Ôn tập Chương 3. Góc và hai đường thẳng song song

Chào mừng các em học sinh đến với chuyên đề Tổng ôn tập toàn diện Chương III: Góc và hai đường thẳng song song thuộc chương trình Hình học Toán 7!

Nếu như ở hai chương đầu, chúng ta đã chinh phục thế giới số học với số hữu tỉ và số thực, thì Chương III chính là bước ngoặt mở ra cánh cửa tư duy suy luận hình học phẳng suy diễn — nền tảng sống còn của toàn bộ chương trình Toán THCS và THPT.

Xuyên suốt Chương III, chúng ta đã cùng nhau làm chủ:

• Bài 8: Nhận diện và tính toán các góc ở vị trí đặc biệt (hai góc kề bù có tổng bằng $180^\circ$, hai góc đối đỉnh bằng nhau) và tia phân giác của một góc.
• Bài 9: Khám phá thế giới góc tạo bởi cát tuyến: so le trong, đồng vị, trong cùng phía và bộ $3$ dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
• Bài 10: Tiếp cận chân lý hình học bất hủ — Tiên đề Euclid về tính duy nhất của đường thẳng song song, khai thác tính chất của hai đường thẳng song song để tính số đo góc và quan hệ giữa vuông góc và song song.
• Bài 11: Thiết lập chuẩn mực tư duy logic với Định lí, cấu trúc Giả thiết — Kết luận (Nếu... thì...), quy trình $3$ bước chứng minh hình học chuẩn mực và kỹ thuật bác bỏ mệnh đề bằng phản ví dụ.

Bài học tổng ôn này được thiết kế như một cẩm nang ôn thi học kỳ trọn vẹn, kết nối toàn bộ mạch kiến thức, phân loại chi tiết $5$ dạng toán điển hình, bồi dưỡng $5$ chuyên đề bứt phá điểm $10$ học sinh giỏi và cung cấp $2$ đề kiểm tra chuẩn ma trận $45$ phút có barem điểm chi tiết!

Phần I. Hệ thống kiến thức cốt lõi toàn chương

1. Bảng đối chiếu quan hệ hai chiều: Dấu hiệu nhận biết $\rightleftarrows$ Tính chất

Sự khác biệt cốt lõi nhất mà mọi học sinh lớp 7 cần nắm vững chính là chiều suy diễn giữa Dấu hiệu nhận biết (Bài 9) và Tính chất (Bài 10):

2. Bảng tổng hợp các định lí quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song

3. Cẩm nang những sai lầm kinh điển cần triệt tiêu

Lưu ý / Cảnh báo

1. Nhầm lẫn kề bù ($180^\circ$) với phụ nhau ($90^\circ$): Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $180^\circ$. Hai góc phụ nhau có tổng số đo bằng $90^\circ$. Đừng bao giờ viết nhầm hai giá trị này khi giải phương trình tìm góc!

Lưu ý / Cảnh báo

2. Tự động coi mệnh đề đảo là đúng: "Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau" là định lí đúng $100\%$. Nhưng mệnh đề đảo: "Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh" là SAI HOÀN TOÀN (phản ví dụ: hai góc so le trong bằng nhau nhưng nằm ở hai đỉnh khác biệt).

Lưu ý / Cảnh báo

3. Nhầm lẫn tính chất của hai góc trong cùng phía: Hai góc trong cùng phía của hai đường thẳng song song không bao giờ bằng nhau, trừ trường hợp đặc biệt khi cát tuyến vuông góc ($90^\circ$). Trong mọi trường hợp khác, chúng bù nhau (tổng bằng $180^\circ$)!

Phần II. Bài toán tổng hợp kết nối toàn chương

Các bài toán tổng hợp dưới đây liên kết trọn vẹn kiến thức từ Bài 8 đến Bài 11:

Bài toán tổng hợp 1 (Góc kề bù $\to$ Tia phân giác $\to$ Vuông góc)

Cho hai góc kề bù $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$ sao cho $\widehat{xOy} = 120^\circ$. a) Tính số đo của góc $\widehat{yOz}$.
b) Vẽ tia phân giác $Om$ của góc $\widehat{xOy}$ và tia phân giác $On$ của góc $\widehat{yOz}$. Tính số đo các góc $\widehat{xOm}, \widehat{yOn}$ và góc $\widehat{mOn}$.
c) Nhận xét về vị trí tương đối giữa hai tia phân giác $Om$ và $On$.

Lời giải: a) Vì $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$ là hai góc kề bù nên:

b)

• Vì $Om$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên:$$\widehat{xOm} = \widehat{mOy} = \frac{1}{2}\widehat{xOy} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ.$$
• Vì $On$ là tia phân giác của $\widehat{yOz}$ nên:$$\widehat{yOn} = \widehat{nOz} = \frac{1}{2}\widehat{yOz} = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ.$$
• Vì tia $Oy$ nằm giữa hai tia $Om$ và $On$ nên:$$\widehat{mOn} = \widehat{mOy} + \widehat{yOn} = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ.$$

c) Vì góc $\widehat{mOn} = 90^\circ$ nên hai tia phân giác $Om$ và $On$ vuông góc với nhau ($Om \perp On$).
(Kết quả này hoàn toàn phù hợp với định lí: Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau).

Bài toán tổng hợp 2 (Cát tuyến $\to$ Tính góc $\to$ Chứng minh song song $\to$ Đường phụ)

Cho hình vẽ: hai đường thẳng $a$ và $b$ bị cắt bởi đường thẳng $c$ lần lượt tại $A$ và $B$. Biết rằng góc $\widehat{A_1} = 70^\circ$ và góc $\widehat{B_1} = 70^\circ$ (ở vị trí đồng vị). Một điểm $M$ nằm giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ sao cho tia $MA$ và tia $MB$ tạo thành góc $\widehat{MAB} = 30^\circ$ và $\widehat{MBA} = 40^\circ$. a) Chứng minh rằng $a \parallel b$.
b) Kẻ tia $Mx \parallel a$ (về phía bên phải). Tính số đo của góc $\widehat{AMB}$.

Lời giải: a) Ta có $\widehat{A_1} = 70^\circ$ và $$\widehat{B_1} = 70^\circ \implies \widehat{A_1} = \widehat{B_1} = 70^\circ.$$ Mà hai góc $\widehat{A_1}$ và $\widehat{B_1}$ ở vị trí đồng vị đối với hai đường thẳng $a, b$ bị cắt bởi cát tuyến $c$.
Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, suy ra:

b) Qua $M$, kẻ tia $Mx \parallel a$ (hướng sang phải).
Vì $a \parallel b$ và $Mx \parallel a$, theo tính chất bắc cầu suy ra $Mx \parallel b$.

• Xét $Mx \parallel a$ bị cắt bởi cát tuyến $MA$: Góc $\widehat{AMx}$ và góc tạo bởi $MA$ với đường thẳng $a$ liên hệ trực tiếp; hoặc xét trực tiếp tam giác $AMB$: Tổng ba góc trong tam giác $AMB$:$$\widehat{AMB} = 180^\circ - (\widehat{MAB} + \widehat{MBA}) = 180^\circ - (30^\circ + 40^\circ) = 110^\circ.$$(Hoặc dùng kỹ thuật kẻ đường phụ song song chia đôi góc).

Phần III. Phân dạng bài tập tổng ôn (5 Dạng trọng tâm)

Dạng 1: Tính số đo góc kề bù, đối đỉnh và tia phân giác

Phương pháp giải:

• Kề bù $\implies$ Tổng số đo $= 180^\circ$.
• Đối đỉnh $\implies$ Hai góc bằng nhau.
• Phân giác $\implies$ Chia góc thành hai phần bằng nhau ($\frac{1}{2}$ góc ban đầu).

Bài tập 1.1

Cho hai góc kề bù $\widehat{AOB}$ và $\widehat{BOC}$. Biết rằng $\widehat{AOB} - \widehat{BOC} = 50^\circ$. a) Tính số đo của mỗi góc $\widehat{AOB}$ và $\widehat{BOC}$.
b) Vẽ tia $OD$ là tia phân giác của góc $\widehat{AOB}$. Tính số đo của góc $\widehat{COD}$.

Lời giải: a) Vì $\widehat{AOB}$ và $\widehat{BOC}$ là hai góc kề bù nên:

Ta có bài toán tìm hai góc khi biết tổng và hiệu:

b) Vì $OD$ là tia phân giác của $\widehat{AOB}$ nên:

Vì tia $OB$ nằm giữa hai tia $OD$ và $OC$ nên:

Dạng 2: Nhận biết và tính toán các cặp góc tạo bởi cát tuyến

Bài tập 2.1

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau. Cát tuyến $c$ cắt $a$ tại $A$ và cắt $b$ tại $B$. Biết góc $\widehat{A_4} = 115^\circ$ (đánh số theo thứ tự chuẩn). Hãy tính số đo của: a) Góc so le trong $\widehat{B_2}$.
b) Góc đồng vị $\widehat{B_4}$.
c) Góc trong cùng phía $\widehat{B_1}$.

Lời giải: Vì $a \parallel b$, áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song: a) Hai góc so le trong bằng nhau: $\widehat{B_2} = \widehat{A_4} = 115^\circ$.
b) Hai góc đồng vị bằng nhau: $\widehat{B_4} = \widehat{A_4} = 115^\circ$.
c) Hai góc trong cùng phía bù nhau:

Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp giải: Chỉ ra một trong các điều kiện:

1. Một cặp góc so le trong bằng nhau.
2. Một cặp góc đồng vị bằng nhau.
3. Một cặp góc trong cùng phía bù nhau ($= 180^\circ$).
4. Cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba.
5. Cùng song song với một đường thẳng thứ ba.

Bài tập 3.1

Cho góc nhọn $\widehat{xOy} = 60^\circ$. Lấy điểm $A$ trên tia $Ox$ ($A \neq O$). Vẽ tia $Az$ nằm trong góc $\widehat{xOy}$ sao cho $\widehat{OAz} = 120^\circ$. a) Chứng minh rằng tia $Az$ song song với tia $Oy$.
b) Vẽ tia đối $Az'$ của tia $Az$. Chứng minh tia phân giác của góc $\widehat{xAz'}$ song song với tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$.

Lời giải: a) Xét hai tia $Az$ và $Oy$ bị cắt bởi đường thẳng chứa tia $Ox$: Hai góc $\widehat{xOy}$ và $\widehat{OAz}$ là hai góc ở vị trí trong cùng phía. Ta có tổng số đo của chúng:

Vì hai góc trong cùng phía bù nhau, suy ra $Az \parallel Oy$.

b)

• Vì $Az'$ là tia đối của $Az$ nên hai góc $\widehat{xAz'}$ và $\widehat{OAz}$ kề bù:$$\widehat{xAz'} = 180^\circ - \widehat{OAz} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ.$$
• Gọi $Am$ là tia phân giác của $\widehat{xAz'} \implies \widehat{xAm} = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.
• Gọi $On$ là tia phân giác của $\widehat{xOy} \implies \widehat{xOn} = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.
• Ta có $\widehat{xAm} = \widehat{xOn} = 30^\circ$. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị đối với hai đường thẳng chứa $Am$ và $On$ bị cắt bởi đường thẳng $Ox$. Suy ra $Am \parallel On$.

Dạng 4: Bài toán góc gấp khúc zic-zac (Kẻ đường thẳng phụ)

Bài tập 4.1

Cho hai tia song song $Ax \parallel Cy$. Một đường gấp khúc $A - B - C$ tạo thành góc $\widehat{xAB} = 135^\circ$ và góc $\widehat{BCy} = 145^\circ$ (hai tia $Ax, Cy$ cùng hướng sang phải). Tính số đo của góc $\widehat{ABC}$.

Lời giải: Qua đỉnh $B$, kẻ tia $Bz \parallel Ax$ (hướng sang phải).
Vì $Ax \parallel Cy$ và $Bz \parallel Ax$, theo tính chất bắc cầu suy ra $Bz \parallel Cy$.

• Xét $Ax \parallel Bz$, hai góc $\widehat{xAB}$ và $\widehat{ABz}$ ở vị trí trong cùng phía:$$\widehat{ABz} = 180^\circ - \widehat{xAB} = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ.$$
• Xét $Bz \parallel Cy$, hai góc $\widehat{zBC}$ và $\widehat{BCy}$ ở vị trí trong cùng phía:$$\widehat{zBC} = 180^\circ - \widehat{BCy} = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ.$$
• Vì tia $Bz$ nằm giữa hai tia $BA$ và $BC$ nên:$$\widehat{ABC} = \widehat{ABz} + \widehat{zBC} = 45^\circ + 35^\circ = 80^\circ.$$Vậy $\widehat{ABC} = 80^\circ.$

Dạng 5: Viết Giả thiết - Kết luận và chứng minh định lí

Bài tập 5.1

Cho định lí: "Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai tia phân giác của hai góc so le trong song song với nhau." a) Vẽ hình, viết Giả thiết và Kết luận bằng ký hiệu toán học.
b) Chứng minh định lí trên.

Lời giải: a) Hình vẽ & Ký hiệu:

• Cho $a \parallel b$, cát tuyến $c$ cắt $a$ tại $A$ và cắt $b$ tại $B$.
• $\widehat{A_3}$ và $\widehat{B_1}$ là hai góc so le trong.
• $Ax$ là tia phân giác của $\widehat{A_3}$; $By$ là tia phân giác của $\widehat{B_1}$.

b) Chứng minh:

1. Vì $a \parallel b$, theo tính chất hai đường thẳng song song:$$\widehat{A_3} = \widehat{B_1}$$(hai góc so le trong).
2. Vì $Ax$ là tia phân giác của góc $\widehat{A_3}$ nên:$$\widehat{xAB} = \frac{1}{2}\widehat{A_3}.$$
3. Vì $By$ là tia phân giác của góc $\widehat{B_1}$ nên:$$\widehat{yBA} = \frac{1}{2}\widehat{B_1}.$$
4. Do $\widehat{A_3} = \widehat{B_1}$, suy ra:$$\widehat{xAB} = \widehat{yBA}.$$
5. Xét hai đường thẳng chứa tia $Ax$ và $By$ bị cắt bởi cát tuyến $AB$: Hai góc $\widehat{xAB}$ và $\widehat{yBA}$ ở vị trí so le trong và có số đo bằng nhau.
   Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, suy ra $Ax \parallel By$. (Điều phải chứng minh).

Phần IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác (Quiz)

Phần V. 5 Chuyên đề Olympic & Học sinh giỏi (HSG) bứt phá

Chuyên đề 1: Kỹ thuật chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng Tiên đề Euclid

Mẹo hay

PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh ba điểm $A, M, B$ thẳng hàng:

1. Tìm hoặc dựng một đường thẳng $d$ không đi qua $M$.
2. Chứng minh đường thẳng $MA \parallel d$.
3. Chứng minh đường thẳng $MB \parallel d$.
4. Theo Tiên đề Euclid: Qua điểm $M$ chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với $d$. Do đó hai đường thẳng $MA$ và $MB$ phải trùng nhau $\implies A, M, B$ thẳng hàng!

Bài toán 1.1

Cho góc nhọn $\widehat{xOy}$. Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$, trên tia $Oy$ lấy điểm $B$. Qua $A$ kẻ đường thẳng $d_1 \parallel Oy$. Qua $B$ kẻ đường thẳng $d_2 \parallel Ox$. Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm $C$.
Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $OC$. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $E$ sao cho $ME = MA$.
Chứng minh ba điểm $B, C, E$ thẳng hàng (với giả thiết mô hình đối xứng tương ứng).

Lời giải tổng quát: Khai thác tính chất qua điểm $C$ chỉ vẽ được duy nhất một đường thẳng song song với $Ox$ (chính là đường thẳng $d_2$). Nếu ta chứng minh được đường thẳng $CE \parallel Ox$, thì lập tức $CE$ phải trùng với $d_2$, từ đó suy ra các điểm $B, C, E$ cùng nằm trên đường thẳng $d_2$, tức là chúng thẳng hàng!

Chuyên đề 2: Định lý Răng cưa tổng quát cho đa giác gấp khúc zic-zac

Quan trọng

ĐỊNH LÝ RĂNG CƯA TỔNG QUÁT: Cho hai đường thẳng song song $a \parallel b$. Nối giữa $a$ và $b$ bởi một đường gấp khúc nhiều đỉnh liên tiếp $A_1 - A_2 - A_3 - \dots - A_n$. Tổng tất cả các góc nhọn quay sang trái bằng tổng tất cả các góc nhọn quay sang phải.

$$\sum \alpha_{\text{trai}} = \sum \beta_{\text{phai}}.$$

Bài toán 2.1

Cho hình vẽ: hai tia $Ax \parallel Ey$. Đường gấp khúc $A - B - C - D - E$ tạo thành các góc nhọn: $\widehat{xAB} = 25^\circ$, $\widehat{ABC} = 70^\circ$, $\widehat{BCD} = 85^\circ$, $\widehat{CDE} = 75^\circ$. Tính số đo của góc nhọn $\widehat{DEy}$ (các tia $Ax, Ey$ cùng hướng sang phải).

Lời giải: Áp dụng định lý răng cưa:

• Các đỉnh quay sang trái: đỉnh $B$ và đỉnh $D$.
  Tổng các góc quay trái:$$\widehat{ABC} + \widehat{CDE} = 70^\circ + 75^\circ = 145^\circ.$$
• Các đỉnh quay sang phải: đỉnh $A$, đỉnh $C$ và đỉnh $E$.
  Tổng các góc quay phải:$$\widehat{xAB} + \widehat{BCD} + \widehat{DEy} = 25^\circ + 85^\circ + \widehat{DEy} = 110^\circ + \widehat{DEy}.$$Theo định lý răng cưa:$$110^\circ + \widehat{DEy} = 145^\circ \implies \widehat{DEy} = 145^\circ - 110^\circ = 35^\circ.$$(Học sinh có thể kiểm tra lại bằng cách kẻ 3 đường phụ song song qua B, C, D).

Chuyên đề 3: Tính chất hình học của tứ giác tạo bởi các đường phân giác

Quan trọng

ĐỊNH LÝ HÌNH CHỮ NHẬT PHÂN GIÁC: Cho hai đường thẳng song song $a \parallel b$ bị cắt bởi cát tuyến $c$ tại $A$ và $B$. Bốn tia phân giác của $4$ góc trong cùng phía (gồm $2$ cặp trong cùng phía bên trái và bên phải) cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật (có $4$ góc vuông).

Bài toán 3.1

Chứng minh rằng giao điểm của $4$ tia phân giác của các góc trong tại $A$ và $B$ tạo thành một tứ giác có tất cả các góc đều bằng $90^\circ$.

Lời giải:

1. Theo Chuyên đề 3 ở Bài 9: Hai tia phân giác của hai góc trong cùng phía thì vuông góc với nhau.
   Do đó tại mỗi đỉnh giao của hai tia phân giác cùng phía, góc tạo thành bằng $90^\circ$. Có $2$ góc vuông như vậy ở hai phía của cát tuyến.
2. Theo Chuyên đề 2 ở Bài 9: Hai tia phân giác của hai góc so le trong thì song song với nhau.
   Hai cặp cạnh đối diện của tứ giác song song từng đôi một.
3. Một tứ giác có các cạnh đối song song và có các góc bằng $90^\circ$ chính là hình chữ nhật.

Chuyên đề 4: Định lý tổng ba góc của tam giác suy ra từ Tiên đề Euclid

Bài toán 4.1

Chứng minh định lý nền tảng: "Tổng số đo ba góc của một tam giác luôn bằng $180^\circ$".

Lời giải: Cho tam giác $ABC$. Qua đỉnh $A$, kẻ đường thẳng $xy \parallel BC$ ($Ax$ nằm về phía $B$, $Ay$ nằm về phía $C$).

• Vì $xy \parallel BC$ bị cắt bởi $AB$: $\widehat{xAB} = \widehat{ABC}$ (hai góc so le trong).
• Vì $xy \parallel BC$ bị cắt bởi $AC$: $\widehat{yAC} = \widehat{ACB}$ (hai góc so le trong).
• Ba điểm $x, A, y$ thẳng hàng nên:$$\widehat{xAB} + \widehat{BAC} + \widehat{yAC} = 180^\circ.$$Thay các góc tương ứng:$$\widehat{ABC} + \widehat{BAC} + \widehat{ACB} = 180^\circ.$$Định lý được chứng minh một cách tuyệt mỹ!

Chuyên đề 5: Phương pháp phân tích đại số tìm góc trong các hệ thức tỉ lệ

Bài toán 5.1

Cho hai đường thẳng song song $a \parallel b$ bị cắt bởi cát tuyến $c$ tại $A$ và $B$. Biết rằng hiệu của hai góc trong cùng phía bằng $40^\circ$. Tỉ số giữa góc kề bù với góc lớn và góc nhỏ bằng bao nhiêu?

Lời giải: Gọi hai góc trong cùng phía là $\alpha$ và $\beta$ ($\alpha > \beta$). Vì $a \parallel b$, hai góc trong cùng phía bù nhau:

Theo đề bài:

Giải hệ tìm hai góc:

Góc kề bù với góc lớn $\alpha$ là:

Tỉ số giữa góc kề bù với góc lớn và góc nhỏ $\beta$ là:

Hai góc này bằng nhau hoàn toàn!

Phần VI. Hai đề kiểm tra chuẩn hóa 45 phút (Thang điểm 10)

ĐỀ SỐ 1: ĐỀ KIỂM TRA ĐỊNH KỲ CHƯƠNG III (45 PHÚT)

MA TRẬN ĐỀ THI SỐ 1

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 điểm — 12 câu, mỗi câu 0,25 điểm)

Câu 1. Hai góc kề bù có tổng số đo bằng:
A. $90^\circ$
B. $120^\circ$
C. $180^\circ$
D. $360^\circ$

Câu 2. Khẳng định nào sau đây là đúng về hai góc đối đỉnh?
A. Bù nhau
B. Bằng nhau
C. Phụ nhau
D. Kề nhau

Câu 3. Cho $\widehat{xOy} = 80^\circ$, tia $Ot$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$. Số đo của góc $\widehat{xOt}$ là:
A. $40^\circ$
B. $80^\circ$
C. $160^\circ$
D. $100^\circ$

Câu 4. Đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a, b$ tạo thành bao nhiêu cặp góc so le trong?
A. $1$ cặp
B. $2$ cặp
C. $4$ cặp
D. $8$ cặp

Câu 5. Cho $a \parallel b$ bị cắt bởi cát tuyến $c$. Một góc đồng vị bằng $65^\circ$, góc đồng vị còn lại bằng:
A. $115^\circ$
B. $65^\circ$
C. $25^\circ$
D. $90^\circ$

Câu 6. Cho $a \parallel b$. Một góc trong cùng phía bằng $110^\circ$, góc trong cùng phía còn lại bằng:
A. $110^\circ$
B. $90^\circ$
C. $70^\circ$
D. $80^\circ$

Câu 7. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì:
A. Cắt nhau
B. Vuông góc với nhau
C. Trùng nhau
D. Song song với nhau

Câu 8. Tiên đề Euclid khẳng định: Qua một điểm ở ngoài đường thẳng:
A. Chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó
B. Có hai đường thẳng song song với đường thẳng đó
C. Có vô số đường thẳng song song với đường thẳng đó
D. Không có đường thẳng nào song song với đường thẳng đó

Câu 9. Trong định lí phát biểu dạng "Nếu A thì B", B được gọi là:
A. Giả thiết
B. Kết luận
C. Căn cứ
D. Hình vẽ

Câu 10. Cho $a \parallel b$ và $c \perp a$. Kết luận nào sau đây đúng?
A. $c \parallel b$
B. $c \perp b$
C. $c \equiv b$
D. $c$ không cắt $b$

Câu 11. Cho hình vẽ hai tia $Ax \parallel By$. Điểm $O$ nằm giữa sao cho $\widehat{xAO} = 35^\circ$ và $\widehat{OBy} = 45^\circ$ (hai tia cùng hướng sang phải). Số đo góc nhọn $\widehat{AOB}$ là:
A. $10^\circ$
B. $70^\circ$
C. $80^\circ$
D. $90^\circ$

Câu 12. Mệnh đề nào sau đây là SAI?
A. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau
B. Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh
C. Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc
D. Hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 điểm — 4 bài)

Bài 1 (2,0 điểm). Hai đường thẳng $xx'$ và $yy'$ cắt nhau tại điểm $O$ sao cho góc $\widehat{xOy} = 55^\circ$.
a) Tính số đo của các góc $\widehat{x'Oy'}, \widehat{xOy'}$ và $\widehat{x'Oy}$.
b) Vẽ tia phân giác $Ot$ của góc $\widehat{xOy}$. Tính số đo góc $\widehat{x'Ot}$.

Bài 2 (2,5 điểm). Cho hình vẽ: đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ và $b$ lần lượt tại $A$ và $B$. Biết góc $\widehat{A_1} = 120^\circ$ và góc $\widehat{B_3} = 120^\circ$ (hai góc so le ngoài). a) Chứng minh rằng $a \parallel b$.
b) Tính số đo góc trong cùng phía $\widehat{B_2}$ với góc $\widehat{A_3}$.
c) Đường thẳng $d$ vuông góc với đường thẳng $a$ tại điểm $H$. Chứng minh rằng đường thẳng $d$ cũng vuông góc với đường thẳng $b$.

Bài 3 (1,5 điểm). Cho tam giác $ABC$. Qua đỉnh $A$, kẻ đường thẳng $xy \parallel BC$ ($Ax$ nằm về phía $B$, $Ay$ nằm về phía $C$).
a) Chỉ ra các cặp góc so le trong tạo bởi đường thẳng $xy$ và cạnh $BC$.
b) Chứng minh rằng $\widehat{BAC} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.

Bài 4 (1,0 điểm — Dành cho học sinh giỏi phân hóa điểm 10).
Cho hai tia song song $Ax \parallel Cy$. Điểm $B$ nằm giữa hai tia sao cho góc $\widehat{xAB} = 140^\circ$ và góc $\widehat{ABC} = 70^\circ$ (tia $Ax$ hướng sang phải).
Hỏi tia $Cy$ hướng sang bên nào? Hãy tính số đo của góc $\widehat{BCy}$.

HƯỚNG DẪN CHẤM & ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1

Bảng đáp án trắc nghiệm (3,0 điểm)

Lời giải chi tiết phần tự luận (7,0 điểm)

• Bài 1 (2,0 điểm):

  • a) $\widehat{x'Oy'} = \widehat{xOy} = 55^\circ$ (hai góc đối đỉnh) (0,5 điểm).
    $$\widehat{xOy'} = 180^\circ - \widehat{xOy} = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$$ (hai góc kề bù) (0,5 điểm).
    $\widehat{x'Oy} = \widehat{xOy'} = 125^\circ$ (hai góc đối đỉnh) (0,25 điểm).
  • b) Vì $Ot$ là phân giác của $\widehat{xOy}$ nên: $\widehat{xOt} = \frac{55^\circ}{2} = 27{,}5^\circ$ (0,25 điểm).
    Vì tia $Ox$ và $Ox'$ đối nhau nên $$\widehat{x'Ot} = 180^\circ - \widehat{xOt} = 180^\circ - 27{,}5^\circ = 152{,}5^\circ$$ (0,5 điểm).

• Bài 2 (2,5 điểm):

  • a) Góc $\widehat{A_3}$ đối đỉnh với $\widehat{A_1}$ nên $\widehat{A_3} = 120^\circ$ (0,5 điểm).
    Ta có $\widehat{A_3} = \widehat{B_3} = 120^\circ$. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $a \parallel b$ (0,5 điểm).
  • b) Vì $a \parallel b$, hai góc trong cùng phía bù nhau: $$\widehat{B_2} = 180^\circ - \widehat{A_3} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$ (0,75 điểm).
  • c) Vì $a \parallel b$ và $d \perp a$ tại $H$, theo định lý từ vuông góc đến song song: $d \perp b$ (0,75 điểm).

• Bài 3 (1,5 điểm):

  • a) Hai cặp góc so le trong là: $\widehat{xAB}$ và $\widehat{ABC}$; $\widehat{yAC}$ và $\widehat{ACB}$ (0,5 điểm).
  • b) Vì $xy \parallel BC \implies \widehat{xAB} = \widehat{ABC}$ và $\widehat{yAC} = \widehat{ACB}$ (0,5 điểm).
    Mà $\widehat{xAB} + \widehat{BAC} + \widehat{yAC} = 180^\circ$ (góc bẹt $\widehat{xAy}$).
    Suy ra $\widehat{ABC} + \widehat{BAC} + \widehat{ACB} = 180^\circ$ (0,5 điểm).

• Bài 4 (1,0 điểm):

  • Qua $B$ kẻ tia $Bz \parallel Ax$ (hướng sang phải) (0,25 điểm).
    Hai góc $\widehat{xAB}$ và $\widehat{ABz}$ ở vị trí trong cùng phía nên: $\widehat{ABz} = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$ (0,25 điểm).
  • Ta có $$\widehat{zBC} = \widehat{ABC} - \widehat{ABz} = 70^\circ - 40^\circ = 30^\circ$$ (0,25 điểm).
  • Vì $Cy \parallel Ax \implies Cy \parallel Bz$.
    Để góc $\widehat{zBC} = 30^\circ$ thì tia $Cy$ phải hướng cùng phía với $Bz$ (hướng sang phải) và góc trong cùng phía $\widehat{BCy} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$ (hoặc góc so le trong bằng $30^\circ$ nếu hướng sang trái) (0,25 điểm).

ĐỀ SỐ 2: ĐỀ KIỂM TRA ĐỊNH KỲ CHƯƠNG III (45 PHÚT — ĐỀ NÂNG CAO)

MA TRẬN ĐỀ THI SỐ 2

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 điểm — 12 câu, mỗi câu 0,25 điểm)

Câu 1. Hai góc kề nhau là hai góc:
A. Có chung đỉnh và có chung một cạnh
B. Có chung đỉnh, chung một cạnh và hai cạnh còn lại nằm về hai phía đối nhau của đường thẳng chứa cạnh chung
C. Có tổng số đo bằng $180^\circ$
D. Có các cạnh là tia đối nhau

Câu 2. Cho $\widehat{xOy} = 120^\circ$. Góc đối đỉnh với $\widehat{xOy}$ có số đo bằng:
A. $60^\circ$
B. $90^\circ$
C. $120^\circ$
D. $180^\circ$

Câu 3. Cho hai góc kề bù $\widehat{A}$ và $\widehat{B}$, biết $\widehat{A} = 2\widehat{B}$. Số đo của góc $\widehat{B}$ là:
A. $60^\circ$
B. $120^\circ$
C. $45^\circ$
D. $90^\circ$

Câu 4. Cho cát tuyến $c$ cắt hai đường thẳng $a, b$. Có tất cả bao nhiêu cặp góc đồng vị?
A. $2$ cặp
B. $3$ cặp
C. $4$ cặp
D. $6$ cặp

Câu 5. Cho $a \parallel b$. Một cặp góc trong cùng phía có số đo là $(2x)^\circ$ và $(3x)^\circ$. Giá trị của $x$ là:
A. $x = 36$
B. $x = 45$
C. $x = 30$
D. $x = 18$

Câu 6. Cho ba đường thẳng phân biệt $a, b, c$. Nếu $a \parallel b$ và $b \parallel c$ thì:
A. $a \perp c$
B. $a \parallel c$
C. $a$ cắt $c$
D. $a \equiv c$

Câu 7. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì:
A. Song song với đường thẳng còn lại
B. Vuông góc với đường thẳng còn lại
C. Không cắt đường thẳng còn lại
D. Trùng với đường thẳng còn lại

Câu 8. Phát biểu nào sau đây diễn đạt đúng Tiên đề Euclid?
A. Qua điểm $M$ ngoài đường thẳng $a$, có ít nhất một đường thẳng song song với $a$
B. Qua điểm $M$ ngoài đường thẳng $a$, có duy nhất một đường thẳng song song với $a$
C. Qua điểm $M$ ngoài đường thẳng $a$, có vô số đường thẳng song song với $a$
D. Hai đường thẳng song song thì không bao giờ cắt nhau

Câu 9. Trong định lí: "Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau", giả thiết là:
A. Hai góc bằng nhau
B. Hai góc đối đỉnh
C. Hai đường thẳng cắt nhau
D. Bằng nhau

Câu 10. Để chứng minh định lí "Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau", ta có thể dùng phương pháp:
A. Đo bằng êke
B. Phản chứng hoặc chỉ ra cặp góc đồng vị bằng $90^\circ$
C. Thử nghiệm trên máy tính
D. Nhìn hình vẽ

Câu 11. Cho hình vẽ hai tia $Ax \parallel By$. Điểm $O$ nằm giữa sao cho $\widehat{xAO} = 50^\circ$ và $\widehat{AOB} = 90^\circ$ (hai tia $Ax, By$ cùng hướng sang phải). Số đo góc $\widehat{OBy}$ là:
A. $40^\circ$
B. $50^\circ$
C. $140^\circ$
D. $130^\circ$