Bài 20. Tỉ lệ thức

Khi các kiến trúc sư thu nhỏ một tòa nhà chọc trời hàng trăm mét vào bản vẽ kỹ thuật trên khổ giấy $A3$, khi các họa sĩ hoạt hình phóng to một nhân vật tí hon lên màn hình rạp chiếu phim IMAX mà không hề bị méo mó, hay khi một đầu bếp tài hoa nhân gấp ba lần công thức làm bánh ngọt cho bữa tiệc sinh nhật lớn, họ đều đang dựa vào một định luật đại số tuyệt đẹp: Tỉ lệ thức (Proportion).

Tỉ lệ thức là cầu nối kỳ diệu giữa số học và hình học, thiết lập sự bình đẳng giữa hai tỉ số tưởng chừng khác biệt. Từ tính chất tích chéo $ad = bc$ kinh điển, chúng ta có thể tìm ra ẩn số $x$ một cách nhanh chóng, giải mã tỉ lệ vàng trong nghệ thuật và làm chủ các bài toán thực tiễn trong đời sống hàng ngày. Trong bài học này, chúng ta sẽ cùng khám phá cặn kẽ bản chất toán học của tỉ lệ thức, rèn luyện kỹ năng hoán vị và ứng dụng giải toán đa dạng!

Khởi động — Ôn luyện phản xạ nền tảng (5–7 phút)

Hãy thực hiện nhanh $5$ câu hỏi khởi động sau đây:

1. Rút gọn tỉ số: Rút gọn các tỉ số sau về phân số tối giản: $\frac{12}{16}$; $\frac{15}{25}$; $\frac{0.6}{0.8}$; $\frac{2.5}{10}$.
2. So sánh hai tỉ số: Hai tỉ số $\frac{6}{9}$ và $\frac{10}{15}$ có bằng nhau không? Vì sao?
3. Phép nhân phân số: Tính tích chéo: $4 \times 15$ và $6 \times 10$. Nhận xét kết quả.
4. Tìm số chưa biết: Cho $\frac{x}{6} = \frac{5}{2}$. Hỏi $x$ bằng bao nhiêu?
5. Ý nghĩa đời sống: Một chiếc xe máy tiêu thụ $2$ lít xăng để đi quãng đường $100\text{ km}$. Nếu đi quãng đường $250\text{ km}$ thì xe cần bao nhiêu lít xăng?

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Định nghĩa Tỉ lệ thức

Quan trọng

ĐỊNH NGHĨA: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

(với $b, d \neq 0$).

Tỉ lệ thức còn được viết dưới dạng:

$$a : b = c : d$$

Trong tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (hay $a : b = c : d$):

• Các số $a, b, c, d$ gọi là các số hạng của tỉ lệ thức.
• $a$ và $d$ gọi là các ngoại tỉ (vì nằm ở hai đầu rìa ngoài cùng).
• $b$ và $c$ gọi là các trung tỉ (vì nằm ở giữa).

2. Hai Tính chất cơ bản của Tỉ lệ thức

Tính chất 1 (Tính chất tích chéo — Tích ngoại tỉ bằng tích trung tỉ)

Quan trọng

ĐỊNH LÍ 1: Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì:

$$a \cdot d = b \cdot c$$

Chứng minh: Nhân cả hai vế của đẳng thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ với tích $(b \cdot d) \neq 0$:

$\implies$ Điều phải chứng minh.

Tính chất 2 (Hoán vị các số hạng của tỉ lệ thức)

Quan trọng

ĐỊNH LÍ 2: Nếu $a \cdot d = b \cdot c$ với $a, b, c, d \neq 0$ thì ta có thể lập được $4$ tỉ lệ thức sau:

1. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$      (Tỉ lệ thức gốc)
2. $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$      (Đổi chỗ hai trung tỉ $b$ và $c$)
3. $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$      (Đổi chỗ hai ngoại tỉ $a$ và $d$)
4. $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$      (Nghịch đảo cả hai vế / đổi chỗ đồng thời)

Quy tắc ghi nhớ: Bốn tỉ lệ thức trên hoàn toàn tương đương nhau vì khi nhân chéo, tích đường chéo luôn luôn giữ nguyên: $a$ đi với $d$, và $b$ đi với $c$ ($ad = bc$).

II. Các dạng toán trọng tâm và Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Kiểm tra xem hai tỉ số có lập thành tỉ lệ thức hay không

Phương pháp giải:

• Cách 1 (Rút gọn tỉ số): Đưa hai tỉ số về phân số tối giản. Nếu hai phân số tối giản bằng nhau thì hai tỉ số lập thành một tỉ lệ thức.
• Cách 2 (Nhân chéo): Xét hai tỉ số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$. Tính tích $a \cdot d$ và $b \cdot c$:
  • Nếu $ad = bc \implies \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (Lập thành tỉ lệ thức).
  • Nếu $ad \neq bc \implies \frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}$ (Không lập thành tỉ lệ thức).

Bài toán 1:

Các cặp tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức không? a) $\frac{14}{35}$ và $\frac{18}{45}$. b) $(-1.2) : 3.6$ và $2.5 : (-7.5)$. c) $\frac{15}{21}$ và $\frac{20}{27}$.

Lời giải:

a) Ta có:

• $\frac{14}{35} = \frac{14 : 7}{35 : 7} = \frac{2}{5}$.
• $\frac{18}{45} = \frac{18 : 9}{45 : 9} = \frac{2}{5}$.
• Vì $\frac{14}{35} = \frac{18}{45} = \frac{2}{5}$ nên hai tỉ số này lập thành một tỉ lệ thức: $\frac{14}{35} = \frac{18}{45}$.

b) Tính tích chéo:

• Tích thứ nhất: $(-1.2) \times (-7.5) = 9$.
• Tích thứ hai: $3.6 \times 2.5 = 9$.
• Vì $(-1.2) \times (-7.5) = 3.6 \times 2.5 = 9$, nên hai tỉ số lập thành tỉ lệ thức:$$\frac{-1.2}{3.6} = \frac{2.5}{-7.5}$$

c) Tính tích chéo:

• $15 \times 27 = 405$.
• $21 \times 20 = 420$.
• Vì $405 \neq 420$ nên $\frac{15}{21} \neq \frac{20}{27}$. Hai tỉ số này không lập thành tỉ lệ thức.

Dạng 2: Tìm số hạng chưa biết $x$ trong tỉ lệ thức (Quy tắc nhân chéo chia thẳng)

Phương pháp giải: Từ đẳng thức tích chéo, muốn tìm một số hạng, ta lấy tích của hai số hạng trên đường chéo đã biết chia cho số hạng còn lại:

• Nếu $\frac{x}{b} = \frac{c}{d} \implies x = \frac{b \cdot c}{d}$.
• Nếu $\frac{a}{x} = \frac{c}{d} \implies x = \frac{a \cdot d}{c}$.
• Nếu tỉ lệ thức có chứa biểu thức của $x$ ở cả hai vế: ta nhân chéo đưa về phương trình đại số cơ bản $a(dx + e) = b(cx + f)$ rồi giải bằng quy tắc chuyển vế.

Bài toán 2: Tìm $x$ biết:

a) $\frac{x}{18} = \frac{5}{6}$. b) $\frac{-15}{x} = \frac{20}{-28}$. c) $\frac{x - 2}{5} = \frac{x + 4}{7}$.

Lời giải:

a) Áp dụng tính chất tích chéo:

Vậy $x = 15$.

b) Áp dụng tính chất tích chéo:

Vậy $x = 21$.

c) Áp dụng tính chất tích chéo:

Bỏ dấu ngoặc:

Chuyển vế đổi dấu:

Vậy $x = 17$.

Dạng 3: Lập các tỉ lệ thức từ một đẳng thức tích hoặc từ một bộ 4 số

Phương pháp giải:

1. Nếu đề bài cho một đẳng thức $a \cdot d = b \cdot c$:
   • Giữ cố định $a$ ở tử số vế trái, lần lượt lấy $b$ hoặc $c$ làm mẫu số.
   • Viết đủ $4$ tỉ lệ thức bằng cách hoán vị trung tỉ, ngoại tỉ hoặc nghịch đảo.
2. Nếu đề bài cho $4$ số $x_1, x_2, x_3, x_4$:
   • Nhặt ra hai cặp số có tích bằng nhau: $x_a \cdot x_b = x_c \cdot x_d$ (Mẹo: tích số nhỏ nhất với số lớn nhất thường bằng tích hai số ở giữa).
   • Từ đẳng thức tích tìm được, viết ra $4$ tỉ lệ thức.

Bài toán 3:

a) Từ đẳng thức $4 \cdot 45 = 9 \cdot 20$, hãy lập tất cả các tỉ lệ thức có thể. b) Trong các số sau: $3; 6; 12; 24$, hãy chọn ra bốn số để lập thành các tỉ lệ thức.

Lời giải:

a) Từ đẳng thức $4 \cdot 45 = 9 \cdot 20$, ta lập được $4$ tỉ lệ thức:

1. $\frac{4}{9} = \frac{20}{45}$
2. $\frac{4}{20} = \frac{9}{45}$    (đổi chỗ hai trung tỉ $9$ và $20$)
3. $\frac{45}{9} = \frac{20}{4}$    (đổi chỗ hai ngoại tỉ $4$ và $45$)
4. $\frac{45}{20} = \frac{9}{4}$    (đổi chỗ đồng thời cả ngoại tỉ và trung tỉ)

b) Xét tích các cặp số:

• Nhỏ nhất $\times$ Lớn nhất: $3 \times 24 = 72$.
• Hai số ở giữa: $6 \times 12 = 72$.
• Vì $3 \cdot 24 = 6 \cdot 12 = 72$, nên từ $4$ số đã cho ta lập được $4$ tỉ lệ thức:$$\frac{3}{6} = \frac{12}{24};\quad \frac{3}{12} = \frac{6}{24};\quad \frac{24}{6} = \frac{12}{3};\quad \frac{24}{12} = \frac{6}{3}$$

Dạng 4: Ứng dụng Tỉ lệ thức giải bài toán thực tế

Phương pháp giải:

1. Gọi đại lượng cần tìm là $x$ (kèm đơn vị và điều kiện thích hợp).
2. Thiết lập mối quan hệ tỉ lệ thức giữa các đại lượng:$$\frac{\text{Đại lượng 1 (trường hợp 1)}}{\text{Đại lượng 1 (trường hợp 2)}} = \frac{\text{Đại lượng 2 (trường hợp 1)}}{\text{Đại lượng 2 (trường hợp 2)}}$$
3. Giải tìm $x$ và đối chiếu với điều kiện thực tế để kết luận.

Bài toán 4: Pha chế dung dịch sát khuẩn trong phòng thí nghiệm

Để pha chế dung dịch nước muối sinh lý $0.9\%$, cứ $9\text{ g}$ muối tinh khiết cần hòa tan vào $1000\text{ ml}$ nước cất. Một phòng thí nghiệm sinh học của trường cần chuẩn bị $3500\text{ ml}$ dung dịch sát khuẩn này. Hỏi các bạn học sinh cần cân bao nhiêu gam muối tinh khiết?

Lời giải:

Gọi khối lượng muối tinh khiết cần dùng là $x$ (gam, điều kiện $x > 0$). Vì khối lượng muối và thể tích nước cất tỉ lệ với nhau theo nồng độ chuẩn $0.9\%$, ta có tỉ lệ thức:

Áp dụng tính chất tích chéo:

Giá trị $31.5$ thỏa mãn điều kiện. Kết luận: Để pha $3500\text{ ml}$ dung dịch, cần dùng đúng $31.5\text{ g}$ muối tinh khiết.

III. 5 Chuyên đề Thực tế và Mở rộng Tư duy Toán học

Chuyên đề 1: Tỉ lệ Vàng $\phi \approx 1.618$ trong Tự nhiên và Thiết kế Công nghệ

Tỉ lệ thức nổi tiếng nhất trong lịch sử nhân loại chính là Tỉ lệ vàng (Golden Ratio), ký hiệu là $\phi$ (Phi).

Một đoạn thẳng được chia thành hai phần: phần dài $a$ và phần ngắn $b$. Đoạn thẳng được gọi là chia theo tỉ lệ vàng nếu:

Tỉ lệ thức này xuất hiện kỳ diệu khắp nơi:

• Đường xoắn ốc của vỏ ốc anh vũ (Nautilus).
• Cách sắp xếp các cánh hoa hướng dương và quả thông theo dãy Fibonacci.
• Kiến trúc đền Parthenon ở Hy Lạp cổ đại, kim tự tháp Giza.
• Trong thiết kế công nghệ hiện đại: Logo quả táo cắn dở của Apple, tỉ lệ thẻ tín dụng quốc tế ATM ($85.6\text{ mm} \times 53.98\text{ mm} \approx 1.586$) đều xấp xỉ tỉ lệ vàng để tạo cảm giác hài hòa và thoải mái nhất cho mắt người.

Chuyên đề 2: Tỉ lệ khung hình (Aspect Ratio) trong Màn hình và Điện ảnh

Khi mua điện thoại, máy tính hay xem phim, các em thường nghe thấy các thông số: màn hình $16:9$, điện ảnh $21:9$, hay ảnh chụp Instagram vuông $1:1$.

Tỉ lệ khung hình chính là tỉ số giữa chiều dài $W$ và chiều rộng $H$ của màn hình:

Nếu một video chuẩn $16:9$ có chiều dài là $1920\text{ px}$ (chuẩn Full HD), ta dễ dàng dùng tỉ lệ thức để tính chiều cao của video:

Đó chính là lý do độ phân giải Full HD luôn luôn là $1920 \times 1080$!

Chuyên đề 3: Quy tắc Tam suất (Rule of Three) trong Lịch sử Thương mại Hàng hải

Vào thời kỳ Phục Hưng (thế kỷ 15 - 16), các thương gia Venice và Genoa khi đi tàu buôn tơ lụa, gia vị qua Địa Trung Hải đã coi Quy tắc tam suất (La Regola del Tre) là bí kíp kinh doanh quyền lực nhất: "Biết ba số, tìm số thứ tư".

Quy tắc này chính là dạng sơ khai của bài toán tìm $x$ trong tỉ lệ thức:

Nhờ quy tắc này, các thương nhân có thể quy đổi nhanh chóng giá trị giữa các đồng tiền vàng Ducat, Florin, cân đo tơ lụa và tính tiền thuế xuất nhập khẩu chính xác giữa các vương quốc cổ đại.

Chuyên đề 4: Tỉ lệ thức và Bản đồ Địa hình (Scale Map)

Mọi tấm bản đồ địa lý đều có ghi chú tỉ lệ ở góc dưới, ví dụ: $1 : 100\,000$ (tỉ lệ $1$ phần trăm nghìn). Ý nghĩa của tỉ lệ này là: Khoảng cách $1\text{ cm}$ trên bản đồ ứng với $100\,000\text{ cm}$ (tức $1\text{ km}$) trên thực địa ngoài đời thực.

Nếu khoảng cách giữa hai thành phố đo được trên bản đồ là $6.5\text{ cm}$, ta lập tỉ lệ thức:

Đây là công cụ không thể thiếu của các nhà hàng hải, phi công và các ứng dụng định vị vệ tinh như Google Maps.

Chuyên đề 5: Định luật Bảo toàn khối lượng và Cân bằng Phản ứng Hóa học

Trong hóa học lớp 7 và lớp 8, định luật thành phần khối lượng không đổi (Định luật Proust) phát biểu: "Một hợp chất hóa học nguyên chất luôn luôn chứa các nguyên tố cấu thành theo cùng một tỉ lệ khối lượng xác định".

Ví dụ, trong nước cất ($\text{H}_2\text{O}$), tỉ lệ khối lượng giữa Hydro ($\text{H}$) và Oxy ($\text{O}$) luôn luôn là:

Nếu phân hủy hoàn toàn một lượng nước thu được $4\text{ g}$ khí Hydro, ta dùng tỉ lệ thức để tính ngay lượng khí Oxy sinh ra:

Toán học tỉ lệ thức chính là ngôn ngữ định lượng chính xác của thế giới tự nhiên!

IV. Bài tập Trắc nghiệm Tương tác (10 câu hỏi)

Hãy rèn luyện phản xạ tính chất tỉ lệ thức qua $10$ câu hỏi trắc nghiệm dưới đây:

@@PROTECTED_TOKEN_0@@

V. Đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận và Barem chấm điểm

1. Ma trận đề kiểm tra

2. Đề bài chi tiết

Phần I. Trắc nghiệm khách quan ($3.0$ điểm)

(Gồm $6$ câu hỏi, mỗi câu đúng được $0.5$ điểm)

Câu 1: Trong tỉ lệ thức $\frac{m}{n} = \frac{p}{q}$, cặp số nào là trung tỉ?

• A. $m$ và $q$.
• B. $n$ và $p$.
• C. $m$ và $n$.
• D. $p$ và $q$.

Câu 2: Tỉ số nào sau đây bằng với tỉ số $\frac{-3}{7}$?

• A. $\frac{6}{-14}$
• B. $\frac{-6}{-14}$
• C. $\frac{9}{21}$
• D. $\frac{3}{7}$

Câu 3: Cho đẳng thức $6 \cdot 15 = 9 \cdot 10$. Tỉ lệ thức nào sau đây là ĐÚNG?

• A. $\frac{6}{15} = \frac{9}{10}$
• B. $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$
• C. $\frac{6}{10} = \frac{15}{9}$
• D. $\frac{9}{6} = \frac{10}{15}$

Câu 4: Tìm $x$ trong tỉ lệ thức $\frac{x}{20} = \frac{-3}{5}$:

• A. $x = -15$
• B. $x = -12$
• C. $x = 12$
• D. $x = -4$

Câu 5: Cho tỉ lệ thức $\frac{2}{x} = \frac{x}{8}$ với $x > 0$. Giá trị của $x$ là:

• A. $x = 4$
• B. $x = 8$
• C. $x = 16$
• D. $x = 2$

Câu 6: Một bức ảnh có kích thước $10\text{ cm} \times 15\text{ cm}$ được phóng to sao cho chiều rộng mới là $30\text{ cm}$. Chiều dài mới tương ứng là:

• A. $40\text{ cm}$
• B. $45\text{ cm}$
• C. $50\text{ cm}$
• D. $60\text{ cm}$

Phần II. Tự luận ($7.0$ điểm)

Bài 1 ($2.0$ điểm): a) ($1.0$ điểm) Hai tỉ số $\frac{24}{36}$ và $\frac{30}{45}$ có lập thành tỉ lệ thức không? Hãy chứng minh bằng hai cách khác nhau (rút gọn tỉ số và tính tích chéo). b) ($1.0$ điểm) Từ bốn số $4; 8; 16; 32$, hãy lập tất cả các tỉ lệ thức có thể.

Bài 2 ($2.5$ điểm): Tìm $x$ biết: a) ($1.0$ điểm) $\frac{x}{15} = \frac{-8}{20}$. b) ($1.5$ điểm) $\frac{2x - 3}{4} = \frac{x + 5}{3}$.

Bài 3 ($1.5$ điểm): Để lát một khoảng sân hình chữ nhật, cứ $12\text{ m}^2$ cần dùng $75$ viên gạch men. Hỏi để lát toàn bộ khoảng sân có diện tích $84\text{ m}^2$ thì cần mua bao nhiêu viên gạch men cùng loại? (Bỏ qua diện tích các mạch vữa).

Bài 4 ($1.0$ điểm - Vận dụng cao): Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (với $a, b, c, d \neq 0$ và $a \neq b$, $c \neq d$). Chứng minh rằng:

3. Hướng dẫn chấm và Thang điểm (Barem)