Ôn tập Chương VIII. Những hình hình học cơ bản

Chương VIII đưa các em bước vào thế giới hình học phẳng nền tảng — nơi mọi hình thể phức tạp của toán học và kiến trúc sau này đều được xây dựng từ những viên gạch sơ khai nhất: từ một chấm điểm không kích thước, một đường thẳng trải dài vô tận về hai phía, một tia mang định hướng không gian, một đoạn thẳng hữu hạn có độ dài xác định, cho đến sự cân bằng hoàn hảo của trung điểm, độ mở không gian của góc và giá trị định lượng qua số đo góc.

Toàn bộ mạch kiến thức Chương VIII có tính liên kết logic chặt chẽ:

• Từ điểm và đường thẳng $\to$ sinh ra quan hệ thẳng hàng, cắt nhau, song song.
• Một điểm trên đường thẳng $\to$ chia đường thẳng thành hai tia đối nhau.
• Hai điểm giới hạn $\to$ tạo thành đoạn thẳng với hệ thức cộng độ dài $AM + MB = AB$ và trung điểm $MA = MB = \dfrac{AB}{2}.$
• Hai tia chung gốc $\to$ tạo thành góc, với công cụ thước đo độ phân chia thành $4$ loại góc (nhọn, vuông, tù, bẹt) và ứng dụng đo đạc chuyển động của kim đồng hồ.

Bài tổng ôn này sẽ hệ thống hóa toàn bộ lý thuyết $6$ bài học, tổng kết các công thức đếm tổ hợp quan trọng, cảnh báo các bẫy hình học thường gặp, trang bị $5$ chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi nâng cao độc bản $100\%$ và bộ đề kiểm tra $45$ phút chuẩn ma trận có hướng dẫn chấm chi tiết.

I. Tổng hợp lý thuyết toàn diện Chương VIII

1. Bảng đối chiếu 6 bài học trọng tâm

2. Hệ thống công thức đếm tổ hợp toàn chương

Các công thức đếm hình học xuất hiện xuyên suốt Chương VIII đều tuân theo quy tắc ghép cặp tổ hợp:

Quan trọng

Bộ 4 công thức đếm hình kinh điển:

1. Đếm đường thẳng: Cho $n$ điểm phân biệt ($n \ge 2$), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng vẽ được qua các cặp điểm là:$$N_{\text{đường thẳng}} = \dfrac{n(n - 1)}{2}.$$
2. Đếm đoạn thẳng: Cho $n$ điểm phân biệt trên một đường thẳng (hoặc trên mặt phẳng). Số đoạn thẳng nối từng cặp điểm là:$$N_{\text{đoạn thẳng}} = \dfrac{n(n - 1)}{2}.$$
3. Đếm tia: Trên một đường thẳng lấy $n$ điểm phân biệt. Vì mỗi điểm là gốc của đúng $2$ tia đối nhau nên tổng số tia phân biệt là:$$N_{\text{tia}} = 2n\quad \text{(tia)}.$$
4. Đếm góc: Cho $n$ tia chung gốc đôi một phân biệt ($n \ge 2$). Cứ $2$ tia ghép lại tạo thành $1$ góc, nên tổng số góc đỉnh đó là:$$N_{\text{góc}} = \dfrac{n(n - 1)}{2}\quad \text{(góc)}.$$

Lưu ý / Cảnh báo

Bảng tổng hợp các lỗi sai & bẫy kinh điển cả chương:

1. Nhầm lẫn thứ tự chữ cái của góc: Viết $\widehat{Oxy}$ thay vì $\widehat{xOy}.$ Ghi nhớ: Chữ chỉ đỉnh bắt buộc phải nằm ở chính giữa!
2. Cộng đoạn thẳng khi chưa chứng minh điểm nằm giữa: Nhiều bạn vội vàng viết $AB + BC = AC$ mà chưa chỉ ra điểm $B$ nằm giữa $A$ và $C.$ Trên tia $Ox,$ phải lập luận: "Vì $OA < OB$ nên $A$ nằm giữa $O$ và $B$" trước khi áp dụng hệ thức cộng!
3. Bẫy trung điểm thiếu điều kiện thẳng hàng: Điểm $M$ thỏa mãn $MA = MB$ nhưng không nằm trên đoạn thẳng $AB$ (tạo thành tam giác cân) thì không phải là trung điểm của $AB.$ Để là trung điểm, điểm $M$ phải thỏa mãn đồng thời: vừa nằm giữa, vừa cách đều!
4. Nhầm lẫn hai tia đối nhau và hai tia trùng nhau: Hai tia chung gốc chưa chắc đã đối nhau hay trùng nhau; chúng chỉ đối nhau khi cùng tạo nên một đường thẳng theo hai hướng ngược nhau.
5. Bỏ sót góc lớn nhất: Khi hình vẽ có $3$ tia chung gốc $Ox, Oy, Oz$ theo thứ tự, học sinh rất hay đếm $2$ góc nhỏ $\widehat{xOy}, \widehat{yOz}$ mà quên mất góc lớn $\widehat{xOz}.$
6. Góc $90^\circ$ không phải góc tù: Góc $90^\circ$ là góc vuông. Góc tù bắt buộc phải lớn hơn $90^\circ$ và nhỏ hơn $180^\circ.$

II. Các dạng bài tập tổng hợp cốt lõi

Dạng 1: Đọc hình, xác định quan hệ vị trí giữa điểm, tia, đoạn thẳng và góc

Ví dụ 1:

Cho đường thẳng $xy.$ Lấy điểm $O$ thuộc đường thẳng $xy.$ Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $xy,$ vẽ hai tia $Oz$ và $Ot$ sao cho tia $Oz$ nằm giữa hai tia $Ox$ và $Ot.$ a) Kể tên các tia đối nhau gốc $O.$ b) Hình vẽ có bao nhiêu tia gốc $O$? Có tất cả bao nhiêu góc đỉnh $O$? c) Kể tên tất cả các góc đỉnh $O$ và chỉ rõ góc nào là góc bẹt. d) Điểm nằm trên tia $Oz$ (khác $O$) nằm trong những góc nào?

Lời giải:

                 Ot
                /
               /   Oz
              /   /
             /   /
       y ───●───/──────── x
            O

a) Điểm $O$ thuộc đường thẳng $xy$ nên hai tia đối nhau gốc $O$ là: Tia $Ox$ và tia $Oy$. b)

• Có $4$ tia chung gốc $O$: tia $Ox,$ tia $Oy,$ tia $Oz,$ tia $Ot.$
• Số góc đỉnh $O$ tạo thành từ $4$ tia là:$$\dfrac{4 \cdot (4 - 1)}{2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6\quad \text{(góc)}.$$c) Kể tên $6$ góc đỉnh $O$:
• Các góc kề cạnh $Ox$: $\widehat{xOz},\; \widehat{xOt},\; \widehat{xOy}.$
• Các góc kề cạnh $Oz$: $\widehat{zOt},\; \widehat{zOy}.$
• Góc còn lại: $\widehat{tOy}.$ Trong đó, $\widehat{xOy}$ là góc bẹt (vì hai cạnh $Ox$ và $Oy$ là hai tia đối nhau). d) Lấy điểm $M$ trên tia $Oz$ ($M \ne O$):
• Vì tia $Oz$ nằm giữa hai tia $Ox$ và $Ot$ nên điểm $M$ nằm trong góc $\widehat{xOt}$.
• Vì tia $Oz$ nằm giữa hai tia $Ox$ và $Oy$ nên điểm $M$ nằm trong góc $\widehat{xOy}$.

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng và bài toán nhiều trung điểm

Ví dụ 2:

Cho đoạn thẳng $AB = 16\text{ cm}.$ Lấy điểm $C$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AC = 10\text{ cm}.$ a) Tính độ dài đoạn thẳng $CB.$ b) Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC,$ $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $CB.$ Tính độ dài các đoạn thẳng $MC, CN$ và $MN.$ c) Lấy điểm $D$ thuộc tia đối của tia $BA$ sao cho $BD = 6\text{ cm}.$ Điểm $B$ có phải là trung điểm của đoạn thẳng $CD$ không? Vì sao?

Lời giải: a) Vì điểm $C$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ nên:

b)

• Vì $M$ là trung điểm của $AC$ nên:$$MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\text{ cm}.$$
• Vì $N$ là trung điểm của $CB$ nên:$$CN = \dfrac{CB}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\text{ cm}.$$
• Vì $M \in AC$ và $N \in CB$ mà $C$ nằm giữa $A$ và $B$ nên điểm $C$ nằm giữa hai điểm $M$ và $N.$ Do đó:$$MN = MC + CN = 5 + 3 = 8\text{ cm}.$$

c)

• Điểm $C$ thuộc đoạn thẳng $AB$ nên điểm $C$ thuộc tia $BA.$
• Điểm $D$ thuộc tia đối của tia $BA.$
• Do đó hai tia $BC$ và $BD$ là hai tia đối nhau $\implies$ điểm $B$ nằm giữa hai điểm $C$ và $D$.
• Lại có: $BC = 6\text{ cm}$ (chứng minh câu a) và $BD = 6\text{ cm}$ (đề bài cho) $\implies BC = BD = 6\text{ cm}.$
• Điểm $B$ vừa nằm giữa $C, D$ vừa cách đều hai điểm $C, D$ nên điểm $B$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$.

Dạng 3: Bài toán đếm hình có điều kiện điểm thẳng hàng

Ví dụ 3:

Cho $10$ điểm phân biệt trên mặt phẳng, trong đó có đúng $4$ điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào khác thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng phân biệt?

Lời giải:

• Nếu không có $3$ điểm nào trong $10$ điểm thẳng hàng, số đường thẳng vẽ được là:$$N_0 = \dfrac{10 \cdot (10 - 1)}{2} = \dfrac{10 \cdot 9}{2} = 45\quad \text{(đường thẳng)}.$$
• Xét riêng $4$ điểm thẳng hàng:
  • Nếu $4$ điểm này không thẳng hàng thì chúng tạo ra $\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6$ đường thẳng phân biệt.
  • Nhưng vì $4$ điểm này thẳng hàng nên chúng chỉ tạo ra đúng $1$ đường thẳng duy nhất.
  • Do đó số đường thẳng bị giảm đi là:$$6 - 1 = 5\quad \text{(đường thẳng)}.$$
• Vậy số đường thẳng thực tế vẽ được là:$$N = 45 - 5 = 40\quad \text{(đường thẳng)}.$$

Dạng 4: Đếm góc và bài toán ngược tìm số tia

Ví dụ 4:

Từ một điểm $O$ trên mặt phẳng, vẽ $n$ tia phân biệt chung gốc ($n \ge 2$). a) Biết $n = 8,$ tính số góc đỉnh $O$ được tạo thành. b) Nếu vẽ thêm $2$ tia chung gốc nữa thì số góc tạo thành tăng thêm bao nhiêu góc theo $n$? c) Biết rằng sau khi vẽ thêm $2$ tia thì số góc tăng thêm $25$ góc. Tìm số tia ban đầu $n.$

Lời giải: a) Với $n = 8$ tia chung gốc, số góc tạo thành là:

b) Số góc ban đầu: $N_1 = \dfrac{n(n - 1)}{2}.$ Số góc sau khi có thêm $2$ tia: $N_2 = \dfrac{(n + 2)(n + 1)}{2}.$ Số góc tăng thêm là:

c) Theo đề bài, số góc tăng thêm là $25,$ ta có:

Vậy số tia ban đầu là $12$ tia.

Dạng 5: Phân loại góc và góc chuyển động của kim đồng hồ

Ví dụ 5:

a) Sắp xếp các góc có số đo sau theo thứ tự tăng dần và phân loại từng góc:

b) Lúc $7$ giờ đúng, hai kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành góc bao nhiêu độ? Góc đó là góc gì? c) Lúc $10$ giờ đúng, hai kim đồng hồ tạo thành góc gì?

Lời giải: a) Sắp xếp theo thứ tự số đo tăng dần:

Phân loại:

• Góc nhọn: $28^\circ$ và $75^\circ.$
• Góc vuông: $90^\circ.$
• Góc tù: $92^\circ$ và $135^\circ.$
• Góc bẹt: $180^\circ.$

b) Lúc $7$ giờ đúng: Kim phút chỉ số $12,$ kim giờ chỉ số $7.$ Khoảng cách ngắn nhất giữa hai kim (từ số $7$ đến số $12$) là $5$ khoảng cách số. Số đo góc giữa hai kim là:

Vì $90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$ nên đây là góc tù.

c) Lúc $10$ giờ đúng: Khoảng cách giữa số $10$ và số $12$ là $2$ khoảng số. Số đo góc giữa hai kim là:

Vì $0^\circ < 60^\circ < 90^\circ$ nên đây là góc nhọn.

III. 5 Chuyên đề Nâng cao & Bồi dưỡng Học sinh giỏi

Chuyên đề 1: Công thức tổng quát đếm đường thẳng khi có nhiều cụm điểm thẳng hàng

Quan trọng

Định lý tổng quát: Cho $n$ điểm phân biệt trong đó có $m$ cụm điểm thẳng hàng: cụm thứ nhất có $k_1$ điểm thẳng hàng, cụm thứ hai có $k_2$ điểm thẳng hàng, ..., cụm thứ $m$ có $k_m$ điểm thẳng hàng (các cụm rời nhau, ngoài ra không có ba điểm nào khác thẳng hàng). Số đường thẳng vẽ được là:

$$N = \dfrac{n(n - 1)}{2} - \sum_{i=1}^m \left[ \dfrac{k_i(k_i - 1)}{2} - 1 \right].$$

Bài toán áp dụng:

Trên mặt phẳng có $15$ điểm phân biệt. Trong đó có một nhóm gồm $5$ điểm thẳng hàng và một nhóm khác gồm $4$ điểm thẳng hàng (hai nhóm không có điểm chung), ngoài ra không có ba điểm nào khác thẳng hàng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng phân biệt đi qua các cặp điểm?

Lời giải:

• Nếu không có $3$ điểm nào thẳng hàng, số đường thẳng là:$$N_0 = \dfrac{15 \cdot 14}{2} = 105\quad \text{(đường thẳng)}.$$
• Nhóm $5$ điểm thẳng hàng làm giảm số đường thẳng:$$\Delta_1 = \dfrac{5 \cdot 4}{2} - 1 = 10 - 1 = 9\quad \text{(đường thẳng)}.$$
• Nhóm $4$ điểm thẳng hàng làm giảm số đường thẳng:$$\Delta_2 = \dfrac{4 \cdot 3}{2} - 1 = 6 - 1 = 5\quad \text{(đường thẳng)}.$$
• Số đường thẳng thực tế vẽ được là:$$N = 105 - 9 - 5 = 91\quad \text{(đường thẳng)}.$$

Chuyên đề 2: Tính bất biến của khoảng cách giữa hai trung điểm khi điểm di chuyển

Bài toán:

Cho đoạn thẳng $AB$ có độ dài cố định bằng $2a.$ Điểm $C$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B.$ Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$ và $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $CB.$ a) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng $MN$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $C.$ b) Mở rộng: Nếu lấy điểm $C$ nằm ngoài đoạn thẳng $AB$ trên đường thẳng $AB$ thì khoảng cách giữa trung điểm $M$ của $AC$ và trung điểm $N$ của $BC$ có thay đổi không?

Lời giải: a) Đặt $AC = x,\; CB = y$ ($x, y > 0$). Vì $C$ nằm giữa $A$ và $B$ nên $AB = x + y = 2a.$ Vì $M$ là trung điểm của $AC$ nên $MC = \dfrac{x}{2}.$ Vì $N$ là trung điểm của $CB$ nên $CN = \dfrac{y}{2}.$ Vì hai tia $CA$ và $CB$ đối nhau nên hai tia $CM$ và $CN$ đối nhau $\implies$ điểm $C$ nằm giữa $M$ và $N.$ Do đó:

Độ dài $MN = a$ là hằng số cố định, không phụ thuộc vào vị trí của $C$ (Đpcm).

b) Xét trường hợp điểm $C$ nằm ngoài đoạn thẳng $AB$: Giả sử $C$ nằm về phía $B$ (thứ tự các điểm là $A, B, C$).

• Khi đó $AC - BC = AB = 2a.$
• $M$ là trung điểm $AC \implies MC = \dfrac{AC}{2}.$
• $N$ là trung điểm $BC \implies NC = \dfrac{BC}{2}.$
• Do $BC < AC$ nên điểm $N$ nằm giữa $M$ và $C$ trên tia $CA.$
• Do đó:$$MN = MC - NC = \dfrac{AC - BC}{2} = \dfrac{AB}{2} = a.$$Kết luận: Trong mọi trường hợp điểm $C$ nằm trên đường thẳng $AB$ (dù trong hay ngoài đoạn thẳng $AB$), khoảng cách giữa hai trung điểm $M$ và $N$ luôn luôn bằng $\dfrac{AB}{2}$!

Chuyên đề 3: Dãy vô hạn trung điểm và bài toán tổng lũy thừa hình học

Bài toán:

Cho đoạn thẳng $AB = L = 128\text{ cm}.$ Lấy điểm $M_1$ là trung điểm của $AB.$ Lấy điểm $M_2$ là trung điểm của $AM_1.$ Lấy điểm $M_3$ là trung điểm của $AM_2.$ Tổng quát, lấy $M_n$ là trung điểm của $AM_{n-1}$ ($n \ge 2$). a) Thiết lập công thức tính độ dài $AM_n$ và khoảng cách $M_{n-1}M_n.$ b) Tính tổng khoảng cách $S = M_1M_2 + M_2M_3 + M_3M_4 + \dots + M_9M_{10}.$

Lời giải: a) Áp dụng tính chất trung điểm liên tiếp:

• $AM_1 = \dfrac{L}{2}.$
• $AM_2 = \dfrac{AM_1}{2} = \dfrac{L}{2^2}.$
• $AM_n = \dfrac{L}{2^n}.$ Vì $M_n$ là trung điểm của $AM_{n-1}$ nên $M_n$ nằm giữa $A$ và $M_{n-1}.$ Suy ra khoảng cách hai trung điểm liên tiếp là:$$M_{n-1}M_n = AM_{n-1} - AM_n = \dfrac{L}{2^{n-1}} - \dfrac{L}{2^n} = \dfrac{L}{2^n} = AM_n.$$

b) Vì các điểm $M_{10}, M_9, \dots, M_2, M_1$ cùng nằm trên tia $AB$ theo thứ tự khoảng cách tăng dần từ $A,$ nên tổng các đoạn thẳng liên tiếp chính là:

Với $L = 128 = 2^7\text{ cm}$:

• $AM_1 = \dfrac{128}{2} = 64\text{ cm}.$
• $$AM_{10} = \dfrac{128}{2^{10}} = \dfrac{2^7}{2^{10}} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125\text{ cm}.$$ Do đó:$$S = 64 - 0{,}125 = 63{,}875\text{ cm}.$$

Chuyên đề 4: Bài toán cực trị khoảng cách tổng và hiệu trên đường thẳng

Bài toán:

Cho hai điểm cố định $A$ và $B$ trên đường thẳng $d$ với $AB = 18\text{ cm}.$ Lấy một điểm $X$ tùy ý trên đường thẳng $d.$ a) Tìm vị trí của điểm $X$ để tổng khoảng cách $f(X) = XA + XB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu? b) Tìm vị trí của điểm $X$ để biểu thức hiệu khoảng cách $g(X) = |XA - XB|$ đạt giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất đó bằng bao nhiêu?

Lời giải: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $XA + XB$:

• Theo bất đẳng thức tam giác và tính chất ba điểm thẳng hàng: Với ba điểm $A, X, B$ thẳng hàng, ta luôn có:$$XA + XB \ge AB = 18\text{ cm}.$$
• Dấu đẳng thức $XA + XB = 18\text{ cm}$ xảy ra khi và chỉ khi điểm $X$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ (tức $X$ thuộc đoạn thẳng $AB$).
• Vậy giá trị nhỏ nhất của $XA + XB$ là $18\text{ cm}$, đạt được khi điểm $X$ nằm ở bất kì vị trí nào trên đoạn thẳng $AB$.

b) Tìm giá trị lớn nhất của $|XA - XB|$:

• Theo bất đẳng thức đoạn thẳng với ba điểm thẳng hàng $A, X, B$: Ta luôn có:$$|XA - XB| \le AB = 18\text{ cm}.$$
• Dấu đẳng thức $|XA - XB| = 18\text{ cm}$ xảy ra khi và chỉ khi:
  • Hoặc $XA - XB = 18 \iff XA = XB + AB \implies B$ nằm giữa $X$ và $A$ (tức $X$ thuộc tia đối của tia $BA$).
  • Hoặc $XB - XA = 18 \iff XB = XA + AB \implies A$ nằm giữa $X$ và $B$ (tức $X$ thuộc tia đối của tia $AB$).
• Vậy giá trị lớn nhất của $|XA - XB|$ là $18\text{ cm}$, đạt được khi điểm $X$ nằm ngoài đoạn thẳng $AB$ trên đường thẳng $AB$ (hoặc trùng với $A$ hoặc trùng với $B$).

Chuyên đề 5: Chuyên đề chuyển động kim đồng hồ nâng cao

Bài toán:

Bây giờ là $9$ giờ đúng. a) Sau ít nhất bao lâu thì kim phút và kim giờ trùng nhau lần đầu tiên? b) Sau ít nhất bao lâu thì kim phút và kim giờ tạo thành góc bẹt ($180^\circ$) lần đầu tiên? c) Trong khoảng thời gian từ $9$ giờ đến $10$ giờ, có thời điểm nào hai kim tạo thành góc vuông ($90^\circ$) không?

Lời giải: Vận tốc quay của kim phút là $6^\circ/\text{phút},$ kim giờ là $0{,}5^\circ/\text{phút}.$ Hiệu vận tốc: $v_{\text{đuổi}} = 6^\circ - 0{,}5^\circ = 5{,}5^\circ/\text{phút} = \dfrac{11}{2}^\circ/\text{phút}.$

a) Hai kim trùng nhau: Lúc $9$ giờ, kim phút chỉ số $12,$ kim giờ chỉ số $9.$ Theo chiều quay kim đồng hồ, kim phút đang đi sau kim giờ một góc là $9 \cdot 30^\circ = 270^\circ.$ Để trùng nhau, kim phút phải đuổi kịp quãng đường góc $270^\circ$:

Vậy sau $49\dfrac{1}{11}$ phút (tức lúc $9$ giờ $49\dfrac{1}{11}$ phút), hai kim sẽ trùng nhau.

b) Hai kim tạo thành góc bẹt ($180^\circ$): Để tạo góc bẹt ($180^\circ$), kim phút phải đuổi sao cho góc giữa kim phút và kim giờ là $180^\circ.$ Góc kim phút cần đuổi là:

Thời gian cần tìm là:

Vậy sau $16\dfrac{4}{11}$ phút (lúc $9$ giờ $16\dfrac{4}{11}$ phút), hai kim sẽ tạo thành góc bẹt lần đầu tiên.

c) Hai kim tạo thành góc vuông: Lúc $9$ giờ đúng, hai kim đã tạo thành góc vuông ($90^\circ$). Để tạo góc vuông tiếp theo trong khoảng từ $9$ giờ đến $10$ giờ, kim phút phải vượt qua kim giờ một góc $90^\circ.$ Góc cần đi là: $270^\circ + 90^\circ = 360^\circ$ (tức trùng nhau rồi vượt lên $90^\circ$, lúc này đã sang khoảng hơn $10$ giờ). Do đó, ngoài thời điểm bắt đầu lúc $9$ giờ đúng, không có thời điểm nào khác giữa $9$ giờ và $10$ giờ hai kim tạo thành góc vuông.

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác

V. Đề kiểm tra tổng hợp Chương VIII (45 phút)

Phần 1: Trắc nghiệm khách quan (12 câu — 3,0 điểm)

Câu 1 (0,25 điểm): Kí hiệu nào sau đây biểu diễn điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$? A. $M \subset d$ B. $M \in d$ C. $d \in M$ D. $M = d$

Câu 2 (0,25 điểm): Qua $3$ điểm không thẳng hàng, vẽ được bao nhiêu đường thẳng phân biệt? A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. Vô số

Câu 3 (0,25 điểm): Hai tia đối nhau là hai tia: A. Chung gốc và kéo dài về cùng một hướng B. Chung gốc và tạo thành một đường thẳng C. Không chung gốc D. Cắt nhau tại một điểm

Câu 4 (0,25 điểm): Cho điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B.$ Hệ thức nào sau đây đúng? A. $AM + AB = MB$ B. $AM + MB = AB$ C. $MB + AB = AM$ D. $AM = MB$

Câu 5 (0,25 điểm): Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD = 14\text{ cm}.$ Độ dài đoạn thẳng $IC$ là: A. $14\text{ cm}$ B. $7\text{ cm}$ C. $28\text{ cm}$ D. $3{,}5\text{ cm}$

Câu 6 (0,25 điểm): Kí hiệu góc có đỉnh $O,$ hai cạnh là $Ox$ và $Oy$ là: A. $\widehat{Oxy}$ B. $\widehat{xyO}$ C. $\widehat{xOy}$ D. $xOy$

Câu 7 (0,25 điểm): Góc có số đo $90^\circ$ được gọi là: A. Góc nhọn B. Góc vuông C. Góc tù D. Góc bẹt

Câu 8 (0,25 điểm): Góc nào sau đây là góc tù? A. $45^\circ$ B. $90^\circ$ C. $115^\circ$ D. $180^\circ$

Câu 9 (0,25 điểm): Cho $5$ tia chung gốc đôi một phân biệt. Số góc đỉnh đó tạo thành là: A. $5$ B. $10$ C. $15$ D. $20$

Câu 10 (0,25 điểm): Lúc $4$ giờ đúng, hai kim đồng hồ tạo thành góc: A. $60^\circ$ B. $90^\circ$ C. $120^\circ$ D. $150^\circ$

Câu 11 (0,25 điểm): Trên đường thẳng $d$ lấy $6$ điểm phân biệt. Số đoạn thẳng tạo thành là: A. $6$ B. $12$ C. $15$ D. $30$

Câu 12 (0,25 điểm): Cho ba điểm $A, B, C$ có $AB = 3\text{ cm};\; BC = 5\text{ cm};\; AC = 8\text{ cm}.$ Điểm nằm giữa hai điểm còn lại là: A. Điểm $A$ B. Điểm $B$ C. Điểm $C$ D. Không có điểm nào

Phần 2: Tự luận (4 bài — 7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm): Trên tia $Ox,$ lấy hai điểm $M$ và $N$ sao cho $OM = 4\text{ cm}$ và $ON = 8\text{ cm}.$ a) Điểm $M$ có nằm giữa hai điểm $O$ và $N$ không? Vì sao? b) Tính độ dài đoạn thẳng $MN.$ c) Điểm $M$ có phải là trung điểm của đoạn thẳng $ON$ không? Vì sao?

Bài 2 (2,0 điểm): Cho đoạn thẳng $AB = 12\text{ cm}.$ Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$ Lấy điểm $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $IB.$ a) Tính độ dài các đoạn thẳng $IA$ và $IB.$ b) Tính độ dài đoạn thẳng $IK$ và $AK.$

Bài 3 (1,5 điểm): Cho $4$ tia chung gốc $Oa, Ob, Oc, Od$ đôi một phân biệt. a) Có bao nhiêu góc đỉnh $O$ được tạo thành? Viết tên tất cả các góc đó. b) Nếu trong $4$ tia đó có đúng hai tia $Oa$ và $Oc$ là hai tia đối nhau thì trong hình có mấy góc bẹt? Kể tên góc bẹt đó.

Bài 4 (1,5 điểm — Vận dụng cao): Cho $n$ điểm phân biệt trên mặt phẳng ($n \ge 3$). a) Biết rằng không có ba điểm nào thẳng hàng và vẽ được tất cả $45$ đường thẳng nối các cặp điểm. Tìm số điểm $n.$ b) Nếu trong $n$ điểm đó có đúng $4$ điểm thẳng hàng (ngoài ra không có ba điểm nào khác thẳng hàng) thì vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng phân biệt?

Đáp án và Thang điểm chi tiết

Phần 1: Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm)

Mỗi câu đúng được $0{,}25$ điểm: 1-B, 2-** C**, 3-** B**, 4-** B**, 5-** B**, 6-** C**, 7-** B**, 8-** C**, 9-** B**, 10-** C**, 11-** C**, 12-** B**.

Phần 2: Tự luận (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm):

• a) Trên tia $Ox,$ vì $OM < ON$ ($4\text{ cm} < 8\text{ cm}$) nên điểm $M$ nằm giữa hai điểm $O$ và $N.$ (0,5 điểm)
• b) Vì điểm $M$ nằm giữa hai điểm $O$ và $N$ nên: $$OM + MN = ON \implies 4 + MN = 8 \implies MN = 8 - 4 = 4\text{ cm}.$$ (0,75 điểm)
• c) Ta thấy:
  • Điểm $M$ nằm giữa hai điểm $O$ và $N.$
  • $OM = MN = 4\text{ cm}.$ Do đó, điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $ON.$ (0,75 điểm)

Bài 2 (2,0 điểm):

• a) Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên: $$IA = IB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{12}{2} = 6\text{ cm}.$$ (1,0 điểm)
• b) Vì $K$ là trung điểm của $IB$ nên: $$IK = \dfrac{IB}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\text{ cm}.$$ (0,5 điểm) Vì $I$ nằm giữa $A$ và $B,$ $K$ thuộc đoạn $IB$ nên điểm $I$ nằm giữa hai điểm $A$ và $K.$ Suy ra: $$AK = AI + IK = 6 + 3 = 9\text{ cm}.$$ (0,5 điểm)

Bài 3 (1,5 điểm):

• a) Số góc tạo thành từ $4$ tia là: $$\dfrac{4 \cdot (4 - 1)}{2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6\quad \text{(góc)}.$$ (0,5 điểm) Các góc đó là: $\widehat{aOb},\; \widehat{aOc},\; \widehat{aOd},\; \widehat{bOc},\; \widehat{bOd},\; \widehat{cOd}.$ (0,5 điểm)
• b) Vì hai tia $Oa$ và $Oc$ là hai tia đối nhau nên góc $\widehat{aOc}$ là góc bẹt duy nhất trong hình. (0,5 điểm)

Bài 4 (1,5 điểm):

• a) Theo công thức đếm đường thẳng:$$\dfrac{n(n - 1)}{2} = 45 \implies n(n - 1) = 90 = 10 \cdot 9.$$Suy ra $n = 10$ điểm. (0,75 điểm)
• b) Với $n = 10$ điểm, nếu có $4$ điểm thẳng hàng:
  • Số đường thẳng ban đầu nếu không thẳng hàng: $45$ đường.
  • Số đường thẳng giảm đi do $4$ điểm thẳng hàng:$$\dfrac{4 \cdot 3}{2} - 1 = 6 - 1 = 5\quad \text{(đường)}.$$
  • Số đường thẳng vẽ được là: $$45 - 5 = 40\quad \text{(đường thẳng)}.$$ (0,75 điểm)