Bài 34. Đoạn thẳng. Độ dài đoạn thẳng

Nếu đường thẳng là một dải kéo dài vô tận về cả hai phía, và tia là luồng sáng bắn ra từ một điểm gốc kéo dài mãi mãi về một hướng, thì đoạn thẳng lại là một hình hình học trọn vẹn và hữu hạn: nó bị chặn lại ở cả hai đầu mút.

Trong đời sống, hầu như mọi vật thể mà chúng ta đo đạc, chế tạo hay cầm nắm hằng ngày đều mang hình bóng của đoạn thẳng: từ chiếc bút bi, cây thước kẻ, mép cuốn sách, cạnh bàn học cho đến các nhịp cầu vượt hay các thanh dầm thép trong các tòa cao ốc.

Bài học này sẽ giúp các em nắm vững khái niệm đoạn thẳng, khoảng cách giữa hai điểm, làm chủ hệ thức cộng đoạn thẳng $AM + MB = AB$, phương pháp nhận biết điểm nằm giữa trên tia và $5$ chuyên đề học sinh giỏi nâng cao độc bản $100\%$ có lời giải chi tiết.

Khởi động — Trực giác từ phép đo thực tế (5–7 phút)

Hãy bắt đầu bài học bằng 5 câu hỏi tình huống thực tế sau:

Câu 1 (Phân biệt ba khái niệm): Hoàn thành bảng so sánh sự khác nhau giữa đường thẳng, tia và đoạn thẳng:

• Đường thẳng $AB$: Kéo dài vô tận về hai phía, không có điểm mút.
• Tia $AB$: Bị giới hạn ở gốc $A$, kéo dài vô tận về phía $B.$
• Đoạn thẳng $AB$: Bị giới hạn ở cả hai đầu mút $A$ và $B$, có độ dài xác định.

Câu 2 (Ước lượng và đo đạc): Dùng thước kẻ có vạch chia xăng-ti-mét đo chiều dài của một chiếc bút bi. Số đo nhận được có phải là một số dương không? Có bao giờ độ dài đoạn thẳng là số âm không?

• Trả lời: Độ dài của bút bi đo được khoảng $14\text{ cm}.$ Độ dài đoạn thẳng luôn luôn là một số dương (lớn hơn $0$). Không bao giờ có độ dài mang giá trị âm.

Câu 3 (Hành trình nối tuyến): Một chuyến tàu hỏa đi từ ga Hà Nội ($A$) đến ga Hải Phòng ($B$) và dừng nghỉ tại ga Hải Dương ($C$). Biết rằng ba ga này thẳng hàng và ga Hải Dương nằm giữa hai ga kia. Quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng có bằng tổng hai quãng đường $AC$ và $CB$ không?

• Trả lời: Có, quãng đường $AB$ đúng bằng quãng đường $AC$ cộng với quãng đường $CB$:$$AB = AC + CB.$$

Câu 4 (Quan sát điểm trên tia): Trên tia $Ox,$ ta đánh dấu vạch $3\text{ cm}$ là điểm $M$ và vạch $7\text{ cm}$ là điểm $N.$ Trong ba điểm $O, M, N,$ điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

• Trả lời: Vì $3\text{ cm} < 7\text{ cm}$ nên điểm $M$ nằm giữa hai điểm $O$ và $N.$

Câu 5 (Bài toán đếm nhanh): Cho $3$ điểm $A, B, C$ thẳng hàng. Có bao nhiêu đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong ba điểm đó?

• Trả lời: Có $3$ đoạn thẳng là: $AB, BC, AC.$

A. Lý thuyết trọng tâm

1. Đoạn thẳng

a) Định nghĩa

• Đoạn thẳng $AB$ (hay đoạn thẳng $BA$) là hình gồm hai điểm $A, B$ và tất cả các điểm nằm giữa $A$ và $B.$
• Hai điểm $A$ và $B$ được gọi là hai đầu mút (hoặc gọi tắt là hai mút) của đoạn thẳng $AB.$

                A                              B
                •──────────────────────────────•
                         Đoạn thẳng AB

Ghi nhớ

Đoạn thẳng $AB$ và đoạn thẳng $BA$ là cùng một hình. Thứ tự gọi tên hai đầu mút không làm thay đổi đoạn thẳng.

b) Phân biệt đường thẳng, tia và đoạn thẳng

2. Độ dài đoạn thẳng

a) Khái niệm độ dài

• Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương gắn liền với một đơn vị đo xác định (chẳng hạn: $\text{mm}, \text{cm}, \text{dm}, \text{m}, \text{km}$).
• Độ dài đoạn thẳng $AB$ còn được gọi là khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$.
• Quy ước: Khoảng cách giữa hai điểm trùng nhau bằng $0.$

b) Ký hiệu viết tắt

Người ta thường viết gọn câu "Đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng $6\text{ cm}$" thành:

3. So sánh hai đoạn thẳng

Ta so sánh hai đoạn thẳng dựa vào việc so sánh các số đo độ dài của chúng:

• Hai đoạn thẳng bằng nhau: Nếu chúng có cùng độ dài.$$AB = CD.$$
• Đoạn thẳng ngắn hơn / dài hơn:
  • Nếu độ dài của $AB$ nhỏ hơn độ dài của $CD,$ ta nói đoạn thẳng $AB$ ngắn hơn đoạn thẳng $CD$ (hay đoạn thẳng $CD$ dài hơn đoạn thẳng $AB$), kí hiệu:$$AB < CD\quad \text{(hay } CD > AB\text{)}.$$

Ví dụ 1: Cho $AB = 5\text{ cm};\; CD = 5\text{ cm};\; EF = 7\text{ cm}.$

• Ta viết: $AB = CD$ (hai đoạn thẳng bằng nhau).
• $AB < EF$ và $CD < EF$ (đoạn thẳng $EF$ dài hơn hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$).

4. Hệ thức cộng đoạn thẳng

a) Định lý then chốt

Quan trọng

Định lý cộng đoạn thẳng: Nếu điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ thì:

$$AM + MB = AB.$$

Ngược lại, nếu ba điểm $A, M, B$ thỏa mãn đẳng thức $AM + MB = AB$ thì điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$.

                A               M               B
                •───────────────•───────────────•
                ├─── AM ────────┼──── MB ───────┤
                ├────────────── AB ─────────────┤

Từ hệ thức $AM + MB = AB,$ khi biết độ dài của hai trong ba đoạn thẳng, ta dễ dàng tính được độ dài đoạn thẳng còn lại:

• Tính đoạn tổng: $AB = AM + MB.$
• Tính đoạn thành phần:$$AM = AB - MB$$$$MB = AB - AM$$

b) Dấu hiệu nhận biết điểm nằm giữa trên tia

Mẹo hay

Quy tắc so sánh độ dài trên tia: Trên tia $Ox,$ lấy hai điểm $A$ và $B$ sao cho $OA < OB$ thì: Điểm $A$ nằm giữa hai điểm $O$ và $B$. Khi đó: $OA + AB = OB \implies AB = OB - OA.$

                O             A                   B             x
                •─────────────•───────────────────•─────────────>
                ├─── OA ──────┤
                ├──────────────── OB ─────────────┤
                Vì OA < OB nên điểm A nằm giữa O và B

5. Công thức đếm số đoạn thẳng

Cho $n$ điểm phân biệt trên mặt phẳng (hoặc trên cùng một đường thẳng):

• Chọn một điểm làm mút thứ nhất: có $n$ cách chọn.
• Chọn một điểm làm mút thứ hai: có $(n - 1)$ cách chọn.
• Số cặp điểm là $n(n - 1).$
• Vì mỗi đoạn thẳng $AB$ và $BA$ bị đếm $2$ lần, nên số đoạn thẳng phân biệt là:$$S = \dfrac{n(n - 1)}{2}\text{ (đoạn thẳng)}.$$

Bảng tra cứu số đoạn thẳng:

B. Các dạng toán trọng tâm và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết và đếm số đoạn thẳng

Phương pháp giải:

• Để đếm không sót, không trùng: Liệt kê các đoạn thẳng theo từng đầu mút từ trái sang phải.
• Hoặc áp dụng công thức $S = \dfrac{n(n - 1)}{2}$ nếu có $n$ điểm phân biệt.

Ví dụ 1: Trên đường thẳng $d,$ lấy $4$ điểm phân biệt $A, B, C, D$ theo thứ tự đó. a) Kể tên tất cả các đoạn thẳng có trong hình. b) Điểm $B$ là đầu mút của những đoạn thẳng nào? c) Điểm $C$ nằm trên những đoạn thẳng nào?

Lời giải: a) Với $n = 4$ điểm, số đoạn thẳng là: $\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6$ đoạn thẳng. Liệt kê:

• Các đoạn thẳng có một đầu mút là $A$: $AB, AC, AD.$
• Các đoạn thẳng có một đầu mút là $B$ (không kể $A$): $BC, BD.$
• Đoạn thẳng còn lại: $CD.$ Vậy $6$ đoạn thẳng là: $AB, AC, AD, BC, BD, CD$.

b) Điểm $B$ là đầu mút của các đoạn thẳng: $BA$ (hay $AB$), $BC, BD$ (gồm $3$ đoạn thẳng).

c) Điểm $C$ nằm trên các đoạn thẳng mà nó là đầu mút hoặc nằm giữa:

• Là đầu mút: $AC, BC, CD.$
• Nằm giữa: $AD$ (vì thứ tự $A, B, C, D$ nên $C$ nằm giữa $A$ và $D$), $BD$ (vì $C$ nằm giữa $B$ và $D$). Vậy điểm $C$ nằm trên các đoạn thẳng: $AC, BC, CD, AD, BD$.

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng bằng hệ thức cộng

Phương pháp giải:

• Bước 1: Chỉ ra điểm nằm giữa hai điểm kia (do đề bài cho, hoặc do so sánh hai độ dài trên cùng một tia: $OA < OB$).
• Bước 2: Viết hệ thức cộng đoạn thẳng: $AM + MB = AB.$
• Bước 3: Thay số và tính độ dài đoạn thẳng cần tìm.

Ví dụ 2: Trên tia $Ox,$ lấy hai điểm $M$ và $N$ sao cho $OM = 3\text{ cm}$ và $ON = 8\text{ cm}.$ a) Điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao? b) Tính độ dài đoạn thẳng $MN.$ c) Trên tia đối của tia $Ox,$ lấy điểm $P$ sao cho $OP = 4\text{ cm}.$ Tính độ dài đoạn thẳng $PM.$

Lời giải: a) Hai điểm $M$ và $N$ cùng thuộc tia $Ox.$ Vì $OM < ON$ (do $3\text{ cm} < 8\text{ cm}$) nên điểm $M$ nằm giữa hai điểm $O$ và $N$.

b) Vì điểm $M$ nằm giữa hai điểm $O$ và $N$ nên:

Thay số:

c)

• Điểm $P$ thuộc tia đối của tia $Ox,$ còn điểm $M$ thuộc tia $Ox.$
• Do đó hai tia $OP$ và $OM$ đối nhau, suy ra điểm $O$ nằm giữa hai điểm $P$ và $M$.
• Ta có hệ thức cộng:$$PM = PO + OM.$$Thay số:$$PM = 4 + 3 = 7\text{ cm}.$$

Dạng 3: So sánh độ dài các đoạn thẳng

Phương pháp giải:

• Tính độ dài của từng đoạn thẳng cần so sánh.
• So sánh các số đo và kết luận dùng các ký hiệu $=, <, >.$

Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng $AB = 9\text{ cm}.$ Lấy điểm $C$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $AC = 4\text{ cm}.$ a) Tính độ dài đoạn thẳng $CB.$ b) So sánh độ dài hai đoạn thẳng $AC$ và $CB.$

Lời giải: a) Vì điểm $C$ thuộc đoạn thẳng $AB$ nên điểm $C$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B.$ Ta có:

Thay số:

b) Ta có $AC = 4\text{ cm}$ và $CB = 5\text{ cm}.$ Vì $4\text{ cm} < 5\text{ cm}$ nên:

Dạng 4: Bài toán đặt điểm từ hai đầu mút đối diện

Phương pháp giải:

• Vẽ đoạn thẳng tổng $AB.$
• Đặt điểm $C$ trên tia $AB$ (gốc $A$) với độ dài $AC.$
• Đặt điểm $D$ trên tia $BA$ (gốc $B$) với độ dài $BD.$
• Xác định thứ tự các điểm bằng cách so sánh $AC + BD$ với $AB$:
  • Nếu $AC + BD < AB$: Hai điểm $C$ và $D$ không vượt qua nhau (thứ tự $A, C, D, B$), khi đó $CD = AB - (AC + BD).$
  • Nếu $AC + BD > AB$: Hai điểm $C$ và $D$ bắt chéo qua nhau (thứ tự $A, D, C, B$), khi đó $CD = (AC + BD) - AB.$

Ví dụ 4: Cho đoạn thẳng $AB = 12\text{ cm}.$ Trên tia $AB$ lấy điểm $C$ sao cho $AC = 5\text{ cm}.$ Trên tia $BA$ lấy điểm $D$ sao cho $BD = 4\text{ cm}.$ a) Chứng tỏ rằng điểm $C$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B.$ b) Tính độ dài đoạn thẳng $CD.$

Lời giải: a)

• Điểm $C$ thuộc tia $AB$ và điểm $B$ cũng thuộc tia $AB.$
• Vì $AC < AB$ (do $5\text{ cm} < 12\text{ cm}$) nên điểm $C$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$.
• Suy ra:$$CB = AB - AC = 12 - 5 = 7\text{ cm}.$$

b)

• Xét trên tia $BA$: Điểm $D$ và điểm $C$ cùng thuộc tia $BA.$
• Ta có $BD = 4\text{ cm}$ và $BC = 7\text{ cm}.$
• Vì $BD < BC$ (do $4\text{ cm} < 7\text{ cm}$) nên điểm $D$ nằm giữa hai điểm $B$ và $C$.
• Ta có hệ thức cộng:$$CD + DB = CB \implies CD = CB - DB = 7 - 4 = 3\text{ cm}.$$Vậy $CD = 3\text{ cm}.$

Dạng 5: Bài toán ứng dụng thực tế đo đạc và chuyển động

Phương pháp giải:

• Quy đổi các đại lượng về cùng một đơn vị đo độ dài.
• Mô hình hóa vị trí các điểm trên một đường thẳng và áp dụng hệ thức cộng đoạn thẳng.

Ví dụ 5: Một cây cầu dây văng dài $1{,}2\text{ km}.$ Một người đi bộ xuất phát từ đầu cầu $A,$ đi được $450\text{ m}$ thì dừng lại ở trụ tháp $T_1$ để chụp ảnh. Sau đó người đó đi tiếp $500\text{ m}$ nữa đến trụ tháp $T_2.$ a) Trụ tháp $T_2$ cách đầu cầu $A$ bao nhiêu mét? b) Người đó còn phải đi tiếp bao nhiêu mét nữa thì đến đầu cầu $B$ bên kia?

Lời giải: a) Đổi $1{,}2\text{ km} = 1\,200\text{ m}.$ Vì các điểm $A, T_1, T_2, B$ cùng nằm trên một đường thẳng theo thứ tự hành trình:

• Trụ tháp $T_1$ nằm giữa $A$ và $T_2.$
• Khoảng cách từ đầu cầu $A$ đến trụ tháp $T_2$ là:$$AT_2 = AT_1 + T_1T_2 = 450 + 500 = 950\text{ m}.$$

b)

• Điểm $T_2$ nằm giữa $A$ và $B.$
• Khoảng cách từ trụ tháp $T_2$ đến đầu cầu $B$ là:$$T_2B = AB - AT_2 = 1\,200 - 950 = 250\text{ m}.$$Vậy người đó còn phải đi tiếp $250\text{ m}$ nữa thì sang đến đầu cầu $B.$

C. Phiếu bài tập tự luyện toàn diện (Có lời giải chi tiết)

Đề bài tự luyện

Bài 1 (Đếm đoạn thẳng): a) Cho $5$ điểm phân biệt nằm trên một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng? Kể tên. b) Cho $7$ điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Nối từng cặp điểm, hỏi vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng?

Bài 2 (Đo và so sánh): Cho các đoạn thẳng: $$AB = 6\text{ cm};\; CD = 4{,}5\text{ cm};\; EF = 60\text{ mm};\; GH = 0{,}8\text{ dm}.$$ a) Đổi các số đo về cùng đơn vị xăng-ti-mét. b) Sắp xếp các đoạn thẳng theo thứ tự độ dài tăng dần. c) Chỉ ra các cặp đoạn thẳng bằng nhau.

Bài 3 (Tính độ dài cơ bản): Cho điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B.$ Biết $OA = 3{,}5\text{ cm}$ và $OB = 4{,}5\text{ cm}.$ Tính độ dài đoạn thẳng $AB.$

Bài 4 (Tính độ dài có phép trừ): Cho đoạn thẳng $MN = 10\text{ cm}.$ Lấy điểm $I$ thuộc đoạn thẳng $MN$ sao cho $MI = 6\text{ cm}.$ a) Tính độ dài đoạn thẳng $IN.$ b) So sánh $MI$ và $IN.$

Bài 5 (So sánh trên tia): Trên tia $Ox,$ lấy hai điểm $A$ và $B$ sao cho $OA = 4\text{ cm}$ và $OB = 7\text{ cm}.$ a) Điểm $A$ có nằm giữa hai điểm $O$ và $B$ không? Vì sao? b) Tính độ dài đoạn thẳng $AB.$

Bài 6 (Phát hiện lỗi sai): Bạn Bình nói: "Cho ba điểm $A, B, C.$ Biết $AB = 5\text{ cm}$ và $BC = 3\text{ cm},$ chắc chắn đoạn thẳng $AC$ dài $8\text{ cm}$." Theo em, bạn Bình nói đúng hay sai? Vì sao?

Bài 7 (Hai điểm từ hai phía tia): Trên tia $Ox,$ lấy điểm $A$ sao cho $OA = 5\text{ cm}.$ Trên tia đối của tia $Ox,$ lấy điểm $B$ sao cho $OB = 3\text{ cm}.$ a) Điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao? b) Tính độ dài đoạn thẳng $AB.$

Bài 8 (Ba điểm liên tiếp trên tia): Trên tia $Ox,$ lấy ba điểm $A, B, C$ sao cho $OA = 2\text{ cm};\; OB = 6\text{ cm};\; OC = 9\text{ cm}.$ a) Tính độ dài các đoạn thẳng $AB$ và $BC.$ b) Điểm $B$ có nằm giữa hai điểm $A$ và $C$ không? Vì sao?

Bài 9 (Hai điểm đặt từ hai đầu mút): Cho đoạn thẳng $AB = 10\text{ cm}.$ Trên tia $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = 6\text{ cm}.$ Trên tia $BA$ lấy điểm $N$ sao cho $BN = 6\text{ cm}.$ a) Chứng minh điểm $N$ nằm giữa hai điểm $A$ và $M.$ b) Tính độ dài đoạn thẳng $MN.$

Bài 10 (Bài toán thực tế cắt gỗ): Một thanh gỗ dài $3\text{ m}.$ Bác thợ mộc cưa thanh gỗ thành ba đoạn: đoạn thứ nhất dài $80\text{ cm},$ đoạn thứ hai dài gấp đôi đoạn thứ nhất. Hỏi đoạn gỗ thứ ba dài bao nhiêu xăng-ti-mét?

Lời giải chi tiết bài tập tự luyện

Bài 1: a) Với $5$ điểm $A, B, C, D, E$ trên đường thẳng:

• Số đoạn thẳng: $\dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10$ đoạn thẳng.
• Danh sách: $AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE.$ b) Với $7$ điểm không có $3$ điểm thẳng hàng:
• Số đoạn thẳng: $\dfrac{7 \cdot 6}{2} = 21$ đoạn thẳng.

Bài 2: a) Đổi về đơn vị $\text{cm}$:

• $AB = 6\text{ cm}.$
• $CD = 4{,}5\text{ cm}.$
• $EF = 60\text{ mm} = 6\text{ cm}.$
• $GH = 0{,}8\text{ dm} = 8\text{ cm}.$ b) Sắp xếp tăng dần:$$CD < AB = EF < GH\quad (4{,}5\text{ cm} < 6\text{ cm} = 6\text{ cm} < 8\text{ cm}).$$c) Cặp đoạn thẳng bằng nhau: $AB = EF$ (cùng bằng $6\text{ cm}$).

Bài 3: Vì điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ nên:

Bài 4: a) Vì $I$ thuộc đoạn thẳng $MN$ nên $I$ nằm giữa $M$ và $N$:

b) Ta có $MI = 6\text{ cm}$ và $IN = 4\text{ cm}.$ Vì $6\text{ cm} > 4\text{ cm}$ nên $MI > IN.$

Bài 5: a) Hai điểm $A$ và $B$ cùng thuộc tia $Ox.$ Vì $OA < OB$ (do $4\text{ cm} < 7\text{ cm}$) nên điểm $A$ nằm giữa hai điểm $O$ và $B$. b) Ta có:

Bài 6: Bạn Bình nói sai. Lý do: Hệ thức $AC = AB + BC$ chỉ đúng khi điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$. Đề bài chưa khẳng định ba điểm $A, B, C$ có thẳng hàng hay không và điểm nào nằm giữa điểm nào:

• Nếu $C$ nằm giữa $A$ và $B$ thì $AC = AB - BC = 5 - 3 = 2\text{ cm}.$
• Nếu $A, B, C$ không thẳng hàng thì $AC < AB + BC = 8\text{ cm}$ (theo bất đẳng thức tam giác). Do đó không thể kết luận chắc chắn $AC = 8\text{ cm}.$

Bài 7: a) Điểm $A$ thuộc tia $Ox,$ điểm $B$ thuộc tia đối của tia $Ox,$ do đó hai tia $OA$ và $OB$ là hai tia đối nhau. Suy ra điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$. b) Vì $O$ nằm giữa $A$ và $B$ nên:

Bài 8: a)

• Trên tia $Ox,$ vì $OA < OB$ ($2\text{ cm} < 6\text{ cm}$) nên $A$ nằm giữa $O$ và $B$:$$AB = OB - OA = 6 - 2 = 4\text{ cm}.$$
• Trên tia $Ox,$ vì $OB < OC$ ($6\text{ cm} < 9\text{ cm}$) nên $B$ nằm giữa $O$ và $C$:$$BC = OC - OB = 9 - 6 = 3\text{ cm}.$$b) Ta tính $AC$: Trên tia $Ox,$ vì $OA < OC$ ($2\text{ cm} < 9\text{ cm}$) nên $A$ nằm giữa $O$ và $C$:$$AC = OC - OA = 9 - 2 = 7\text{ cm}.$$Ta thấy: $AB + BC = 4 + 3 = 7\text{ cm} = AC.$ Vì $AB + BC = AC$ nên điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$.

Bài 9: a)

• Điểm $M \in AB$ với $AM = 6\text{ cm} < AB = 10\text{ cm} \implies M$ nằm giữa $A$ và $B,$ do đó $MB = 10 - 6 = 4\text{ cm}.$
• Trên tia $BA,$ ta có $BN = 6\text{ cm}$ và $BM = 4\text{ cm}.$
• Vì $BM < BN$ ($4\text{ cm} < 6\text{ cm}$) nên điểm $M$ nằm giữa hai điểm $B$ và $N$ (hay điểm $N$ nằm giữa hai điểm $A$ và $M$). b) Do $M$ nằm giữa $B$ và $N$ nên:$$BM + MN = BN \implies MN = BN - BM = 6 - 4 = 2\text{ cm}.$$

Bài 10: Đổi $3\text{ m} = 300\text{ cm}.$

• Chiều dài đoạn thứ nhất: $80\text{ cm}.$
• Chiều dài đoạn thứ hai: $80 \cdot 2 = 160\text{ cm}.$
• Tổng chiều dài hai đoạn đầu: $80 + 160 = 240\text{ cm}.$
• Chiều dài đoạn gỗ thứ ba là:$$300 - 240 = 60\text{ cm}.$$

D. 5 Chuyên đề nâng cao học sinh giỏi (Độc bản 100%)

Chuyên đề 1: Bất đẳng thức đoạn thẳng — Điều kiện ba điểm thẳng hàng

Ghi nhớ

Bất đẳng thức ba điểm: Với ba điểm $A, B, C$ bất kì trên mặt phẳng, ta luôn có:

$$AC \le AB + BC.$$

Dấu đẳng thức $AC = AB + BC$ xảy ra khi và chỉ khi điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$ (nghĩa là ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng theo thứ tự đó).

Bài toán 1: Cho ba điểm $A, B, C.$ Biết $$AB = 3{,}6\text{ cm};\; BC = 4{,}8\text{ cm};\; AC = 8{,}4\text{ cm}.$$ a) Hỏi ba điểm $A, B, C$ có thẳng hàng không? Điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? b) Nếu thay đổi số đo $AC = 7\text{ cm}$ thì ba điểm $A, B, C$ có thẳng hàng không? Vì sao?

Lời giải chi tiết: a) Ta xét tổng hai đoạn thẳng ngắn hơn:

Ta thấy: $AB + BC = AC$ (vì cùng bằng $8{,}4\text{ cm}$). Theo định lý đảo của hệ thức cộng đoạn thẳng: Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng và điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$.

b) Nếu $AC = 7\text{ cm}$: Ta có: $AB + BC = 8{,}4\text{ cm} > 7\text{ cm} = AC.$ Lại có:

• $AC + AB = 7 + 3{,}6 = 10{,}6\text{ cm} > 4{,}8\text{ cm} = BC.$
• $AC + BC = 7 + 4{,}8 = 11{,}8\text{ cm} > 3{,}6\text{ cm} = AB.$ Tổng hai đoạn bất kì luôn lớn hơn đoạn còn lại (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác ngặt). Do đó, không có điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại $\implies$ Ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng (chúng tạo thành một tam giác).

Chuyên đề 2: Bài toán phương trình đoạn thẳng kết hợp tỉ số

Bài toán 2: Cho đoạn thẳng $AB = 15\text{ cm}.$ Điểm $C$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ sao cho độ dài đoạn thẳng $AC$ bằng $\dfrac{2}{3}$ độ dài đoạn thẳng $CB.$ a) Tính độ dài các đoạn thẳng $AC$ và $CB.$ b) Trên tia đối của tia $BA,$ lấy điểm $D$ sao cho $BD = 4\text{ cm}.$ Tính độ dài đoạn thẳng $CD.$

Lời giải chi tiết: a)

• Vì $C$ nằm giữa $A$ và $B$ nên:$$AC + CB = AB = 15\text{ cm}.$$
• Ta có tỉ số: $\dfrac{AC}{CB} = \dfrac{2}{3}.$
• Coi $AC$ là $2$ phần bằng nhau thì $CB$ là $3$ phần như thế. Tổng số phần bằng nhau là:$$2 + 3 = 5\text{ phần}.$$
• Giá trị của một phần là:$$15 : 5 = 3\text{ cm}.$$
• Độ dài các đoạn thẳng:$$AC = 3 \cdot 2 = 6\text{ cm}.$$$$CB = 3 \cdot 3 = 9\text{ cm}.$$

b)

• Tia $BA$ và tia đối của tia $BA$ là hai tia đối nhau gốc $B.$
• Điểm $C$ thuộc đoạn thẳng $AB$ nên $C$ thuộc tia $BA.$
• Điểm $D$ thuộc tia đối của tia $BA.$
• Do đó hai tia $BC$ và $BD$ đối nhau $\implies$ điểm $B$ nằm giữa hai điểm $C$ và $D$.
• Ta có hệ thức cộng:$$CD = CB + BD = 9 + 4 = 13\text{ cm}.$$

Chuyên đề 3: Bài toán tổ hợp bắt tay và đấu cờ ứng dụng công thức đoạn thẳng

Mẹo hay

Mô hình hóa thực tế: Cứ $2$ người bắt tay nhau (hoặc đấu cờ với nhau đúng $1$ ván) tương ứng với đúng $1$ đoạn thẳng nối hai điểm đại diện cho hai người.

Bài toán 3: Trong một giải cờ vua giao hữu của khối 6, mỗi kỳ thủ đều phải thi đấu với từng kỳ thủ khác đúng một ván. Ban tổ chức ghi nhận tổng cộng có $66$ ván đấu đã diễn ra. a) Hỏi giải đấu có bao nhiêu kỳ thủ tham gia? b) Nếu sau đó có thêm $2$ kỳ thủ nữa đăng ký bổ sung và cũng thi đấu đủ với tất cả các kỳ thủ đã có, hỏi số ván đấu tăng thêm bao nhiêu ván?

Lời giải chi tiết: a)

• Gọi số kỳ thủ tham gia là $n$ ($n \in \mathbb{N}^*, n \ge 2$).
• Cứ $2$ kỳ thủ đấu $1$ ván, số ván đấu bằng số đoạn thẳng tạo bởi $n$ điểm:$$S = \dfrac{n(n - 1)}{2} = 66 \iff n(n - 1) = 132.$$
• Ta phân tích $132$ thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp:$$132 = 12 \cdot 11.$$
• Suy ra $n = 12.$ Vậy giải đấu có $12$ kỳ thủ tham gia.

b)

• Khi có thêm $2$ kỳ thủ mới, tổng số kỳ thủ là $12 + 2 = 14$ người.
• Tổng số ván đấu mới là:$$S' = \dfrac{14 \cdot 13}{2} = 91\text{ ván}.$$
• Số ván đấu tăng thêm là:$$91 - 66 = 25\text{ ván}.$$(Cách khác: Mỗi kỳ thủ mới phải đấu với 12 kỳ thủ cũ và đấu với nhau: $2 \cdot 12 + 1 = 25$ ván).

Chuyên đề 4: Bài toán tối ưu hóa vị trí — Tìm điểm có tổng khoảng cách nhỏ nhất

Bài toán 4: Dọc theo một con kênh thẳng có $4$ trang trại đặt tại các vị trí $A, B, C, D$ theo thứ tự đó với $AB = 2\text{ km};\; BC = 3\text{ km};\; CD = 4\text{ km}.$ Người ta muốn xây dựng một trạm bơm nước tại vị trí $M$ trên bờ kênh sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ trạm bơm đến cả $4$ trang trại là ngắn nhất:

Hỏi trạm bơm $M$ nên đặt ở vị trí nào? Tổng chiều dài đường ống nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

• Nhóm tổng khoảng cách thành hai cặp:$$S = (MA + MD) + (MB + MC).$$
• Áp dụng bất đẳng thức đoạn thẳng:
  • Với hai điểm $A$ và $D$: Ta luôn có $MA + MD \ge AD.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M$ thuộc đoạn thẳng $AD$.
  • Với hai điểm $B$ và $C$: Ta luôn có $MB + MC \ge BC.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M$ thuộc đoạn thẳng $BC$.
• Để tổng $S$ đạt giá trị nhỏ nhất thì dấu bằng ở cả hai bất đẳng thức phải xảy ra đồng thời: $M$ phải vừa thuộc đoạn thẳng $AD,$ vừa thuộc đoạn thẳng $BC.$ Vì đoạn thẳng $BC$ nằm hoàn toàn bên trong đoạn thẳng $AD$ nên điều kiện đồng thời là: $M$ thuộc đoạn thẳng $BC$ (bất kì vị trí nào trên đoạn thẳng nối trang trại $B$ và $C$).
• Khi đó, tổng khoảng cách ngắn nhất là:$$S_{\min} = AD + BC.$$Ta có:$$AD = AB + BC + CD = 2 + 3 + 4 = 9\text{ km}.$$$$BC = 3\text{ km}.$$$$S_{\min} = 9 + 3 = 12\text{ km}.$$Vậy trạm bơm có thể đặt ở bất kì vị trí nào trên đoạn kênh giữa hai trang trại $B$ và $C,$ tổng chiều dài đường ống ngắn nhất là $12\text{ km}$.

Chuyên đề 5: Hệ điểm đối xứng và các đẳng thức độ dài liên hoàn

Bài toán 5: Trên đường thẳng $d,$ cho đoạn thẳng $AB = 2a.$ Lấy điểm $O$ là trung điểm của $AB.$ Lấy điểm $M$ bất kì thuộc đường thẳng $d.$ Chứng minh rằng: a) Nếu $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$ thì $MA + MB = 2a$ và $|MA - MB| = 2 \cdot OM.$ b) Nếu $M$ nằm ngoài đoạn thẳng $AB$ thì $|MA - MB| = 2a$ và $MA + MB = 2 \cdot OM.$

Lời giải chi tiết: Vì $O$ là trung điểm của $AB$ nên $OA = OB = a.$ a) Trường hợp $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$:

• Vì $M$ nằm giữa $A$ và $B$ nên hiển nhiên:$$MA + MB = AB = 2a.$$
• Giả sử $M$ nằm giữa $O$ và $B$ (khi đó $OM = MB - OB$ hoặc $OM = a - MB$):
  • $MA = OA + OM = a + OM.$
  • $MB = OB - OM = a - OM.$
  • Hiệu độ dài:$$MA - MB = (a + OM) - (a - OM) = 2 \cdot OM.$$
  • Trường hợp $M$ nằm giữa $O$ và $A$ tương tự, ta có: $|MA - MB| = 2 \cdot OM$ (Đpcm).

b) Trường hợp $M$ nằm ngoài đoạn thẳng $AB$:

• Giả sử $M$ nằm về phía $B$ (thứ tự $A, O, B, M$):
  • Khi đó $B$ nằm giữa $A$ và $M \implies AM - MB = AB = 2a.$
  • Mặt khác:$$MA = OM + OA = OM + a.$$$$MB = OM - OB = OM - a.$$
  • Tổng độ dài:$$MA + MB = (OM + a) + (OM - a) = 2 \cdot OM.$$
  • Trường hợp $M$ nằm về phía $A$ chứng minh hoàn toàn tương tự. Vậy đẳng thức được chứng minh trọn vẹn trong mọi trường hợp.

E. Bộ câu hỏi trắc nghiệm tương tác (Quiz)