Bài 14. Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c) và Góc - Cạnh - Góc (g.c.g)

Vào thế kỷ thứ VI trước Công nguyên, một vị vua Ai Cập đã đặt ra bài toán hóc búa cho nhà thông thái Hy Lạp Thales xứ Miletus: Làm sao đo được khoảng cách từ bờ biển đến một chiếc tàu chiến của kẻ địch đang neo đậu ngoài khơi xa mà không cần phải bơi thuyền ra ngoài biển?

Bằng một chiếc gậy cắm trên bờ cát và sự am hiểu phi thường về các góc ngắm, Thales đã vẽ một tam giác trên bãi cát bằng đúng tam giác tạo bởi hai điểm trên bờ và con tàu ngoài biển. Khoảng cách đo được trên cát chính xác tuyệt đối bằng khoảng cách tới con tàu!

Bí mật đằng sau kỳ tích đo đạc trắc địa đó là gì? Đó chính là Trường hợp bằng nhau thứ ba: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g) của tam giác!

Nếu như ở Bài 13, chúng ta đã biết rằng ba cạnh xác định duy nhất một tam giác (trường hợp c.c.c), thì trong thực tế đời sống, việc đo đạc đủ cả ba cạnh thường gặp nhiều trở ngại (bị sông suối, đầm lầy, đại dương ngăn cách). Chỉ cần biết hai cạnh và góc xen giữa (c.g.c) hoặc một cạnh và hai góc kề (g.c.g), ta đã có thể hoàn toàn xác định được một hình tam giác. Đây là hai công cụ suy luận hình học tối thượng, là nền móng của trắc địa học, công nghệ định vị vệ tinh GPS và toàn bộ chương trình hình học phẳng cấp 2, cấp 3.

Khởi động — Kiểm tra kiến thức nền tảng (5–7 phút)

Trước khi khám phá hai trường hợp bằng nhau mới, các em hãy khởi động với $5$ câu hỏi nhanh để chuẩn bị phản xạ phân tích hình học:

1. Nhận diện góc xen giữa: Trong tam giác $ABC$, góc nào là góc xen giữa hai cạnh $AB$ và $AC$? Góc nào là góc xen giữa hai cạnh $BA$ và $BC$?
2. Nhận diện cạnh kề: Trong tam giác $MNP$, cạnh nào kề với hai góc $\widehat{M}$ và $\widehat{N}$? Cạnh nào kề với hai góc $\widehat{N}$ và $\widehat{P}$?
3. Nhắc lại trường hợp c.c.c: Nếu $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ có $AB = DE, BC = EF, AC = DF$, thì hai tam giác này có bằng nhau không? Viết ký hiệu bằng nhau tương ứng.
4. Tính góc còn lại: Tam giác $DEF$ có $\widehat{D} = 65^\circ, \widehat{E} = 45^\circ$. Số đo của góc $\widehat{F}$ là bao nhiêu?
5. Góc so le trong: Cho $AB \parallel CD$ và một đường thẳng cắt cả $AB, CD$ tại hai điểm $A, C$. Hãy kể tên cặp góc so le trong bằng nhau tạo bởi đường thẳng đó.

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Khái niệm Góc xen giữa và Cạnh kề hai góc

Để hiểu chính xác hai trường hợp bằng nhau c.g.c và g.c.g, các em bắt buộc phải phân biệt rõ ràng vị trí tương đối giữa góc và cạnh:

• Góc xen giữa hai cạnh: Là góc được tạo bởi hai tia chứa hai cạnh đó.
  • Cạnh $AB$ và $AC$ giao nhau tại đỉnh $A \implies$ Góc xen giữa là $\widehat{A}$.
  • Cạnh $BA$ và $BC$ giao nhau tại đỉnh $B \implies$ Góc xen giữa là $\widehat{B}$.
  • Cạnh $CA$ và $CB$ giao nhau tại đỉnh $C \implies$ Góc xen giữa là $\widehat{C}$.
• Cạnh kề hai góc: Là đoạn thẳng có hai đầu mút chính là đỉnh của hai góc đó.
  • Góc $\widehat{B}$ và góc $\widehat{C}$ có hai đỉnh là $B$ và $C \implies$ Cạnh kề là $BC$.
  • Góc $\widehat{A}$ và góc $\widehat{B} \implies$ Cạnh kề là $AB$.
  • Góc $\widehat{A}$ và góc $\widehat{C} \implies$ Cạnh kề là $AC$.

2. Trường hợp bằng nhau thứ hai: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c)

Quan trọng

ĐỊNH LÝ (Trường hợp c.g.c): Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ký hiệu toán học trình bày: Nếu $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$ có:

• $AB = A'B'$ (cặp cạnh thứ nhất bằng nhau);
• $\widehat{A} = \widehat{A'}$ (góc xen giữa hai cạnh bằng nhau);
• $AC = A'C'$ (cặp cạnh thứ hai bằng nhau).

Thì ta kết luận:

Lưu ý / Cảnh báo

CẢNH BÁO BẪY KINH ĐIỂN: GÓC PHẢI XEN GIỮA! Nếu hai tam giác có hai cạnh bằng nhau và một góc bằng nhau, nhưng góc đó không xen giữa hai cạnh (ví dụ $AB = A'B', AC = A'C'$ nhưng lại cho $\widehat{B} = \widehat{B'}$), thì hai tam giác đó chưa chắc bằng nhau! Đây là bẫy phổ biến nhất trong các đề thi học kỳ và kiểm tra khảo sát. Chúng ta sẽ mổ xẻ chi tiết bẫy này ở Chuyên đề Olympic 1.

3. Trường hợp bằng nhau thứ ba: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g)

Quan trọng

ĐỊNH LÝ (Trường hợp g.c.g): Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ký hiệu toán học trình bày: Nếu $\triangle MNP$ và $\triangle M'N'P'$ có:

• $\widehat{N} = \widehat{N'}$ (cặp góc kề thứ nhất);
• $NP = N'P'$ (cặp cạnh bằng nhau);
• $\widehat{P} = \widehat{P'}$ (cặp góc kề thứ hai).

Thì ta kết luận:

Ghi nhớ

Mở rộng về vị trí góc trong trường hợp g.c.g: Vì tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng $180^\circ$, nếu hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc thứ ba cũng tự động bằng nhau! Do đó, nếu hai tam giác có một cặp cạnh bằng nhau và hai cặp góc bất kỳ tương ứng bằng nhau, thì hai tam giác đó luôn bằng nhau.

4. Các trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông

Tam giác vuông đã có sẵn một góc bằng nhau là góc vuông ($90^\circ$). Nhờ đó, hai định lý c.g.c và g.c.g cho ta những hệ quả cực kỳ tiện lợi:

5. Quy trình vàng 4 bước giải bài chứng minh hình học

Để không bao giờ bị trừ điểm trình bày trong các bài thi tự luận, các em hãy tuân thủ quy trình $4$ bước sau:

1. Bước 1 (Xác định mục tiêu): Cần chứng minh hai tam giác nào bằng nhau? Vẽ hình chính xác, đánh dấu các yếu tố đã biết lên hình.
2. Bước 2 (Tìm kiếm dữ kiện):
   • Với c.g.c: Cần tìm $2$ cặp cạnh bằng nhau và $1$ cặp góc xen giữa bằng nhau (tìm cạnh chung, góc đối đỉnh, tia phân giác, giả thiết cho).
   • Với g.c.g: Cần tìm $1$ cặp cạnh bằng nhau và $2$ cặp góc kề bằng nhau (tìm cạnh chung, góc so le trong do đường thẳng song song, góc đối đỉnh, hai góc cùng phụ một góc).
3. Bước 3 (Trình bày phép xét): Ghi rõ Xét tam giác ... và tam giác ... có:, liệt kê đủ $3$ điều kiện kèm giải thích trong ngoặc đơn (gt), (hai góc đối đỉnh), (so le trong).
4. Bước 4 (Kết luận và suy luận hệ quả): Kết luận Suy ra tam giác ... = tam giác ... (c.g.c / g.c.g). Viết đúng thứ tự đỉnh tương ứng, sau đó suy ra các cạnh hoặc các góc cần tìm (hai cạnh tương ứng) hoặc (hai góc tương ứng).

II. Các dạng bài tập điển hình và phương pháp giải

Dạng 1: Kiểm tra và bổ sung điều kiện bằng nhau

Phương pháp: Quan sát các yếu tố đã có sẵn trên giả thiết hoặc hình vẽ.

• Nếu bài toán yêu cầu c.g.c mà đã có $2$ cạnh bằng nhau $\implies$ Cần bổ sung góc xen giữa.
• Nếu bài toán yêu cầu g.c.g mà đã có $1$ cạnh và $1$ góc $\implies$ Cần bổ sung góc kề còn lại với cạnh đó.

Ví dụ 1

Cho hai tam giác $ABC$ và $MNP$ có $AB = MN$ và $\widehat{B} = \widehat{N}$. a) Cần thêm điều kiện gì về cạnh để $\triangle ABC = \triangle MNP$ theo trường hợp Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c)? b) Cần thêm điều kiện gì về góc để $\triangle ABC = \triangle MNP$ theo trường hợp Góc - Cạnh - Góc (g.c.g)?

Lời giải: a) Trong $\triangle ABC$, góc $\widehat{B}$ là góc xen giữa hai cạnh $BA$ và $BC$. Trong $\triangle MNP$, góc $\widehat{N}$ là góc xen giữa hai cạnh $NM$ và $NP$. Đã có $AB = MN$ và $\widehat{B} = \widehat{N}$, vậy cặp cạnh xen giữa còn lại cần bằng nhau là:

Khi đó $\triangle ABC = \triangle MNP$ (c.g.c).

b) Cạnh $AB$ kề hai góc $\widehat{A}$ và $\widehat{B}$. Cạnh $MN$ kề hai góc $\widehat{M}$ và $\widehat{N}$. Đã có $AB = MN$ và $\widehat{B} = \widehat{N}$, vậy góc kề còn lại cần bằng nhau là:

Khi đó $\triangle ABC = \triangle MNP$ (g.c.g).

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c

Ví dụ 2 (Mô hình điểm đối đỉnh)

Cho hai đoạn thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đoạn ($OA = OC$ và $OB = OD$). a) Chứng minh rằng $\triangle OAB = \triangle OCD$. b) Chứng minh $AB \parallel CD$.

Lời giải chi tiết: a) Xét $\triangle OAB$ và $\triangle OCD$ có:

• $OA = OC$ (theo giả thiết);
• $\widehat{AOB} = \widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh);
• $OB = OD$ (theo giả thiết). Suy ra:$$\triangle OAB = \triangle OCD\quad\text{(c.g.c)}.$$

b) Vì $\triangle OAB = \triangle OCD$ (chứng minh trên), suy ra:

Quan sát thấy hai góc $\widehat{OAB}$ và $\widehat{OCD}$ nằm ở vị trí so le trong đối với hai đường thẳng $AB, CD$ bị cắt bởi cát tuyến $AC$. Do đó:

Dạng 3: Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp g.c.g

Ví dụ 3 (Mô hình hai đường thẳng song song)

Cho hình bình hành thu nhỏ $ABCD$ có $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$. Nối đường chéo $AC$. Chứng minh rằng: a) $\triangle ABC = \triangle CDA$. b) $AB = CD$ và $AD = BC$.

Lời giải chi tiết: a) Vì $AB \parallel CD$, nên cát tuyến $AC$ tạo ra cặp góc so le trong bằng nhau:

Vì $AD \parallel BC$, nên cát tuyến $AC$ cũng tạo ra cặp góc so le trong bằng nhau:

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle CDA$ có:

• $\widehat{BAC} = \widehat{DCA}$ (chứng minh trên);
• $AC$ là cạnh chung;
• $\widehat{BCA} = \widehat{DAC}$ (chứng minh trên). Cạnh $AC$ kề hai góc $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BCA}$ trong $\triangle ABC$, đồng thời kề hai góc $\widehat{DCA}$ và $\widehat{DAC}$ trong $\triangle CDA$. Do đó:$$\triangle ABC = \triangle CDA\quad\text{(g.c.g)}.$$

b) Từ $\triangle ABC = \triangle CDA$, ta suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau:

(Đây chính là tính chất cơ bản của hình bình hành: Các cạnh đối luôn song song và bằng nhau!)

Dạng 4: Chứng minh tia phân giác và đường thẳng vuông góc

Ví dụ 4

Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. a) Chứng minh $\triangle ABM = \triangle ACM$. b) Chứng minh $AM$ là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$. c) Chứng minh $AM \perp BC$.

Lời giải chi tiết: a) Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MB = MC$. Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACM$ có:

• $AB = AC$ (theo giả thiết);
• $MB = MC$ (chứng minh trên);
• $AM$ là cạnh chung. Suy ra:$$\triangle ABM = \triangle ACM\quad\text{(c.c.c)}.$$

(Lưu ý: Ta cũng có thể giải bằng c.g.c nếu đề bài cho trước tam giác cân có góc đáy bằng nhau).

b) Vì $\triangle ABM = \triangle ACM$, suy ra:

Tia $AM$ nằm giữa hai tia $AB$ và $AC$, lại chia góc $\widehat{BAC}$ thành hai góc bằng nhau nên $AM$ chính là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$.

c) Cũng từ $\triangle ABM = \triangle ACM$, ta có:

Mặt khác, hai góc này là hai góc kề bù (vì ba điểm $B, M, C$ thẳng hàng):

Thay $\widehat{AMC} = \widehat{AMB}$ vào ta được:

Do đó $AM \perp BC$.

Dạng 5: Bài toán ứng dụng thực tế đo đạc khoảng cách

Ví dụ 5 (Đo bề rộng đầm lầy bằng phương pháp c.g.c)

Hai điểm $A$ và $B$ nằm ở hai bờ của một đầm lầy nguy hiểm nên không thể kéo thước dây trực tiếp từ $A$ đến $B$. Một nhóm học sinh muốn đo khoảng cách $AB$ đã thực hiện như sau:

1. Chọn một điểm mốc $O$ trên nền đất khô ráo có thể nhìn rõ cả $A$ và $B$.
2. Đo khoảng cách $OA$ và $OB$.
3. Trên tia đối của tia $OA$, cắm cọc $C$ sao cho $OC = OA$.
4. Trên tia đối của tia $OB$, cắm cọc $D$ sao cho $OD = OB$.
5. Dùng thước cuộn đo khoảng cách giữa hai cọc $C$ và $D$, được kết quả là $42\text{ m}$.

Em hãy giải thích vì sao khoảng cách $AB$ qua đầm lầy cũng chính bằng $42\text{ m}$?

Lời giải: Xét hai tam giác $\triangle OAB$ và $\triangle OCD$ có:

• $OA = OC$ (theo cách dựng cọc $C$);
• $\widehat{AOB} = \widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh);
• $OB = OD$ (theo cách dựng cọc $D$). Góc $\widehat{AOB}$ xen giữa hai cạnh $OA, OB$; góc $\widehat{COD}$ xen giữa hai cạnh $OC, OD$. Do đó:$$\triangle OAB = \triangle OCD\quad\text{(c.g.c)}.$$Suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau:$$AB = CD.$$Vì đo được $CD = 42\text{ m}$ nên khoảng cách $AB$ giữa hai bờ đầm lầy cũng chính xác bằng $42\text{ m}$.

III. 5 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi & Olympic

Chuyên đề 1: Bẫy "Cạnh - Cạnh - Góc" (SSA Ambiguity) và Điều kiện đơn định của tam giác

Tại sao trong sách giáo khoa chỉ có trường hợp "Cạnh - Góc - Cạnh" mà không bao giờ có trường hợp "Cạnh - Cạnh - Góc"?

Hãy cùng quan sát thí nghiệm hình học sau: Cho đoạn thẳng $AB = 6\text{ cm}$ và góc $\widehat{B} = 30^\circ$. Ta vẽ một cạnh $AC = 4\text{ cm}$.

• Cả hai tam giác $\triangle ABC_1$ và $\triangle ABC_2$ đều có:
  • Cùng cạnh chung $AB = 6\text{ cm}$;
  • Cùng góc $\widehat{B} = 30^\circ$;
  • Cùng cạnh đối diện $AC_1 = AC_2 = 4\text{ cm}$.
• Nhưng rõ ràng tam giác $\triangle ABC_1$ (tam giác tù) và $\triangle ABC_2$ (tam giác nhọn) hoàn toàn không bằng nhau vì $BC_1 \ne BC_2$ và các góc còn lại hoàn toàn lệch nhau!

Quan trọng

ĐIỀU KIỆN ĐƠN ĐỊNH OLYMPIC: Hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau và một góc bằng nhau (SSA) chỉ bằng nhau khi và chỉ khi:

1. Góc đó là góc xen giữa (trường hợp c.g.c chuẩn).
2. HOẶC góc đó là góc vuông ($90^\circ$, trường hợp Cạnh huyền - Cạnh góc vuông).
3. HOẶC góc đó là góc tù đối diện với cạnh dài hơn.

Chuyên đề 2: Kỹ thuật vẽ thêm hình phụ "Kéo dài trung tuyến"

Đây là kỹ thuật kinh điển nhất trong các kỳ thi học sinh giỏi lớp 7. Khi đề bài cho một đường trung tuyến (ví dụ $AM$ với $M$ là trung điểm của $BC$), ta hãy kéo dài $AM$ lấy điểm $D$ sao cho $MD = MA$.

Bài toán Olympic: Cho tam giác $ABC$ có $AB < AC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng: a) $\triangle ABM = \triangle DCM$. b) $CD \parallel AB$ và $CD = AB$. c) $AM < \frac{AB + AC}{2}$.

Lời giải chi tiết: a) Trên tia đối của tia $MA$, lấy điểm $D$ sao cho $MD = MA$. Xét $\triangle ABM$ và $\triangle DCM$ có:

• $MA = MD$ (theo cách dựng);
• $\widehat{AMB} = \widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh);
• $MB = MC$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$). Do đó:$$\triangle ABM = \triangle DCM\quad\text{(c.g.c)}.$$

b) Từ $\triangle ABM = \triangle DCM$, ta suy ra:

• $CD = AB$ (hai cạnh tương ứng);
• $\widehat{BAM} = \widehat{CDM}$ (hai góc tương ứng). Hai góc này ở vị trí so le trong đối với cát tuyến $AD$ nên:$$CD \parallel AB.$$

c) Trong tam giác $ACD$, áp dụng bất đẳng thức tam giác (tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba):

Mà $AD = AM + MD = 2AM$ và $CD = AB$ (chứng minh ở câu b), do đó:

(Một kết quả bất đẳng thức hình học nổi tiếng được chứng minh đẹp đẽ bằng c.g.c!)

Chuyên đề 3: Mô hình "Hai tam giác xoay quanh một đỉnh"

Khi vẽ ra phía ngoài tam giác $ABC$ hai tam giác vuông cân hoặc tam giác đều có chung đỉnh $A$, ta sẽ tạo ra một phép xoay hình học tự nhiên.

Bài toán: Cho tam giác nhọn $ABC$. Vẽ về phía ngoài tam giác $ABC$ hai tam giác vuông cân tại $A$ là $\triangle ABD$ (vuông cân tại $A$, tức $AD = AB, \widehat{DAB} = 90^\circ$) và $\triangle ACE$ (vuông cân tại $A$, tức $AE = AC, \widehat{EAC} = 90^\circ$). Nối $DC$ và $BE$. Chứng minh rằng: a) $DC = BE$. b) $DC \perp BE$.

Lời giải chi tiết: a) Ta có:

Suy ra:

Xét $\triangle DAC$ và $\triangle BAE$ có:

• $AD = AB$ (vì $\triangle ABD$ vuông cân tại $A$);
• $\widehat{DAC} = \widehat{BAE}$ (chứng minh trên);
• $AC = AE$ (vì $\triangle ACE$ vuông cân tại $A$). Do đó:$$\triangle DAC = \triangle BAE\quad\text{(c.g.c)}.$$Suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau:$$DC = BE.$$

b) Gọi giao điểm của $DC$ và $BE$ là $K$, giao điểm của $DC$ và $AB$ là $H$. Từ $\triangle DAC = \triangle BAE$, ta có:

Xét tam giác vuông $ADH$ vuông tại $A$, ta có:

Mặt khác, $\widehat{AHD} = \widehat{BHK}$ (hai góc đối đỉnh). Suy ra:

Trong tam giác $BHK$, tổng ba góc bằng $180^\circ$:

Do đó $DC \perp BE$ tại $K$.

Chuyên đề 4: Phương pháp g.c.g chứng minh Ba điểm thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm $P, Q, R$ thẳng hàng, một phương pháp rất hay dùng ở mức độ bồi dưỡng HSG là chứng minh hai tia đối nhau, tức là góc tạo bởi chúng bằng $180^\circ$, hoặc chứng minh chúng cùng song song với một đường thẳng thứ ba đi qua cùng một điểm (dùng tiên đề Euclid).

Bài toán: Cho tam giác $ABC$. Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $M$, trên tia đối của tia $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AM = AB$ và $AN = AC$. Lấy điểm $H$ trên cạnh $BC$ và điểm $K$ trên cạnh $MN$ sao cho $BH = MK$. Chứng minh ba điểm $K, A, H$ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

• Trước hết, xét $\triangle AMN$ và $\triangle ABC$ có:
  • $AM = AB$ (gt);
  • $\widehat{MAN} = \widehat{BAC}$ (hai góc đối đỉnh);
  • $AN = AC$ (gt). $\implies \triangle AMN = \triangle ABC$ (c.g.c). Suy ra $\widehat{AMN} = \widehat{ABC}$ (hai góc tương ứng), tức là $\widehat{AMK} = \widehat{ABH}$.
• Bây giờ xét $\triangle AKM$ và $\triangle AHB$ có:
  • $AM = AB$ (gt);
  • $\widehat{AMK} = \widehat{ABH}$ (chứng minh trên);
  • $MK = BH$ (theo giả thiết). Do đó:$$\triangle AKM = \triangle AHB\quad\text{(c.g.c)}.$$
• Từ đó suy ra:$$\widehat{MAK} = \widehat{BAH}\quad\text{(hai góc tương ứng)}.$$
• Vì $M$ thuộc tia đối của tia $AB$, nên ba điểm $M, A, B$ thẳng hàng theo thứ tự đó, nghĩa là tia $AM$ và tia $AB$ là hai tia đối nhau. Do đó:$$\widehat{MAB} = 180^\circ \implies \widehat{MAH} + \widehat{BAH} = 180^\circ.$$
• Thay $\widehat{BAH} = \widehat{MAK}$ vào biểu thức trên:$$\widehat{MAH} + \widehat{MAK} = 180^\circ \implies \widehat{KAH} = 180^\circ.$$
• Góc $\widehat{KAH}$ là góc bẹt ($180^\circ$), chứng tỏ tia $AK$ và tia $AH$ là hai tia đối nhau.
• Vậy ba điểm $K, A, H$ thẳng hàng.

Chuyên đề 5: Phương pháp Trắc địa cổ đại Thales đo khoảng cách tàu trên biển

Chúng ta quay trở lại bài toán lịch sử của nhà toán học Thales: Đo khoảng cách từ bờ đất tới một con tàu neo đậu tại điểm $S$ ngoài biển khơi.

Quy trình đo đạc của Thales:

1. Chọn điểm $A$ trên bờ sao cho hướng ngắm từ $A$ đến tàu $S$ vuông góc với bờ biển ($SA \perp AB$).
2. Đi dọc bờ biển đến điểm $M$ bất kỳ và cắm một cây gậy.
3. Tiếp tục đi thêm một đoạn $MB = MA$ trên cùng đường bờ biển và cắm mốc $B$.
4. Từ $B$, quay vuông góc $90^\circ$ đi lùi sâu vào đất liền cho đến khi nhìn thấy cây gậy $M$ và con tàu $S$ nằm trên cùng một đường thẳng (ba điểm $S, M, C$ thẳng hàng). Đánh dấu vị trí đó là $C$.
5. Dùng thước đo đoạn thẳng $BC$ ngay trên mặt đất khô ráo.

Chứng minh toán học: Xét hai tam giác vuông $\triangle SAM$ và $\triangle CBM$ có:

• $\widehat{SAM} = \widehat{CBM} = 90^\circ$;
• $AM = BM$ (theo cách chọn vị trí mốc);
• $\widehat{SMA} = \widehat{CMB}$ (hai góc đối đỉnh). Do đó:$$\triangle SAM = \triangle CBM\quad\text{(g.c.g)}.$$Suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau:$$SA = BC.$$Khoảng cách từ bờ biển đến con tàu $SA$ hoàn toàn bằng chiều dài đoạn thẳng $BC$ đo được dễ dàng trên đất liền!

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác (Quiz)

V. Đề kiểm tra đánh giá năng lực

Đề 1: Kiểm tra 15 phút (Đánh giá nhanh kiến thức trọng tâm)

Ma trận đề thi 15 phút

• Trắc nghiệm (4 câu - 4,0 điểm): Nhận biết và thông hiểu các trường hợp c.g.c, g.c.g và hệ quả tam giác vuông.
• Tự luận (1 bài gồm 2 ý - 6,0 điểm): Trình bày chứng minh hai tam giác bằng nhau và suy ra tính chất song song / bằng nhau.

Phần 1: Trắc nghiệm (4 câu - 4 điểm)

Câu 1 (1 điểm): Cho hai tam giác $\triangle ABC$ và $\triangle MNP$ có $BC = NP$ và $\widehat{C} = \widehat{P}$. Để $\triangle ABC = \triangle MNP$ theo trường hợp Cạnh - Góc - Cạnh, cần bổ sung thêm điều kiện:

• A. $AB = MN$
• B. $AC = MP$
• C. $\widehat{B} = \widehat{N}$
• D. $\widehat{A} = \widehat{M}$

Câu 2 (1 điểm): Cho hình vẽ có $AB \parallel CD$ và $AB = CD$. Nối $AC$. Khẳng định nào sau đây đúng?

• A. $\triangle ABC = \triangle CDA\text{ (c.g.c)}$
• B. $\triangle ABC = \triangle CAD\text{ (c.g.c)}$
• C. $\triangle ABC = \triangle CDA\text{ (g.c.g)}$
• D. $\triangle ABC = \triangle CDA\text{ (c.c.c)}$

Câu 3 (1 điểm): Cho tam giác vuông $\triangle ABC$ vuông tại $A$ và $\triangle DEF$ vuông tại $D$. Biết $BC = EF$ và $\widehat{B} = \widehat{E}$. Hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp nào?

• A. Hai cạnh góc vuông
• B. Cạnh góc vuông - góc nhọn kề
• C. Cạnh huyền - góc nhọn
• D. Cạnh - Cạnh - Cạnh

Câu 4 (1 điểm): Điều kiện nào sau đây KHÔNG ĐỦ để kết luận hai tam giác bằng nhau?

• A. Ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau
• B. Hai cặp cạnh và cặp góc xen giữa tương ứng bằng nhau
• C. Một cặp cạnh và hai cặp góc kề tương ứng bằng nhau
• D. Ba cặp góc tương ứng bằng nhau

Phần 2: Tự luận (1 bài - 6 điểm)

Bài toán: Cho góc nhọn $xOy$. Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$, trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ sao cho $OA = OB$. Gọi $Ot$ là tia phân giác của góc $xOy$. Trên tia $Ot$ lấy điểm $M$ bất kỳ ($M$ khác $O$). a) (3,5 điểm) Chứng minh rằng $\triangle OAM = \triangle OBM$. b) (2,5 điểm) Chứng minh rằng $MA = MB$ và $OM \perp AB$ (với $OM$ cắt $AB$ tại $H$).

Hướng dẫn chấm & Barem điểm Đề 15 phút

Đề 2: Kiểm tra 45 phút (Đánh giá định kỳ toàn diện)

Ma trận đề thi 45 phút

Phần 1: Trắc nghiệm khách quan (6 câu - 3 điểm)

Câu 1: Trong tam giác $DEF$, cạnh kề hai góc $\widehat{D}$ và $\widehat{F}$ là:

• A. Cạnh $DE$
• B. Cạnh $EF$
• C. Cạnh $DF$
• D. Không có cạnh nào

Câu 2: Cho $\triangle ABC$ và $\triangle MNP$ có $AB = MN$, $\widehat{A} = \widehat{M}$. Để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp g.c.g thì cần thêm điều kiện:

• A. $\widehat{B} = \widehat{N}$
• B. $AC = MP$
• C. $\widehat{C} = \widehat{P}$
• D. $BC = NP$

Câu 3: Cho hình vẽ hai tam giác có $OA = OB$ và $OC = OD$, $\widehat{AOD} = \widehat{BOC}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

• A. $\triangle OAD = \triangle OBC\text{ (c.g.c)}$
• B. $\triangle OAD = \triangle OCB\text{ (c.g.c)}$
• C. $\triangle OAD = \triangle OBC\text{ (g.c.g)}$
• D. $\triangle OAD = \triangle BCO\text{ (c.c.c)}$

Câu 4: Cho $\triangle ABC = \triangle DEF$ theo trường hợp c.g.c với $AB = 5\text{ cm}, AC = 7\text{ cm}, \widehat{A} = 65^\circ$. Khẳng định nào sau đây SAI?

• A. $DE = 5\text{ cm}$
• B. $DF = 7\text{ cm}$
• C. $\widehat{D} = 65^\circ$
• D. $EF = 12\text{ cm}$

Câu 5: Hai tam giác vuông $\triangle ABC$ (vuông tại $A$) và $\triangle A'B'C'$ (vuông tại $A'$) có $AB = A'B'$ và $AC = A'C'$. Ta kết luận hai tam giác vuông đó bằng nhau theo trường hợp:

• A. Cạnh huyền - góc nhọn
• B. Hai cạnh góc vuông
• C. Cạnh góc vuông - góc nhọn kề
• D. Cạnh - Cạnh - Cạnh

Câu 6: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí $P$ và $Q$ bị ngăn cách bởi một tòa nhà cao tầng, kỹ sư đo đạc chọn điểm mốc $K$ sao cho nhìn thấy cả $P$ và $Q$. Kỹ sư lấy $P'$ đối xứng với $P$ qua $K$, và $Q'$ đối xứng với $Q$ qua $K$. Khi đo được $P'Q' = 58\text{ m}$ thì khoảng cách $PQ$ là:

• A. $29\text{ m}$
• B. $58\text{ m}$
• C. $116\text{ m}$
• D. Chưa thể xác định được

Phần 2: Tự luận (3 bài - 7 điểm)

Bài 1 (3,0 điểm): Cho đoạn thẳng $AB$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Qua $I$ kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$. Lấy điểm $M$ bất kỳ trên đường thẳng $d$ ($M$ không trùng với $I$). a) (2,0 điểm) Chứng minh rằng $\triangle AIM = \triangle BIM$. b) (1,0 điểm) Chứng minh rằng $MA = MB$ và $MI$ là tia phân giác của góc $\widehat{AMB}$.