Bài 33. Điểm nằm giữa hai điểm. Tia

Khi một con tàu vũ trụ phóng vút từ bệ phóng bay thẳng vào không gian bao la, hay khi ta bật một chiếc đèn pin chiếu thẳng vào màn đêm tĩnh mịch, ta bắt gặp hình ảnh một luồng sáng có điểm xuất phát xác định và kéo dài mãi mãi về một hướng. Trong toán học, hình ảnh trực quan đó chính là tia (hay còn gọi là nửa đường thẳng).

Cùng với khái niệm tia, mối quan hệ điểm nằm giữa hai điểm là tiêu chuẩn hình học cơ bản nhất giúp ta xác định vị trí tương đối của các đối tượng trong không gian: ai đứng giữa ai, hai điểm nằm cùng phía hay khác phía, và làm thế nào để khẳng định một điểm nằm giữa hai điểm khác một cách chặt chẽ.

Bài học này sẽ cung cấp hệ thống lý thuyết chuẩn mực, quy tắc phân biệt hai tia đối nhau và trùng nhau chỉ trong 3 giây, công thức đếm $2n$ tia kinh điển và $5$ chuyên đề học sinh giỏi nâng cao độc bản $100\%$ có lời giải chi tiết.

Khởi động — Kết nối tư duy (5–7 phút)

Hãy bắt đầu bằng 5 câu hỏi tư duy trực quan sau:

Câu 1 (Xác định vị trí trên đường thẳng): Trên một đoạn đường thẳng, trạm dừng xe buýt $B$ nằm giữa hai ngôi nhà $A$ và $C.$ Hỏi hai ngôi nhà $A$ và $C$ nằm cùng phía hay khác phía đối với trạm dừng xe buýt $B$?

• Trả lời: Hai ngôi nhà $A$ và $C$ nằm khác phía đối với trạm $B.$

Câu 2 (Chia đường thẳng): Lấy một sợi dây chỉ dài tượng trưng cho đường thẳng. Nếu em dùng kéo cắt đúng một nhát tại điểm $O,$ sợi chỉ sẽ bị chia thành mấy đoạn (mấy phần)?

• Trả lời: Sợi chỉ bị chia thành hai phần riêng biệt kéo về hai phía đối diện của điểm $O.$

Câu 3 (Hình ảnh tia sáng): Ngọn hải đăng quét ánh sáng ra ngoài biển đêm. Luồng sáng đó có điểm bắt đầu không? Nó kéo dài về mấy phía?

• Trả lời: Luồng sáng bắt đầu từ ngọn đèn hải đăng (gốc) và truyền thẳng vô tận về một phía. Đây chính là hình ảnh thực tế của một tia.

Câu 4 (Tên gọi của tia): Khi viết tên tia, ta phải viết chữ cái chỉ điểm gốc trước hay sau? Vì sao tia $Ox$ và tia $xO$ không giống nhau?

• Trả lời: Ta bắt buộc phải viết tên gốc trước. Tia $Ox$ có gốc là $O$ và kéo dài về phía $x;$ còn tia $xO$ (nếu có điểm $x$) sẽ có gốc là $x$ và kéo dài về phía $O.$ Hai hình này hoàn toàn khác nhau.

Câu 5 (Nhận biết hai tia đối nhau): Hai tia chung gốc $O$ nhưng không cùng nằm trên một đường thẳng (ví dụ hai kim đồng hồ lúc 3 giờ) có phải là hai tia đối nhau không?

• Trả lời: Không phải! Hai kim đồng hồ lúc 3 giờ chung gốc nhưng vuông góc với nhau, không tạo thành một đường thẳng nên không phải hai tia đối nhau.

A. Lý thuyết trọng tâm

1. Điểm nằm giữa hai điểm

Cho ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng được vẽ như hình bên dưới:

          A              B              C
    ──────•──────────────•──────────────•──────> d

Khi đó ta có các mối quan hệ hình học sau:

1. Điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$.
2. Hai điểm $A$ và $B$ nằm cùng phía đối với điểm $C$.
3. Hai điểm $B$ và $C$ nằm cùng phía đối với điểm $A$.
4. Hai điểm $A$ và $C$ nằm khác phía đối với điểm $B$.

Quan trọng

Định lý duy nhất: Trong ba điểm thẳng hàng, có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại. (Nếu ba điểm không thẳng hàng thì không có khái niệm điểm nằm giữa).

Ví dụ 1: Cho ba điểm $M, N, P$ thẳng hàng, biết rằng hai điểm $M$ và $P$ nằm khác phía đối với điểm $N.$ a) Điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? b) Hai điểm $M$ và $N$ nằm cùng phía hay khác phía đối với điểm $P$?

Lời giải: a) Vì $M$ và $P$ nằm khác phía đối với $N,$ nên điểm $N$ nằm giữa hai điểm $M$ và $P$. b) Điểm $N$ nằm giữa $M$ và $P,$ do đó hai điểm $M$ và $N$ nằm cùng phía đối với điểm $P.$

2. Khái niệm về Tia (Nửa đường thẳng)

a) Định nghĩa

• Hình gồm điểm $O$ và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm $O$ được gọi là một tia gốc $O$ (hay nửa đường thẳng gốc $O$).
• Điểm $O$ được gọi là gốc của tia.

                O                     x
                •─────────────────────>

b) Cách đọc và viết tên tia

• Khi đọc hoặc viết tên một tia, bắt buộc phải đọc (viết) tên gốc trước:
  • Dùng chữ cái in thường: tia $Ox,$ tia $Oy,$ tia $Ot,\dots$ (trong đó $O$ là gốc, $x, y, t$ là hướng của tia).
  • Dùng tên một điểm thuộc tia (khác gốc): Nếu điểm $A$ thuộc tia $Ox$ ($A \neq O$), thì tia $Ox$ còn được gọi là tia $OA$.

                O          A          x
                •──────────•──────────>
              Tia Ox còn được gọi là tia OA

3. Hai tia đối nhau

a) Định nghĩa

Điểm $O$ nằm trên đường thẳng $xy$ chia đường thẳng đó thành hai phần: tia $Ox$ và tia $Oy.$ Hai tia $Ox$ và $Oy$ được gọi là hai tia đối nhau.

          y                     O                     x
    <─────•─────────────────────•─────────────────────•─────>
          Hai tia Ox và Oy là hai tia đối nhau (chung gốc O)

b) Đặc điểm của hai tia đối nhau

Hai tia được gọi là đối nhau khi và chỉ khi thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

1. Chung gốc.
2. Cùng tạo thành một đường thẳng (hướng về hai phía ngược nhau).

Ghi nhớ

Mỗi điểm nằm trên một đường thẳng là gốc chung của đúng hai tia đối nhau.

c) Mối liên hệ tương đương sống còn

Quan trọng

Định lý nhận biết điểm nằm giữa: Điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ khi và chỉ khi hai tia $OA$ và $OB$ là hai tia đối nhau:

$$O \text{ nằm giữa } A \text{ và } B \iff \text{Tia } OA \text{ và tia } OB \text{ đối nhau.}$$

Đây là công cụ đắc lực nhất để chứng minh một điểm nằm giữa hai điểm khác trong hình học THCS!

4. Hai tia trùng nhau

a) Định nghĩa

Cho điểm $A$ và điểm $B$ cùng thuộc tia $Ox$ (với $A, B \neq O$). Khi đó:

• Tia $OA$ và tia $OB$ chỉ là hai cách gọi khác nhau của cùng một tia.
• Ta nói: Tia $OA$ và tia $OB$ là hai tia trùng nhau.

                O          A          B          x
                •──────────•──────────•──────────>
              Tia OA và tia OB là hai tia trùng nhau

b) Phân biệt hai tia đối nhau và hai tia trùng nhau

Lưu ý / Cảnh báo

Các cạm bẫy học sinh hay mắc phải:

1. Cạm bẫy "chung gốc là đối nhau": Hai tia $OA$ và $OB$ chung gốc $O$ nhưng không cùng thuộc một đường thẳng thì KHÔNG PHẢI hai tia đối nhau!
2. Cạm bẫy "đảo thứ tự tên tia": Tia $AB$ và tia $BA$ là hai tia hoàn toàn khác nhau (tia $AB$ có gốc $A,$ tia $BA$ có gốc $B$).
3. Cạm bẫy số lượng tia: Trên một đường thẳng có $n$ điểm phân biệt, số lượng tia tạo thành là $2n$ tia, không phải $n$ tia!

B. Các dạng toán trọng tâm và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết quan hệ nằm giữa, cùng phía và khác phía

Phương pháp giải:

• Dựa vào hình vẽ hoặc thứ tự các điểm trên đường thẳng:
  • Nếu thứ tự các điểm là $A, B, C$ thì $B$ nằm giữa $A$ và $C.$
  • $A$ và $C$ khác phía đối với $B.$
  • $A$ và $B$ cùng phía đối với $C.$

Ví dụ 1: Cho bốn điểm $M, N, P, Q$ thẳng hàng theo thứ tự đó. a) Điểm nào nằm giữa hai điểm $M$ và $P$? Điểm nào nằm giữa hai điểm $N$ và $Q$? b) Hai điểm $M$ và $Q$ nằm cùng phía hay khác phía đối với điểm $P$? c) Kể tên các điểm nằm cùng phía đối với điểm $M.$

Lời giải: a)

• Điểm nằm giữa hai điểm $M$ và $P$ là điểm $N$.
• Điểm nằm giữa hai điểm $N$ và $Q$ là điểm $P$.

b) Vì thứ tự các điểm là $M, N, P, Q,$ nên điểm $P$ nằm giữa $M$ và $Q.$ Do đó, hai điểm $M$ và $Q$ nằm khác phía đối với điểm $P.$

c) Các điểm nằm cùng phía đối với điểm $M$ là: $N, P, Q$ (đều nằm về phía bên phải của $M$).

Dạng 2: Nhận biết hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau

Phương pháp giải:

• Hai tia đối nhau: Phải chung gốc và tạo thành một đường thẳng.
• Hai tia trùng nhau: Phải chung gốc và cùng hướng về một phía.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng $xy.$ Lấy điểm $O$ thuộc $xy.$ Trên tia $Ox$ lấy điểm $A,$ trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ (với $A, B \neq O$). a) Kể tên hai tia đối nhau gốc $O.$ b) Tia $OA$ trùng với tia nào? Tia $OB$ trùng với tia nào? c) Hai tia $Ax$ và $By$ có đối nhau không? Vì sao?

Lời giải: a) Hai tia đối nhau gốc $O$ là: tia $Ox$ và tia $Oy$ (hoặc gọi là tia $OA$ và tia $OB$).

b)

• Tia $OA$ trùng với tia $Ox$.
• Tia $OB$ trùng với tia $Oy$.

c) Hai tia $Ax$ và $By$ không đối nhau vì chúng không có chung gốc (tia $Ax$ có gốc $A,$ tia $By$ có gốc $B$).

Dạng 3: Đếm số tia trên đường thẳng hoặc từ một gốc

Phương pháp giải:

• Mỗi điểm trên một đường thẳng chia đường thẳng đó thành hai tia đối nhau.
• Do đó, nếu trên một đường thẳng có $n$ điểm phân biệt thì:$$\text{Số tia tạo thành} = 2 \cdot n\text{ (tia)}.$$
• Nếu có $k$ đường thẳng cắt nhau tại điểm $O,$ điểm $O$ là gốc của:$$\text{Số tia gốc } O = 2 \cdot k\text{ (tia)}.$$

Ví dụ 3: a) Trên một đường thẳng lấy $5$ điểm phân biệt $A, B, C, D, E.$ Hỏi có tất cả bao nhiêu tia được tạo thành? b) Cho $4$ đường thẳng phân biệt cùng đi qua điểm $O.$ Hỏi có tất cả bao nhiêu tia gốc $O$? Có bao nhiêu cặp tia đối nhau?

Lời giải: a) Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc của đúng $2$ tia đối nhau. Với $n = 5$ điểm phân biệt, số tia được tạo thành là:

b)

• Mỗi đường thẳng đi qua $O$ tạo ra $2$ tia đối nhau gốc $O.$
• Với $4$ đường thẳng cùng đi qua $O,$ số tia gốc $O$ là:$$4 \cdot 2 = 8\text{ tia}.$$
• Mỗi đường thẳng cho đúng $1$ cặp tia đối nhau, do đó có:$$4\text{ cặp tia đối nhau}.$$

Dạng 4: Vẽ hình theo diễn đạt và xác định thứ tự điểm

Phương pháp giải:

• Phân tích từng câu chữ trong đề bài để xác định thứ tự các điểm.
• Dùng điều kiện "tia đối" hoặc "điểm nằm giữa" để định vị chính xác vị trí các điểm.

Ví dụ 4: Vẽ đường thẳng $ab.$ Lấy điểm $O$ thuộc đường thẳng $ab.$ Lấy điểm $M$ thuộc tia $Oa,$ điểm $N$ thuộc tia $Ob.$ Lấy điểm $P$ nằm giữa $O$ và $M,$ điểm $Q$ nằm giữa $O$ và $N.$ a) Vẽ hình theo đúng diễn đạt trên. b) Sắp xếp thứ tự $5$ điểm $M, P, O, Q, N$ trên đường thẳng. c) Chứng tỏ rằng điểm $O$ nằm giữa hai điểm $P$ và $Q.$

Lời giải: a) Hình vẽ:

      a             M             P             O             Q             N             b
    <─•─────────────•─────────────•─────────────•─────────────•─────────────•─────────────•─>

b) Dựa vào dữ kiện:

• $M \in Oa$ và $P$ nằm giữa $O$ và $M \implies$ thứ tự là $M, P, O.$
• $N \in Ob$ và $Q$ nằm giữa $O$ và $N \implies$ thứ tự là $O, Q, N.$
• Kết hợp lại, thứ tự $5$ điểm từ trái sang phải là: $M, P, O, Q, N$ (hoặc ngược lại $N, Q, O, P, M$).

c)

• Điểm $P$ nằm giữa $O$ và $M \implies P$ thuộc tia $Oa,$ do đó tia $OP$ trùng với tia $Oa.$
• Điểm $Q$ nằm giữa $O$ và $N \implies Q$ thuộc tia $Ob,$ do đó tia $OQ$ trùng với tia $Ob.$
• Vì hai tia $Oa$ và $Ob$ đối nhau nên hai tia $OP$ và $OQ$ đối nhau.
• Theo định lý nhận biết điểm nằm giữa: Hai tia $OP$ và $OQ$ đối nhau suy ra điểm $O$ nằm giữa hai điểm $P$ và $Q$ (Đpcm).

Dạng 5: Bài toán tổ hợp xác định số cặp điểm mà điểm $O$ nằm giữa

Phương pháp giải:

• Cho điểm $O$ nằm trên đường thẳng.
• Trên tia $Ox$ lấy $m$ điểm phân biệt, trên tia đối $Oy$ lấy $n$ điểm phân biệt.
• Để điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B,$ thì một điểm phải thuộc tia $Ox$ và điểm kia phải thuộc tia $Oy.$
• Áp dụng quy tắc nhân tổ hợp:$$\text{Số cặp điểm mà } O \text{ nằm giữa} = m \cdot n.$$

Ví dụ 5: Trên đường thẳng $xy$ lấy điểm $O.$ Trên tia $Ox$ lấy $4$ điểm phân biệt $A_1, A_2, A_3, A_4.$ Trên tia $Oy$ lấy $3$ điểm phân biệt $B_1, B_2, B_3$ (tất cả các điểm đều khác $O$). a) Điểm $O$ có nằm giữa hai điểm $A_1$ và $A_3$ không? Vì sao? b) Điểm $O$ nằm giữa bao nhiêu cặp điểm trong các điểm đã cho? Hãy kể tên các cặp đó.

Lời giải: a) Điểm $O$ không nằm giữa hai điểm $A_1$ và $A_3$ vì hai điểm này cùng thuộc tia $Ox$ (nằm cùng phía đối với điểm $O$).

b)

• Để điểm $O$ nằm giữa hai điểm thì một điểm phải thuộc tia $Ox$ (có $4$ cách chọn) và một điểm phải thuộc tia $Oy$ (có $3$ cách chọn).
• Số cặp điểm mà điểm $O$ nằm giữa là:$$4 \cdot 3 = 12\text{ cặp điểm}.$$
• Danh sách $12$ cặp điểm:$$(A_1, B_1);\; (A_1, B_2);\; (A_1, B_3);$$$$(A_2, B_1);\; (A_2, B_2);\; (A_2, B_3);$$$$(A_3, B_1);\; (A_3, B_2);\; (A_3, B_3);$$$$(A_4, B_1);\; (A_4, B_2);\; (A_4, B_3).$$

C. Phiếu bài tập tự luyện toàn diện (Có lời giải chi tiết)

Đề bài tự luyện

Bài 1 (Nhận diện điểm nằm giữa): Cho hình vẽ ba điểm $E, F, G$ thẳng hàng sao cho $F$ nằm giữa $E$ và $G.$ a) Hai điểm $E$ và $G$ nằm cùng phía hay khác phía đối với điểm $F$? b) Hai điểm $E$ và $F$ nằm cùng phía hay khác phía đối với điểm $G$? c) Hai tia $FE$ và $FG$ có quan hệ gì với nhau?

Bài 2 (Gọi tên tia): Cho đường thẳng $uv.$ Lấy điểm $M$ trên đường thẳng $uv.$ Trên tia $Mu$ lấy điểm $C,$ trên tia $Mv$ lấy điểm $D.$ a) Kể tên hai tia đối nhau gốc $M.$ b) Tia $MC$ trùng với tia nào? Tia $MD$ trùng với tia nào? c) Điểm $M$ có nằm giữa hai điểm $C$ và $D$ không? Vì sao?

Bài 3 (Hai tia trùng nhau): Vẽ tia $Ax.$ Lấy hai điểm $B$ và $C$ thuộc tia $Ax$ sao cho điểm $B$ nằm giữa $A$ và $C.$ a) Kể tên các tia gốc $A$ có trong hình. Những tia nào trùng nhau? b) Tia $BA$ và tia $BC$ có đối nhau không? Vì sao? c) Tia $CA$ và tia $CB$ có trùng nhau không? Vì sao?

Bài 4 (Đếm số tia): a) Trên đường thẳng $d$ lấy $6$ điểm phân biệt. Hỏi có tất cả bao nhiêu tia phân biệt được tạo thành? b) Cho $5$ đường thẳng phân biệt cùng cắt nhau tại một điểm $I.$ Có bao nhiêu tia gốc $I$? Có bao nhiêu cặp tia đối nhau gốc $I$?

Bài 5 (Bẫy nhận dạng tia): Cho ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng. a) Hai tia $BA$ và $BC$ có phải là hai tia đối nhau không? Vì sao? b) Hai tia $AB$ và $AC$ có phải là hai tia trùng nhau không? Vì sao?

Bài 6 (Chứng minh điểm nằm giữa): Cho hai tia đối nhau $Ox$ và $Oy.$ Trên tia $Ox$ lấy điểm $M,$ trên tia $Oy$ lấy điểm $N$ (với $M, N \neq O$). Lấy điểm $K$ nằm giữa $O$ và $M.$ a) Vẽ hình minh họa. b) Chứng minh rằng điểm $O$ nằm giữa hai điểm $K$ và $N.$

Bài 7 (Khôi phục thứ tự điểm): Cho bốn điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường thẳng, biết rằng:

• Điểm $C$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B.$
• Điểm $B$ nằm giữa hai điểm $C$ và $D.$ a) Hãy xác định thứ tự của bốn điểm trên đường thẳng. b) Điểm $C$ có nằm giữa hai điểm $A$ và $D$ không?

Bài 8 (Tia đối và điểm thẳng hàng): Cho điểm $O$ và ba điểm $A, B, C$ sao cho hai tia $OA$ và $OB$ đối nhau, hai tia $OB$ và $OC$ cũng đối nhau. a) Chứng tỏ rằng hai tia $OA$ và $OC$ trùng nhau. b) Ba điểm $A, B, C$ có thẳng hàng không?

Bài 9 (Bài toán tổ hợp cặp điểm): Trên đường thẳng $mn$ lấy điểm $O.$ Trên tia $Om$ lấy $5$ điểm phân biệt, trên tia $On$ lấy $4$ điểm phân biệt. Hỏi điểm $O$ nằm giữa bao nhiêu cặp điểm trong các điểm đã lấy?

Bài 10 (Bài toán ngược đếm điểm): Trên một đường thẳng, người ta lấy một số điểm phân biệt. Biết rằng tổng số tia tạo thành là $24$ tia. Hỏi người ta đã lấy bao nhiêu điểm trên đường thẳng?

Lời giải chi tiết bài tập tự luyện

Bài 1: a) Vì $F$ nằm giữa $E$ và $G$ nên hai điểm $E$ và $G$ nằm khác phía đối với điểm $F.$ b) Hai điểm $E$ và $F$ nằm cùng phía đối với điểm $G$ (cùng nằm về phía bên trái của $G$). c) Hai tia $FE$ và $FG$ chung gốc $F$ và cùng tạo thành đường thẳng $EG$ nên chúng là hai tia đối nhau.

Bài 2: a) Hai tia đối nhau gốc $M$ là: tia $Mu$ và tia $Mv$. b)

• Điểm $C \in Mu \implies$ tia $MC$ trùng với tia $Mu$.
• Điểm $D \in Mv \implies$ tia $MD$ trùng với tia $Mv$. c) Vì tia $MC$ trùng $Mu,$ tia $MD$ trùng $Mv,$ mà hai tia $Mu, Mv$ đối nhau nên hai tia $MC, MD$ đối nhau. Suy ra điểm $M$ nằm giữa hai điểm $C$ và $D$.

Bài 3: a) Các tia gốc $A$: tia $Ax,$ tia $AB,$ tia $AC.$ Vì cả $B$ và $C$ đều thuộc tia $Ax$ nên ba tia $Ax, AB, AC$ trùng nhau. b) Hai tia $BA$ và $BC$ đối nhau vì điểm $B$ nằm giữa $A$ và $C$ nên hai tia này chung gốc $B$ và hướng về hai phía ngược nhau tạo thành đường thẳng $AC.$ c) Hai tia $CA$ và $CB$ trùng nhau vì chúng chung gốc $C$ và cùng hướng về phía điểm $A$ (điểm $B$ nằm giữa $C$ và $A$).

Bài 4: a) Với $n = 6$ điểm trên đường thẳng, số tia tạo thành là:

b)

• $5$ đường thẳng cắt nhau tại $I$ tạo thành:$$5 \cdot 2 = 10\text{ tia gốc } I.$$
• Mỗi đường thẳng tạo ra $1$ cặp tia đối nhau, do đó có:$$5\text{ cặp tia đối nhau gốc } I.$$

Bài 5: a) Hai tia $BA$ và $BC$ không phải hai tia đối nhau vì ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng nên hai tia này không tạo thành một đường thẳng. b) Hai tia $AB$ và $AC$ không trùng nhau vì chúng hướng về hai phía khác nhau (hai đường thẳng $AB$ và $AC$ là hai đường thẳng cắt nhau tại $A$).

Bài 6: a) Hình vẽ:

      x             M             K             O             N             y
    <─•─────────────•─────────────•─────────────•─────────────•─────────────•─>

b)

• Điểm $K$ nằm giữa $O$ và $M \implies K$ thuộc tia $Ox,$ do đó tia $OK$ trùng với tia $Ox.$
• Điểm $N$ thuộc tia $Oy \implies$ tia $ON$ trùng với tia $Oy.$
• Vì hai tia $Ox$ và $Oy$ đối nhau nên hai tia $OK$ và $ON$ đối nhau.
• Hai tia $OK$ và $ON$ đối nhau suy ra điểm $O$ nằm giữa hai điểm $K$ và $N$ (Đpcm).

Bài 7: a)

• $C$ nằm giữa $A$ và $B \implies$ thứ tự là $A, C, B.$
• $B$ nằm giữa $C$ và $D \implies D$ nằm sau $B,$ thứ tự là $C, B, D.$
• Kết hợp lại, thứ tự bốn điểm là: $A, C, B, D$ (hoặc $D, B, C, A$). b) Dựa vào thứ tự $A, C, B, D,$ điểm $C$ nằm trước $B$ và $B$ nằm trước $D,$ do đó điểm $C$ nằm giữa hai điểm $A$ và $D$.

Bài 8: a) Tia $OA$ và tia $OC$ đều là tia đối của tia $OB.$ Mà mỗi tia chỉ có duy nhất một tia đối trên cùng một đường thẳng, do đó hai tia $OA$ và $OC$ trùng nhau. b) Vì $OA$ trùng $OC,$ và $OA$ đối $OB,$ nên cả ba điểm $A, B, C$ đều nằm trên đường thẳng chứa tia $OB.$ Vậy ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.

Bài 9:

• Điểm $O$ nằm giữa một cặp điểm $(P, Q)$ khi và chỉ khi một điểm thuộc tia $Om$ và một điểm thuộc tia $On.$
• Số cách chọn điểm trên $Om$ là $5,$ số cách chọn điểm trên $On$ là $4.$
• Số cặp điểm mà $O$ nằm giữa là:$$5 \cdot 4 = 20\text{ cặp điểm}.$$

Bài 10: Gọi số điểm lấy trên đường thẳng là $n$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Mỗi điểm tạo ra đúng $2$ tia, do đó số tia là:

Vậy người ta đã lấy $12$ điểm.

D. 5 Chuyên đề nâng cao học sinh giỏi (Độc bản 100%)

Chuyên đề 1: Công thức tổng quát đếm số tia và cặp tia đối nhau trên đồ hình phẳng

Ghi nhớ

Định lý đếm tia:

1. Cho $n$ điểm phân biệt trên $1$ đường thẳng: có $2n$ tia.
2. Cho $m$ đường thẳng đồng quy tại $O$: có $2m$ tia gốc $O$ và $m$ cặp tia đối nhau.
3. Cho $m$ đường thẳng đồng quy tại $O$ và trên mỗi tia lấy $k$ điểm phân biệt (khác $O$): tổng số tia là $2m + 2m \cdot k \cdot 2 = 2m(2k + 1)$ tia.

Bài toán 1: Cho $6$ đường thẳng phân biệt cùng đi qua điểm $O.$ Trên mỗi tia gốc $O$ lấy đúng $3$ điểm phân biệt khác $O.$ a) Có bao nhiêu tia gốc $O$? b) Có tất cả bao nhiêu điểm trên hình (kể cả điểm $O$)? c) Tính tổng số tia có trên hình (tính tất cả các gốc).

Lời giải chi tiết: a) Sáu đường thẳng phân biệt đi qua $O$ tạo ra:

b)

• Có $12$ tia gốc $O,$ trên mỗi tia lấy $3$ điểm phân biệt khác $O.$
• Số điểm khác $O$ là: $12 \cdot 3 = 36$ điểm.
• Tính cả điểm $O,$ tổng số điểm là:$$36 + 1 = 37\text{ điểm}.$$

c)

• Mỗi đường thẳng chứa điểm $O$ và $2 \cdot 3 = 6$ điểm khác, tổng cộng có $7$ điểm nằm trên mỗi đường thẳng.
• Mỗi điểm trên một đường thẳng là gốc của $2$ tia trên đường thẳng đó.
• Với mỗi đường thẳng, $7$ điểm tạo ra:$$7 \cdot 2 = 14\text{ tia}.$$
• Vì có $6$ đường thẳng và các tia trên các đường thẳng khác nhau là phân biệt (trừ điểm $O$ là gốc chung nhưng các tia hướng theo các đường thẳng khác nhau vẫn là các tia phân biệt):
• Tổng số tia trên toàn bộ hình vẽ là:$$6 \cdot 14 = 84\text{ tia}.$$

Chuyên đề 2: Kỹ thuật thiết lập chuỗi nằm giữa liên hoàn

Bài toán 2: Trên đường thẳng $d$ cho $5$ điểm $A, B, C, D, E$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

• Điểm $C$ nằm giữa hai điểm $A$ và $E.$
• Điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C.$
• Điểm $D$ nằm giữa hai điểm $C$ và $E.$ a) Khôi phục thứ tự của $5$ điểm trên đường thẳng $d.$ b) Chứng minh rằng điểm $C$ nằm giữa hai điểm $B$ và $D.$ c) Kể tên tất cả các cặp tia đối nhau có gốc là điểm $C.$

Lời giải chi tiết: a)

• Từ dữ kiện 1: $C$ nằm giữa $A$ và $E \implies$ thứ tự là $A, C, E.$
• Từ dữ kiện 2: $B$ nằm giữa $A$ và $C \implies B$ nằm giữa $A$ và $C,$ thứ tự là $A, B, C.$
• Từ dữ kiện 3: $D$ nằm giữa $C$ và $E \implies D$ nằm giữa $C$ và $E,$ thứ tự là $C, D, E.$
• Ghép nối ba chuỗi lại, thứ tự duy nhất của $5$ điểm trên đường thẳng là: $A, B, C, D, E$ (hoặc thứ tự ngược lại $E, D, C, B, A$).

b)

• Xét thứ tự $A, B, C, D, E$:
  • Điểm $B$ nằm về phía bên trái của điểm $C \implies B$ thuộc tia $CA,$ do đó tia $CB$ trùng tia $CA.$
  • Điểm $D$ nằm về phía bên phải của điểm $C \implies D$ thuộc tia $CE,$ do đó tia $CD$ trùng tia $CE.$
  • Vì $C$ nằm giữa $A$ và $E$ nên hai tia $CA$ và $CE$ đối nhau.
  • Do đó hai tia $CB$ và $CD$ đối nhau.
  • Vậy điểm $C$ nằm giữa hai điểm $B$ và $D$ (Đpcm).

c)

• Tại gốc $C,$ các điểm bên trái là $A, B;$ các điểm bên phải là $D, E.$
• Các tia hướng sang trái là: tia $CA$ (trùng tia $CB$).
• Các tia hướng sang phải là: tia $CE$ (trùng tia $CD$).
• Do đó chỉ có duy nhất $1$ cặp tia đối nhau gốc $C$ (có thể gọi dưới các tên: $CA$ và $CD;$ $CA$ và $CE;$ $CB$ và $CD;$ $CB$ và $CE$).

Chuyên đề 3: Bài toán tia phân biệt chung đỉnh và số góc tạo thành

Mẹo hay

Định lý số góc từ $n$ tia chung gốc: Cho $n$ tia chung gốc $O$ ($n \ge 2$). Cứ hai tia tạo thành một góc. Số góc tạo thành là:

$$N = \dfrac{n(n - 1)}{2}.$$

Bài toán 3: Cho $n$ tia chung gốc $O,$ trong đó không có hai tia nào trùng nhau và không có hai tia nào đối nhau. a) Biết $n = 8,$ tính số góc tạo thành. b) Biết số góc tạo thành là $105,$ tìm số tia $n.$

Lời giải chi tiết: a) Mỗi tia kết hợp với $(n - 1)$ tia còn lại tạo thành $(n - 1)$ góc. Với $n$ tia, có $n(n - 1)$ góc, nhưng mỗi góc được tính $2$ lần (góc tạo bởi tia $Ox$ và $Oy$ cũng là góc tạo bởi $Oy$ và $Ox$). Số góc phân biệt là:

Với $n = 8$:

b) Ta có:

Phân tích $210$ thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp:

Suy ra $n = 15.$ Vậy có $15$ tia chung gốc.

Chuyên đề 4: Bài toán giao điểm của các tia đối và tia cắt

Bài toán 4: Cho hai đường thẳng $xx'$ và $yy'$ cắt nhau tại điểm $O.$ a) Điểm $O$ là gốc của bao nhiêu tia? Kể tên các cặp tia đối nhau. b) Lấy điểm $A$ thuộc tia $Ox,$ điểm $B$ thuộc tia $Oy.$ Đường thẳng $AB$ cắt tia $Ox'$ tại điểm nào không? Cắt tia $Oy'$ tại điểm nào không?

Lời giải chi tiết: a)

• Hai đường thẳng cắt nhau tại $O$ tạo thành $4$ tia gốc $O$: tia $Ox,$ tia $Ox',$ tia $Oy,$ tia $Oy'$.
• Có $2$ cặp tia đối nhau:
  • Cặp 1: Tia $Ox$ và tia $Ox'.$
  • Cặp 2: Tia $Oy$ và tia $Oy'.$

b)

• Xét đường thẳng $AB$:
  • Điểm $A$ thuộc tia $Ox$ ($A \neq O$) và điểm $B$ thuộc tia $Oy$ ($B \neq O$).
  • Đường thẳng $AB$ cắt đường thẳng $xx'$ tại đúng $1$ điểm duy nhất là điểm $A.$
  • Vì $A$ thuộc tia $Ox,$ mà tia $Ox$ và tia $Ox'$ đối nhau (chỉ chung nhau gốc $O$), nên điểm $A$ không thuộc tia $Ox'.$
  • Do đó đường thẳng $AB$ không cắt tia $Ox'$ tại bất kì điểm nào khác.
  • Tương tự, đường thẳng $AB$ cắt đường thẳng $yy'$ tại đúng điểm $B \in Oy,$ nên không cắt tia $Oy'$.

Chuyên đề 5: Cấu hình cực hạn — Tìm số điểm nằm giữa lớn nhất

Bài toán 5: Trên một đường thẳng cho $n$ điểm phân biệt ($n \ge 3$). a) Có bao nhiêu điểm nằm giữa hai điểm khác? b) Có bao nhiêu bộ ba điểm $(A, B, C)$ thỏa mãn điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$?

Lời giải chi tiết: a)

• Giả sử $n$ điểm được sắp xếp theo thứ tự từ trái sang phải: $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{n-1}, A_n.$
• Hai điểm đầu mút là $A_1$ (ngoài cùng bên trái) và $A_n$ (ngoài cùng bên phải) không nằm giữa bất kì cặp điểm nào.
• Mọi điểm $A_k$ với $2 \le k \le n - 1$ đều nằm giữa ít nhất một cặp điểm (chẳng hạn nằm giữa $A_1$ và $A_n$).
• Do đó, số điểm nằm giữa hai điểm khác là:$$n - 2\text{ điểm}.$$

b)

• Cứ chọn ra $3$ điểm bất kì trong số $n$ điểm, theo định lý duy nhất, luôn có đúng $1$ điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
• Do đó, số bộ ba điểm mà có một điểm nằm giữa đúng bằng số cách chọn $3$ điểm từ $n$ điểm:$$\text{Số bộ ba} = \dfrac{n(n - 1)(n - 2)}{6}.$$
• Ví dụ với $n = 5$ điểm: có $\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6} = 10$ bộ ba điểm thỏa mãn.

E. Bộ câu hỏi trắc nghiệm tương tác (Quiz)

F. Đề kiểm tra 15 phút đánh giá năng lực (Có ma trận & lời giải)

Đề kiểm tra 15 phút

Phần I: Trắc nghiệm (3.0 điểm — Mỗi câu 0.75 điểm)

Câu 1: Đọc tên tia người ta đọc: A. Tên gốc trước, tên phần đường thẳng sau B. Tên phần đường thẳng trước, tên gốc sau C. Đọc tên nào trước cũng được D. Chỉ đọc chữ cái in thường

Câu 2: Cho ba điểm thẳng hàng $A, B, C.$ Biết hai điểm $A$ và $C$ nằm cùng phía đối với điểm $B.$ Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Điểm $B$ nằm giữa $A$ và $C$ B. Điểm $B$ không nằm giữa $A$ và $C$ C. Điểm $A$ nằm giữa $B$ và $C$ D. Điểm $C$ nằm giữa $A$ và $B$

Câu 3: Cho $4$ điểm phân biệt cùng nằm trên một đường thẳng. Số tia được tạo thành là: A. $4$ B. $8$ C. $12$ D. $16$

Câu 4: Hai tia $Ox$ và $Oy$ đối nhau. Điểm $A$ thuộc tia $Ox,$ điểm $B$ thuộc tia $Oy.$ Hai tia trùng nhau là: A. Tia $OA$ và tia $Ox$ B. Tia $OA$ và tia $OB$ C. Tia $AO$ và tia $BO$ D. Tia $Ox$ và tia $Oy$

Phần II: Tự luận (7.0 điểm)

Bài 1 (2.0 điểm): Vẽ đường thẳng $xy.$ Lấy điểm $O$ thuộc đường thẳng $xy.$ Trên tia $Ox$ lấy điểm $M,$ trên tia $Oy$ lấy điểm $N$ (với $M, N \neq O$). a) Kể tên hai tia đối nhau gốc $O.$ b) Tia $OM$ trùng với tia nào? Tia $ON$ trùng với tia nào? c) Điểm $O$ có nằm giữa hai điểm $M$ và $N$ không? Vì sao?