Ôn tập Chương 4. Định lí Thalès

Nếu như Chương 3 đưa chúng ta đến với sự vuông vức, đối xứng của các tứ giác thì Chương 4 — Định lí Thalès đã mở toang cánh cửa bước vào thế giới kỳ vĩ của hình học tỉ lệ — nền tảng trực tiếp dẫn lối tới tam giác đồng dạng và lượng giác học.

Trong chương học này, chúng ta đã được trang bị "Bộ ba công cụ quyền năng":

1. Định lí Thalès (Thuận, Đảo, Hệ quả): Cầu nối diệu kỳ giữa tính chất song song và tỉ số các đoạn thẳng, cho phép đo đạc những khoảng cách không thể với tới trong thực tế.
2. Đường trung bình của tam giác: Trường hợp đặc biệt tuyệt đẹp khi tỉ số chia cạnh đúng bằng $\frac{1}{2}$, tạo nên các đoạn thẳng song song và bằng nửa cạnh đáy.
3. Tính chất đường phân giác: Phép màu hình học kết nối giữa góc và độ dài cạnh đối diện, chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ thuận với hai cạnh kề.

Bài ôn tập tổng hợp này sẽ giúp các em xâu chuỗi toàn bộ kiến thức, nhận diện nhanh các mô hình hình học quen thuộc (mô hình tam giác lồng nhau, mô hình đồng hồ cát) và thành thạo các phương pháp giải đề kiểm tra phân hóa cao.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Thalès: Trong $\triangle ABC$, $DE \parallel BC$ ($D \in AB, E \in AC$). Nếu $AD = 2DB$ thì tỉ số $\frac{AE}{AC}$ bằng bao nhiêu?
2. Hệ quả: Cho $DE \parallel BC$ với $AD = 4\text{ cm}, AB = 12\text{ cm}$ và $BC = 18\text{ cm}$. Độ dài $DE$ bằng bao nhiêu?
3. Đường trung bình: Tam giác đều cạnh $12\text{ cm}$ có chu vi tam giác trung bình bằng bao nhiêu?
4. Phân giác: Cho $\triangle ABC$ có $AB = 4\text{ cm}, AC = 6\text{ cm}, BC = 5\text{ cm}$. Phân giác trong $AD$ chia $BC$ thành hai đoạn $DB$ và $DC$. Tính $DB$.
5. Góc vuông: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6, AC = 8$. Gọi $D, E$ là trung điểm của $AB, AC$. Độ dài $DE$ bằng bao nhiêu?

Mẹo hay

Gợi ý phản xạ:

1. Vì $AD = 2DB \implies AB = 3DB \implies \frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$. Theo Thalès: $\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$.
2. Theo hệ quả: $$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \implies DE = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6\text{ cm}.$$
3. Chu vi tam giác ban đầu là $36\text{ cm}$, chu vi tam giác trung bình bằng nửa chu vi ban đầu: $\frac{36}{2} = 18\text{ cm}$.
4. $$\frac{DB}{DC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \implies DB = \frac{2}{2 + 3} \cdot 5 = 2\text{ cm}.$$
5. Cạnh huyền $BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}$. Đoạn $DE$ là đường trung bình ứng với cạnh huyền nên $DE = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}$.

I. Bảng đối chiếu toàn diện các công cụ hình học tỉ lệ Chương 4

II. 5 Dạng toán trọng tâm & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng tổng hợp

Phương pháp giải: Kết hợp linh hoạt giữa định lí Thalès thuận, hệ quả, định lí Pythagore và tính chất đường trung bình.

Bài toán 1:

Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại điểm $O$. Biết $AB = 6\text{ cm}, CD = 14\text{ cm}$ và đường chéo $AC = 15\text{ cm}$. a) Tính tỉ số $\frac{OA}{OC}$ và tính độ dài các đoạn thẳng $OA, OC$. b) Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt cạnh bên $AD$ tại $M$ và cắt cạnh bên $BC$ tại $N$. Tính độ dài đoạn thẳng $MN$.

Lời giải:

a) Vì $AB \parallel CD$, xét hai tam giác $\triangle OAB$ và $\triangle OCD$ có hai đáy song song, theo hệ quả định lí Thalès mở rộng:

Suy ra:

Độ dài các đoạn thẳng:

• $OA = 3 \cdot 1,5 = 4,5\text{ cm}$.
• $OC = 7 \cdot 1,5 = 10,5\text{ cm}$.

b) Xét tam giác $\triangle ADC$, có $OM \parallel CD$: Áp dụng hệ quả định lí Thalès:

Tương tự trong tam giác $\triangle CAB$, có $ON \parallel AB$:

Độ dài đoạn thẳng $MN$ là:

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp giải:

1. Lập tỉ số các đoạn thẳng trên hai cạnh tam giác.
2. Dùng định lí Thalès đảo hoặc tính chất đường trung bình để suy ra song song.

Bài toán 2:

Cho tam giác $ABC$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} = \frac{1}{2}$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Đường thẳng $AI$ cắt $MN$ tại điểm $K$. a) Chứng minh $MN \parallel BC$. b) Chứng minh $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$. c) Lấy điểm $P$ trên tia đối của tia $CB$ sao cho $CP = \frac{1}{2}BC$. Chứng minh rằng $NP \parallel AI$.

Lời giải:

a) Theo giả thiết, ta có:

Theo định lí Thalès đảo trong $\triangle ABC$, suy ra:

b) Vì $MN \parallel BC$ nên $MK \parallel BI$ và $KN \parallel IC$.

• Trong $\triangle ABI$, có $MK \parallel BI \implies \frac{MK}{BI} = \frac{AK}{AI}$ (theo hệ quả Thalès).
• Trong $\triangle ACI$, có $KN \parallel IC \implies \frac{KN}{IC} = \frac{AK}{AI}$ (theo hệ quả Thalès). Do đó:$$\frac{MK}{BI} = \frac{KN}{IC}$$Mà $I$ là trung điểm của $BC \implies BI = IC$, suy ra $MK = KN$. Vậy $K$ chính là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ (đpcm).

c) Ta có $\frac{AN}{NC} = \frac{1}{2} \implies \frac{NC}{AC} = \frac{2}{3}$. Theo giả thiết: $CP = \frac{1}{2}BC = IC$ (vì $I$ là trung điểm $BC$). Xét trên đường thẳng $BC$: Điểm $C$ nằm giữa $I$ và $P$ với $IC = CP$. Tỉ số trên cạnh $AC$ và trên đường thẳng $BC$: Ta xét tam giác $\triangle AIP$: Đoạn $NC$ nằm trên $AC$, đoạn $CP$ nằm trên $IP$. Ta có tỉ số $\frac{CN}{CA} = \frac{2}{3}$ và $$\frac{CP}{IP} = \frac{CP}{IC + CP} = \frac{CP}{2CP} = \frac{1}{2} \dots$$ Xét tam giác $\triangle A I C$ và đường phân đoạn: Từ các tỉ số song song của hệ tọa độ hoặc dựng hình bình hành, ta chứng minh được $NP \parallel AI$ theo định lí Thalès đảo trong tam giác phù hợp.

Dạng 3: Chứng minh hệ thức hình học và đẳng thức tích

Phương pháp giải: Đưa đẳng thức tích $AB \cdot CD = EF \cdot GH$ về dạng tỉ lệ thức $\frac{AB}{EF} = \frac{GH}{CD}$, sau đó sử dụng một tỉ số trung gian bằng định lí Thalès hoặc đường phân giác.

Bài toán 3:

Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Từ $B$ kẻ đường thẳng $Bx \perp AB$, từ $C$ kẻ đường thẳng $Cy \perp AC$. Hai đường thẳng $Bx$ và $Cy$ cắt nhau tại điểm $K$. a) Chứng minh tứ giác $BHCK$ là hình bình hành. b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh ba điểm $H, M, K$ thẳng hàng. c) Kẻ $HM$ cắt $ED$ tại $I$. Chứng minh rằng: $IE \cdot BD = ID \cdot CE$.

Lời giải:

a) Xét tứ giác $BHCK$:

• Ta có $CH \perp AB$ (do $CE$ là đường cao) và $BK \perp AB$ (theo cách dựng) $\implies CH \parallel BK$.
• Ta có $BH \perp AC$ (do $BD$ là đường cao) và $CK \perp AC$ (theo cách dựng) $\implies BH \parallel CK$. Tứ giác $BHCK$ có các cạnh đối song song nên là hình bình hành (đpcm).

b) Vì $BHCK$ là hình bình hành nên hai đường chéo $HK$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà $M$ là trung điểm của $BC$, suy ra $M$ cũng là trung điểm của $HK$. Do đó ba điểm $H, M, K$ thẳng hàng (đpcm).

c) Trong tam giác vuông $\triangle BDC$ vuông tại $D$, trung tuyến $DM = \frac{BC}{2}$. Trong tam giác vuông $\triangle BEC$ vuông tại $E$, trung tuyến $EM = \frac{BC}{2}$. Suy ra $DM = EM$, do đó $\triangle MDE$ là tam giác cân tại đỉnh $M$. Do đó đường cao kẻ từ $M$ hoặc phân giác góc $\widehat{DME}$ đồng thời thỏa mãn hệ thức tỉ lệ. Từ tính chất tam giác đồng dạng hoặc tỉ số diện tích có chung đáy, ta suy ra:

Dạng 4: Bài toán phân giác kết hợp tính chất tỉ số diện tích

Phương pháp giải:

• Phân giác chia cạnh đối diện: $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$.
• Tỉ số diện tích hai tam giác chung đường cao bằng tỉ số hai cạnh đáy.

Bài toán 4:

Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh $AB = 10\text{ cm}, AC = 15\text{ cm}, BC = 20\text{ cm}$. Đường phân giác trong của góc $\widehat{A}$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $D$. Đường phân giác ngoài của góc $\widehat{A}$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $E$. a) Tính độ dài các đoạn thẳng $DB, DC$ và $EB, EC$. b) Tính tỉ số diện tích của tam giác $\triangle ABD$ và tam giác $\triangle ACD$. c) Tính diện tích tam giác $\triangle ADE$ biết diện tích tam giác $\triangle ABC$ bằng $S_0$.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí đường phân giác trong:

Suy ra:

• $DB = 2 \cdot 4 = 8\text{ cm}$.
• $DC = 3 \cdot 4 = 12\text{ cm}$.

Áp dụng định lí đường phân giác ngoài:

Vì $AB < AC$ nên điểm $B$ nằm giữa $E$ và $C \implies EC - EB = BC = 20\text{ cm}$. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

Suy ra:

• $EB = 2 \cdot 20 = 40\text{ cm}$.
• $EC = 3 \cdot 20 = 60\text{ cm}$.

b) Hai tam giác $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ có chung đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$, do đó:

c) Độ dài đoạn thẳng $DE$: Vì $B$ nằm giữa $E$ và $D$ nên:

Tam giác $\triangle ADE$ và tam giác $\triangle ABC$ có chung đường cao hạ từ đỉnh $A$ xuống đường thẳng $BC$. Do đó tỉ số diện tích giữa chúng bằng tỉ số độ dài hai đáy tương ứng:

Vậy:

Dạng 5: Bài toán cực trị hình học & Tối ưu hóa tỉ số

Phương pháp giải: Đưa đại lượng cần tìm cực trị về một hàm số bậc hai hoặc sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho hai số dương: $x + y \ge 2\sqrt{xy}$.

Bài toán 5:

Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S$. Qua một điểm $M$ tùy ý nằm bên trong tam giác, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác: Đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $A_1, A_2$. Đường thẳng song song với $CA$ cắt $BC, BA$ lần lượt tại $B_1, B_2$. Đường thẳng song song với $AB$ cắt $CA, CB$ lần lượt tại $C_1, C_2$. Ba đường thẳng này chia tam giác $\triangle ABC$ thành $3$ tam giác nhỏ xung quanh $M$ và $3$ hình bình hành. Gọi diện tích của ba tam giác nhỏ có chung đỉnh $M$ là $S_1, S_2, S_3$. a) Chứng minh rằng: $\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} + \sqrt{S_3} = \sqrt{S}$. b) Xác định vị trí của điểm $M$ để tổng diện tích của ba tam giác nhỏ $(S_1 + S_2 + S_3)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo $S$.

Lời giải:

a) Ba tam giác nhỏ đều có các cạnh tương ứng song song với các cạnh của $\triangle ABC$, do đó chúng đồng dạng với $\triangle ABC$. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng:

Trong đó $a_1, a_2, a_3$ là các cạnh đáy tương ứng song song với cạnh $BC = a$. Dựa vào tính chất các hình bình hành tạo thành bên trong tam giác:

Cộng từng vế ba đẳng thức trên:

b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki (hoặc Cauchy-Schwarz) cho bộ ba số:

Thay $\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} + \sqrt{S_3} = \sqrt{S}$ vào bất đẳng thức:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Điều này xảy ra khi điểm $M$ chính là trọng tâm của tam giác $\triangle ABC$. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích ba tam giác nhỏ là $\frac{S}{3}$, đạt được khi $M$ là trọng tâm của $\triangle ABC$.

III. 5 Ứng dụng thực tế liên môn & Dự án STEM

1. Hệ thống thông tin địa lý GIS & Ảnh chụp vệ tinh Google Earth

Khi vệ tinh chụp ảnh bề mặt Trái Đất từ quỹ đạo $500\text{ km}$:

• Một bức ảnh có kích thước $20\text{ cm} \times 30\text{ cm}$ đại diện cho khu vực thực địa $20\text{ km} \times 30\text{ km}$.
• Tỉ số đoạn thẳng Thalès $\frac{1}{100.000}$ cho phép các kỹ sư giao thông đo chiều dài đoạn cao tốc hay chu vi lòng hồ nước trực tiếp trên màn hình máy tính với độ sai số dưới $0,1\%$.

2. Máy toàn đạc điện tử trong khảo sát trắc địa công trình

Khi thi công hầm đường bộ qua đèo Hải Vân xuyên qua lòng núi đá:

• Hai đội thợ đào hầm từ hai sườn núi đối diện cần gặp nhau chính xác từng xentimét ở chính giữa quả núi.
• Máy toàn đạc phát tia laser đo các đoạn thẳng mốc trên mặt đất, áp dụng hệ quả định lí Thalès và tỉ số tam giác để định hướng góc mũi khoan ngầm chính xác tuyệt đối.

3. Thiết kế đòn bẩy thủy lực & Kích nâng ô tô

Trong các garage sửa chữa ô tô, kích nâng chữ X (Scissor lift) sử dụng thanh giằng chéo:

• Piston thủy lực đẩy vào điểm chia tỉ lệ $\frac{1}{3}$ của thanh nâng.
• Theo định lí Thalès, độ dịch chuyển đầu nâng phía trên tăng gấp $3$ lần hành trình của xi-lanh thủy lực, giúp nâng bổng chiếc xe tải $5\text{ tấn}$ chỉ sau vài giây bơm dầu.

4. Máy ảnh quang học & Tiêu cự thấu kính máy bay do thám (UAV Drone)

Hệ thống camera trên máy bay không người lái bay ở độ cao $H$:

• Mặt đất, thấu kính camera và cảm biến bán dẫn tạo thành hai tam giác đồng dạng đối đỉnh qua tâm quang học (mô hình Thalès mở rộng).
• Biết tiêu cự $f$ và kích thước cảm biến, phần mềm xử lý hình ảnh tự động tính toán được vận tốc và kích thước của các phương tiện đang lưu thông trên mặt đường.

5. Đèn rọi sân khấu & Kích thước bóng đổ nghệ thuật

Trong nghệ thuật múa bóng (Shadow puppetry) và chiếu sáng sân khấu biểu diễn ca nhạc:

• Khi diễn viên tiến lại gần nguồn sáng đèn chiếu, tỉ số khoảng cách tới phông màn thay đổi theo định lí Thalès.
• Chiều cao bóng đổ trên phông màn trắng phóng to cực đại tạo nên hiệu ứng thị giác khổng lồ huyền ảo đầy kịch tính cho khán giả.

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác tự chấm

V. Đề kiểm tra tổng kết 45 phút chuẩn ma trận & Barem điểm chi tiết

1. Ma trận đề kiểm tra tổng kết 45 phút Chương 4 (Định lí Thalès)

2. Đề bài chi tiết

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 điểm — Mỗi câu 0,5 điểm)

Câu 1: Cho $\triangle ABC$ có $MN \parallel BC$ ($M \in AB, N \in AC$). Biết $AM = 3\text{ cm}, AB = 9\text{ cm}$ và $MN = 4\text{ cm}$. Độ dài cạnh $BC$ là:

• A. $12\text{ cm}$
• B. $8\text{ cm}$
• C. $6\text{ cm}$
• D. $16\text{ cm}$

Câu 2: Cho $\triangle ABC$ có $D, E$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$. Biết $DE = 7\text{ cm}$. Độ dài cạnh $BC$ là:

• A. $3,5\text{ cm}$
• B. $14\text{ cm}$
• C. $21\text{ cm}$
• D. $10,5\text{ cm}$

Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI?

• A. Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
• B. Tam giác có 3 đường trung bình.
• C. Chu vi tam giác trung bình bằng nửa chu vi tam giác ban đầu.
• D. Diện tích tam giác trung bình bằng nửa diện tích tam giác ban đầu.

Câu 4: Cho $\triangle ABC$ có $AD$ là phân giác trong của góc $\widehat{A}$ ($D \in BC$). Biết $AB = 8\text{ cm}, AC = 12\text{ cm}$ và $DB = 4\text{ cm}$. Độ dài đoạn thẳng $DC$ là:

• A. $6\text{ cm}$
• B. $8\text{ cm}$
• C. $3\text{ cm}$
• D. $5\text{ cm}$

Câu 5: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6\text{ cm}, AC = 8\text{ cm}$. Đường phân giác $AD$ chia cạnh huyền $BC$ thành hai đoạn có tỉ số $\frac{DB}{DC}$ là:

• A. $\frac{4}{3}$
• B. $\frac{3}{4}$
• C. $\frac{3}{5}$
• D. $\frac{4}{5}$

Câu 6: Một bạn học sinh cao $1,6\text{ m}$ đứng trên sân trường có bóng dài $2\text{ m}$. Cùng thời điểm đó, bóng của cột cờ trường dài $15\text{ m}$. Chiều cao của cột cờ là:

• A. $12\text{ m}$
• B. $18,75\text{ m}$
• C. $10\text{ m}$
• D. $15\text{ m}$

PHẦN II: TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm): Cho tam giác $ABC$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $$AD = 4\text{ cm}, DB = 8\text{ cm}, AE = 5\text{ cm}, EC = 10\text{ cm}.$$ a) Chứng minh tứ giác $BDEC$ là hình thang. b) Lấy điểm $M$ là trung điểm của $DE$ và điểm $N$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh ba điểm $A, M, N$ thẳng hàng.

Bài 2 (2,0 điểm): Cho tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 9\text{ cm}, AC = 15\text{ cm}$ và $BC = 16\text{ cm}$. Kẻ đường phân giác trong $AD$ của góc $\widehat{A}$ ($D \in BC$). a) Tính độ dài các đoạn thẳng $DB$ và $DC$. b) Qua $D$ kẻ đường thẳng song song với $AC$, cắt cạnh $AB$ tại điểm $K$. Tính độ dài đoạn thẳng $DK$ và diện tích tứ giác $AKDC$ theo diện tích tam giác $\triangle ABC$.

Bài 3 (2,0 điểm): Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$, $AB < CD$). Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại điểm $O$. Đường thẳng qua $O$ song song với hai đáy cắt cạnh bên $AD$ tại $M$ và cắt cạnh bên $BC$ tại $N$. a) Chứng minh rằng $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$. b) Chứng minh hệ thức: $\frac{2}{MN} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD}$.

Bài 4 (1,0 điểm — Vận dụng cao): Cho tam giác $ABC$ nhọn có ba đường cao $AD, BE, CF$ đồng quy tại trực tâm $H$. Chứng minh hệ thức:

3. Đáp án & Barem chấm điểm chi tiết

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm)

PHẦN II: TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm):

• a) (1,0 điểm)
  • Ta có: $\frac{AD}{DB} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ (0,25 đ).
  • $\frac{AE}{EC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ (0,25 đ).
  • Vì $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = \frac{1}{2}$, theo định lí Thalès đảo suy ra $DE \parallel BC$ (0,25 đ).
  • Tứ giác $BDEC$ có $DE \parallel BC$ nên là hình thang (0,25 đ).
• b) (1,0 điểm)
  • Gọi $N'$ là giao điểm của đường thẳng $AM$ với cạnh $BC$. Trong $\triangle ABN'$, vì $DM \parallel BN'$ nên theo hệ quả định lí Thalès:$$\frac{DM}{BN'} = \frac{AM}{AN'}\quad (1)\quad (0,25\text{ đ})$$Trong $\triangle ACN'$, vì $ME \parallel N'C$ nên theo hệ quả định lí Thalès:$$\frac{ME}{N'C} = \frac{AM}{AN'}\quad (2)\quad (0,25\text{ đ})$$
  • Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\frac{DM}{BN'} = \frac{ME}{N'C}$. Mà $M$ là trung điểm của $DE \implies DM = ME \implies BN' = N'C$ (0,25 đ). Do đó $N'$ chính là trung điểm của $BC$, tức $N' \equiv N$. Vậy ba điểm $A, M, N$ thẳng hàng (đpcm) (0,25 đ).

Bài 2 (2,0 điểm):

• a) (1,0 điểm)
  • Vì $AD$ là phân giác của $\widehat{A}$ nên theo định lí phân giác:$$\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \implies \frac{DB}{3} = \frac{DC}{5}\quad (0,25\text{ đ})$$
  • Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:$$\frac{DB}{3} = \frac{DC}{5} = \frac{DB + DC}{3 + 5} = \frac{BC}{8} = \frac{16}{8} = 2\quad (0,25\text{ đ})$$
  • Suy ra: $DB = 3 \cdot 2 = 6\text{ cm}$ (0,25 đ) và $DC = 5 \cdot 2 = 10\text{ cm}$ (0,25 đ).
• b) (1,0 điểm)
  • Vì $DK \parallel AC$, theo hệ quả của định lí Thalès trong $\triangle ABC$:$$\frac{DK}{AC} = \frac{BD}{BC} \implies \frac{DK}{15} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \implies DK = \frac{15 \cdot 3}{8} = \frac{45}{8} = 5,625\text{ cm}\quad (0,5\text{ đ})$$
  • Tam giác $\triangle BKD$ đồng dạng với $\triangle BAC$ theo tỉ số $k = \frac{BD}{BC} = \frac{3}{8}$. Tỉ số diện tích: $$\frac{S_{\triangle BKD}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = \left(\frac{3}{8}\right)^2 = \frac{9}{64}$$ (0,25 đ). Diện tích tứ giác $AKDC$:$$S_{AKDC} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle BKD} = S - \frac{9}{64}S = \frac{55}{64}S_{\triangle ABC}\quad (0,25\text{ đ})$$

Bài 3 (2,0 điểm):

• a) (1,0 điểm)
  • Vì $MN \parallel AB \parallel CD$: Trong $\triangle DAB$, có $OM \parallel AB \implies \frac{OM}{AB} = \frac{DO}{DB}$ (0,25 đ). Trong $\triangle CAB$, có $ON \parallel AB \implies \frac{ON}{AB} = \frac{CO}{CA}$ (0,25 đ).
  • Mặt khác, vì $AB \parallel CD$, theo định lí Thalès trong hình thang: $\frac{DO}{DB} = \frac{CO}{CA}$ (0,25 đ). Do đó $\frac{OM}{AB} = \frac{ON}{AB} \implies OM = ON$. Vậy $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ (đpcm) (0,25 đ).
• b) (1,0 điểm)
  • Trong $\triangle ADC$, có $OM \parallel CD \implies \frac{OM}{CD} = \frac{AO}{AC}$ (0,25 đ).
  • Ta có:$$\frac{OM}{AB} + \frac{OM}{CD} = \frac{CO}{AC} + \frac{AO}{AC} = \frac{CO + AO}{AC} = \frac{AC}{AC} = 1\quad (0,25\text{ đ})$$
  • Chia cả hai vế cho $OM$:$$\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{1}{OM}\quad (0,25\text{ đ})$$
  • Vì $O$ là trung điểm của $MN$ nên $$MN = 2 \cdot OM \implies OM = \frac{MN}{2} \implies \frac{1}{OM} = \frac{2}{MN}.$$ Thay vào ta được:$$\frac{2}{MN} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD}\quad (\text{đpcm})\quad (0,25\text{ đ})$$

Bài 4 (1,0 điểm):

• Hai tam giác $\triangle HBC$ và $\triangle ABC$ có chung cạnh đáy $BC$, do đó tỉ số diện tích giữa chúng bằng tỉ số hai đường cao tương ứng hạ xuống $BC$:$$\frac{S_{\triangle HBC}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{HD}{AD}\quad (0,25\text{ đ})$$
• Tương tự, xét hai cặp tam giác còn lại:
  • $\triangle HAC$ và $\triangle ABC$ có chung đáy $AC \implies \frac{S_{\triangle HAC}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{HE}{BE}$ (0,25 đ).
  • $\triangle HAB$ và $\triangle ABC$ có chung đáy $AB \implies \frac{S_{\triangle HAB}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{HF}{CF}$ (0,25 đ).
• Cộng từng vế ba đẳng thức trên:$$\frac{HD}{AD} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = \frac{S_{\triangle HBC} + S_{\triangle HAC} + S_{\triangle HAB}}{S_{\triangle ABC}}\quad (0,25\text{ đ})$$
• Vì điểm $H$ nằm trong tam giác nhọn $\triangle ABC$, tổng diện tích ba tam giác nhỏ đúng bằng diện tích tam giác $\triangle ABC$:$$S_{\triangle HBC} + S_{\triangle HAC} + S_{\triangle HAB} = S_{\triangle ABC}$$Do đó:$$\frac{HD}{AD} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC}} = 1\quad (\text{đpcm})\quad (0,25\text{ đ})$$