Bài 24. Biểu thức đại số

Từ những năm tiểu học và đầu lớp 6, các em đã quen thuộc với những biểu thức số học như $3 \times 5 + 4$ hay $12^2 - 7$. Tuy nhiên, trong cuộc sống thực tế, các đại lượng không phải lúc nào cũng là một con số cố định. Giá cước taxi thay đổi theo số kilômét đi được, diện tích mảnh đất thay đổi theo kích thước xây dựng, và số tiền điện hàng tháng biến động theo lượng điện tiêu thụ trong gia đình.

Để mô tả những quy luật tổng quát cho mọi tình huống mà không cần viết lại phép tính cho từng con số riêng lẻ, các nhà toán học đã đưa vào các chữ cái đại diện: $x, y, z, a, b\dots$ Những biểu thức kết hợp giữa các con số, các chữ cái đại diện cho biến và các phép toán được gọi là Biểu thức đại số (Algebraic Expression). Biểu thức đại số chính là chiếc chìa khóa vạn năng mở ra cánh cửa của toàn bộ môn Đại số học và Khoa học máy tính hiện đại!

Khởi động — Ôn luyện phản xạ nền tảng (5–7 phút)

Hãy thực hiện nhanh $5$ câu hỏi khởi động sau:

1. Chu vi và Diện tích hình vuông: Viết công thức tính chu vi $P$ và diện tích $S$ của một hình vuông có cạnh bằng $a$.
2. Diện tích hình chữ nhật: Một hình chữ nhật có chiều dài là $a$ và chiều rộng là $b$. Viết công thức tính diện tích $S$ của hình chữ nhật đó.
3. Thay số tính nhẩm: Cho biểu thức $A = 3x + 5$. Hãy tính giá trị của $A$ khi $x = 2$; $x = 0$; $x = -1$.
4. Viết gọn: Viết gọn các tích sau theo quy ước toán học: $a \times a \times a$; $4 \times x \times y$; $1 \times m$.
5. Dịch từ lời sang công thức: Hãy viết biểu thức diễn đạt: "Tổng của số $x$ và bình phương của số $y$".

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Khái niệm Biểu thức đại số

Quan trọng

ĐỊNH NGHĨA: Biểu thức đại số là biểu thức gồm các số, các chữ cái (đại diện cho các số) và các dấu phép toán (cộng $+$, trừ $-$, nhân $\times$, chia $:$, nâng lên lũy thừa) nối các số và chữ đó lại với nhau.

• Các chữ cái trong biểu thức đại số dùng để đại diện cho những số tùy ý được gọi là biến số (gọi tắt là biến).
• Những chữ cái đại diện cho các số xác định cố định được gọi là hằng số (gọi tắt là hằng).

Ví dụ:

• $4x + 7$ là biểu thức đại số của biến $x$.
• $3a^2 - 2ab + 5b^2$ là biểu thức đại số của hai biến $a$ và $b$.
• $\frac{x + 1}{x - 2}$ là biểu thức đại số của biến $x$ (với điều kiện $x \neq 2$).
• Một biểu thức số (như $3^2 + 5$) cũng được coi là một biểu thức đại số đặc biệt (không chứa biến).

2. Quy ước viết biểu thức đại số gọn gàng

Để biểu thức đại số rõ ràng và thuận tiện trong tính toán, các nhà toán học đã thống nhất các quy ước sau:

1. Bỏ dấu nhân ($\times$ hoặc $\cdot$):
   • Giữa các biến: Viết $xy$ thay vì $x \times y$.
   • Giữa số và biến: Viết $5x$ thay vì $5 \times x$.
   • Giữa số (hoặc biến) với dấu ngoặc: Viết $3(x + y)$ thay vì $3 \times (x + y)$.
2. Quy tắc về hệ số:
   • Trong một tích, số viết trước, chữ viết sau theo thứ tự bảng chữ cái: Viết $6x^2y$ chứ không viết $x^2 6 y$.
   • Khi hệ số là $1$, ta không viết số $1$: Viết $x$ thay vì $1x$.
   • Khi hệ số là $-1$, ta viết dấu trừ: Viết $-xy$ thay vì $(-1)xy$.
3. Phép chia: Phép chia thường được viết dưới dạng phân thức: Viết $\frac{x + 2}{y}$ thay vì $(x + 2) : y$.
4. Lũy thừa: Viết gọn các tích của nhiều biến giống nhau bằng lũy thừa: $x \cdot x \cdot x = x^3$.

3. Giá trị của một Biểu thức đại số

Quan trọng

QUY TRÌNH TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC: Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thực hiện theo $3$ bước:

• Bước 1: Thay các giá trị cho trước của biến vào vị trí tương ứng trong biểu thức. (Lưu ý: Nếu giá trị thay vào là số âm hoặc phân số, cần đặt trong dấu ngoặc đơn).
• Bước 2: Thực hiện các phép tính theo thứ tự ưu tiên:
  • Lũy thừa $\to$ Nhân và chia $\to$ Cộng và trừ.
  • Trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau.
• Bước 3: Kết luận giá trị của biểu thức tại các giá trị tương ứng của biến.

II. Các dạng toán trọng tâm và Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Viết biểu thức đại số từ lời văn mô tả

Phương pháp giải:

1. Đọc kỹ đề bài, xác định các đại lượng tham gia và các biến số được gọi tên.
2. Xác định các phép toán tương ứng với từ khóa trong lời văn:
   • "Tổng", "tăng thêm", "nhiều hơn" $\to$ Phép cộng ($+$).
   • "Hiệu", "giảm đi", "ít hơn" $\to$ Phép trừ ($-$).
   • "Tích", "gấp $k$ lần" $\to$ Phép nhân ($\times$).
   • "Thương", "giảm đi $k$ lần", "chia đều" $\to$ Phép chia ($:$ hoặc phân số).
   • "Bình phương", "lập phương" $\to$ Lũy thừa bậc 2, bậc 3 ($x^2, x^3$).

Bài toán 1:

Hãy viết biểu thức đại số biểu thị: a) Hiệu của $a$ và bình phương của $b$. b) Bình phương của hiệu giữa $a$ và $b$. c) Tích của tổng hai số $x, y$ với hiệu của hai số đó. d) Quãng đường đi được (km) của một ô tô chuyển động trong $t$ giờ với vận tốc $55\text{ km/h}$. e) Tổng số tiền (nghìn đồng) phải trả khi mua $x$ quyển vở giá $12$ nghìn đồng/quyển và $y$ chiếc bút bi giá $6$ nghìn đồng/chiếc.

Lời giải:

a) "Bình phương của $b$" là $b^2$. Vậy hiệu của $a$ và bình phương của $b$ là:

b) "Hiệu giữa $a$ và $b$" là $(a - b)$. Vậy bình phương của hiệu là:

(Lưu ý: Phân biệt rõ $a - b^2$ và $(a - b)^2$ để không bị nhầm lẫn!)

c) "Tổng hai số" là $(x + y)$, "hiệu hai số" là $(x - y)$. Tích của chúng là:

d) Áp dụng công thức quãng đường $s = v \cdot t$:

e) Số tiền mua vở là $12x$, số tiền mua bút là $6y$. Tổng số tiền phải trả là:

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức đại số

Phương pháp giải: Thay số cẩn thận, đặc biệt lưu ý quy tắc dấu khi thay số âm vào lũy thừa:

• $(-a)^2 = a^2$ (lũy thừa bậc chẵn của số âm là số dương).
• $(-a)^3 = -a^3$ (lũy thừa bậc lẻ của số âm là số âm).
• $-a^2 = -(a^2)$ (dấu trừ ở ngoài lũy thừa).

Bài toán 2:

Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $A = 2x^2 - 5x + 3$ tại $x = 3$ và tại $x = -2$. b) $B = 3x^2y - 2xy^2 + 1$ tại $x = -1$ và $y = 2$. c) $C = \frac{2x - y}{x + 3y}$ tại $x = 5$ và $y = -1$.

Lời giải:

a) Xét biểu thức $A = 2x^2 - 5x + 3$:

• Thay $x = 3$ vào $A$:

  $$A = 2 \cdot (3)^2 - 5 \cdot (3) + 3 = 2 \cdot 9 - 15 + 3 = 18 - 15 + 3 = 6$$

  Vậy giá trị của $A$ tại $x = 3$ là $6$.

• Thay $x = -2$ vào $A$:

  $$A = 2 \cdot (-2)^2 - 5 \cdot (-2) + 3 = 2 \cdot 4 + 10 + 3 = 8 + 10 + 3 = 21$$

  Vậy giá trị của $A$ tại $x = -2$ là $21$.

b) Xét biểu thức $B = 3x^2y - 2xy^2 + 1$:

• Thay $x = -1$ và $y = 2$ vào $B$:$$B = 3 \cdot (-1)^2 \cdot (2) - 2 \cdot (-1) \cdot (2)^2 + 1$$$$B = 3 \cdot 1 \cdot 2 - 2 \cdot (-1) \cdot 4 + 1 = 6 - (-8) + 1 = 6 + 8 + 1 = 15$$Vậy giá trị của $B$ tại $x = -1; y = 2$ là $15$.

c) Xét biểu thức $C = \frac{2x - y}{x + 3y}$:

• Điều kiện mẫu số: $x + 3y = 5 + 3(-1) = 2 \neq 0$ (thỏa mãn).
• Thay $x = 5$ và $y = -1$ vào $C$:$$C = \frac{2 \cdot (5) - (-1)}{5 + 3 \cdot (-1)} = \frac{10 + 1}{5 - 3} = \frac{11}{2} = 5.5$$Vậy giá trị của $C$ tại $x = 5; y = -1$ là $\frac{11}{2}$.

Dạng 3: Tìm giá trị của biến để biểu thức nhận giá trị cho trước

Phương pháp giải:

1. Cho biểu thức bằng giá trị đề bài yêu cầu: $A(x) = k$.
2. Áp dụng quy tắc chuyển vế và tìm $x$ cơ bản để giải phương trình.
3. Đối chiếu với điều kiện xác định (nếu có) và kết luận.

Bài toán 3:

a) Tìm $x$ để biểu thức $M = 4x - 7$ nhận giá trị bằng $17$. b) Tìm $x$ để biểu thức $N = x^2 - 9$ nhận giá trị bằng $0$. c) Tìm $x$ để phân thức $P = \frac{3x - 6}{x + 4}$ có giá trị bằng $0$.

Lời giải:

a) Để $M = 17$, ta có:

Vậy khi $x = 6$ thì biểu thức $M$ nhận giá trị bằng $17$.

b) Để $N = 0$, ta có:

Vậy khi $x = 3$ hoặc $x = -3$ thì biểu thức $N$ nhận giá trị bằng $0$.

c) Xét $P = \frac{3x - 6}{x + 4}$:

• Điều kiện xác định: $x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$.
• Một phân thức bằng $0$ khi tử số bằng $0$ và mẫu số khác $0$:$$3x - 6 = 0 \implies 3x = 6 \implies x = 2$$
• Giá trị $x = 2$ thỏa mãn điều kiện $x \neq -4$. Vậy khi $x = 2$ thì biểu thức $P$ nhận giá trị bằng $0$.

Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) hoặc lớn nhất (GTLN) sơ khai

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất bất đẳng thức không âm cơ bản:

• Dạng GTNN: $P(x) = (x - a)^2 + m \ge m$. Giá trị nhỏ nhất là $m$, đạt được khi $x = a$.
• Dạng GTLN: $Q(x) = M - (x - b)^2 \le M$. Giá trị lớn nhất là $M$, đạt được khi $x = b$.

Bài toán 4:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = (x - 3)^2 + 7$. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $B = 15 - (2x + 4)^2$.

Lời giải:

a) Ta có $(x - 3)^2 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Cộng cả hai vế với $7$:

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi:

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của $A$ là $7$, đạt được khi $x = 3$.

b) Ta có $(2x + 4)^2 \ge 0 \implies -(2x + 4)^2 \le 0$ với mọi $x$. Cộng cả hai vế với $15$:

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi:

Kết luận: Giá trị lớn nhất của $B$ là $15$, đạt được khi $x = -2$.

III. 5 Chuyên đề Thực tế và Mở rộng Tư duy Khoa học

Chuyên đề 1: Lịch sử Đại số học — Từ Al-Khwarizmi đến François Viète

Từ "Đại số" trong tiếng Anh là Algebra, bắt nguồn từ tiếng Ả Rập al-jabr trong cuốn sách nổi tiếng Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wal-muqābala (năm 820) của nhà bác học Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi. Từ này có nghĩa là "sự khôi phục, đưa các số âm sang vế đối diện" (chính là quy tắc chuyển vế đổi dấu!).

Vào thời cổ đại, người ta phải diễn đạt toán học hoàn toàn bằng lời văn dài dòng: "Một đống và một phần bảy của nó bằng mười chín". Đến thế kỷ 16, nhà toán học Pháp François Viète (1540 - 1603) đã tạo nên một cuộc cách mạng vĩ đại khi lần đầu tiên dùng các chữ cái nguyên âm ($A, E, I, O, U$) làm ẩn số và các phụ âm ($B, C, D\dots$) làm tham số. Nhờ biểu thức đại số, những bài toán từng mất hàng trang giấy mô tả đã được cô đọng lại chỉ trong một dòng công thức tinh tế!

Chuyên đề 2: Chỉ số Khối Cơ thể (BMI) và Biểu thức Sức khỏe Học đường

Tổ chức Y tế Thế giới (WHO) sử dụng một biểu thức đại số nổi tiếng để đánh giá thể trạng dinh dưỡng của con người — đó là Chỉ số BMI (Body Mass Index):

Trong đó:

• $m$ là khối lượng cơ thể (tính bằng kilôgam, $\text{kg}$).
• $h$ là chiều cao (tính bằng mét, $\text{m}$).

Ví dụ, một bạn học sinh lớp 7 có cân nặng $m = 48\text{ kg}$ và chiều cao $h = 1.6\text{ m}$. Giá trị BMI của bạn là:

Với kết quả $18.75$ (nằm trong khoảng $18.5 - 24.9$), bạn có thân hình cân đối và sức khỏe tốt!

Chuyên đề 3: Biến số và Biểu thức trong Ngôn ngữ Lập trình

Nếu các em từng học lập trình Python, JavaScript hay Scratch, các em sẽ thấy biểu thức đại số chính là linh hồn của phần mềm:

# Tính tổng tiền thanh toán giỏ hàng thương mại điện tử
don_gia = 150000  # Hằng số
so_luong = 3  # Biến số x
phi_ship = 30000  # Hằng số
thue_vat = 0.08  # 8%

# Biểu thức đại số tính tổng tiền
tong_tien = (don_gia * so_luong) * (1 + thue_vat) + phi_ship
print("Tổng thanh toán:", tong_tien)

Mỗi khi người dùng đổi số lượng sản phẩm trên website, máy tính sẽ lập tức gán giá trị mới vào biến số và tính lại giá trị của biểu thức trong vòng vài phần triệu giây!

Chuyên đề 4: Chuyển đổi Thang đo Nhiệt độ Celsius và Fahrenheit

Khi xem dự báo thời tiết tại Mỹ hoặc đọc sách nước ngoài, nhiệt độ thường đo bằng độ Fahrenheit ($^\circ\text{F}$). Công thức chuyển đổi giữa độ Celsius ($C$) và độ Fahrenheit ($F$) là một biểu thức bậc nhất kinh điển:

Ngược lại:

Ví dụ, khi nhiệt kế chỉ $100^\circ\text{C}$ (nước sôi), nhiệt độ Fahrenheit tương ứng là:

Khi nhiệt độ phòng là $68^\circ\text{F}$, nhiệt độ Celsius là:

Chuyên đề 5: Bài toán Tối ưu hóa Diện tích Hàng rào (Isoperimetric Problem)

Một bác nông dân có một cuộn lưới thép dài $40\text{ m}$ và muốn rào một khu đất hình chữ nhật cạnh bờ tường đá có sẵn (chỉ cần rào $3$ cạnh: một cạnh chiều dài $x$ và hai cạnh chiều rộng). Biểu thức chiều rộng là $\frac{40 - x}{2}$. Diện tích khu đất được rào là:

Vì $\frac{1}{2}(x - 20)^2 \ge 0$ nên $S(x) \le 200\text{ m}^2$. Giá trị lớn nhất của diện tích là $200\text{ m}^2$, đạt được khi $x = 20\text{ m}$ (chiều rộng $= 10\text{ m}$). Biểu thức đại số giúp người nông dân rào được diện tích chăn nuôi rộng lớn nhất chỉ với một lượng lưới thép hữu hạn!

IV. Bài tập Trắc nghiệm Tương tác (10 câu hỏi)

Hãy rèn luyện phản xạ biểu thức đại số qua $10$ câu hỏi trắc nghiệm sau:

@@PROTECTED_TOKEN_1@@

V. Đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận và Barem chấm điểm

1. Ma trận đề kiểm tra

2. Đề bài chi tiết

Phần I. Trắc nghiệm khách quan ($3.0$ điểm)

(Gồm $6$ câu hỏi, mỗi câu đúng được $0.5$ điểm)

Câu 1: Biểu thức nào sau đây KHÔNG PHẢI là biểu thức đại số?

• A. $2x - 3$
• B. $\frac{x + 1}{y}$
• C. $4x + 1 = 9$
• D. $a^2 + b^2$

Câu 2: Biểu thức đại số biểu thị "Tổng bình phương của hai số $a$ và $b$" là:

• A. $(a + b)^2$
• B. $a^2 + b^2$
• C. $2(a + b)$
• D. $a^2 - b^2$

Câu 3: Giá trị của biểu thức $M = 2x^2 - 1$ tại $x = -3$ là:

• A. $-19$
• B. $17$
• C. $-13$
• D. $11$

Câu 4: Cho biểu thức $N = 3x - 2y$. Khi $x = 4$ và $y = 5$, giá trị của $N$ là:

• A. $2$
• B. $-2$
• C. $22$
• D. $10$

Câu 5: Tìm $x$ để biểu thức $A = 3x - 9$ có giá trị bằng $12$:

• A. $x = 1$
• B. $x = 3$
• C. $x = 7$
• D. $x = 21$

Câu 6: Một hình chữ nhật có chu vi bằng $30\text{ cm}$. Nếu gọi chiều rộng là $x$ ($\text{cm}$) thì biểu thức biểu thị diện tích hình chữ nhật đó là:

• A. $x(30 - x)$
• B. $x(15 - x)$
• C. $15x$
• D. $30x$

Phần II. Tự luận ($7.0$ điểm)

Bài 1 ($2.0$ điểm): Hãy viết biểu thức đại số biểu thị: a) ($0.5$ điểm) Tích của tổng hai số $x, y$ với bình phương của số $x$. b) ($0.5$ điểm) Quãng đường đi được của một xe đạp điện trong $t$ giờ với vận tốc $25\text{ km/h}$. c) ($1.0$ điểm) Số tiền cước taxi (đồng) khi đi $x$ kilômét, biết giá mở cửa cho $1\text{ km}$ đầu tiên là $14\,000$ đồng, và mỗi kilômét tiếp theo có giá $12\,000$ đồng (với $x > 1$).

Bài 2 ($2.0$ điểm): Tính giá trị của các biểu thức sau: a) ($1.0$ điểm) $A = 3x^2 - 4x + 1$ tại $x = 2$ và tại $x = -\frac{1}{3}$. b) ($1.0$ điểm) $B = 2x^2y - 3xy + y^2$ tại $x = -2$ và $y = 3$.

Bài 3 ($2.0$ điểm): Một rạp chiếu phim bán hai loại vé xem phim: vé người lớn giá $90$ nghìn đồng/vé và vé học sinh giá $60$ nghìn đồng/vé. a) ($1.0$ điểm) Hãy viết biểu thức đại số biểu thị tổng số tiền bán vé thu được khi bán được $x$ vé người lớn và $y$ vé học sinh. b) ($1.0$ điểm) Trong một buổi chiếu tối thứ Bảy, rạp đã bán được $150$ vé người lớn và $240$ vé học sinh. Hãy tính tổng số tiền rạp thu được trong buổi chiếu đó.

Bài 4 ($1.0$ điểm - Vận dụng cao): a) ($0.5$ điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (x - 4)^2 + 2026$. b) ($0.5$ điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q = 100 - (3x + 6)^2 - (y - 1)^2$.

3. Hướng dẫn chấm và Thang điểm (Barem)