Bài 13. Hai tam giác bằng nhau. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c)

Trong thế giới kiến trúc và kỹ thuật xây dựng, nếu để ý quan sát các cây cầu thép nổi tiếng (như cầu Long Biên, cầu Tràng Tiền), các giàn giáo công trình, tháp truyền hình hay khung vì kèo mái nhà, các em sẽ thấy một đặc điểm chung kỳ lạ: Chúng đều được cấu tạo từ vô số thanh giằng đan xen thành các hình tam giác!

Tại sao những người kỹ sư không dùng hình chữ nhật hay tứ giác để thi công giàn đỡ?

• Nếu dùng $4$ thanh gỗ ghép thành một khung tứ giác liên kết bằng các khớp đinh bản lề, chỉ cần đẩy nhẹ một góc, toàn bộ khung sẽ lập tức bị xô lệch, méo mó thành hình bình hành.
• Nhưng nếu ghép $3$ thanh gỗ thành một khung tam giác, dù các khớp nối có thể xoay tự do, chiếc khung tam giác ấy vẫn hoàn toàn cứng vững và bất biến, không một lực nào có thể làm méo nó nếu các cạnh không bị bẻ gãy!

Nguyên lý cơ học vĩ đại ấy bắt nguồn từ một chân lý hình học nền tảng: Khi độ dài ba cạnh của một tam giác đã được xác định, thì hình dạng và tất cả các góc của tam giác đó hoàn toàn được ấn định duy nhất!

Chân lý này dẫn ta đến một trong những công cụ mạnh mẽ nhất của hình học phẳng: Hai tam giác bằng nhau và trường hợp bằng nhau Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c). Khi làm chủ được công cụ này, các em không chỉ so sánh được hai hình tam giác mà còn mở ra chìa khóa vạn năng để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, chứng minh tia phân giác, đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc.

Khởi động — Kiểm tra kiến thức nền tảng (5–7 phút)

Trước khi bước vào bài học mới, hãy kiểm tra lại các kỹ năng quan sát và hình học nền tảng qua $5$ câu hỏi khởi động:

1. Khái niệm tam giác: Một tam giác $MNP$ có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh và bao nhiêu góc? Hãy kể tên chi tiết các yếu tố đó.
2. Ký hiệu đoạn thẳng và góc bằng nhau: Hãy dùng ký hiệu toán học để diễn tả các ý sau:
   • Đoạn thẳng $EF$ dài bằng đoạn thẳng $HK$.
   • Góc đỉnh $M$ có số đo bằng góc đỉnh $P$.
3. Ký hiệu trên hình vẽ: Khi hai đoạn thẳng trên một hình vẽ cùng được đánh dấu bởi một nét gạch chéo đơn ($|$) hoặc hai nét gạch chéo song song ($||$), điều đó cho ta biết thông tin gì?
4. Tổng ba góc trong tam giác: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 75^\circ$ và $\widehat{B} = 45^\circ$. Hãy tính số đo của góc $\widehat{C}$.
5. Giao điểm cung tròn: Lấy đoạn thẳng $AB = 6\text{ cm}$. Vẽ đường tròn tâm $A$ bán kính $5\text{ cm}$ và đường tròn tâm $B$ bán kính $5\text{ cm}$. Hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm $C$ và $D$. Độ dài các đoạn thẳng $CA, CB, DA, DB$ bằng bao nhiêu?

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Định nghĩa hai tam giác bằng nhau

Hai hình tam giác bằng nhau khi ta có thể đặt chúng chồng khít lên nhau hoàn toàn. Khi đó, từng đỉnh của tam giác này sẽ trùng khớp với một đỉnh tương ứng của tam giác kia.

Quan trọng

ĐỊNH NGHĨA: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.

Khi tam giác $ABC$ và tam giác $A'B'C'$ bằng nhau, ta viết:

$$\triangle ABC = \triangle A'B'C'.$$

Quy ước bắt buộc: Các đỉnh tương ứng phải được viết theo đúng thứ tự:

• Đỉnh $A$ ứng với đỉnh $A'$
• Đỉnh $B$ ứng với đỉnh $B'$
• Đỉnh $C$ ứng với đỉnh $C'$

Từ ký hiệu $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$, ta suy ra hệ thống $6$ yếu tố tương ứng bằng nhau:

Lưu ý / Cảnh báo

CẢNH BÁO "BẪY" THƯỜNG GẶP: Ký hiệu hai tam giác bằng nhau thể hiện chính xác mối quan hệ giữa các đỉnh. Do đó:

• Ký hiệu $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$ hoàn toàn khác với $\triangle ABC = \triangle B'A'C'$.
• Nếu viết $\triangle ABC = \triangle B'A'C'$, điều đó đồng nghĩa với việc $A \leftrightarrow B'$ và $B \leftrightarrow A'$, dẫn đến $AB = B'A'$ nhưng lại kéo theo $BC = A'C'$ (sai lệch với hình vẽ).
• Quy tắc vàng: Chỉ khi viết đúng thứ tự đỉnh tương ứng, ta mới được phép suy ra các cạnh và các góc tương ứng bằng nhau!

2. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c)

Để kết luận hai tam giác bằng nhau theo định nghĩa, ta cần kiểm tra tới $6$ điều kiện ($3$ cặp cạnh và $3$ cặp góc). Tuy nhiên, các nhà toán học đã chứng minh được một định lý vô cùng kỳ diệu: Chỉ cần kiểm tra $3$ cặp cạnh là đủ!

Quan trọng

ĐỊNH LÝ (Trường hợp bằng nhau c.c.c): Nếu ba cạnh của tam giác này lần lượt bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$ có:

$$\begin{cases} AB = A'B' \\ BC = B'C' \\ CA = C'A' \end{cases}$$

Thì ta kết luận:

$$\triangle ABC = \triangle A'B'C' \quad (\text{c.c.c}).$$

Nhờ định lý này, một khi đã khẳng định được $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$ (c.c.c), ta lập tức được quyền suy ra:

Đây chính là cây cầu nối quan trọng nhất giúp ta tính toán số đo góc hoặc chứng minh các góc bằng nhau mà không cần dùng đến thước đo góc!

3. Kỹ thuật nhận diện "Cạnh chung" — Vũ khí sắc bén nhất

Trong các bài toán hình học thực tế, hai tam giác thường không nằm tách rời nhau mà dính liền vào nhau hoặc ghép chung một bờ cạnh.

Mẹo hay

BÍ QUYẾT TÌM KIẾM CẶP CẠNH THỨ BA: Đề bài thường chỉ cho sẵn $2$ cặp cạnh bằng nhau trong giả thiết ($AB = AD$ và $BC = DC$). Cặp cạnh thứ ba chính là đoạn thẳng chung giữa hai hình ($AC$ là cạnh chung). Hãy luôn ghi nhớ: Một đoạn thẳng thì hiển nhiên luôn bằng chính nó!

II. Các dạng toán trọng tâm và Phương pháp giải

Dạng 1: Viết đúng ký hiệu hai tam giác bằng nhau; suy ra cạnh và góc tương ứng

Phương pháp giải

1. Tìm các cặp đỉnh tương ứng: Dựa vào các cặp cạnh bằng nhau hoặc cặp góc bằng nhau đã cho:
   • Nếu $AB = DE$ và $AC = DF$, đỉnh chung bên trái là $A$, đỉnh chung bên phải là $D$ $\implies$ Đỉnh $A$ ứng với đỉnh $D$.
   • Từ đó suy ra đỉnh $B$ ứng với đỉnh $E$, đỉnh $C$ ứng với đỉnh $F$.
2. Viết ký hiệu đẳng thức tam giác: Viết hai tam giác theo đúng trình tự các đỉnh đã bắt cặp.
3. Suy ra các hệ thức: Từ ký hiệu đúng, suy ra các cặp cạnh bằng nhau và các cặp góc bằng nhau. Sử dụng thêm định lý tổng ba góc trong tam giác bằng $180^\circ$ khi cần tính số đo.

Bài toán mẫu 1 (Xác định đỉnh và viết ký hiệu đẳng thức)

Cho hai tam giác $ABC$ và $HKP$ có $AB = KP$, $BC = PH$, $CA = HK$. a) Hãy ghép cặp các đỉnh tương ứng của hai tam giác. b) Viết ký hiệu thể hiện sự bằng nhau của hai tam giác đó theo $3$ cách khác nhau.

Lời giải chi tiết: a) Xét các cặp cạnh bằng nhau:

• Cạnh $AB$ và $AC$ có chung đỉnh $A$; cạnh tương ứng $KP$ và $HK$ có chung đỉnh $K$. Do đó đỉnh $A$ ứng với đỉnh $K$ ($A \leftrightarrow K$).
• Cạnh $BA$ và $BC$ có chung đỉnh $B$; cạnh tương ứng $PK$ và $PH$ có chung đỉnh $P$. Do đó đỉnh $B$ ứng với đỉnh $P$ ($B \leftrightarrow P$).
• Còn lại đỉnh $C$ ứng với đỉnh $H$ ($C \leftrightarrow H$).

b) Từ sự tương ứng $A \leftrightarrow K$, $B \leftrightarrow P$, $C \leftrightarrow H$, ta có các cách viết đẳng thức tam giác:

• Cách 1: $\triangle ABC = \triangle KPH$.
• Cách 2: $\triangle BAC = \triangle PKH$.
• Cách 3: $\triangle CAB = \triangle HKP$.

Bài toán mẫu 2 (Tính độ dài cạnh và số đo góc)

Cho $\triangle MNP = \triangle DEG$. Biết rằng $MN = 6\text{ cm}$, $NP = 8\text{ cm}$, $EG = 8\text{ cm}$, $DG = 10\text{ cm}$, $\widehat{M} = 55^\circ$ và $\widehat{E} = 65^\circ$. a) Tìm độ dài các cạnh $MP$ và $DE$. b) Tính số đo các góc còn lại của hai tam giác.

Lời giải chi tiết: a) Vì $\triangle MNP = \triangle DEG$ nên các cạnh tương ứng bằng nhau:

• Cạnh $DE = MN = 6\text{ cm}$.
• Cạnh $MP = DG = 10\text{ cm}$.

b) Vì $\triangle MNP = \triangle DEG$ nên các góc tương ứng bằng nhau:

• Đỉnh $M$ ứng với đỉnh $D \implies \widehat{D} = \widehat{M} = 55^\circ$.
• Đỉnh $N$ ứng với đỉnh $E \implies \widehat{N} = \widehat{E} = 65^\circ$.

Xét tam giác $MNP$, tổng ba góc trong tam giác bằng $180^\circ$:

Vì góc $\widehat{G}$ tương ứng với góc $\widehat{P}$ nên:

Vậy số đo các góc còn lại là: $\widehat{D} = 55^\circ$, $\widehat{N} = 65^\circ$, $\widehat{P} = 60^\circ$ và $\widehat{G} = 60^\circ$.

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.c.c

Phương pháp giải

Trình bày theo cấu trúc $3$ bước chuẩn mực:

• Bước 1: Nêu rõ tên hai tam giác cần xét: "Xét $\triangle ...$ và $\triangle ...$ có:"
• Bước 2: Liệt kê đầy đủ $3$ cặp cạnh bằng nhau kèm theo căn cứ rõ ràng (giả thiết cho, cùng độ dài, do trung điểm, hoặc là cạnh chung).
• Bước 3: Kết luận hai tam giác bằng nhau theo trường hợp (c.c.c): "Vậy $\triangle ... = \triangle ... \text{ (c.c.c)}$."

Bài toán mẫu 3 (Mô hình điểm cách đều hai mút)

Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh đáy $BC$. a) Chứng minh rằng $\triangle ABM = \triangle ACM$. b) Chứng minh $AM$ là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$. c) Chứng minh $AM \perp BC$.

Lời giải chi tiết: a) Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACM$ có:

• $AB = AC$ (theo giả thiết).
• $BM = CM$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$).
• $AM$ là cạnh chung.

Do đó, $\triangle ABM = \triangle ACM$ (c.c.c).

b) Vì $\triangle ABM = \triangle ACM$ (chứng minh trên) nên:

Mặt khác, tia $AM$ nằm giữa hai tia $AB$ và $AC$. Vậy $AM$ là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$.

c) Cũng từ $\triangle ABM = \triangle ACM$, ta suy ra:

Mà hai góc $\widehat{AMB}$ và $\widehat{AMC}$ là hai góc kề bù (vì $B, M, C$ thẳng hàng), nên:

Do hai góc bằng nhau nên:

Điều này chứng tỏ $AM \perp BC$.

Dạng 3: Sử dụng c.c.c để chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp giải

Để chứng minh hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau:

1. Nối một đoạn thẳng thích hợp để tạo thành hai tam giác có cạnh chung.
2. Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp (c.c.c).
3. Suy ra một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc cặp góc đồng vị bằng nhau).
4. Áp dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song để kết luận $a \parallel b$.

Bài toán mẫu 4 (Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau)

Cho hình vẽ tứ giác $ABCD$ có $AB = CD$ và $AD = BC$. a) Chứng minh rằng $\triangle ABC = \triangle CDA$. b) Chứng minh $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$.

Lời giải chi tiết: a) Nối đoạn thẳng $AC$. Xét $\triangle ABC$ và $\triangle CDA$ có:

• $AB = CD$ (theo giả thiết).
• $BC = DA$ (vì $AD = BC$ theo giả thiết).
• $AC$ là cạnh chung.

Do đó, $\triangle ABC = \triangle CDA$ (c.c.c).

b) Vì $\triangle ABC = \triangle CDA$ nên ta có các cặp góc tương ứng bằng nhau:

• $\widehat{BAC} = \widehat{DCA}$ (hai góc tương ứng). Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong đối với hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bị cắt bởi cát tuyến $AC$. Suy ra $AB \parallel CD$.
• Tương tự, ta có $\widehat{BCA} = \widehat{DAC}$ (hai góc tương ứng). Mà hai góc này cũng nằm ở vị trí so le trong đối với hai đường thẳng $AD$ và $BC$ bị cắt bởi cát tuyến $AC$. Suy ra $AD \parallel BC$.

(Kết quả này sau này ở Lớp 8 các em sẽ biết chính là dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình bình hành).

Dạng 4: Bài toán giao điểm hai cung tròn (Mô hình compa)

Phương pháp giải

Khi một điểm $M$ được xác định bằng giao điểm của hai cung tròn:

• Cung tròn tâm $A$ bán kính $R_1 \implies MA = R_1$.
• Cung tròn tâm $B$ bán kính $R_2 \implies MB = R_2$. Nếu vẽ hai điểm ở hai phía khác nhau của một đoạn thẳng có cùng bán kính, ta sẽ thu được các cặp tam giác bằng nhau theo trường hợp (c.c.c).

Bài toán mẫu 5 (Tính các góc dựa vào mô hình hai điểm đối xứng)

Cho đoạn thẳng $AB$. Lấy điểm $C$ và điểm $D$ nằm ở hai phía khác nhau của đường thẳng $AB$ sao cho $AC = AD$ và $BC = BD$. Biết $\widehat{CAB} = 30^\circ$ và $\widehat{ABC} = 40^\circ$. a) Chứng minh rằng $\triangle CAB = \triangle DAB$. b) Tính số đo góc $\widehat{ACB}$ và số đo góc $\widehat{ADB}$. c) Chứng minh $AB$ là tia phân giác của góc $\widehat{CAD}$.

Lời giải chi tiết: a) Xét $\triangle CAB$ và $\triangle DAB$ có:

• $AC = AD$ (theo giả thiết).
• $BC = BD$ (theo giả thiết).
• $AB$ là cạnh chung.

Do đó, $\triangle CAB = \triangle DAB$ (c.c.c).

b) Trong tam giác $CAB$, tổng ba góc bằng $180^\circ$:

Vì $\triangle CAB = \triangle DAB$ nên:

c) Vì $\triangle CAB = \triangle DAB$, ta suy ra:

Mặt khác, điểm $C$ và điểm $D$ nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa đường thẳng $AB$, nên tia $AB$ nằm giữa hai tia $AC$ và $AD$. Kết hợp với $\widehat{CAB} = \widehat{DAB}$, suy ra $AB$ là tia phân giác của góc $\widehat{CAD}$.

III. 5 Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh giỏi & Olympic Toán

Chuyên đề 1: Tính duy nhất của tam giác và bài toán dựng hình bằng Thước kẻ và Compa

Trong hình học cổ điển Hy Lạp, bài toán dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh $a, b, c$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) chỉ bằng thước thẳng và compa là một trong những bài toán nền tảng nhất:

1. Dựng đoạn thẳng $BC = a$.
2. Dựng cung tròn tâm $B$, bán kính $c$.
3. Dựng cung tròn tâm $C$, bán kính $b$.
4. Giao điểm của hai cung tròn là đỉnh $A$. Nối $AB, AC$ ta được tam giác $ABC$.

Ghi nhớ

Ý NGHĨA OLYMPIC: Nếu một người khác cũng thực hiện chính xác các thao tác trên ở một nơi khác, thì tam giác họ dựng được chắc chắn sẽ bằng khít với tam giác của em theo trường hợp (c.c.c). Điều này khẳng định: Ba cạnh của một tam giác quyết định duy nhất hình dạng và kích thước của tam giác đó! Đây là cơ sở toán học lý giải vì sao tam giác là hình bất biến hình học duy nhất trong không gian phẳng.

Chuyên đề 2: Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng bằng phương pháp c.c.c

Bài toán: Cho đoạn thẳng $AB$. Điểm $M$ cách đều hai đầu mút $A$ và $B$ ($MA = MB$). Chứng minh rằng $M$ luôn nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Phân tích & Chứng minh:

• Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ ($IA = IB$). Nối $MI$.
• Nếu $M$ trùng với $I$, thì $M$ chính là trung điểm của $AB$, hiển nhiên thuộc đường trung trực.
• Nếu $M$ không trùng với $I$, ta xét hai tam giác $\triangle AMI$ và $\triangle BMI$ có:
  • $MA = MB$ (theo giả thiết).
  • $IA = IB$ (vì $I$ là trung điểm của $AB$).
  • $MI$ là cạnh chung.
• Suy ra $\triangle AMI = \triangle BMI$ (c.c.c).
• Từ đó ta có $\widehat{MIA} = \widehat{MIB}$ (hai góc tương ứng).
• Mà hai góc này là hai góc kề bù: $\widehat{MIA} + \widehat{MIB} = 180^\circ$.
• Do đó:$$\widehat{MIA} = \widehat{MIB} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \implies MI \perp AB.$$
• Vì đường thẳng $MI$ vừa đi qua trung điểm $I$ của $AB$, vừa vuông góc với $AB$ tại $I$, nên đường thẳng $MI$ chính là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
• Vậy điểm $M$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Quan trọng

ĐỊNH LÝ ĐẢO ĐƯỜNG TRUNG TRỰC: Bất kỳ điểm nào cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì đều nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Chuyên đề 3: Mô hình "Con diều" (Kite) và tính chất vuông góc của hai đường chéo

Một tứ giác $ABCD$ có hai cặp cạnh kề bằng nhau ($AB = AD$ và $CB = CD$) được các nhà toán học quốc tế gọi là Tứ giác hình con diều (Kite).

Bài toán: Cho tứ giác $ABCD$ có $AB = AD$ và $CB = CD$. Chứng minh rằng: a) $AC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BD$. b) $AC \perp BD$.

Lời giải chi tiết: a) Áp dụng kết quả Chuyên đề 2 về đường trung trực:

• Vì $AB = AD$ nên điểm $A$ cách đều hai đầu mút $B$ và $D$. Suy ra $A$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $BD$.
• Vì $CB = CD$ nên điểm $C$ cách đều hai đầu mút $B$ và $D$. Suy ra $C$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $BD$. Do đó, đường thẳng nối hai điểm phân biệt $A$ và $C$ (tức đường thẳng $AC$) chính là đường trung trực của đoạn thẳng $BD$.

b) Theo định nghĩa của đường trung trực: Đường trung trực của một đoạn thẳng thì vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm. Vì $AC$ là đường trung trực của $BD$, nên ta suy ra ngay $AC \perp BD$ (tại giao điểm $H$ và $H$ là trung điểm của $BD$).

Chuyên đề 4: Phương pháp tam giác phụ và bài toán chứng minh Ba điểm thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm $A, O, B$ thẳng hàng, phương pháp kinh điển trong hình học là chứng minh góc $\widehat{AOB} = 180^\circ$ (góc bẹt) hoặc chứng minh tia $OA$ và tia $OB$ là hai tia đối nhau.

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC$. Lấy điểm $D$ trên cạnh $BC$ sao cho $BD = CD$ (nghĩa là $D$ là trung điểm $BC$). Lấy điểm $E$ nằm đối diện đỉnh $A$ qua điểm $D$ sao cho $EB = EC$ và $EA = ED + DA$. Chứng minh rằng ba điểm $A, D, E$ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

• Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ có:
  • $AB = AC$ (theo giả thiết).
  • $BD = CD$ (theo giả thiết).
  • $AD$ là cạnh chung. $\implies \triangle ABD = \triangle ACD$ (c.c.c). Suy ra $\widehat{ADB} = \widehat{ADC}$ (hai góc tương ứng). Vì hai góc kề bù nên: $\widehat{ADB} = \widehat{ADC} = 90^\circ$.
• Tương tự, xét $\triangle EBD$ và $\triangle ECD$ có:
  • $EB = EC$ (theo giả thiết).
  • $BD = CD$ (theo giả thiết).
  • $ED$ là cạnh chung. $\implies \triangle EBD = \triangle ECD$ (c.c.c). Suy ra $\widehat{EDB} = \widehat{EDC} = 90^\circ$.
• Điểm $A$ và điểm $E$ nằm ở hai phía đối nhau đối với đường thẳng $BC$. Do đó:$$\widehat{ADE} = \widehat{ADB} + \widehat{EDB} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.$$Góc $\widehat{ADE} = 180^\circ$ là một góc bẹt, chứng tỏ ba điểm $A, D, E$ thẳng hàng.

Chuyên đề 5: Khám phá định lý Tam giác đều qua phép hoán vị đỉnh c.c.c

Bài toán Olympic: Một tam giác đều $ABC$ có ba cạnh bằng nhau: $AB = BC = CA$. Không sử dụng khái niệm tam giác cân, chỉ dùng duy nhất trường hợp bằng nhau (c.c.c), hãy chứng minh rằng ba góc của tam giác đó bằng nhau và mỗi góc bằng đúng $60^\circ$.

Lời giải đỉnh cao bằng hoán vị đỉnh:

• Xét tam giác $ABC$ và tam giác $BCA$:

  • Cạnh $AB$ của tam giác thứ nhất bằng cạnh $BC$ của tam giác thứ hai (vì $AB = BC$).
  • Cạnh $BC$ của tam giác thứ nhất bằng cạnh $CA$ của tam giác thứ hai (vì $BC = CA$).
  • Cạnh $CA$ của tam giác thứ nhất bằng cạnh $AB$ của tam giác thứ hai (vì $CA = AB$). Do đó: $\triangle ABC = \triangle BCA$ (c.c.c). Từ hai tam giác bằng nhau này, suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau:$$\widehat{A} = \widehat{B} \quad (1).$$

• Tiếp tục xét tam giác $ABC$ và tam giác $CAB$:

  • Cạnh $AB = CA$.
  • Cạnh $BC = AB$.
  • Cạnh $CA = BC$. Do đó: $\triangle ABC = \triangle CAB$ (c.c.c). Từ hai tam giác bằng nhau này, suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau:$$\widehat{A} = \widehat{C} \quad (2).$$

• Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:

  $$\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C}.$$

• Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác:

  $$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \implies 3\widehat{A} = 180^\circ \implies \widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ.$$

  $\implies$ Một kết quả tuyệt mỹ được chứng minh chỉ bằng công cụ thuần túy c.c.c!

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác (Quiz)

V. Đề kiểm tra đánh giá năng lực học sinh

Đề 1: Kiểm tra 15 phút (Đánh giá nhanh mức độ tiếp thu)

Phần 1: Trắc nghiệm khách quan (4 câu - 4 điểm)

Câu 1 (1 điểm): Cho $\triangle ABC = \triangle PQR$. Biết $BC = 7\text{ cm}$. Cạnh nào của tam giác $PQR$ có độ dài bằng $7\text{ cm}$?

• A. $PQ$
• B. $QR$
• C. $PR$
• D. Không xác định được

Câu 2 (1 điểm): Cho hai tam giác $MNP$ và $XYZ$ có $MN = XY$, $NP = YZ$, $MP = XZ$. Khẳng định nào sau đây viết ĐÚNG?

• A. $\triangle MNP = \triangle XYZ$
• B. $\triangle MNP = \triangle YXZ$
• C. $\triangle MNP = \triangle ZYX$
• D. $\triangle NPM = \triangle XYZ$

Câu 3 (1 điểm): Cho $\triangle ABC = \triangle DEG$ có $\widehat{A} = 40^\circ, \widehat{E} = 60^\circ$. Số đo của góc $\widehat{C}$ là:

• A. $40^\circ$
• B. $60^\circ$
• C. $80^\circ$
• D. $100^\circ$

Câu 4 (1 điểm): Để chứng minh $\triangle OAB = \triangle OCD$ theo trường hợp c.c.c, ta cần chỉ ra:

• A. Ba cặp góc tương ứng bằng nhau
• B. Hai cặp cạnh và một cặp góc bằng nhau
• C. Ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau: $OA = OC, OB = OD, AB = CD$
• D. Một cặp cạnh bằng nhau

Phần 2: Tự luận (1 bài - 6 điểm)

Bài toán: Cho hình vẽ có $AB = AD$ và $CB = CD$. a) (3,0 điểm) Chứng minh rằng $\triangle ABC = \triangle ADC$. b) (2,0 điểm) Chứng minh rằng $AC$ là tia phân giác của góc $\widehat{BAD}$. c) (1,0 điểm) Biết góc $\widehat{B} = 105^\circ$. Hãy tính số đo của góc $\widehat{D}$.

Hướng dẫn chấm & Barem điểm Đề 15 phút