Bài 11. Hình thang cân

Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta bắt gặp hình ảnh chiếc thang tre dựng bên hiên nhà, mặt cắt của con đê chắn sóng hay chiếc chao đèn ngủ trang nhã. Tất cả những vật thể này đều mang hình bóng của một hình học quen thuộc: Hình thang và đặc biệt là Hình thang cân.

Nếu như tứ giác tổng quát có 4 cạnh tùy ý thì hình thang là bước tiến hóa đầu tiên khi thiên nhiên và toán học đặt vào đó yếu tố đối xứng và song song: hai cạnh đối diện song song với nhau. Khi có thêm tính chất cân bằng — hai góc kề một đáy bằng nhau — ta có một hình thang cân với vẻ đẹp hài hòa, hai đường chéo bằng nhau và một trục đối xứng hoàn hảo.

Bài học này sẽ trang bị cho các em:

1. Định nghĩa chuẩn xác về hình thang, hình thang vuông và hình thang cân.
2. Các tính chất cốt lõi: góc kề một đáy, cạnh bên, hai đường chéo và trục đối xứng.
3. Hai dấu hiệu nhận biết then chốt để chứng minh một tứ giác là hình thang cân.
4. "Bí quyết vàng" kẻ thêm yếu tố phụ (kẻ đường cao từ hai đỉnh đáy nhỏ) giải quyết xuất sắc các bài toán tính góc, độ dài và diện tích.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Gợi nhớ góc trong cùng phía: Nếu $AB \parallel CD$ thì hai góc trong cùng phía $\widehat{A}$ và $\widehat{D}$ có mối quan hệ gì?
2. Khái niệm: Một tứ giác có hai cạnh đối song song thì được gọi là hình gì?
3. Phản xạ số học: Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có $\widehat{D} = 70^\circ$. Tính số đo ba góc còn lại $\widehat{C}, \widehat{A}, \widehat{B}$.
4. Cạm bẫy tư duy: "Một hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thì chắc chắn là hình thang cân" — Đúng hay Sai?
5. Đường chéo: Trong hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$), nếu đường chéo $AC = 12\text{ cm}$ thì đường chéo $BD$ bằng bao nhiêu?

Mẹo hay

Gợi ý phản xạ:

1. Hai góc trong cùng phía thì bù nhau: $\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ$.
2. Đó là hình thang.
3. Vì là hình thang cân nên $\widehat{C} = \widehat{D} = 70^\circ$. Góc $\widehat{A} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ và $\widehat{B} = \widehat{A} = 110^\circ$.
4. Sai! Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau và song song nhau thì nó là hình bình hành, không nhất thiết là hình thang cân.
5. Vì hai đường chéo của hình thang cân bằng nhau nên $BD = AC = 12\text{ cm}$.

I. Lý thuyết trọng tâm & Bản chất hình học

1. Định nghĩa hình thang và hình thang vuông

• Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
  • Hai cạnh song song gọi là hai đáy (đáy nhỏ và đáy lớn).
  • Hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên.
  • Khoảng cách vuông góc giữa hai đường thẳng chứa hai đáy gọi là đường cao.
• Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
  • Vì hai đáy song song nên góc kề bù trong cùng phía cũng là góc vuông: Nếu $\widehat{A} = 90^\circ$ thì $\widehat{D} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Như vậy hình thang vuông luôn có ít nhất hai góc vuông kề nhau và cạnh bên vuông góc với hai đáy chính là một đường cao.

2. Định nghĩa hình thang cân

Quan trọng

ĐỊNH NGHĨA: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$):

• $ABCD$ là hình thang cân $\iff \widehat{D} = \widehat{C}$ (hoặc $\widehat{A} = \widehat{B}$).
• Chú ý: Vì $\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ$ và $\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$ (hai góc trong cùng phía), nên nếu $\widehat{D} = \widehat{C}$ thì tự động kéo theo $\widehat{A} = \widehat{B}$. Do đó chỉ cần hai góc kề một đáy bằng nhau là đủ.

3. Các tính chất đặc sắc của hình thang cân

Tính chất 1: Về hai cạnh bên

Ghi nhớ

Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

$$ABCD\text{ là hình thang cân } (AB \parallel CD) \implies AD = BC$$

Chứng minh:

• Trường hợp 1: $AD$ và $BC$ không song song. Kéo dài $AD$ và $BC$ cắt nhau tại điểm $O$.
  • Vì $AB \parallel CD$ nên $\widehat{OAB} = \widehat{D}$ và $\widehat{OBA} = \widehat{C}$ (hai góc đồng vị).
  • Mà $\widehat{D} = \widehat{C}$ (giả thiết hình thang cân) nên $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$.
  • Do đó $\triangle OCD$ cân tại $O \implies OD = OC$.
  • Tam giác $\triangle OAB$ cân tại $O \implies OA = OB$.
  • Trừ từng vế: $OD - OA = OC - OB \implies AD = BC$.
• Trường hợp 2: $AD \parallel BC$. Khi đó $ABCD$ có các cạnh đối song song nên $AD = BC$ (và cả 4 góc đều vuông).

Tính chất 2: Về hai đường chéo

Quan trọng

Định lí 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

$$ABCD\text{ là hình thang cân } (AB \parallel CD) \implies AC = BD$$

Chứng minh: Xét hai tam giác $\triangle ADC$ và $\triangle BCD$:

• Cạnh đáy chung: $CD$ chung.
• Cặp góc kề đáy: $\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$ (tính chất hình thang cân).
• Cặp cạnh bên: $AD = BC$ (chứng minh ở Định lí 1).
• Suy ra $\triangle ADC = \triangle BCD\text{ (c.g.c)}$.
• Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra hai cạnh tương ứng: $AC = BD\quad (\text{đpcm})$.

Tính chất 3: Trục đối xứng

• Hình thang cân có đúng $1$ trục đối xứng, đó chính là đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đáy.

4. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Để chứng minh một tứ giác là hình thang cân, ta có 2 con đường chuẩn mực:

Mẹo hay

2 DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH THANG CÂN:

1. Dấu hiệu 1 (Theo góc): Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
2. Dấu hiệu 2 (Theo đường chéo): Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Quy trình chứng minh 2 bước:

• Bước 1: Chứng minh tứ giác là hình thang (chỉ ra hai cạnh đối song song bằng cách dùng các cặp góc so le trong, đồng vị hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng).
• Bước 2: Chỉ ra hình thang đó có hai góc kề một đáy bằng nhau HOẶC hai đường chéo bằng nhau.

II. 4 Dạng toán trọng tâm & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Tính số đo các góc của hình thang, hình thang cân

Phương pháp giải:

1. Dùng tính chất hai góc trong cùng phía bù nhau: $\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ$ và $\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.
2. Với hình thang cân: hai góc kề đáy bằng nhau ($\widehat{A} = \widehat{B}$, $\widehat{D} = \widehat{C}$).

Bài toán 1:

Cho hình thang cân $MNPQ$ ($MN \parallel PQ$). a) Biết $\widehat{P} = 65^\circ$. Tính số đo các góc còn lại của hình thang cân. b) Cho biết góc $\widehat{M}$ gấp $3$ lần góc $\widehat{Q}$. Tính số đo mỗi góc của hình thang cân $MNPQ$.

Lời giải:

a) Vì $MNPQ$ là hình thang cân ($MN \parallel PQ$):

• Hai góc kề đáy lớn bằng nhau:$$\widehat{Q} = \widehat{P} = 65^\circ$$
• Vì $MN \parallel PQ$ nên hai góc $\widehat{M}$ và $\widehat{Q}$ ở vị trí trong cùng phía:$$\widehat{M} + \widehat{Q} = 180^\circ \implies \widehat{M} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$$
• Hai góc kề đáy nhỏ bằng nhau:$$\widehat{N} = \widehat{M} = 115^\circ$$Vậy $$\widehat{Q} = 65^\circ, \widehat{M} = 115^\circ, \widehat{N} = 115^\circ.$$

b) Vì $MN \parallel PQ$, hai góc kề cạnh bên trong cùng phía bù nhau:

Theo đề bài $\widehat{M} = 3\widehat{Q}$, thay vào đẳng thức trên:

Từ đó suy ra:

• $\widehat{P} = \widehat{Q} = 45^\circ$.
• $\widehat{M} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.
• $\widehat{N} = \widehat{M} = 135^\circ$.

Dạng 2: Tính độ dài cạnh và chu vi — Kỹ thuật kẻ hai đường cao

Phương pháp giải: Từ hai đỉnh của đáy nhỏ (ví dụ $A$ và $B$), kẻ hai đường cao $AH \perp CD$ và $BK \perp CD$ ($H, K \in CD$). Khi đó:

• Tứ giác $ABKH$ là hình chữ nhật (có 4 góc vuông) nên $HK = AB$.
• Hai tam giác vuông $\triangle AHD$ và $\triangle BKC$ bằng nhau (trường hợp cạnh huyền – góc nhọn: $AD = BC, \widehat{D} = \widehat{C}$).
• Suy ra hai đoạn thẳng ở hai bên bằng nhau:$$DH = KC = \frac{CD - AB}{2}$$

Bài toán 2:

Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$, $AB < CD$). Biết đáy nhỏ $AB = 14\text{ cm}$, đáy lớn $CD = 30\text{ cm}$, cạnh bên $AD = 17\text{ cm}$. a) Kẻ các đường cao $AH$ và $BK$ vuông góc với $CD$ ($H, K \in CD$). Tính độ dài đoạn thẳng $DH$ và đường cao $AH$. b) Tính chu vi và diện tích của hình thang cân $ABCD$.

Lời giải:

a) Kẻ $AH \perp CD$ tại $H$ và $BK \perp CD$ tại $K$.

• Tứ giác $ABKH$ có $AB \parallel HK$ và $AH \parallel BK$ (cùng vuông góc với $CD$), $\widehat{AHK} = 90^\circ$ nên $ABKH$ là hình chữ nhật.$$\implies HK = AB = 14\text{ cm}$$
• Xét hai tam giác vuông $\triangle AHD$ (vuông tại $H$) và $\triangle BKC$ (vuông tại $K$):
  • Cạnh huyền $AD = BC$ (tính chất hình thang cân).
  • Góc nhọn $\widehat{D} = \widehat{C}$ (tính chất hình thang cân).
  • Do đó $\triangle AHD = \triangle BKC\text{ (cạnh huyền – góc nhọn)}$.$$\implies DH = KC$$
• Vì $H, K$ thuộc đoạn $CD$ nên:$$DH + HK + KC = CD \implies 2DH + 14 = 30 \implies 2DH = 16 \implies DH = 8\text{ cm}$$
• Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle AHD$ vuông tại $H$:$$AH^2 + DH^2 = AD^2 \implies AH^2 + 8^2 = 17^2$$$$AH^2 = 289 - 64 = 225 \implies AH = \sqrt{225} = 15\text{ cm}$$

b) Tính chu vi và diện tích:

• Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $BC = AD = 17\text{ cm}$. Chu vi của hình thang là:$$C = AB + BC + CD + DA = 14 + 17 + 30 + 17 = 78\text{ cm}$$
• Diện tích hình thang cân $ABCD$:$$S = \frac{(AB + CD) \cdot AH}{2} = \frac{(14 + 30) \cdot 15}{2} = \frac{44 \cdot 15}{2} = 22 \cdot 15 = 330\text{ cm}^2$$

Dạng 3: Chứng minh một tứ giác là hình thang cân

Phương pháp giải:

• Chứng minh $AB \parallel CD$ để khẳng định tứ giác là hình thang.
• Chỉ ra thêm $\widehat{C} = \widehat{D}$ hoặc hai đường chéo $AC = BD$.

Bài toán 3:

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AM = AN$. a) Chứng minh tứ giác $BMNC$ là hình thang cân. b) Lấy điểm $I$ là giao điểm của $BN$ và $CM$. Chứng minh $\triangle IBC$ là tam giác cân.

Lời giải:

a) Xét $\triangle AMN$: Vì $AM = AN$ nên $\triangle AMN$ cân tại $A$. Do đó:

Mặt khác, $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên:

Từ hai kết quả trên suy ra:

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị, do đó:

Tứ giác $BMNC$ có $MN \parallel BC$ nên là hình thang. Hình thang $BMNC$ lại có hai góc kề đáy $\widehat{B} = \widehat{C}$ (vì $\triangle ABC$ cân tại $A$). Vậy $BMNC$ là hình thang cân (đpcm).

b) Vì $BMNC$ là hình thang cân nên hai đường chéo bằng nhau: $BN = CM$. Xét $\triangle BMC$ và $\triangle CNB$:

• Cạnh đáy chung: $BC$.
• $MB = NC$ (vì $AB = AC$ và $AM = AN$).
• $MC = NB$ (hai đường chéo của hình thang cân). Suy ra $\triangle BMC = \triangle CNB\text{ (c.c.c)}$. Từ đó hai góc tương ứng bằng nhau:$$\widehat{MCB} = \widehat{NBC} \implies \widehat{ICB} = \widehat{IBC}$$Tam giác $\triangle IBC$ có hai góc ở đáy bằng nhau nên $\triangle IBC$ cân tại $I$ (đpcm).

Dạng 4: Kỹ thuật kẻ đường thẳng song song với cạnh bên

Phương pháp giải: Khi bài toán cho độ dài hai đáy và độ dài hai cạnh bên (hoặc tổng/hiệu góc), ta có thể từ đỉnh $A$ kẻ đường thẳng $AE \parallel BC$ ($E \in CD$). Khi đó:

• Tứ giác $ABCE$ có $AB \parallel CE$ và $AE \parallel BC$ nên $AB = CE$ và $AE = BC$.
• Toàn bộ quan hệ giữa hai cạnh bên và hiệu hai đáy $(CD - AB)$ được gom về tam giác $\triangle ADE$ với độ dài ba cạnh là $AD, AE = BC$ và $DE = CD - AB$.

Bài toán 4:

Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có hai đường chéo $AC$ và $BD$ bằng nhau ($AC = BD$). Hãy chứng minh rằng $ABCD$ là hình thang cân. (Chứng minh dấu hiệu nhận biết 2).

Lời giải:

Từ đỉnh $B$, kẻ đường thẳng song song với đường chéo $AC$, cắt đường thẳng $CD$ kéo dài tại điểm $E$.

1. Xét tứ giác $ABEC$:
   • $AB \parallel CE$ (vì $E$ nằm trên đường thẳng $CD$).
   • $BE \parallel AC$ (theo cách dựng). Do đó $ABEC$ là hình thang có hai cạnh bên song song, suy ra hai cạnh đối diện bằng nhau:$$BE = AC$$
2. Theo giả thiết đề bài: $AC = BD$. Từ đó suy ra:$$BE = BD$$Do đó tam giác $\triangle BDE$ là tam giác cân tại đỉnh $B$.$$\implies \widehat{BDE} = \widehat{BED}$$
3. Mặt khác, vì $AC \parallel BE$ nên hai góc đồng vị bằng nhau:$$\widehat{ACD} = \widehat{BED}$$Suy ra:$$\widehat{ACD} = \widehat{BDC}$$
4. Xét hai tam giác $\triangle ACD$ và $\triangle BDC$:
   • Cạnh $CD$ là cạnh chung.
   • $\widehat{ACD} = \widehat{BDC}$ (vừa chứng minh).
   • $AC = BD$ (giả thiết). Do đó $\triangle ACD = \triangle BDC\text{ (c.g.c)}$. Suy ra hai góc tương ứng bằng nhau:$$\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$$Hình thang $ABCD$ có hai góc kề đáy $CD$ bằng nhau ($\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$) nên $ABCD$ là hình thang cân (đpcm).

III. 5 Chuyên đề ứng dụng thực tế & Mở rộng chuyên sâu

1. Kỹ thuật kết cấu đập thủy điện & Bờ đê ngăn lũ

Mặt cắt ngang của các con đê sông Hồng hay đập thủy điện Hòa Bình luôn có dạng một hình thang cân với đáy lớn nằm ở dưới chân và đáy nhỏ ở trên đỉnh.

• Nguyên lý thủy tĩnh: Áp suất nước tăng tuyến tính theo độ sâu ($p = \rho g h$). Do đó ở chân đập, áp lực đẩy ngang của khối nước là lớn nhất.
• Tính đối xứng ổn định: Tiết diện hình thang cân giúp mở rộng bề rộng chân đập một cách cân bằng sang hai phía, hạ thấp trọng tâm của toàn bộ khối bê tông hàng triệu tấn, triệt tiêu nguy cơ lật đập và xói mòn sạt trượt đất.

2. Thiết kế cánh máy bay hình thang (Trapezoidal Wing)

Trong ngành kỹ thuật hàng không vũ trụ, các dòng máy bay chiến đấu phản lực siêu âm (như F-22 Raptor, Su-57) thường sử dụng cấu trúc cánh hình thang cân cụt. Dạng hình học này giúp tối ưu hóa luồng khí động học ở vận tốc vượt âm, giảm thiểu sóng xung kích lực cản không khí và đảm bảo độ bền xoắn của khung hợp kim titan.

3. Chiếc thang gia đình và Định luật an toàn lao động

Một chiếc thang chữ A hoặc thang leo tường luôn có hai thanh dọc tạo thành hai cạnh bên của hình thang cân, với các bậc thang là các đoạn thẳng song song cách đều. Đáy dưới rộng hơn đáy trên giúp tạo diện tích tiếp xúc mặt sàn lớn hơn, giữ cho trọng tâm người leo luôn rơi vào bên trong vùng đa giác tiếp xúc, ngăn ngừa hoàn toàn nguy cơ lật ngang sang hai bên.

4. Mặt cắt rãnh thoát nước bê tông cao tốc

Trên các tuyến đường cao tốc hiện đại, rãnh thoát nước ven đường luôn được đúc bằng các khối bê tông hình thang cân. Thiết kế này tạo góc nghiêng thoát nước tối ưu theo công thức Manning, ngăn bùn cát lắng đọng ở hai góc đáy và giúp việc nạo vét định kỳ bằng máy ủi gầu chuyên dụng diễn ra nhanh chóng mà không gây vỡ thành rãnh.

5. Chao đèn trang trí & Tán sắc ánh sáng

Chiếc chao đèn chụp hình nón cụt (mặt cắt phẳng là một hình thang cân) tận dụng định luật phản xạ ánh sáng: Ánh sáng từ bóng đèn ở đáy nhỏ phát ra, phản xạ vào hai thành bên nghiêng đều nhau của hình thang cân để tạo thành một quầng sáng tròn đồng đều trên mặt bàn đọc sách, loại bỏ hoàn toàn vùng tối cục bộ gây mỏi mắt.

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác tự chấm

V. Đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận & Barem điểm chi tiết

1. Ma trận đề kiểm tra 45 phút — Hình thang cân

2. Đề bài chi tiết

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 điểm — Mỗi câu 0,5 điểm)

Câu 1: Hình thang là tứ giác có:

• A. Hai cạnh kề bằng nhau.
• B. Hai cạnh đối song song.
• C. Hai đường chéo vuông góc.
• D. Bốn góc bằng nhau.

Câu 2: Tứ giác nào dưới đây là hình thang cân?

• A. Tứ giác có 2 đường chéo vuông góc.
• B. Hình thang có 2 cạnh bên song song.
• C. Hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau.
• D. Tứ giác có 2 cặp cạnh đối bằng nhau.

Câu 3: Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có $\widehat{C} = 55^\circ$. Số đo góc $\widehat{B}$ là:

• A. $55^\circ$
• B. $125^\circ$
• C. $145^\circ$
• D. $35^\circ$

Câu 4: Hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có đáy nhỏ $AB = 6\text{ cm}$, đáy lớn $CD = 16\text{ cm}$. Kẻ hai đường cao $AH$ và $BK$ xuống $CD$. Độ dài đoạn thẳng $KC$ là:

• A. $10\text{ cm}$
• B. $8\text{ cm}$
• C. $5\text{ cm}$
• D. $4\text{ cm}$

Câu 5: Cho hình thang $MNPQ$ có $MN \parallel PQ$, $MP = 18\text{ cm}$ và $NQ = 18\text{ cm}$. Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?

• A. $MNPQ$ là hình bình hành.
• B. $MNPQ$ là hình chữ nhật.
• C. $MNPQ$ là hình thang cân.
• D. $MNPQ$ là hình vuông.

Câu 6: Cho tam giác $ABC$ đều. Lấy $D$ trên cạnh $AB$ và $E$ trên cạnh $AC$ sao cho $AD = AE$. Tứ giác $BDEC$ là:

• A. Hình thang vuông
• B. Hình thang cân
• C. Hình thoi
• D. Tứ giác thường

PHẦN II: TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm): Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$, $AB < CD$). Biết $\widehat{D} = 75^\circ$. a) Tính các góc $\widehat{C}, \widehat{A}, \widehat{B}$ của hình thang. b) Phân giác của góc $\widehat{D}$ cắt cạnh đáy nhỏ $AB$ tại điểm $E$. Chứng minh tam giác $\triangle ADE$ là tam giác cân.

Bài 2 (2,0 điểm): Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có độ dài đáy nhỏ $AB = 12\text{ cm}$, đáy lớn $CD = 24\text{ cm}$ và cạnh bên $AD = 10\text{ cm}$. a) Kẻ đường cao $AH$ vuông góc với $CD$ ($H \in CD$). Tính độ dài $DH$ và chiều cao $AH$. b) Tính diện tích hình thang cân $ABCD$.

Bài 3 (2,0 điểm): Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Gọi $D, E$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AC$. a) Chứng minh tứ giác $BDEC$ là hình thang cân. b) Kẻ đường cao $AH$ của $\triangle ABC$ ($H \in BC$). Chứng minh $AH$ là trục đối xứng của hình thang cân $BDEC$.

Bài 4 (1,0 điểm — Vận dụng cao): Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại $O$. Biết đường cao của hình thang kẻ từ $A$ xuống $CD$ bằng $h = 10\text{ cm}$. Chứng minh rằng diện tích hình thang cân $ABCD$ bằng bình phương đường cao: $S = h^2$, và tính giá trị diện tích đó.

3. Đáp án & Barem chấm điểm chi tiết

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm)

PHẦN II: TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm):

• a) (1,0 điểm)
  • Vì $ABCD$ là hình thang cân ($AB \parallel CD$) nên hai góc kề đáy lớn bằng nhau: $\widehat{C} = \widehat{D} = 75^\circ$ (0,25 đ).
  • Vì $AB \parallel CD$ nên hai góc trong cùng phía $\widehat{A}$ và $\widehat{D}$ bù nhau:$$\widehat{A} = 180^\circ - \widehat{D} = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\quad (0,5\text{ đ})$$
  • Hai góc kề đáy nhỏ bằng nhau: $\widehat{B} = \widehat{A} = 105^\circ$ (0,25 đ).
• b) (1,0 điểm)
  • Vì $DE$ là phân giác của $\widehat{D}$ nên $$\widehat{D_1} = \widehat{D_2} = \frac{\widehat{D}}{2} = \frac{75^\circ}{2} = 37,5^\circ$$ (0,25 đ).
  • Vì $AB \parallel CD$ nên hai góc so le trong bằng nhau: $\widehat{AED} = \widehat{D_2} = 37,5^\circ$ (0,5 đ).
  • Trong $\triangle ADE$, ta có $\widehat{D_1} = \widehat{AED} = 37,5^\circ$, do đó $\triangle ADE$ là tam giác cân tại $A$ (0,25 đ).

Bài 2 (2,0 điểm):

• a) (1,25 điểm)
  • Kẻ thêm đường cao $BK \perp CD$ ($K \in CD$). Khi đó $ABKH$ là hình chữ nhật nên $HK = AB = 12\text{ cm}$ (0,25 đ).
  • $\triangle AHD = \triangle BKC$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\implies DH = KC$ (0,25 đ).
  • $DH = \frac{CD - AB}{2} = \frac{24 - 12}{2} = 6\text{ cm}$ (0,25 đ).
  • Trong tam giác vuông $\triangle AHD$ vuông tại $H$, theo định lí Pythagore:$$AH = \sqrt{AD^2 - DH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\text{ cm}\quad (0,5\text{ đ})$$
• b) (0,75 điểm)
  • Diện tích hình thang cân $ABCD$:$$S = \frac{(AB + CD) \cdot AH}{2} = \frac{(12 + 24) \cdot 8}{2} = \frac{36 \cdot 8}{2} = 144\text{ cm}^2\quad (0,75\text{ đ})$$

Bài 3 (2,0 điểm):

• a) (1,25 điểm)
  • Vì $D, E$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$ mà $\triangle ABC$ cân tại $A$ ($AB = AC$) nên $AD = AE = \frac{AB}{2}$ (0,25 đ).
  • $\triangle ADE$ cân tại $A \implies \widehat{ADE} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2}$ (0,25 đ).
  • $\triangle ABC$ cân tại $A \implies \widehat{B} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2} \implies \widehat{ADE} = \widehat{B}$ (0,25 đ).
  • Hai góc ở vị trí đồng vị nên $DE \parallel BC \implies BDEC$ là hình thang (0,25 đ).
  • Hình thang $BDEC$ có $\widehat{B} = \widehat{C}$ nên $BDEC$ là hình thang cân (0,25 đ).
• b) (0,75 điểm)
  • Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$, đường cao $AH$ đồng thời là đường trung trực của cạnh đáy $BC$ (0,25 đ).
  • Vì $DE \parallel BC$ và $AH \perp BC \implies AH \perp DE$. Đường cao trong tam giác cân $\triangle ADE$ cũng là đường trung trực của $DE$ (0,25 đ).
  • $AH$ vừa là trung trực của đáy lớn $BC$, vừa là trung trực của đáy nhỏ $DE$, nên $AH$ chính là trục đối xứng của hình thang cân $BDEC$ (0,25 đ).

Bài 4 (1,0 điểm):

• Qua đỉnh $B$, kẻ $BE \parallel AC$ ($E \in CD$). Tứ giác $ABEC$ có $AB \parallel CE$ và $AC \parallel BE$ nên $BE = AC$ và $CE = AB$ (0,25 đ).
• Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $AC = BD$. Suy ra $BE = BD$, do đó $\triangle BDE$ cân tại $B$ (0,25 đ).
• Mặt khác, $AC \perp BD$ mà $BE \parallel AC \implies BE \perp BD$. Tam giác $\triangle BDE$ vuông cân tại $B$. Đường cao hạ từ đỉnh $B$ xuống cạnh huyền $DE$ chính bằng đường cao $h$ của hình thang $ABCD$, và trong tam giác vuông cân thì đường cao ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền:$$h = \frac{DE}{2} \implies DE = 2h$$Mà $DE = CD + CE = CD + AB \implies AB + CD = 2h$ (0,25 đ).
• Diện tích hình thang cân:$$S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{2h \cdot h}{2} = h^2$$Với $h = 10\text{ cm}$, diện tích hình thang là:$$S = 10^2 = 100\text{ cm}^2\quad (0,25\text{ đ})$$