Bài 9. Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

Trong đời sống thực tế và kỹ thuật công trình, hình ảnh hai đường thẳng song song hiện diện ở khắp mọi nơi:

• Hai thanh ray tàu hỏa luôn giữ khoảng cách đều đặn để đoàn tàu lao đi an toàn với vận tốc hàng trăm cây số mỗi giờ.
• Các thanh chắn của hàng rào, chấn song cửa sổ hay các bậc thang nối tiếp nhau đều được lắp đặt song song chuẩn xác.
• Các vạch kẻ trắng dành cho người đi bộ qua đường trên phố tạo thành các dải phân cách song song ngay ngắn.

Ở lớp 6, chúng ta đã làm quen với khái niệm trực quan: hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung, dù kéo dài mãi về cả hai phía. Nhưng làm thế nào một người thợ mộc hay một kỹ sư công trình kiểm tra được hai thanh kim loại dài hàng chục mét có thực sự song song với nhau hay không mà không cần kéo dài chúng vô tận?

Câu trả lời nằm ở bài học hôm nay: dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song thông qua các cặp góc tạo bởi một cát tuyến cắt hai đường thẳng. Chúng ta sẽ khám phá ba bộ quy tắc vàng: góc so le trong, góc đồng vị và góc trong cùng phía, cùng $5$ chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Olympic với kỹ thuật kẻ đường phụ zic-zac kinh điển!

Khởi động — Kiểm tra kiến thức nền tảng (5–7 phút)

Trước khi bước vào bài học mới, hãy cùng làm nhanh $5$ câu hỏi khởi động sau đây để kích hoạt tư duy hình học:

1. Khái niệm đường thẳng song song: Ở lớp 6, hai đường thẳng như thế nào được gọi là hai đường thẳng song song? Chúng có bao nhiêu điểm chung?
2. Tính chất đối đỉnh: Cho hai đường thẳng $xx'$ và $yy'$ cắt nhau tại điểm $O$. Nếu góc $\widehat{xOy} = 72^\circ$, hãy tính số đo ba góc còn lại tại đỉnh $O$.
3. Tính chất kề bù: Thế nào là hai góc kề bù? Cho biết $\widehat{AOB}$ và $\widehat{BOC}$ là hai góc kề bù, biết $\widehat{AOB} = 115^\circ$, tính số đo góc $\widehat{BOC}$.
4. Hai đường thẳng vuông góc: Hai đường thẳng vuông góc tạo thành bao nhiêu góc vuông? Ký hiệu vuông góc là gì?
5. Góc và tia phân giác: Cho góc $\widehat{mOn} = 84^\circ$, tia $Ot$ là tia phân giác của góc $\widehat{mOn}$. Tính số đo của góc $\widehat{mOt}$.

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Các cặp góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng

Giả sử có một đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B$. Đường thẳng $c$ được gọi là đường thẳng cắt hay cát tuyến (transversal).

Tại mỗi giao điểm $A$ và $B$, có $4$ góc được tạo thành. Theo quy ước, ta đánh số các góc từ $1$ đến $4$ theo chiều kim đồng hồ như hình vẽ dưới đây:

Dựa vào vị trí tương đối giữa các góc so với hai đường thẳng $a, b$ và cát tuyến $c$, ta phân loại thành ba nhóm góc quan trọng:

a) Hai góc so le trong (Hình chữ Z)

• Đặc điểm vị trí: Cả hai góc đều nằm ở miền trong (dải không gian kẹp giữa đường thẳng $a$ và đường thẳng $b$), nhưng nằm ở hai phía đối nhau (so le nhau) qua cát tuyến $c$.
• Các cặp góc so le trong:
  • Cặp thứ nhất: $\widehat{A_3}$ và $\widehat{B_1}$.
  • Cặp thứ hai: $\widehat{A_4}$ và $\widehat{B_2}$.
• Mẹo nhận dạng: Nếu nối hai cạnh của góc và đoạn thẳng nối hai đỉnh $AB$, ta thấy chúng tạo thành khung chữ Z hoặc chữ Z ngược.

b) Hai góc đồng vị (Hình chữ F)

• Đặc điểm vị trí: Cả hai góc nằm ở cùng một phía đối với cát tuyến $c$ và ở vị trí tương ứng giống nhau đối với hai đường thẳng $a, b$ (ví dụ: cùng ở phía trên bên phải, cùng ở phía dưới bên trái,...).
• Các cặp góc đồng vị ($4$ cặp):
  • $\widehat{A_1}$ và $\widehat{B_1}$ (cùng ở phía trên, bên phải cát tuyến).
  • $\widehat{A_2}$ và $\widehat{B_2}$ (cùng ở phía trên, bên trái cát tuyến).
  • $\widehat{A_3}$ và $\widehat{B_3}$ (cùng ở phía dưới, bên trái cát tuyến).
  • $\widehat{A_4}$ và $\widehat{B_4}$ (cùng ở phía dưới, bên phải cát tuyến).
• Mẹo nhận dạng: Hai góc đồng vị tạo thành khung hình chữ F (hoặc chữ F xoay các hướng).

c) Hai góc trong cùng phía (Hình chữ U hoặc chữ C)

• Đặc điểm vị trí: Cả hai góc đều nằm ở miền trong (giữa $a$ và $b$) và cùng nằm ở một phía đối với cát tuyến $c$.
• Các cặp góc trong cùng phía ($2$ cặp):
  • Cặp bên phải: $\widehat{A_4}$ và $\widehat{B_1}$.
  • Cặp bên trái: $\widehat{A_3}$ và $\widehat{B_2}$.
• Mẹo nhận dạng: Hai góc trong cùng phía tạo thành khung hình chữ U nằm ngang hoặc chữ C.

2. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Quan trọng

ĐỊNH LÝ (DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG): Nếu đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng phân biệt $a, b$ và trong các góc tạo thành có:

1. Một cặp góc so le trong bằng nhau;
2. HOẶC một cặp góc đồng vị bằng nhau;

thì hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau. Ký hiệu là $a \parallel b$.

Vì sao chỉ cần "MỘT cặp góc bằng nhau" là đủ?

Giả sử ta chỉ biết một cặp góc so le trong bằng nhau, ví dụ $\widehat{A_3} = \widehat{B_1} = 60^\circ$:

• Vì $\widehat{A_1}$ đối đỉnh với $\widehat{A_3} \implies \widehat{A_1} = \widehat{A_3} = 60^\circ$.
• Khi đó $\widehat{A_1} = \widehat{B_1} = 60^\circ$, nghĩa là cặp góc đồng vị tự động bằng nhau!
• Lại có $\widehat{A_4}$ kề bù với $\widehat{A_3} \implies \widehat{A_4} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
• Mặt khác $\widehat{B_2}$ kề bù với $\widehat{B_1} \implies \widehat{B_2} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
• Suy ra cặp góc so le trong thứ hai cũng bằng nhau: $\widehat{A_4} = \widehat{B_2} = 120^\circ$.
• Đồng thời ta xét tổng hai góc trong cùng phía:$$\widehat{A_4} + \widehat{B_1} = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ.$$Hai góc trong cùng phía bù nhau!

Do đó, chỉ cần một điều kiện thỏa mãn thì toàn bộ các quan hệ góc song song khác đều đồng loạt đúng!

3. Hai hệ quả quan trọng thường dùng trong giải toán

Từ dấu hiệu nhận biết nêu trên, ta rút ra hai hệ quả cực kỳ đắc lực trong mọi bài toán chứng minh:

Hệ quả 1: Hai góc trong cùng phía bù nhau

Ghi nhớ

Nếu đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a, b$ và trong các góc tạo thành có một cặp góc trong cùng phía bù nhau (tổng số đo bằng $180^\circ$) thì $a \parallel b$.

$$\widehat{A_4} + \widehat{B_1} = 180^\circ \implies a \parallel b.$$

Hệ quả 2: Từ vuông góc đến song song

Ghi nhớ

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

$$\begin{cases} a \perp c \\ b \perp c \\ a \neq b \end{cases} \implies a \parallel b.$$

Chứng minh: Vì $a \perp c$ tại $A$ nên $\widehat{A_1} = 90^\circ$. Vì $b \perp c$ tại $B$ nên góc đồng vị $\widehat{B_1} = 90^\circ$. Ta có $\widehat{A_1} = \widehat{B_1} = 90^\circ$, mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $a \parallel b$.

II. Bảng so sánh trực quan & Những sai lầm kinh điển

1. Bảng tóm tắt mô hình nhận diện

2. Bốn cạm bẫy học sinh rất hay mắc phải

Lưu ý / Cảnh báo

CẠM BẪY 1: Nhầm lẫn điều kiện "bằng nhau" của hai góc trong cùng phía

• Sai lầm: Học sinh thấy $\widehat{A_4} = \widehat{B_1} = 85^\circ$ liền vội vàng kết luận $a \parallel b$ vì "hai góc bằng nhau".
• Chỉnh lý đúng: Hai góc trong cùng phía phải bù nhau (tổng $= 180^\circ$) thì mới song song. Nếu $$\widehat{A_4} + \widehat{B_1} = 85^\circ + 85^\circ = 170^\circ \neq 180^\circ$$ thì hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau, tuyệt đối không song song!

Lưu ý / Cảnh báo

CẠM BẪY 2: Nhận diện sai cát tuyến chung Khi hình vẽ có nhiều đường thẳng giao nhau (như tam giác, hình thang, hình zic-zac), học sinh hay chọn nhầm hai góc bằng nhau nhưng thuộc về hai cát tuyến khác nhau.

• Quy tắc vàng: Muốn chỉ ra so le trong hay đồng vị, cạnh của hai góc đó bắt buộc phải cùng nằm trên một đoạn thẳng nối hai đỉnh (đó chính là cát tuyến chung).

Lưu ý / Cảnh báo

CẠM BẪY 3: Quên điều kiện "hai đường thẳng phân biệt"

• Khẳng định: "Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song" là CHƯA ĐẦY ĐỦ.
• Phải thêm từ "phân biệt": nếu hai đường thẳng đó trùng nhau thì chúng không song song.

Lưu ý / Cảnh báo

CẠM BẪY 4: Viết nhầm ký hiệu $\parallel$ và $\perp$

• Ký hiệu song song: hai nét thẳng đứng $\parallel$ (giống số $11$).
• Ký hiệu vuông góc: chữ T lộn ngược $\perp$. Tránh viết nhầm trong phần kết luận chứng minh.

III. Các dạng toán điển hình & Lời giải chi tiết

Dạng 1: Nhận biết và gọi tên các cặp góc trên hình vẽ

Phương pháp giải:

1. Xác định hai đường thẳng chính $a, b$ và cát tuyến $c$.
2. Xác định miền trong (khoảng không gian kẹp giữa $a$ và $b$) và miền ngoài.
3. So sánh vị trí của hai góc đối với cát tuyến $c$:
   • Nằm ở hai phía khác nhau và ở miền trong $\implies$ So le trong.
   • Cùng một phía và vị trí tương đương $\implies$ Đồng vị.
   • Nằm ở cùng một phía và ở miền trong $\implies$ Trong cùng phía.

Ví dụ 1

Cho hình vẽ bên dưới, đường thẳng $d$ cắt hai đường thẳng $m$ và $n$ lần lượt tại hai điểm $P$ và $Q$.

               d
               |
         m ----P----
               |
         n ----Q----
               |

Tại đỉnh $P$, ta có các góc $P_1, P_2, P_3, P_4$; tại đỉnh $Q$, có các góc $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4$ (đánh số theo chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ góc trên bên phải). Hãy chỉ ra: a) Hai cặp góc so le trong.
b) Bốn cặp góc đồng vị.
c) Hai cặp góc trong cùng phía.

Lời giải:

• a) Hai cặp góc so le trong là: $\widehat{P_3}$ và $\widehat{Q_1}$; $\widehat{P_4}$ và $\widehat{Q_2}$.
• b) Bốn cặp góc đồng vị là:
  • $\widehat{P_1}$ và $\widehat{Q_1}$;
  • $\widehat{P_2}$ và $\widehat{Q_2}$;
  • $\widehat{P_3}$ và $\widehat{Q_3}$;
  • $\widehat{P_4}$ và $\widehat{Q_4}$.
• c) Hai cặp góc trong cùng phía là: $\widehat{P_4}$ và $\widehat{Q_1}$; $\widehat{P_3}$ và $\widehat{Q_2}$.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song khi biết số đo góc

Phương pháp giải:

1. Quan sát hai góc đã cho trên hình vẽ và xác định mối quan hệ vị trí của chúng (so le trong, đồng vị, hay trong cùng phía).
2. Kiểm tra điều kiện số đo:
   • Nếu so le trong mà có số đo bằng nhau $\implies$ song song.
   • Nếu đồng vị mà có số đo bằng nhau $\implies$ song song.
   • Nếu trong cùng phía mà tổng số đo bằng $180^\circ$ $\implies$ song song.
3. Trình bày bài toán theo cấu trúc suy luận $3$ bước:
   • Bước 1: Chỉ ra hai góc bằng nhau (hoặc tổng bằng $180^\circ$).
   • Bước 2: Nêu rõ vị trí của hai góc đó (so le trong / đồng vị / trong cùng phía).
   • Bước 3: Kết luận hai đường thẳng song song theo dấu hiệu nhận biết.

Ví dụ 2

Cho hình vẽ, đường thẳng $xy$ cắt đường thẳng $uv$ tại điểm $M$ và cắt đường thẳng $zt$ tại điểm $N$. Biết rằng $\widehat{xMv} = 75^\circ$ và $\widehat{MNt} = 75^\circ$. Chứng minh rằng $uv \parallel zt$.

Lời giải: Ta có $\widehat{xMv} = 75^\circ$ và $$\widehat{MNt} = 75^\circ \implies \widehat{xMv} = \widehat{MNt} = 75^\circ.$$ Mà hai góc $\widehat{xMv}$ và $\widehat{MNt}$ ở vị trí đồng vị đối với hai đường thẳng $uv, zt$ bị cắt bởi cát tuyến $xy$.
Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, suy ra $uv \parallel zt.$

Ví dụ 3

Cho đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ và $b$ lần lượt tại $A$ và $B$. Biết rằng góc trong cùng phía $\widehat{A_4} = 125^\circ$ và góc trong cùng phía $\widehat{B_1} = 55^\circ$. Hỏi hai đường thẳng $a$ và $b$ có song song với nhau không? Vì sao?

Lời giải: Xét tổng số đo của hai góc $\widehat{A_4}$ và $\widehat{B_1}$:

Vì hai góc $\widehat{A_4}$ và $\widehat{B_1}$ là hai góc trong cùng phía và có tổng số đo bằng $180^\circ$ (bù nhau), nên theo hệ quả của dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, ta kết luận:

Dạng 3: Tính góc gián tiếp (kết hợp kề bù, đối đỉnh) để chứng minh song song

Phương pháp giải: Đôi khi bài toán cho hai góc chưa nằm ở vị trí so le trong hay đồng vị trực tiếp (ví dụ: một góc ở miền ngoài, góc kia ở miền trong nhưng khác phía). Khi đó, ta sử dụng tính chất kề bù ($180^\circ$) hoặc đối đỉnh (bằng nhau) tại một đỉnh để tính ra số đo của một góc trung gian, đưa về cặp góc so le trong hoặc đồng vị quen thuộc.

Ví dụ 4

Cho hình vẽ, cát tuyến $c$ cắt hai đường thẳng $a$ và $b$ tại $A$ và $B$. Biết rằng góc ngoài $\widehat{A_1} = 110^\circ$ và góc $\widehat{B_3} = 110^\circ$. Chứng minh $a \parallel b$.

Lời giải: Tại đỉnh $A$, hai góc $\widehat{A_1}$ và $\widehat{A_3}$ là hai góc đối đỉnh. Suy ra:

Mặt khác, theo giả thiết ta có:

Do đó:

Mà hai góc $\widehat{A_3}$ và $\widehat{B_3}$ nằm ở vị trí đồng vị đối với hai đường thẳng $a, b$ bị cắt bởi cát tuyến $c$.
Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, suy ra $a \parallel b.$

Dạng 4: Tìm giá trị chưa biết $x$ để hai đường thẳng song song

Phương pháp giải:

1. Xác định vị trí của hai biểu thức chứa $x$ (so le trong, đồng vị, trong cùng phía).
2. Thiết lập phương trình theo định lý nhận biết:
   • Nếu là cặp góc so le trong hoặc đồng vị: Cho hai biểu thức bằng nhau.
   • Nếu là cặp góc trong cùng phía: Cho tổng hai biểu thức bằng $180^\circ$.
3. Giải phương trình tìm $x$ và kiểm tra điều kiện góc dương ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$).

Ví dụ 5

Cho cát tuyến $c$ cắt hai đường thẳng $a$ và $b$ tại $A$ và $B$. Biết hai góc so le trong có số đo là $\widehat{A_3} = (3x + 15)^\circ$ và $\widehat{B_1} = (5x - 25)^\circ$. a) Tìm $x$ để hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau.
b) Với giá trị $x$ tìm được, tính số đo của mỗi góc $\widehat{A_3}$ và $\widehat{B_1}$.

Lời giải: a) Để hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau, cặp góc so le trong $\widehat{A_3}$ và $\widehat{B_1}$ phải có số đo bằng nhau. Ta có phương trình:

Chuyển vế và đổi dấu:

Vậy với $x = 20$ thì $a \parallel b.$

b) Thay $x = 20$ vào công thức số đo góc:

Cả hai góc đều bằng $75^\circ$, thỏa mãn điều kiện góc nhọn.

Dạng 5: Bài toán ứng dụng thực tế

Ví dụ 6 (Thi công giàn xà gồ mái tôn chống bão)

Một kỹ sư xây dựng thiết kế giàn vì kèo mái nhà bằng thép như hình vẽ. Hai thanh xà gồ ngang $a$ và $b$ được đỡ bởi một thanh dầm nghiêng $c$. Người thợ cơ khí đo được góc tạo bởi thanh xà gồ trên $a$ với thanh dầm $c$ phía bên trong là $\alpha = 118^\circ$. Hỏi để hai thanh xà gồ $a$ và $b$ hoàn toàn song song với nhau (đảm bảo mái tôn phẳng tuyệt đối và chịu lực đồng đều), góc trong cùng phía $\beta$ mà người thợ cần hàn cố định thanh $b$ vào thanh dầm $c$ phải bằng bao nhiêu độ?

Lời giải: Hai thanh xà gồ $a$ và $b$ bị cắt bởi thanh dầm $c$. Góc $\alpha$ và góc $\beta$ là hai góc ở vị trí trong cùng phía. Để hai thanh xà gồ $a$ và $b$ song song với nhau ($a \parallel b$), hai góc trong cùng phía này phải bù nhau, tức là tổng số đo của chúng phải bằng $180^\circ$:

Vậy người thợ cần hàn thanh $b$ tạo với thanh dầm $c$ một góc $\beta = 62^\circ$.

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác (Quiz)

Hãy kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của bạn qua $10$ câu hỏi trắc nghiệm sau:

V. 5 Chuyên đề Olympic & Học sinh giỏi (HSG) bứt phá

Các bài toán hình học trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, Tỉnh hay các kỳ thi Olympic Toán quốc tế (như SASMO, AMO, IMAS) thường không dừng lại ở việc nhận biết trực tiếp mà đòi hỏi học sinh phải kẻ thêm yếu tố phụ, biến đổi góc linh hoạt và phát hiện mô hình ẩn. Dưới đây là $5$ chuyên đề bồi dưỡng then chốt:

Chuyên đề 1: Kỹ thuật kẻ đường thẳng phụ song song qua đỉnh góc zic-zac (Mô hình chữ M và chữ W)

Mẹo hay

BÍ QUYẾT KẺ ĐƯỜNG PHỤ: Khi gặp hình vẽ có "đường gấp khúc" (như tia $Ax$ và tia $By$ nối với nhau qua đỉnh gãy $O$, tạo thành hình chữ V hoặc chữ M), phương pháp tối ưu nhất là: Qua đỉnh gãy $O$, kẻ một đường thẳng $Oz$ song song với một trong hai đường đã cho ($Oz \parallel Ax$). Khi đó góc tại đỉnh $O$ sẽ được chia thành hai góc nhỏ, mỗi góc nhỏ sẽ so le trong hoặc trong cùng phía với các góc ở hai đầu mút!

Bài toán 1.1 (Mô hình chữ M kinh điển)

Cho hình vẽ bên dưới: tia $Ax$ song song với tia $By$. Một điểm $O$ nằm giữa hai đường thẳng sao cho tia $OA$ và tia $OB$ tạo thành góc nhọn $\widehat{AOB}$. Biết rằng $\widehat{xAO} = 35^\circ$ và $\widehat{OBy} = 45^\circ$ (hai tia $Ax, By$ cùng hướng sang phải). Tính số đo của góc $\widehat{AOB}$.

      A -------------------> x
       \
        \
         O
        /
       /
      B -------------------> y

Lời giải: Qua điểm $O$, kẻ tia $Oz$ song song với tia $Ax$ và hướng cùng chiều sang phải ($Oz \parallel Ax$). Vì $Ax \parallel By$ và $Oz \parallel Ax$ nên suy ra $Oz \parallel By$.

1. Xét $Ax \parallel Oz$ bị cắt bởi cát tuyến $AO$: Hai góc $\widehat{xAO}$ và $\widehat{AOz}$ là hai góc so le trong. Suy ra:

   $$\widehat{AOz} = \widehat{xAO} = 35^\circ.$$

2. Xét $Oz \parallel By$ bị cắt bởi cát tuyến $BO$: Hai góc $\widehat{zOB}$ và $\widehat{OBy}$ là hai góc so le trong. Suy ra:

   $$\widehat{zOB} = \widehat{OBy} = 45^\circ.$$

3. Vì tia $Oz$ nằm giữa hai tia $OA$ và $OB$, ta có:

   $$\widehat{AOB} = \widehat{AOz} + \widehat{zOB} = 35^\circ + 45^\circ = 80^\circ.$$

   Vậy $\widehat{AOB} = 80^\circ.$

Tổng quát hóa định lý: Trong mô hình chữ M quay cùng hướng:

Chuyên đề 2: Tính chất hai tia phân giác của hai góc so le trong và hai góc đồng vị

Quan trọng

ĐỊNH LÝ PHÂN GIÁC SONG SONG: Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$ bị cắt bởi cát tuyến $c$.

1. Hai tia phân giác của hai góc so le trong thì song song với nhau.
2. Hai tia phân giác của hai góc đồng vị thì song song với nhau.

Bài toán 2.1 (Chứng minh định lý phân giác so le trong)

Cho $a \parallel b$ bị cắt bởi đường thẳng $c$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Gọi $Am$ là tia phân giác của góc $\widehat{A_3}$ và $Bn$ là tia phân giác của góc $\widehat{B_1}$ (với $\widehat{A_3}$ và $\widehat{B_1}$ là hai góc so le trong). Chứng minh rằng $Am \parallel Bn$.

Lời giải: Vì $a \parallel b$ nên hai góc so le trong bằng nhau:

Mặt khác:

• Vì $Am$ là tia phân giác của góc $\widehat{A_3}$ nên:$$\widehat{mAB} = \frac{1}{2} \widehat{A_3}.$$
• Vì $Bn$ là tia phân giác của góc $\widehat{B_1}$ nên:$$\widehat{nBA} = \frac{1}{2} \widehat{B_1}.$$Từ đó suy ra:$$\widehat{mAB} = \widehat{nBA}.$$Xét hai đường thẳng chứa tia $Am$ và tia $Bn$ bị cắt bởi cát tuyến $AB$: Hai góc $\widehat{mAB}$ và $\widehat{nBA}$ ở vị trí so le trong và có số đo bằng nhau.
  Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, suy ra:$$Am \parallel Bn.$$(Điều phải chứng minh).

Chuyên đề 3: Tính chất hai tia phân giác của hai góc trong cùng phía

Quan trọng

ĐỊNH LÝ PHÂN GIÁC VUÔNG GÓC: Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$ bị cắt bởi cát tuyến $c$. Hai tia phân giác của hai góc trong cùng phía thì vuông góc với nhau.

Bài toán 3.1

Cho $a \parallel b$ bị cắt bởi đường thẳng $c$ tại $A$ và $B$. Lấy cặp góc trong cùng phía $\widehat{A_4}$ và $\widehat{B_1}$. Vẽ tia phân giác $Ax$ của góc $\widehat{A_4}$ và tia phân giác $By$ của góc $\widehat{B_1}$. Gọi giao điểm của hai tia này là điểm $I$. Chứng minh rằng tam giác $AIB$ vuông tại $I$, tức là $Ax \perp By$.

Lời giải: Vì $a \parallel b$ nên hai góc trong cùng phía $\widehat{A_4}$ và $\widehat{B_1}$ bù nhau:

Vì $Ax$ là tia phân giác của $\widehat{A_4}$ nên:

Vì $By$ là tia phân giác của $\widehat{B_1}$ nên:

Xét tổng hai góc trong tam giác $IAB$:

Xét tam giác $IAB$, tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$:

Suy ra $Ax \perp By$ tại điểm $I$. (Điều phải chứng minh).

Chuyên đề 4: Định lý góc có cạnh tương ứng song song

Ghi nhớ

Cho hai góc $\widehat{xOy}$ và $\widehat{x'O'y'}$. Nếu cạnh $Ox \parallel O'x'$ và $Oy \parallel O'y'$ thì:

• $\widehat{xOy} = \widehat{x'O'y'}$ (nếu cả hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù).
• $\widehat{xOy} + \widehat{x'O'y'} = 180^\circ$ (nếu một góc nhọn và một góc tù).

Bài toán 4.1

Cho góc nhọn $\widehat{xOy} = 50^\circ$. Lấy điểm $A$ nằm ngoài góc đó. Qua $A$, vẽ đường thẳng $d_1 \parallel Ox$ và đường thẳng $d_2 \parallel Oy$. Hai đường thẳng $d_1, d_2$ cắt nhau tại $A$ tạo thành $4$ góc. Hãy tính số đo của cả $4$ góc tại đỉnh $A$.

Lời giải: Kéo dài đường thẳng $d_2$ cắt tia $Ox$ tại điểm $K$.

1. Vì $d_2 \parallel Oy$ nên xét cát tuyến $Ox$: Góc nhọn tạo bởi $d_2$ và $Ox$ là góc đồng vị với góc $\widehat{xOy}$, do đó có số đo bằng $50^\circ$.
2. Lại xét $d_1 \parallel Ox$ bị cắt bởi cát tuyến $d_2$: Các góc tại đỉnh $A$ tạo với cát tuyến $d_2$ tương ứng so le trong và đồng vị với góc tại đỉnh $K$. Do đó, trong $4$ góc tại đỉnh $A$:
   • Hai góc nhọn đối đỉnh có số đo bằng $50^\circ$.
   • Hai góc tù kề bù có số đo bằng $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Chuyên đề 5: Phương pháp biểu diễn đại số & Thiết lập hệ phương trình góc

Trong các đề thi học sinh giỏi, mối liên hệ giữa các góc thường được biểu diễn dưới dạng biểu thức đại số phức tạp, tỉ lệ thức hoặc phương trình bậc nhất nhiều ẩn.

Bài toán 5.1

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ bị cắt bởi đường thẳng $c$ tại $A$ và $B$. Biết rằng trong các góc tạo thành, góc trong cùng phía $\widehat{A_4}$ và $\widehat{B_1}$ thỏa mãn hệ thức:

Tìm số đo của hai góc $\widehat{A_4}$ và $\widehat{B_1}$ để đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $b$.

Lời giải: Để đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $b$, hai góc trong cùng phía $\widehat{A_4}$ và $\widehat{B_1}$ phải bù nhau, tức là:

Thay biểu thức của $\widehat{A_4}$ vào điều kiện đã cho:

Thu gọn phương trình:

Từ đó suy ra số đo của góc $\widehat{A_4}$:

Kiểm tra lại: $130^\circ - 2 \cdot 50^\circ = 130^\circ - 100^\circ = 30^\circ$ (chính xác). Vậy để $a \parallel b$ thì $\widehat{A_4} = 130^\circ$ và $\widehat{B_1} = 50^\circ.$

VI. Bộ đề kiểm tra chuẩn hóa

ĐỀ 1: KIỂM TRA 15 PHÚT (Đánh giá mức độ nhận biết & thông hiểu)

A. Trắc nghiệm (6 điểm — Mỗi câu 1 điểm)

Câu 1. Cho đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ và $b$. Hai góc nằm ở miền trong và ở hai phía đối nhau của cát tuyến $c$ được gọi là:
A. Hai góc đồng vị.
B. Hai góc so le trong.
C. Hai góc trong cùng phía.
D. Hai góc đối đỉnh.

Câu 2. Cho hình vẽ, biết $\widehat{A_1} = 65^\circ$ và góc đồng vị $\widehat{B_1} = 65^\circ$. Kết luận nào sau đây đúng?
A. $a \perp b$.
B. $a \parallel b$.
C. $a$ cắt $b$.
D. $a \equiv b$.

Câu 3. Cho hai đường thẳng phân biệt $m$ và $n$. Nếu $m \perp d$ và $n \perp d$ thì:
A. $m \parallel n$.
B. $m \perp n$.
C. $m$ cắt $n$.
D. $m$ trùng $n$.

Câu 4. Cho $a \parallel b$ bị cắt bởi cát tuyến $c$. Một góc trong cùng phía bằng $124^\circ$. Góc trong cùng phía còn lại có số đo là:
A. $124^\circ$.
B. $66^\circ$.
C. $56^\circ$.
D. $90^\circ$.

Câu 5. Cho góc $\widehat{xOy} = 70^\circ$. Lấy điểm $M$ trên tia $Ox$. Qua $M$ kẻ tia $Mz$ sao cho $\widehat{xMz} = 70^\circ$ (tia $Mz$ nằm cùng phía với tia $Oy$ đối với bờ $Ox$). Khi đó:
A. $Mz \perp Oy$.
B. $Mz \parallel Oy$.
C. $Mz$ cắt $Oy$.
D. $Mz \equiv Oy$.

Câu 6. Điều kiện nào sau đây KHÔNG chứng minh được hai đường thẳng song song?
A. Một cặp góc so le trong bằng nhau.
B. Một cặp góc đồng vị bằng nhau.
C. Một cặp góc trong cùng phía bù nhau.
D. Một cặp góc trong cùng phía bằng nhau.

B. Tự luận (4 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm). Cho hình vẽ sau. Biết $\widehat{xAB} = 130^\circ$ và $\widehat{ABy} = 50^\circ$. Hai góc này nằm ở vị trí trong cùng phía. Hỏi hai tia $Ax$ và $By$ có song song với nhau không? Vì sao?

Bài 2 (2,0 điểm). Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ bị cắt bởi đường thẳng $c$ tại $A$ và $B$. Biết góc $\widehat{A_2} = 115^\circ$ và góc $\widehat{B_4} = 115^\circ$ (đây là hai góc ngoài so le nhau). Hãy chứng minh rằng $a \parallel b$.

HƯỚNG DẪN CHẤM & ĐÁP ÁN ĐỀ 15 PHÚT

Bảng đáp án trắc nghiệm

Hướng dẫn tự luận

• Bài 1 (2,0 điểm):

  • Ta có: $\widehat{xAB} + \widehat{ABy} = 130^\circ + 50^\circ = 180^\circ$ (1,0 điểm).
  • Mà hai góc $\widehat{xAB}$ và $\widehat{ABy}$ là hai góc ở vị trí trong cùng phía (0,5 điểm).
  • Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, suy ra $Ax \parallel By$ (0,5 điểm).

• Bài 2 (2,0 điểm):

  • Tại đỉnh $A$, hai góc $\widehat{A_2}$ và $\widehat{A_4}$ đối đỉnh nên: $\widehat{A_4} = \widehat{A_2} = 115^\circ$ (0,75 điểm).
  • Ta có $\widehat{A_4} = \widehat{B_4} = 115^\circ$ (0,5 điểm).
  • Mà hai góc $\widehat{A_4}$ và $\widehat{B_4}$ ở vị trí đồng vị đối với hai đường thẳng $a, b$ bị cắt bởi cát tuyến $c$ (0,5 điểm).
  • Suy ra $a \parallel b$ (0,25 điểm).

ĐỀ 2: KIỂM TRA 45 PHÚT (Đề 1 tiết định kỳ — Phân hóa toàn diện)

MA TRẬN ĐỀ THI

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (4,0 điểm — 8 câu, mỗi câu 0,5 điểm)

Câu 1. Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong:
A. Kề nhau.
B. Bù nhau.
C. Bằng nhau.
D. Đối đỉnh.

Câu 2. Cho hình chữ nhật $ABCD$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $AB \parallel CD$.
B. $AD \parallel BC$.
C. $AB \perp AD$.
D. $AC \parallel BD$.

Câu 3. Cho đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a, b$ tại $A, B$. Để $a \parallel b$ thì cặp góc trong cùng phía phải:
A. Có tổng bằng $90^\circ$.
B. Có tổng bằng $180^\circ$.
C. Bằng nhau.
D. Có hiệu bằng $0^\circ$.

Câu 4. Cho $\widehat{xOy} = 60^\circ$. Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$, trên tia $Oy$ lấy điểm $B$. Vẽ tia $Am$ sao cho $\widehat{OAm} = 60^\circ$ ($Am$ và $Oy$ cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia $Ox$). Khi đó:
A. $Am \parallel Oy$.
B. $Am \perp Oy$.
C. $Am$ cắt $Oy$.
D. $Am \perp Ox$.

Câu 5. Cho ba đường thẳng phân biệt $a, b, c$. Biết $a \perp c$ và $b \perp c$. Kết luận nào sau đây đúng?
A. $a \perp b$.
B. $a \parallel b$.
C. $a$ trùng với $b$.
D. $a$ cắt $b$.

Câu 6. Cho $a \parallel b$. Biết góc so le trong $\widehat{A_3} = 3x - 10^\circ$ và góc $\widehat{B_1} = 2x + 20^\circ$. Giá trị của $x$ là:
A. $x = 10$.
B. $x = 20$.
C. $x = 30$.
D. $x = 40$.

Câu 7. Cho hình vẽ có $\widehat{A} = 40^\circ, \widehat{B} = 40^\circ$. Hai góc này nằm ở vị trí so le trong. Góc đối đỉnh với góc $\widehat{A}$ có số đo là:
A. $140^\circ$.
B. $40^\circ$.
C. $50^\circ$.
D. $90^\circ$.

Câu 8. Phát biểu nào sau đây là ĐÚNG NHẤT?
A. Hai đường thẳng không cắt nhau thì song song.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung trên mặt phẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng có độ dài bằng nhau thì song song.
D. Hai đoạn thẳng không cắt nhau thì song song.

PHẦN II. TỰ LUẬN (6,0 điểm — 3 bài)

Bài 1 (3,0 điểm). Cho hình vẽ dưới đây, biết đường thẳng $c$ vuông góc với đường thẳng $a$ tại điểm $A$, đường thẳng $c$ vuông góc với đường thẳng $b$ tại điểm $B$. Một đường thẳng $d$ cắt đường thẳng $a$ tại $C$ và cắt đường thẳng $b$ tại $D$ sao cho góc $\widehat{ACD} = 120^\circ$.

      c
      |
  a --A--------C-------
      |         \
      |          \
  b --B-----------D----
      |

a) Chứng minh rằng đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $b$.
b) Tính số đo của góc $\widehat{CDB}$ (góc trong cùng phía với $\widehat{ACD}$) và góc $\widehat{b D d_1}$ (góc so le trong với $\widehat{ACD}$).

Bài 2 (2,0 điểm). Cho góc nhọn $\widehat{xOy} = 70^\circ$. Điểm $A$ nằm trên tia $Ox$ ($A$ khác $O$). Qua $A$, kẻ tia $At$ song song với tia $Oy$ (tia $At$ nằm trong góc $\widehat{xOy}$). a) Tính số đo góc $\widehat{OAt}$.
b) Kẻ tia phân giác $Om$ của góc $\widehat{xOy}$ và tia phân giác $An$ của góc $\widehat{xAt}$. Chứng minh rằng tia $Om$ song song với tia $An$.