Bài 36. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Tam giác vuông là một trong những hình học đặc biệt và quan trọng nhất của toán học. Vì hai tam giác vuông đã luôn có sẵn một góc vuông $90^\circ$ bằng nhau, nên các điều kiện để chúng đồng dạng trở nên vô cùng gọn gàng và tinh tế!

Đặc biệt, bên cạnh các dấu hiệu suy ra từ tam giác thường (Góc - Góc và Cạnh - Góc - Cạnh), tam giác vuông còn sở hữu một định lý đồng dạng vô cùng độc đáo mà tam giác thường không hề có: Dấu hiệu Cạnh huyền và Cạnh góc vuông.

Từ các cặp tam giác vuông đồng dạng lồng nhau khi kẻ đường cao từ đỉnh góc vuông, các nhà toán học cổ đại đã khám phá ra hệ thống Hệ thức lượng trong tam giác vuông — một kho tàng công thức kỳ diệu mở đường cho môn Lượng giác (Sin, Cos, Tan) ở lớp 9.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Góc nhọn bằng nhau: Tam giác vuông $ABC$ có $\widehat{B} = 35^\circ$. Tam giác vuông $MNP$ có $\widehat{P} = 55^\circ$. Hai tam giác vuông này có đồng dạng không?
2. Hai cạnh góc vuông: Tam giác vuông thứ nhất có hai cạnh góc vuông là $4\text{ cm}$ và $6\text{ cm}$. Tam giác vuông thứ hai có hai cạnh góc vuông là $8\text{ cm}$ và $12\text{ cm}$. Hai tam giác này có đồng dạng không? Tỉ số đồng dạng bằng mấy?
3. Cạnh huyền & cạnh góc vuông: Tam giác vuông thứ nhất có cạnh huyền $10\text{ cm}$, một cạnh góc vuông $6\text{ cm}$. Tam giác vuông thứ hai có cạnh huyền $15\text{ cm}$, một cạnh góc vuông $9\text{ cm}$. Hai tam giác này có đồng dạng không?
4. Hệ thức đường cao: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. Biết $BH = 2\text{ cm}, CH = 8\text{ cm}$. Độ dài đường cao $AH$ bằng bao nhiêu?
5. Tỉ số diện tích: Hai tam giác vuông đồng dạng có tỉ số cạnh huyền bằng $\frac{2}{5}$. Tỉ số diện tích của hai tam giác vuông đó bằng bao nhiêu?

Mẹo hay

Gợi ý phản xạ:

1. Trong $\triangle ABC$ vuông: góc nhọn còn lại là $\widehat{C} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$. Do đó hai tam giác vuông cùng có góc nhọn $55^\circ \implies$ Đồng dạng!
2. Tỉ số hai cạnh góc vuông: $\frac{8}{4} = 2$ và $\frac{12}{6} = 2$. Hai cạnh góc vuông tỉ lệ $\implies$ Đồng dạng với tỉ số $k = 2$.
3. Tỉ số cạnh huyền: $\frac{15}{10} = 1.5$. Tỉ số cạnh góc vuông: $\frac{9}{6} = 1.5$. Cạnh huyền và cạnh góc vuông tỉ lệ $\implies$ Đồng dạng với tỉ số $k = 1.5$.
4. $AH^2 = BH \cdot CH = 2 \cdot 8 = 16 \implies AH = \sqrt{16} = 4\text{ cm}$.
5. Tỉ số diện tích bằng $k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$.

I. Lý thuyết trọng tâm & Bản chất hình học

1. Dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng

Cho hai tam giác vuông $\triangle A'B'C'$ ($\widehat{A'} = 90^\circ$) và $\triangle ABC$ ($\widehat{A} = 90^\circ$).

Dấu hiệu 1: Có một góc nhọn bằng nhau

Quan trọng

Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau:

$$\widehat{B'} = \widehat{B} \implies \triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC\text{ (g - g)}$$

Dấu hiệu 2: Hai cạnh góc vuông tỉ lệ

Quan trọng

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau:

$$\frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC} \implies \triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC\text{ (c - g - c)}$$

Dấu hiệu 3: Cạnh huyền và một cạnh góc vuông tỉ lệ

Quan trọng

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau:

$$\frac{B'C'}{BC} = \frac{A'B'}{AB} \implies \triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$$

Chứng minh Dấu hiệu 3 nhờ Định lí Pythagore: Đặt $\frac{B'C'}{BC} = \frac{A'B'}{AB} = k$. Khi đó $B'C' = k \cdot BC$ và $A'B' = k \cdot AB$. Theo định lí Pythagore:

Suy ra:

Vậy $\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} = k$, theo trường hợp c-c-c ta có $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$ (đpcm).

2. Mô hình "Kinh điển": Tam giác vuông với đường cao từ đỉnh góc vuông

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, kẻ đường cao $AH$ vuông góc với $BC$ ($H \in BC$).

Khi đó ta có $3$ tam giác vuông đồng dạng với nhau đôi một:

Từ các cặp tam giác đồng dạng này, ta rút ra 4 hệ thức lượng nền tảng:

1. Từ $\triangle HBA \backsim \triangle ABC \implies \frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} \implies AB^2 = BH \cdot BC$ (hay $c^2 = a \cdot c'$).
2. Từ $\triangle HAC \backsim \triangle ABC \implies \frac{AC}{BC} = \frac{CH}{AC} \implies AC^2 = CH \cdot BC$ (hay $b^2 = a \cdot b'$).
3. Từ $\triangle HBA \backsim \triangle HAC \implies \frac{AH}{CH} = \frac{BH}{AH} \implies AH^2 = BH \cdot CH$ (hay $h^2 = b' \cdot c'$).
4. Tính diện tích tam giác $ABC$ theo hai cách: $$S = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}AH \cdot BC \implies AB \cdot AC = AH \cdot BC$$ (hay $b \cdot c = a \cdot h$).

Ứng dụng Tương tác Trực quan

Mô phỏng 3 Tam giác vuông Đồng dạng Lồng nhau & Kiểm chứng Hệ thức lượng

Kéo thanh trượt để di chuyển vị trí chân đường cao $H$ trên cạnh huyền. Quan sát trực quan các tam giác vuông $\triangle HBA$ (xanh dương), $\triangle HAC$ (xanh lá) và tam giác lớn $\triangle ABC$ (viền cam) cùng các hệ thức lượng được tính toán tự động:

II. 4 Dạng toán trọng tâm & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng

Phương pháp giải: Ưu tiên kiểm tra:

1. Có một góc nhọn bằng nhau không? (Góc đối đỉnh, cùng phụ, góc so le trong).
2. Hai cạnh góc vuông có tỉ lệ không?
3. Cạnh huyền và một cạnh góc vuông có tỉ lệ không?

Bài toán 1:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6\text{ cm}, AC = 8\text{ cm}$. Kẻ đường cao $AH$ ($H \in BC$). a) Chứng minh rằng $\triangle HBA \backsim \triangle ABC$ và $\triangle HAC \backsim \triangle ABC$. b) Chứng minh rằng $\triangle HBA \backsim \triangle HAC$. c) Tính độ dài cạnh huyền $BC$, đường cao $AH$ và hai hình chiếu $BH, CH$.

Lời giải:

a)

• Xét $\triangle HBA$ và $\triangle ABC$:
  • $\widehat{BHA} = \widehat{BAC} = 90^\circ$.
  • Góc $\widehat{B}$ là góc chung. Do đó: $\triangle HBA \backsim \triangle ABC\text{ (g - g)}$ (đpcm).
• Xét $\triangle HAC$ và $\triangle ABC$:
  • $\widehat{AHC} = \widehat{BAC} = 90^\circ$.
  • Góc $\widehat{C}$ là góc chung. Do đó: $\triangle HAC \backsim \triangle ABC\text{ (g - g)}$ (đpcm).

b) Vì $\triangle HBA \backsim \triangle ABC$ và $\triangle HAC \backsim \triangle ABC$, theo tính chất bắc cầu:

c)

• Tính cạnh huyền $BC$ theo định lí Pythagore trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$:$$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$$
• Vì $\triangle HBA \backsim \triangle ABC$, ta có tỉ số:$$\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} \implies BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{6^2}{10} = \frac{36}{10} = 3.6\text{ cm}$$
• Độ dài $CH$:$$CH = BC - BH = 10 - 3.6 = 6.4\text{ cm}$$
• Độ dài đường cao $AH$:$$\frac{AH}{AC} = \frac{AB}{BC} \implies AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8\text{ cm}$$

Dạng 2: Tính toán đoạn thẳng nhờ hệ thức lượng tam giác vuông

Phương pháp giải: Sử dụng bộ công thức:

1. $c^2 = a \cdot c'$ và $b^2 = a \cdot b'$
2. $h^2 = b' \cdot c'$
3. $a \cdot h = b \cdot c$
4. $a = b' + c'$

Bài toán 2:

Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$, đường cao $MK$ vuông góc với $NP$ ($K \in NP$). a) Biết $NK = 9\text{ cm}, KP = 16\text{ cm}$. Tính độ dài $MK, MN, MP$. b) Biết $MK = 12\text{ cm}, KP = 16\text{ cm}$. Tính độ dài $NK, NP, MN$.

Lời giải:

a)

• Tính đường cao $MK$: Vì $\triangle KNM \backsim \triangle KMP$, ta có:$$MK^2 = NK \cdot KP = 9 \cdot 16 = 144 \implies MK = \sqrt{144} = 12\text{ cm}$$
• Cạnh huyền $NP$:$$NP = NK + KP = 9 + 16 = 25\text{ cm}$$
• Cạnh góc vuông $MN$:$$MN^2 = NK \cdot NP = 9 \cdot 25 = 225 \implies MN = \sqrt{225} = 15\text{ cm}$$
• Cạnh góc vuông $MP$:$$MP^2 = KP \cdot NP = 16 \cdot 25 = 400 \implies MP = \sqrt{400} = 20\text{ cm}$$

b)

• Xét $\triangle MKP$ vuông tại $K$:$$MP = \sqrt{MK^2 + KP^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\text{ cm}$$
• Áp dụng hệ thức $MK^2 = NK \cdot KP$:$$12^2 = NK \cdot 16 \implies 144 = NK \cdot 16 \implies NK = \frac{144}{16} = 9\text{ cm}$$
• Cạnh huyền $NP$:$$NP = NK + KP = 9 + 16 = 25\text{ cm}$$
• Cạnh góc vuông $MN$:$$MN = \sqrt{NK \cdot NP} = \sqrt{9 \cdot 25} = \sqrt{225} = 15\text{ cm}$$

Dạng 3: Chứng minh hệ thức hình học trong tam giác vuông

Phương pháp giải: Ghép các đoạn thẳng trong hệ thức cần chứng minh vào các cặp tam giác vuông đồng dạng thích hợp.

Bài toán 3:

Cho hình chữ nhật $ABCD$. Kẻ $BH$ vuông góc với đường chéo $AC$ tại $H$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AH$ và $CD$. a) Chứng minh rằng $\triangle ABH \backsim \triangle ACB$. b) Chứng minh hệ thức: $AB^2 = AH \cdot AC$. c) Chứng minh rằng $BM \perp MN$.

Lời giải:

a) Xét $\triangle ABH$ và $\triangle ACB$:

• $\widehat{AHB} = \widehat{ABC} = 90^\circ$.
• Góc $\widehat{BAC}$ là góc chung. Suy ra $\triangle ABH \backsim \triangle ACB\text{ (g - g)}$ (đpcm).

b) Từ $\triangle ABH \backsim \triangle ACB$, lập tỉ số:

c) Gọi $K$ là trung điểm của $BH$.

• Trong $\triangle ABH$, $M$ là trung điểm của $AH$, $K$ là trung điểm của $BH$, nên $MK$ là đường trung bình của $\triangle ABH$. Suy ra $MK \parallel AB$ và $MK = \frac{1}{2}AB$.
• Trong hình chữ nhật $ABCD$, $CD \parallel AB$ và $CD = AB$. Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $NC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB$ và $NC \parallel AB$.
• Do đó $MK \parallel NC$ và $MK = NC$. Suy ra tứ giác $MKCN$ là hình bình hành $\implies MN \parallel KC$.
• Mặt khác, trong $\triangle MBC$, có $MK \parallel AB \implies MK \perp BC$ (vì $AB \perp BC$). Lại có $BH \perp AC \implies BK \perp MC$. Giao điểm hai đường cao $MK$ và $BH$ chính là điểm $K$, do đó $K$ là trực tâm của $\triangle MBC$. Suy ra $CK \perp BM$.
• Vì $MN \parallel KC$ và $CK \perp BM$, ta suy ra:$$BM \perp MN\quad (\text{đpcm})$$

Dạng 4: Tỉ số diện tích và đường cao của hai tam giác vuông đồng dạng

Phương pháp giải: Nếu hai tam giác vuông đồng dạng với tỉ số $k$:

• Tỉ số hai cạnh huyền: $k$.
• Tỉ số hai đường cao tương ứng hạ từ đỉnh góc vuông: $k$.
• Tỉ số diện tích: $k^2$.

Bài toán 4:

Cho hai tam giác vuông $\triangle ABC$ ($\widehat{A} = 90^\circ$) và $\triangle A'B'C'$ ($\widehat{A'} = 90^\circ$) đồng dạng với nhau theo tỉ số $k = \frac{3}{5}$. a) Biết cạnh huyền $B'C' = 25\text{ cm}$. Tính cạnh huyền $BC$ của tam giác $ABC$. b) Biết diện tích tam giác $A'B'C'$ là $150\text{ cm}^2$. Tính diện tích tam giác $ABC$. c) Đường cao hạ từ $A'$ của tam giác $A'B'C'$ là $12\text{ cm}$. Tính đường cao hạ từ $A$ của tam giác $ABC$.

Lời giải:

a) Vì $\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$ theo tỉ số $k = \frac{3}{5}$:

b) Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng:

Suy ra:

c) Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng đúng tỉ số đồng dạng $k$:

III. 5 Chuyên đề Khoa học Thực tiễn & Ứng dụng Công nghệ

1. Kính Tiềm vọng trong Tàu ngầm Hải quân (Periscope)

Tàu ngầm lặn sâu dưới đáy biển quan sát tàu địch trên mặt nước qua kính tiềm vọng:

• Hai lăng kính phản xạ toàn phần bố trí nghiêng $45^\circ$ tạo ra các chùm tia sáng vuông góc.
• Các tam giác vuông đồng dạng quang học truyền hình ảnh từ mặt biển xuống mắt thuyền trưởng chuẩn xác mà không bị méo mó.

2. Thiết kế Dốc Cầu Vượt An toàn & Tiêu chuẩn Độ dốc Giao thông

Độ an toàn của các cây cầu vượt bộ hành hay dốc hầm để xe chung cư được quy chuẩn quốc gia theo tỉ số dốc:

• Tỉ số hai cạnh góc vuông $\frac{h}{d} = \tan \alpha$ (chiều cao dốc trên chiều dài mặt đường).
• Mọi tam giác vuông thiết kế dốc đều phải đồng dạng với tam giác chuẩn an toàn (độ dốc không quá $10\%$), đảm bảo xe cộ không bị trôi tuột hay lật nghiêng khi trời mưa trơn trượt.

3. Phép đo Đoạn thẳng Quang học trong Thấu kính Hiển vi Điện tử

Trong phòng thí nghiệm công nghệ sinh học và nano:

• Kính hiển vi điện tử quét (SEM) phóng đại các chuỗi ADN và virus lên $500\,000$ lần.
• Bộ vi xử lý đo đường kính hạt nano bằng cách so sánh tam giác vuông quang học quét electron với thang đo chuẩn đồng dạng, đạt độ chính xác tới từng Angstrom ($10^{-10}\text{ m}$).

4. Thiết kế Mái nhà Chống bão & Thoát nước Mưa

Các kiến trúc sư tính toán độ dốc mái tôn hoặc mái ngói dựa trên tam giác vuông đồng dạng:

• Cột chống giữa nhà là đường cao, nửa chiều rộng nhà là cạnh đáy.
• Tỉ số hai cạnh góc vuông đảm bảo nước mưa thoát nhanh nhất mà lực nâng của gió bão không thể thổi bay mái nhà.

5. Thuật toán Đổ bóng Đồ họa Thời gian thực (Shadow Mapping trong Game $3D$)

Trong các game hành động bom tấn, bóng của nhân vật dưới ánh đèn đường thay đổi hình dạng theo thời gian thực:

• Card đồ họa GPU dựng các tam giác vuông đồng dạng giữa nguồn sáng, đỉnh đầu nhân vật và mặt đất.
• Nhờ công thức hệ thức lượng tam giác vuông đồng dạng, bóng đổ được kéo dài và làm mờ viền chân thực với tốc độ $120$ khung hình mỗi giây!

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác tự chấm

V. Bài tập tự luyện & Thử thách thực tế

Bài tập cơ bản

1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Biết $BH = 1\text{ cm}, CH = 4\text{ cm}$. Tính độ dài $AH, AB, AC$.
2. Cho tam giác vuông $DEF$ vuông tại $D$, đường cao $DK$. Biết $DE = 15\text{ cm}, DK = 12\text{ cm}$. Tính độ dài $EK, KF$ và cạnh huyền $EF$.
3. Cho hình vuông $ABCD$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$, tia $AM$ cắt đường thẳng $CD$ tại $N$. Kẻ tia $Ax$ vuông góc với $AM$ cắt $CD$ tại $P$. a) Chứng minh rằng $\triangle ABM \backsim \triangle ADN$. b) Chứng minh rằng tam giác $AMP$ là tam giác vuông cân.

Bài tập nâng cao & Vận dụng thực tế

4. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$), đường cao $AH$. Lấy điểm $D$ trên cạnh $AC$ sao cho $CD = AB$. Kẻ $DE \perp BC$ ($E \in BC$). a) Chứng minh rằng $\triangle CDE \backsim \triangle CAB$. b) Chứng minh rằng $DE = CH$. c) Chứng minh rằng $AE$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AH$.
5. Thước đo khoảng cách quang học của kiểm lâm: Một nhân viên kiểm lâm đứng trên đài quan sát cao $24\text{ m}$ ngắm một đám cháy rừng. Góc hạ của kính ngắm tạo nên một tam giác vuông đồng dạng với vạch khắc đo trên ống ngắm. Biết hình chiếu ngang từ đài quan sát đến đám cháy đo được qua tỉ số đồng dạng là $180\text{ m}$. Tính khoảng cách đường chim bay từ đài quan sát tới đám cháy rừng đó.