Bài 14. Hình thoi và Hình vuông

Nếu ví các tứ giác lồi như một vương quốc hình học, thì Hình thoi và Hình vuông chính là những tuyệt tác hoàn mỹ nhất.

Từ những viên kim cương lấp lánh giác cắt hình thoi, hoa văn thổ cẩm Tây Bắc rực rỡ, đến bàn cờ vua $64$ ô vuông đen trắng hay ma trận điểm ảnh mã QR — hai hình học này hội tụ vẻ đẹp tuyệt đối của tính cân xứng, trật tự và tỷ lệ vàng.

Trong khi hình chữ nhật tập trung vào sự vuông vức của các góc, thì hình thoi là biểu tượng của sự cân bằng về độ dài cạnh: tứ giác có 4 cạnh bằng nhau. Và khi hai vẻ đẹp ấy hòa làm một — một tứ giác vừa có 4 góc vuông vừa có 4 cạnh bằng nhau — ta có Hình vuông: đỉnh cao của hình học phẳng với $4$ trục đối xứng hoàn hảo!

Bài học khép lại các hình tứ giác đặc biệt này sẽ trang bị cho các em:

1. Định nghĩa và tính chất đặc sắc về hai đường chéo vuông góc và phân giác của hình thoi.
2. Công thức tính diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$.
3. Khám phá Hình vuông: Giao điểm tinh hoa giữa hình chữ nhật và hình thoi.
4. Nắm vững trọn bộ các dấu hiệu nhận biết và sơ đồ cây gia phả chuyển hóa giữa các tứ giác.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Khái niệm: Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình gì?
2. Đường chéo: Hai đường chéo của hình thoi có tính chất gì đặc biệt mà hình bình hành không có?
3. Diện tích: Một hình thoi có hai đường chéo dài $10\text{ cm}$ và $16\text{ cm}$. Diện tích của hình thoi đó bằng bao nhiêu?
4. Nhận diện: Một hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì trở thành hình gì?
5. Góc đường chéo: Trong hình vuông $ABCD$, đường chéo $AC$ tạo với cạnh $AB$ một góc bằng bao nhiêu độ?

Mẹo hay

Gợi ý phản xạ:

1. Đó là hình thoi.
2. Hai đường chéo vuông góc với nhau và là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
3. Diện tích $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16 = 80\text{ cm}^2$.
4. Trở thành hình vuông (Dấu hiệu nhận biết từ hình chữ nhật).
5. Bằng $\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$ vì đường chéo là tia phân giác của góc vuông.

I. Lý thuyết trọng tâm & Bản chất hình học

PHẦN A: HÌNH THOI

1. Định nghĩa hình thoi

Quan trọng

ĐỊNH NGHĨA: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

$$ABCD\text{ là hình thoi} \iff AB = BC = CD = DA$$

Vì $AB = CD$ và $BC = DA$ nên hình thoi có các cạnh đối bằng nhau, do đó hình thoi là một hình bình hành.

2. Các tính chất đặc sắc của hình thoi

Vì là hình bình hành nên hình thoi có mọi tính chất của hình bình hành (cạnh đối song song, góc đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm). Ngoài ra, hình thoi có hai tính chất đặc thù độc nhất vô nhị:

Ghi nhớ

ĐỊNH LÍ ĐƯỜNG CHÉO HÌNH THOI: Trong một hình thoi:

1. Hai đường chéo vuông góc với nhau: $AC \perp BD$.
2. Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

Chứng minh: Xét $\triangle ABC$: Vì $AB = BC$ nên $\triangle ABC$ cân tại $B$. Đoạn thẳng $BO$ là đường trung tuyến (vì $O$ là trung điểm của $AC$). Trong tam giác cân, đường trung tuyến đồng thời là đường cao và đường phân giác:

• $BO \perp AC \implies BD \perp AC$.
• $BO$ là tia phân giác của góc $\widehat{B}$. Chứng minh tương tự cho các tam giác cân khác, ta được kết luận định lý.

3. Diện tích hình thoi

Vì hai đường chéo vuông góc với nhau, diện tích hình thoi bằng tổng diện tích hai tam giác $\triangle ABC$ và $\triangle ADC$:

Quan trọng

CÔNG THỨC DIỆN TÍCH HÌNH THOI:

$$S = \frac{1}{2}d_1 \cdot d_2$$

(Diện tích hình thoi bằng nửa tích độ dài hai đường chéo)

4. 4 Dấu hiệu nhận biết hình thoi

1. Tứ giác có $4$ cạnh bằng nhau là hình thoi.
2. Hình bình hành có $2$ cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
3. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
4. Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

PHẦN B: HÌNH VUÔNG

1. Định nghĩa hình vuông

Quan trọng

ĐỊNH NGHĨA: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

$$ABCD\text{ là hình vuông} \iff \begin{cases} \widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90^\circ \\ AB = BC = CD = DA \end{cases}$$

Từ định nghĩa này, ta thấy ngay vị thế đặc biệt của hình vuông:

• Hình vuông là hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau.
• Hình vuông là hình thoi có 4 góc vuông.

2. Các tính chất của hình vuông

Hình vuông sở hữu toàn bộ tính chất của hình chữ nhật và hình thoi:

1. Bốn cạnh bằng nhau, các cặp cạnh đối song song.
2. Bốn góc bằng nhau và bằng $90^\circ$.
3. Hai đường chéo (Hoàn hảo tuyệt đối):
   • Bằng nhau: $AC = BD$.
   • Vuông góc với nhau: $AC \perp BD$.
   • Cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường: $OA = OB = OC = OD$.
   • Là các đường phân giác của các góc (chia mỗi góc vuông thành hai góc $45^\circ$).
4. Đối xứng:
   • Tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo $O$.
   • Có $4$ trục đối xứng: $2$ đường chéo và $2$ đường trung trực của các cạnh.

3. 5 Dấu hiệu nhận biết hình vuông

Mẹo hay

5 DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH VUÔNG:

Nhóm 1: Đi từ Hình chữ nhật

1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
2. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
3. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

Nhóm 2: Đi từ Hình thoi 4. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông. 5. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

II. 4 Dạng toán trọng tâm & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Tính góc, độ dài cạnh, đường chéo và diện tích hình thoi, hình vuông

Phương pháp giải:

1. Trong hình thoi: Cạnh $a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}$.
2. Trong hình vuông cạnh $a$: Đường chéo $d = a\sqrt{2}$. Diện tích $S = a^2 = \frac{1}{2}d^2$.

Bài toán 1:

a) Một hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC = 16\text{ cm}$ và $BD = 12\text{ cm}$. Tính độ dài cạnh, chu vi và diện tích của hình thoi $ABCD$. b) Một hình vuông có độ dài đường chéo bằng $8\text{ cm}$. Tính độ dài cạnh và diện tích của hình vuông đó.

Lời giải:

a) Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC \perp BD$ tại trung điểm $O$ của mỗi đường:

Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle OAB$ vuông tại $O$:

• Chu vi hình thoi:$$P = 4 \cdot AB = 4 \cdot 10 = 40\text{ cm}$$
• Diện tích hình thoi:$$S = \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96\text{ cm}^2$$

b) Gọi cạnh của hình vuông là $a$ ($a > 0$). Theo định lí Pythagore, trong tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông bằng $a$:

Theo đề bài $d = 8\text{ cm}$:

• Diện tích của hình vuông:$$S = a^2 = 32\text{ cm}^2$$(Hoặc tính nhanh qua đường chéo: $S = \frac{1}{2}d^2 = \frac{1}{2} \cdot 8^2 = 32\text{ cm}^2$).

Dạng 2: Chứng minh một tứ giác là hình thoi

Phương pháp giải: Ưu tiên chứng minh tứ giác là hình bình hành trước, sau đó chỉ ra:

• Có hai cạnh kề bằng nhau; HOẶC
• Có hai đường chéo vuông góc; HOẶC
• Có một đường chéo là phân giác của một góc.

Bài toán 2:

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh đáy $BC$. Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $AB$ tại $D$, kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ tại $E$. a) Chứng minh tứ giác $ADME$ là hình bình hành. b) Chứng minh tứ giác $ADME$ là hình thoi.

Lời giải:

a) Xét tứ giác $ADME$:

• $MD \parallel AE$ (vì $MD \parallel AC$ và $E \in AC$).
• $ME \parallel AD$ (vì $ME \parallel AB$ và $D \in AB$). Tứ giác $ADME$ có các cạnh đối song song nên là hình bình hành (đpcm).

b) Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên đường trung tuyến $AM$ đồng thời là đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$. Đoạn thẳng $AM$ nối hai đỉnh đối diện của hình bình hành $ADME$ và $AM$ là tia phân giác của góc $\widehat{DAE}$. Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi. Vậy $ADME$ là hình thoi (đpcm).

Dạng 3: Chứng minh một tứ giác là hình vuông

Phương pháp giải:

• Cách 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật, sau đó chứng minh có 2 cạnh kề bằng nhau hoặc hai đường chéo vuông góc.
• Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình thoi, sau đó chứng minh có 1 góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau.

Bài toán 3:

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Lấy điểm $M$ tùy ý trên cạnh huyền $BC$. Kẻ $MD \perp AB$ ($D \in AB$) và $ME \perp AC$ ($E \in AC$). a) Chứng minh tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật. b) Xác định vị trí của điểm $M$ trên cạnh $BC$ để tứ giác $ADME$ trở thành hình vuông.

Lời giải:

a) Xét tứ giác $ADME$:

• $\widehat{DAE} = 90^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$).
• $\widehat{ADM} = 90^\circ$ (do $MD \perp AB$).
• $\widehat{AEM} = 90^\circ$ (do $ME \perp AC$). Tứ giác $ADME$ có $3$ góc vuông nên là hình chữ nhật (đpcm).

b) Để hình chữ nhật $ADME$ trở thành hình vuông, cần thêm điều kiện hai cạnh kề bằng nhau:

Vì $ADME$ là hình chữ nhật nên $AE = DM \implies AD = DM$. Mặt khác, trong $\triangle DBM$ vuông tại $D$, ta có $\widehat{B} = 45^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$). Do đó $\triangle DBM$ vuông cân tại $D \implies DM = DB$. Từ đó: $AD = DM \iff AD = DB$. Tức là $D$ là trung điểm của $AB$. Vì $MD \parallel AC$ nên khi $D$ là trung điểm của $AB$ thì $M$ chính là trung điểm của cạnh huyền $BC$. Khi đó $AM$ là đường phân giác của góc vuông $\widehat{A}$, hình chữ nhật $ADME$ có đường chéo $AM$ là tia phân giác nên trở thành hình vuông. Kết luận: Điểm $M$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$.

Dạng 4: Tứ giác tạo bởi trung điểm 4 cạnh (Varignon mở rộng)

Phương pháp giải: Cho tứ giác $ABCD$ có $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, CD, DA$. Ta đã biết $MNPQ$ luôn là hình bình hành.

• Nếu hai đường chéo $AC \perp BD \implies MNPQ$ là hình chữ nhật.
• Nếu hai đường chéo $AC = BD \implies MNPQ$ là hình thoi.
• Nếu hai đường chéo $AC \perp BD$ VÀ $AC = BD \implies MNPQ$ là hình vuông.

Bài toán 4:

Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có hai đường chéo vuông góc với nhau tại $O$. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CD, DA$. Chứng minh rằng tứ giác $MNPQ$ là một hình vuông.

Lời giải:

1. Chứng minh $MNPQ$ là hình thoi:

   • $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC \implies MN \parallel AC$ và $MN = \frac{AC}{2}$.
   • $PQ$ là đường trung bình của $\triangle ADC \implies PQ \parallel AC$ và $PQ = \frac{AC}{2}$.
   • $NP$ là đường trung bình của $\triangle BCD \implies NP = \frac{BD}{2}$.
   • $QM$ là đường trung bình của $\triangle ABD \implies QM = \frac{BD}{2}$. Vì $ABCD$ là hình thang cân nên hai đường chéo bằng nhau: $AC = BD$. Suy ra:$$MN = NP = PQ = QM = \frac{AC}{2}$$Tứ giác $MNPQ$ có $4$ cạnh bằng nhau nên là hình thoi (1).

2. Chứng minh $MNPQ$ có một góc vuông:

   • Ta có $MN \parallel AC$ và $NP \parallel BD$.
   • Theo giả thiết: $AC \perp BD$. Do đó: $MN \perp NP \implies \widehat{MNP} = 90^\circ$ (2).

Từ (1) và (2): Hình thoi $MNPQ$ có một góc vuông $\widehat{MNP} = 90^\circ$ nên $MNPQ$ là hình vuông (đpcm).

III. 5 Chuyên đề ứng dụng thực tế & Mở rộng chuyên sâu

1. Giác cắt kim cương & Nghệ thuật tạo hình đá quý

Viên kim cương biểu tượng trên các lá bài tây hay logo các thương hiệu xe hơi hạng sang (Renault, Mitsubishi) đều là các hình thoi hoặc cụm hình thoi ghép lại.

• Các thợ kim hoàn cắt mặt đáy viên kim cương theo các mặt phẳng hình thoi nghiêng góc tới hạn $24,4^\circ$. Ánh sáng đi vào đỉnh kim cương sẽ bị phản xạ toàn phần liên tiếp giữa các mặt bên hình thoi trước khi lóe ra ngoài, tạo nên độ lấp lánh rực rỡ triệu màu.

2. Biển báo giao thông hình thoi quốc tế

Theo công ước Vienna về biển báo đường bộ, biển báo hình thoi màu vàng viền đen được dùng để cảnh báo quyền ưu tiên qua nút giao hoặc các mối nguy hiểm tiềm tàng. Hình thoi có trọng tâm thị giác tập trung vào điểm nhọn đỉnh trên và đỉnh dưới, giúp mắt tài xế nhận diện từ khoảng cách xa hơn $30\%$ so với biển tròn cùng diện tích trong điều kiện trời mưa sương mù.

3. Cấu trúc mạng tinh thể Carbon & Vật liệu tương lai Graphene

Trong tự nhiên, mạng tinh thể than chì và tấm vật liệu siêu mỏng Graphene cấu tạo từ các vòng lục giác đều. Mỗi lục giác đều lại được tạo thành từ 3 hình thoi ghép quanh một đỉnh. Khả năng chịu lực kéo gấp $200$ lần thép của Graphene xuất phát từ liên kết cộng hóa trị bền vững theo các phương đường chéo hình thoi của phân tử carbon.

4. Ma trận điểm ảnh mã QR & Bàn cờ vua

Mã phản hồi nhanh (QR Code) gồm hàng nghìn ô vuông nhỏ màu đen trắng. Mỗi ô vuông đại diện cho 1 bit dữ liệu nhị phân ($0$ hoặc $1$).

• Ba góc của mã QR là $3$ cụm hình vuông lớn lồng nhau dùng để định vị hướng quét của camera điện thoại. Dù người dùng cầm điện thoại nghiêng góc nào, thuật toán ma trận hình vuông cũng tự động xoay ảnh về góc chuẩn $90^\circ$ để đọc dữ liệu chỉ trong $0,05$ giây!

5. Gạch bông hoa văn Tessellation & Kiến trúc Hoàng gia Alhambra

Trong các cung điện Moorish cổ đại và các căn biệt thự Pháp cổ điển tại Hà Nội, sàn nhà luôn được lát bằng các viên gạch bông hình vuông và hình thoi xen kẽ. Đặc tính góc của hình vuông ($90^\circ \times 4 = 360^\circ$) và hình thoi cho phép ghép khít vô hạn trên mặt phẳng phẳng mà không tạo ra bất kì một khe hở nào, tạo nên những bức tranh hình học sống động trường tồn cùng thời gian.

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác tự chấm

V. Đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận & Barem điểm chi tiết

1. Ma trận đề kiểm tra 45 phút — Hình thoi và Hình vuông

2. Đề bài chi tiết

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 điểm — Mỗi câu 0,5 điểm)

Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI?

• A. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau.
• B. Hình vuông có hai đường chéo vừa bằng nhau vừa vuông góc với nhau.
• C. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau.
• D. Hình vuông có 4 trục đối xứng.

Câu 2: Tứ giác nào dưới đây là hình thoi?

• A. Tứ giác có 2 đường chéo vuông góc.
• B. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.
• C. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau.
• D. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.

Câu 3: Cho hình thoi $ABCD$ có cạnh $AB = 5\text{ cm}$ và đường chéo $BD = 6\text{ cm}$. Độ dài đường chéo $AC$ là:

• A. $8\text{ cm}$
• B. $4\text{ cm}$
• C. $10\text{ cm}$
• D. $7\text{ cm}$

Câu 4: Hình thoi có thêm điều kiện nào sau đây thì trở thành hình vuông?

• A. Hai cạnh kề bằng nhau.
• B. Hai đường chéo vuông góc.
• C. Hai đường chéo bằng nhau.
• D. Bốn cạnh bằng nhau.

Câu 5: Cho hình vuông $ABCD$ có chu vi bằng $24\text{ cm}$. Diện tích của hình vuông đó là:

• A. $48\text{ cm}^2$
• B. $36\text{ cm}^2$
• C. $24\text{ cm}^2$
• D. $16\text{ cm}^2$

Câu 6: Một hình chữ nhật có đường chéo là tia phân giác của một góc thì hình chữ nhật đó là:

• A. Hình thang cân
• B. Hình bình hành
• C. Hình vuông
• D. Hình thoi thường

PHẦN II: TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm): Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{A} = 60^\circ$ và cạnh $AB = 8\text{ cm}$. a) Tính số đo các góc còn lại của hình thoi $ABCD$. b) Chứng minh tam giác $\triangle ABD$ là tam giác đều và tính độ dài hai đường chéo $BD$ và $AC$.

Bài 2 (2,0 điểm): Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$), đường trung tuyến $AM$. Gọi $D$ là trung điểm của $AB$, $E$ là điểm đối xứng với $M$ qua $D$. a) Chứng minh tứ giác $AEBM$ là hình thoi. b) Tam giác $ABC$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác $AEBM$ trở thành hình vuông?

Bài 3 (2,0 điểm): Cho hình vuông $ABCD$. Trên các cạnh $AB, BC, CD, DA$ lần lượt lấy các điểm $M, N, P, Q$ sao cho $AM = BN = CP = DQ$. a) Chứng minh tứ giác $MNPQ$ là hình thoi. b) Chứng minh tứ giác $MNPQ$ là hình vuông.

Bài 4 (1,0 điểm — Vận dụng cao): Cho hình vuông $ABCD$. Lấy điểm $E$ trên cạnh $CD$ và điểm $F$ trên tia đối của tia $BC$ sao cho $BF = DE$. a) Chứng minh tam giác $\triangle AEF$ là tam giác vuông cân. b) Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $EF$. Chứng minh rằng khi $E$ di động trên cạnh $CD$, điểm $I$ luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định.

3. Đáp án & Barem chấm điểm chi tiết

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm)

PHẦN II: TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm):

• a) (1,0 điểm)
  • Vì hình thoi là hình bình hành nên hai góc kề một cạnh bù nhau:$$\widehat{B} = 180^\circ - \widehat{A} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\quad (0,5\text{ đ})$$
  • Các góc đối bằng nhau: $\widehat{C} = \widehat{A} = 60^\circ$ và $\widehat{D} = \widehat{B} = 120^\circ$ (0,5 đ).
• b) (1,0 điểm)
  • Vì $AB = AD$ (tính chất hình thoi) nên $\triangle ABD$ cân tại $A$. Tam giác cân $\triangle ABD$ có $\widehat{A} = 60^\circ$ nên $\triangle ABD$ là tam giác đều (0,25 đ).$$\implies BD = AB = 8\text{ cm}\quad (0,25\text{ đ})$$
  • Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Ta có $OD = \frac{BD}{2} = 4\text{ cm}$. Trong tam giác vuông $\triangle AOD$ vuông tại $O$:$$OA = \sqrt{AD^2 - OD^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\text{ cm}\quad (0,25\text{ đ})$$$$\implies AC = 2 \cdot OA = 8\sqrt{3}\text{ cm}\quad (0,25\text{ đ})$$

Bài 2 (2,0 điểm):

• a) (1,25 điểm)
  • Tứ giác $AEBM$ có hai đường chéo $AB$ và $EM$ cắt nhau tại trung điểm $D$ của mỗi đường nên $AEBM$ là hình bình hành (0,5 đ).
  • Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$, trung tuyến $AM$ ứng với cạnh huyền $BC$ nên $AM = MB = \frac{BC}{2}$ (0,5 đ).
  • Hình bình hành $AEBM$ có hai cạnh kề bằng nhau ($AM = MB$) nên là hình thoi (0,25 đ).
• b) (0,75 điểm)
  • Hình thoi $AEBM$ là hình vuông $\iff \widehat{AMB} = 90^\circ$ (0,25 đ).
  • Đoạn thẳng $AM$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao của $\triangle ABC \iff \triangle ABC$ cân tại $A$ (0,25 đ).
  • Vậy điều kiện để $AEBM$ là hình vuông là: $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ (0,25 đ).

Bài 3 (2,0 điểm):

• a) (1,0 điểm)
  • Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = BC = CD = DA$ và các góc đều bằng $90^\circ$. Mà $AM = BN = CP = DQ \implies MB = NC = PD = QA$ (0,25 đ).
  • Xét 4 tam giác vuông: $\triangle QAM, \triangle MBN, \triangle NCP, \triangle PDQ$: Chúng có các cặp cạnh góc vuông bằng nhau đôi một, do đó 4 tam giác này bằng nhau (c.g.c) (0,5 đ).$$\implies QM = MN = NP = PQ$$Tứ giác $MNPQ$ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi (0,25 đ).
• b) (1,0 điểm)
  • Từ $\triangle QAM = \triangle MBN \implies \widehat{AQM} = \widehat{BMN}$. Mà trong $\triangle QAM$ vuông tại $A$: $\widehat{AQM} + \widehat{AMQ} = 90^\circ$ (0,25 đ).$$\implies \widehat{BMN} + \widehat{AMQ} = 90^\circ\quad (0,25\text{ đ})$$
  • Xét góc $\widehat{QMN}$:$$\widehat{QMN} = 180^\circ - (\widehat{AMQ} + \widehat{BMN}) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\quad (0,25\text{ đ})$$
  • Hình thoi $MNPQ$ có một góc vuông $\widehat{QMN} = 90^\circ$ nên là hình vuông (đpcm) (0,25 đ).

Bài 4 (1,0 điểm):

• a) (0,5 điểm)
  • Xét $\triangle ABF$ và $\triangle ADE$:
    • $AB = AD$ (hai cạnh của hình vuông).
    • $\widehat{ABF} = \widehat{ADE} = 90^\circ$.
    • $BF = DE$ (giả thiết). Do đó $\triangle ABF = \triangle ADE\text{ (c.g.c)}$ (0,25 đ). Suy ra $AF = AE$ và $\widehat{BAF} = \widehat{DAE}$.
  • Ta có:$$\widehat{EAF} = \widehat{BAE} + \widehat{BAF} = \widehat{BAE} + \widehat{DAE} = \widehat{BAD} = 90^\circ$$Tam giác $\triangle AEF$ có $AF = AE$ và $\widehat{EAF} = 90^\circ$ nên là tam giác vuông cân tại $A$ (0,25 đ).
• b) (0,5 điểm)
  • Vì $\triangle AEF$ vuông cân tại $A$, $I$ là trung điểm của cạnh huyền $EF$ nên $AI \perp EF$ và $AI = \frac{EF}{2} = IF$. Do đó $\triangle AIF$ vuông cân tại $I \implies \widehat{AIF} = 90^\circ$ và $\widehat{AFI} = 45^\circ$ (0,25 đ).
  • Tứ giác $ABIF$ có $\widehat{ABF} = 90^\circ, \widehat{AIF} = 90^\circ$ nên cùng thuộc đường tròn đường kính $AF$. Suy ra $\widehat{ABI} = \widehat{AFI} = 45^\circ$. Vì tia $AB$ cố định, góc $\widehat{ABI} = 45^\circ$ nên tia $BI$ là tia phân giác của góc $\widehat{B}$. Vậy khi $E$ di động trên cạnh $CD$, điểm $I$ luôn thuộc đường thẳng cố định chứa đường chéo $BD$ của hình vuông $ABCD$ (0,25 đ).