{BAC} = 90^\circ$ (giả thiết $\triangle ABC$ vuông tại $A$).
• $HD \perp AB \implies \widehat{ADH} = 90^\circ$.
• $HE \perp AC \implies \widehat{AEH} = 90^\circ$. Tứ giác $ADHE$ có $3$ góc vuông ($\widehat{DAE} = \widehat{ADH} = \widehat{AEH} = 90^\circ$), do đó $ADHE$ là hình chữ nhật (đpcm).

b) Vì $ADHE$ là hình chữ nhật, theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật: Hai đường chéo bằng nhau:

c) Vì $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AH$ và $DE$ của hình chữ nhật $ADHE$: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau:

Mà $AH = DE$, suy ra:

Dạng 3: Vận dụng Định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông

Phương pháp giải:

• Khi gặp tam giác vuông có trung điểm cạnh huyền $\to$ Nghĩ ngay đến đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền: $AM = \frac{BC}{2}$.
• Để chứng minh một góc bằng $90^\circ$ $\to$ Chứng minh tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện.

Bài toán 3:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, trung tuyến $AM$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $M$. a) Chứng minh tứ giác $ABDC$ là hình chữ nhật. b) Lấy điểm $E$ đối xứng với $A$ qua cạnh $BC$. Chứng minh tứ giác $BCDE$ là hình thang cân.

Lời giải:

a) Xét tứ giác $ABDC$:

• $M$ là trung điểm của $BC$ (vì $AM$ là trung tuyến).
• $M$ là trung điểm của $AD$ (vì $D$ đối xứng với $A$ qua $M$). Do đó hai đường chéo $AD$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường. Suy ra tứ giác $ABDC$ là hình bình hành. Lại có $\widehat{BAC} = 90^\circ$ (giả thiết $\triangle ABC$ vuông tại $A$). Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật, do đó $ABDC$ là hình chữ nhật (đpcm).

b) Vì $E$ đối xứng với $A$ qua $BC$ nên đường thẳng $BC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AE$:

Mặt khác, vì $ABDC$ là hình chữ nhật nên $CD = AB \implies CD = BE$. Lại có: $$\triangle ABC = \triangle EBC\text{ (c.c.c)} \implies \widehat{ACB} = \widehat{ECB}.$$ Vì $ABDC$ là hình chữ nhật nên $AC \parallel BD \implies \widehat{DBC} = \widehat{ACB}$ (hai góc so le trong). Do đó:

Xét tứ giác $BCDE$: Kẻ đường cao hoặc sử dụng góc so le trong, ta có $ED \parallel BC$ và hai góc kề đáy bằng nhau:

Vậy $BCDE$ là hình thang cân (đpcm).

Dạng 4: Bài toán cực trị hình học & Vị trí đặc biệt

Phương pháp giải: Đưa biểu thức độ dài cần tìm cực trị về một đoạn thẳng cố định hoặc đường cao của tam giác, sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.

Bài toán 4:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có hai cạnh góc vuông $AB = 6\text{ cm}$ và $AC = 8\text{ cm}$. Điểm $M$ là một điểm thay đổi trên cạnh huyền $BC$. Từ $M$ kẻ $MD \perp AB$ ($D \in AB$) và $ME \perp AC$ ($E \in AC$). a) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng $DE$ bằng độ dài đoạn thẳng $AM$. b) Xác định vị trí của điểm $M$ trên cạnh $BC$ để đoạn thẳng $DE$ có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải:

a) Tứ giác $ADME$ có:

• $\widehat{DAE} = 90^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$).
• $\widehat{ADM} = 90^\circ$ (do $MD \perp AB$).
• $\widehat{AEM} = 90^\circ$ (do $ME \perp AC$). Suy ra $ADME$ là hình chữ nhật. Trong hình chữ nhật $ADME$, hai đường chéo bằng nhau:$$DE = AM\quad (\text{đpcm})$$

b) Vì $DE = AM$ nên để đoạn thẳng $DE$ có độ dài nhỏ nhất thì đoạn thẳng $AM$ phải có độ dài nhỏ nhất. Ta có: $A$ là điểm cố định, $M$ là điểm di động trên đường thẳng $BC$. Đoạn thẳng nối một điểm với một đường thẳng có độ dài ngắn nhất khi nó là đoạn thẳng vuông góc. Do đó: $AM$ ngắn nhất $\iff AM \perp BC$. Tức là $M$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ xuống cạnh huyền $BC$.

Tính giá trị nhỏ nhất: Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$:

Diện tích $\triangle ABC$ tính theo hai cách:

Vậy giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng $DE$ là $4,8\text{ cm}$, đạt được khi $M$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$.

III. 5 Chuyên đề ứng dụng thực tế & Mở rộng chuyên sâu

1. Tiêu chuẩn màn hình tỉ lệ $16:9$ và Điện ảnh kỹ thuật số

Màn hình máy tính, TV 4K và điện thoại thông minh đều có dạng hình chữ nhật với tỉ lệ khung hình chuẩn $16:9$.

• Thị giác con người: Mắt người có trường thị giác góc ngang rộng hơn góc đứng (khoảng $120^\circ$ ngang so với $90^\circ$ đứng).
• Khung chữ nhật $16:9$ bao phủ hoàn hảo tầm nhìn ngoại vi, mang lại trải nghiệm xem phim chân thực nhất mà không gây căng cơ mắt.

2. Thước góc thợ xây & Quy tắc bộ ba Pythagore $3 - 4 - 5$

Làm thế nào để người thợ nề xây được bức tường vuông góc chính xác $90^\circ$ trên công trường rộng lớn hàng trăm mét vuông?

• Họ sử dụng tính chất: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
• Họ căng các sợi dây tạo thành một hình bình hành, sau đó đo hai đường chéo: Khi hai đường chéo dài bằng nhau từng milimét, góc nhà chắc chắn vuông vức tuyệt đối!

3. Tiêu chuẩn khổ giấy quốc tế ISO 216 ($A0, A1, A2, A3, A4$)

Tờ giấy $A4$ chúng ta viết mỗi ngày có kích thước $210\text{ mm} \times 297\text{ mm}$. Tỉ lệ giữa chiều dài và chiều rộng của tờ giấy là:

• Tính chất hình học kỳ diệu: Khi gập đôi tờ giấy $A4$ hình chữ nhật theo chiều dài, ta được tờ giấy $A5$ hình chữ nhật mới có diện tích bằng một nửa nhưng đồng dạng hoàn toàn với tờ giấy $A4$ ban đầu. Nhờ đó, tỉ lệ font chữ và hình ảnh khi in thu nhỏ/phóng to giữa các khổ giấy không bao giờ bị méo mó.

4. Container vận tải hàng hải quốc tế (Tiêu chuẩn ISO 668)

Hơn $90\%$ hàng hóa toàn cầu được vận chuyển bằng các thùng container hình hộp chữ nhật chuẩn $20\text{ feet}$ hoặc $40\text{ feet}$.

• Mặt đáy hình chữ nhật cho phép các container khóa chặt vào nhau bằng các chốt xoay góc (Twistlock), xếp chồng lên nhau thành các khối vững chãi cao đến 10 tầng trên tàu chở hàng siêu trọng mà không bị trượt đổ giữa sóng to gió lớn.

5. Sân thi đấu thể thao tiêu chuẩn Olympic

Tất cả các sân bóng đá FIFA ($105\text{ m} \times 68\text{ m}$), sân bóng rổ FIBA ($28\text{ m} \times 15\text{ m}$) hay sân tennis đều là các hình chữ nhật chuẩn mực.

• Cấu trúc đối xứng tâm và hai trục đối xứng của hình chữ nhật đảm bảo sự công bằng tuyệt đối cho hai đội tuyển khi đổi sân giữa hai hiệp đấu, không có đội nào bị thiệt thòi về cự ly hay góc sút cầu môn.

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác tự chấm

V. Đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận & Barem điểm chi tiết

1. Ma trận đề kiểm tra 45 phút — Hình chữ nhật

2. Đề bài chi tiết

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 điểm — Mỗi câu 0,5 điểm)

Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI?

• A. Hình chữ nhật có 4 góc vuông.
• B. Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.
• C. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau.
• D. Hình chữ nhật có các cạnh đối song song và bằng nhau.

Câu 2: Tứ giác nào dưới đây là hình chữ nhật?

• A. Tứ giác có 2 góc vuông.
• B. Hình thang có một góc vuông.
• C. Hình thang cân có một góc vuông.
• D. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.

Câu 3: Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$ có $MN = 9\text{ cm}, MP = 12\text{ cm}$. Trung tuyến $MI$ ($I \in NP$) có độ dài là:

• A. $15\text{ cm}$
• B. $7,5\text{ cm}$
• C. $10\text{ cm}$
• D. $6\text{ cm}$

Câu 4: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 8\text{ cm}$, chu vi hình chữ nhật bằng $28\text{ cm}$. Diện tích của hình chữ nhật $ABCD$ là:

• A. $48\text{ cm}^2$
• B. $96\text{ cm}^2$
• C. $24\text{ cm}^2$
• D. $64\text{ cm}^2$

Câu 5: Giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật cách đều bốn đỉnh một khoảng bằng:

• A. Nửa chu vi hình chữ nhật.
• B. Nửa độ dài cạnh lớn.
• C. Nửa độ dài đường chéo.
• D. Bằng đường cao hình chữ nhật.

Câu 6: Một hình bình hành có một góc vuông thì:

• A. Trở thành hình chữ nhật.
• B. Trở thành hình thoi.
• C. Trở thành hình vuông.
• D. Trở thành hình thang vuông.

PHẦN II: TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm): Cho hình chữ nhật $ABCD$ có đường chéo $AC = 10\text{ cm}$ và cạnh $BC = 6\text{ cm}$. a) Tính độ dài cạnh $AB$, chu vi và diện tích của hình chữ nhật $ABCD$. b) Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo. Tính khoảng cách từ $O$ đến cạnh $AB$.

Bài 2 (2,0 điểm): Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường trung tuyến $AM$. Gọi $D$ là trung điểm của $AB$, $E$ là điểm đối xứng với $M$ qua $D$. a) Chứng minh tứ giác $AEBM$ là hình bình hành. b) Chứng minh tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật.

Bài 3 (2,0 điểm): Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, các đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. a) Chứng minh rằng $\triangle MED$ là tam giác cân tại $M$. b) Kẻ đường cao $AK$ của tam giác $ABC$ ($K \in BC$). Chứng minh tứ giác $AKDH$ có các đặc điểm hình học gì liên quan đến đường trung trực.

Bài 4 (1,0 điểm — Vận dụng cao): Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$), đường cao $AH$. Gọi $D, E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB$ và $AC$. Chứng minh rằng:

3. Đáp án & Barem chấm điểm chi tiết

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm)

PHẦN II: TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm):

• a) (1,25 điểm)
  • Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle ABC$ vuông tại $B$:$$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\text{ cm}\quad (0,5\text{ đ})$$
  • Chu vi: $P = 2(AB + BC) = 2(8 + 6) = 28\text{ cm}$ (0,25 đ).
  • Diện tích: $S = AB \cdot BC = 8 \cdot 6 = 48\text{ cm}^2$ (0,5 đ).
• b) (0,75 điểm)
  • Kẻ $OK \perp AB$ ($K \in AB$). Vì $O$ là trung điểm của $AC$ và $OK \parallel BC$ (cùng $\perp AB$) nên $OK$ là đường trung bình của $\triangle ABC$ (0,5 đ).$$OK = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}\quad (0,25\text{ đ})$$

Bài 2 (2,0 điểm):

• a) (1,0 điểm)
  • Tứ giác $AEBM$ có hai đường chéo $AB$ và $EM$ cắt nhau tại điểm $D$.
  • Theo giả thiết: $D$ là trung điểm của $AB$ và $D$ là trung điểm của $EM$ (do $E$ đối xứng $M$ qua $D$) (0,5 đ).
  • Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $AEBM$ là hình bình hành (0,5 đ).
• b) (1,0 điểm)
  • Vì $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ của $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên $AM = MB = \frac{BC}{2}$ (0,25 đ).
  • Do đó tam giác $\triangle MAB$ cân tại $M$. Đoạn $MD$ là đường trung tuyến của tam giác cân $\triangle MAB$, nên $MD$ đồng thời là đường cao $\implies MD \perp AB \implies \widehat{ADM} = 90^\circ$ (0,25 đ).
  • Tứ giác $ADME$ có $MD \parallel AE$ và $MD = AE$ (do $AEBM$ là hình bình hành) nên $ADME$ là hình bình hành (0,25 đ).
  • Hình bình hành $ADME$ có một góc vuông $\widehat{ADM} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật (0,25 đ).

Bài 3 (2,0 điểm):

• a) (1,25 điểm)
  • Xét tam giác vuông $\triangle BDC$ vuông tại $D$: $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC \implies DM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền:$$DM = \frac{BC}{2}\quad (0,5\text{ đ})$$
  • Xét tam giác vuông $\triangle BEC$ vuông tại $E$: $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC \implies EM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền:$$EM = \frac{BC}{2}\quad (0,5\text{ đ})$$
  • Suy ra $DM = EM = \frac{BC}{2}$, do đó tam giác $\triangle MED$ cân tại $M$ (0,25 đ).
• b) (0,75 điểm)
  • Vì tam giác $\triangle ABC$ cân tại $A$, đường cao $AK$ đồng thời là trung tuyến ứng với $BC$, nên $K \equiv M$ (0,25 đ).
  • Vì $H$ là trực tâm của $\triangle ABC$ nên $A, H, K$ thẳng hàng.
  • Điểm $M$ cách đều $D$ và $E$ ($MD = ME$), điểm $A$ cách đều $D$ và $E$ ($AD = AE$ do $\triangle ABD = \triangle ACE$). Do đó đường thẳng $AH$ (chứa $AK$) chính là đường trung trực của đoạn thẳng $DE$ (0,5 đ).

Bài 4 (1,0 điểm):

• Xét tứ giác $ADHE$: Có $$\widehat{DAE} = 90^\circ, \widehat{ADH} = 90^\circ, \widehat{AEH} = 90^\circ.$$ Suy ra $ADHE$ là hình chữ nhật (0,25 đ).
• Trong hình chữ nhật $ADHE$, hai đường chéo bằng nhau:$$DE = AH \implies DE^2 = AH^2\quad (0,25\text{ đ})$$
• Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao ứng với cạnh huyền $BC$. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:$$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}\quad (0,25\text{ đ})$$
• Thay $AH = DE$ vào hệ thức trên, ta được:$$\frac{1}{DE^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}\quad (\text{đpcm})\quad (0,25\text{ đ})$$