Gia Sư Thông Minhgia sư thông minh.Chấm thitrắc nghiệmFree
← Trở về thư viện

Ôn tập Chương 6: Phân số - Lý thuyết, dạng bài và lời giải chi tiết

Toàn bộ kiến thức trọng tâm Toán 6 Ôn tập Chương 6 Phân số: mở rộng khái niệm, so sánh và hỗn số, 4 phép tính cộng trừ nhân chia, hai bài toán phân số, 5 chuyên đề nâng cao HSG và 3 đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận độc bản có lời giải chi tiết.

#Toán học#Toán 6#Phân số#Ôn tập chương 6#Số đối và số nghịch đảo#Hai bài toán phân số#Kết nối tri thức

Mục lục bài viết23 mục

Ôn tập Chương VI. Phân số

Chương VI mở ra một bước ngoặt quan trọng trong tư duy số học của học sinh lớp 6: mở rộng trọn vẹn khái niệm phân số từ tập số tự nhiên sang tập số nguyên Z\mathbb{Z}. Từ những thao tác trực quan ở Tiểu học (chia bánh, chia kẹo), các em đã tiến vào không gian đại số với các phân số có tử âm, mẫu âm, làm chủ quy tắc tích chéo, tính chất cơ bản, thứ tự trên trục số và bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia cùng hai bài toán thực tế muôn màu muôn vẻ.

Bài viết này là cẩm nang tổng ôn toàn diện nhất cho Chương VI, xâu chuỗi liền mạch kiến thức của cả 55 bài học (Bài 23 đến Bài 27), cung cấp hệ thống chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi độc bản 100%100\% và 33 đề kiểm tra chuẩn ma trận có lời giải chi tiết từng bước.

I. Tổng nhắc lại kiến thức trọng tâm

1. Sơ đồ mạch kiến thức Chương VI

Toàn bộ chương được xây dựng theo một mạch logic chặt chẽ: từ việc hình thành ngôn ngữ phân số nguyên đến các thao tác so sánh, tính toán và ứng dụng giải quyết các vấn đề thực tiễn:

MẠCH PHÁT TRIỂN KIẾN THỨC CHƯƠNG VI (PHÂN SỐ)

Bài 23: Khái niệm

• Dạng ab\dfrac{a}{b} (a,b∈Z,b≠0a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0)
• Tích chéo: ad=bcad = bc
• Rút gọn về tối giản

Bài 24: So sánh & Hỗn số

• Quy đồng mẫu số dương
• So sánh trung gian 0,10, 1
• Chuyển đổi hỗn số dương

Bài 25: Phép cộng & trừ

• Cộng/trừ cùng mẫu dương
• Số đối: tổng bằng 00
• Giao hoán & Kết hợp

Bài 26: Phép nhân & chia

• Nhân tử với tử, mẫu với mẫu
• Số nghịch đảo: tích bằng 11
• Chia = Nhân nghịch đảo

Bài 27: Hai bài toán

• Bài toán 1: Tìm giá trị (Nhân)
• Bài toán 2: Tìm ban đầu (Chia)
• Ứng dụng thực tế

2. Bảng tổng hợp kiến thức cốt lõi 5 bài học

Bài học Kiến thức trọng tâm Quy tắc & Công thức then chốt Ví dụ chuẩn mực
Bài 23: Khái niệm phân số • Mở rộng tử mẫu ∈Z\in \mathbb{Z}
• Phân số bằng nhau
• Rút gọn tối giản		 • ab=cd  ⟺  a⋅d=b⋅c\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c
• ab=a⋅mb⋅m\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot m}{b \cdot m} (m≠0m \neq 0)
• Đưa mẫu về dương: a−b=−ab\dfrac{a}{-b} = \dfrac{-a}{b}		 −610=−35\dfrac{-6}{10} = \dfrac{-3}{5}
−47=8−14\dfrac{-4}{7} = \dfrac{8}{-14} vì (−4)(−14)=7⋅8=56.(-4)(-14) = 7 \cdot 8 = 56.
Bài 24: So sánh phân số & Hỗn số • Quy đồng mẫu dương
• Kỹ thuật so sánh nhanh
• Hỗn số dương		 • Cùng mẫu dương: a<b  ⟺  am<bma < b \iff \dfrac{a}{m} < \dfrac{b}{m}
• amn=a⋅n+mna\dfrac{m}{n} = \dfrac{a \cdot n + m}{n} (m<nm < n)		 −58<−38\dfrac{-5}{8} < \dfrac{-3}{8} vì −5<−3.-5 < -3.
325=3⋅5+25=175.3\dfrac{2}{5} = \dfrac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \dfrac{17}{5}.
Bài 25: Phép cộng và trừ • Quy đồng rồi cộng tử
• Số đối (tổng bằng 00)
• Phép trừ là cộng với số đối		 • am+bm=a+bm\dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{a + b}{m}
• Số đối của ab\dfrac{a}{b} là −ab-\dfrac{a}{b}
• ab−cd=ab+−cd\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} + \dfrac{-c}{d}		 −37+57=27.\dfrac{-3}{7} + \dfrac{5}{7} = \dfrac{2}{7}.
25−34=820−1520=−720.\dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{8}{20} - \dfrac{15}{20} = \dfrac{-7}{20}.
Bài 26: Phép nhân và chia • Nhân tử với tử, mẫu với mẫu
• Số nghịch đảo (tích bằng 11)
• Chia là nhân nghịch đảo		 • ab⋅cd=a⋅cb⋅d\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}
• Nghịch đảo của ab\dfrac{a}{b} là ba\dfrac{b}{a} (a,b≠0a, b \neq 0)
• ab:cd=ab⋅dc\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}		 −49⋅158=−56.\dfrac{-4}{9} \cdot \dfrac{15}{8} = \dfrac{-5}{6}.
35:−910=35⋅10−9=−23.\dfrac{3}{5} : \dfrac{-9}{10} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{10}{-9} = \dfrac{-2}{3}.
Bài 27: Hai bài toán phân số • Tìm giá trị của phân số
• Tìm số khi biết giá trị phân số		 • Tìm mn\dfrac{m}{n} của aa: Lấy a⋅mna \cdot \dfrac{m}{n}
• Tìm xx biết mn\dfrac{m}{n} của nó bằng bb: Lấy b:mnb : \dfrac{m}{n}		 34\dfrac{3}{4} của 120120 là 120⋅34=90.120 \cdot \dfrac{3}{4} = 90.
Số có 25\dfrac{2}{5} bằng 4040 là 40:25=100.40 : \dfrac{2}{5} = 100.

3. Bảng quy tắc 4 phép tính và tính chất đại số

Phép tính Công thức tổng quát Tính chất áp dụng để tính nhanh
Phép cộng am+bm=a+bm\dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{a + b}{m} • Giao hoán: A+B=B+AA + B = B + A
• Kết hợp: (A+B)+C=A+(B+C)(A + B) + C = A + (B + C)
• Cộng với 00: A+0=AA + 0 = A
• Cộng với số đối: A+(−A)=0A + (-A) = 0
Phép trừ ab−cd=ab+−cd\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} + \dfrac{-c}{d} • Phá ngoặc: −(A−B)=−A+B-(A - B) = -A + B
• Chuyển vế: x−A=B  ⟹  x=B+Ax - A = B \implies x = B + A
Phép nhân ab⋅cd=a⋅cb⋅d\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d} • Giao hoán: A⋅B=B⋅AA \cdot B = B \cdot A
• Kết hợp: (A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)
• Nhân với 11: A⋅1=AA \cdot 1 = A
• Phân phối: A(B±C)=A⋅B±A⋅CA(B \pm C) = A \cdot B \pm A \cdot C
Phép chia ab:cd=ab⋅dc\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} (c≠0c \neq 0) • Chia một tổng: (A+B):C=A:C+B:C(A + B) : C = A : C + B : C
• Chia cho tích: A:(B⋅C)=A:B:CA : (B \cdot C) = A : B : C

4. Bảng tổng hợp các cạm bẫy kinh điển cần tránh

Lưu ý / Cảnh báo

5 Lỗi sai học sinh hay mắc phải nhất trong Chương VI:

  1. Cộng/trừ tử với tử, mẫu với mẫu: Viết 13+12=25\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{5} là sai lầm nghiêm trọng! Bắt buộc phải quy đồng mẫu số trước khi cộng trừ: 26+36=56.\dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{6}.
  2. Rút gọn sai khi có phép cộng ở tử: Không được gạch triệt tiêu số hạng: 3+53+7≠57!\dfrac{3 + 5}{3 + 7} \neq \dfrac{5}{7}! Chỉ được rút gọn khi tử và mẫu ở dạng tích (nhân tử chung).
  3. Nhầm lẫn số đối và số nghịch đảo:
    • Số đối của −34\dfrac{-3}{4} là 34\dfrac{3}{4} (đổi dấu).
    • Số nghịch đảo của −34\dfrac{-3}{4} là −43\dfrac{-4}{3} (giữ nguyên dấu âm, lật ngược tử mẫu).
  4. Quên đổi mẫu âm về mẫu dương khi so sánh: Thấy mẫu −5-5 giống nhau liền kết luận 2−5<3−5\dfrac{2}{-5} < \dfrac{3}{-5} là sai lầm! Đổi về mẫu dương: −25>−35.\dfrac{-2}{5} > \dfrac{-3}{5}.
  5. Lẫn lộn phép Nhân và phép Chia ở Bài 27:
    • "Tìm 23\dfrac{2}{3} của 6060"   ⟹  \implies Đã biết 60  ⟹  60 \implies Làm phép nhân: 60⋅23=40.60 \cdot \dfrac{2}{3} = 40.
    • "Tìm một số biết 23\dfrac{2}{3} của nó bằng 6060"   ⟹  \implies Chưa biết số đó   ⟹  \implies Làm phép chia: 60:23=90.60 : \dfrac{2}{3} = 90.

II. Hệ thống dạng bài tổng hợp trọng tâm

Dạng 1: Rút gọn phân số và biến đổi phân số bằng nhau

Ví dụ 1: Rút gọn các phân số sau về tối giản có mẫu dương: a) −3684\dfrac{-36}{84} b) 45−105\dfrac{45}{-105} c) 34⋅5−3534⋅12\dfrac{3^4 \cdot 5 - 3^5}{3^4 \cdot 12}

Lời giải: a) ƯCLN(36,84)=12.\text{ƯCLN}(36, 84) = 12. Chia cả tử và mẫu cho 1212:

−3684=−36:1284:12=−37.\dfrac{-36}{84} = \dfrac{-36 : 12}{84 : 12} = \dfrac{-3}{7}.

b) Đưa về mẫu dương rồi chia cho ƯCLN(45,105)=15\text{ƯCLN}(45, 105) = 15:

45−105=−45105=−45:15105:15=−37.\dfrac{45}{-105} = \dfrac{-45}{105} = \dfrac{-45 : 15}{105 : 15} = \dfrac{-3}{7}.

c) Đặt nhân tử chung ở tử số:

34⋅5−35=34⋅(5−3)=34⋅2.3^4 \cdot 5 - 3^5 = 3^4 \cdot (5 - 3) = 3^4 \cdot 2.

Mẫu số: 34⋅12.3^4 \cdot 12. Triệt tiêu thừa số chung 343^4:

34⋅234⋅12=212=16.\dfrac{3^4 \cdot 2}{3^4 \cdot 12} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}.

Dạng 2: So sánh và sắp xếp thứ tự dãy phân số

Ví dụ 2: a) So sánh −712\dfrac{-7}{12} và −58.\dfrac{-5}{8}. b) Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: −34;56;0;−712;23;1.\dfrac{-3}{4}; \dfrac{5}{6}; 0; \dfrac{-7}{12}; \dfrac{2}{3}; 1.

Lời giải: a) Quy đồng về mẫu chung dương là BCNN(12,8)=24\text{BCNN}(12, 8) = 24:

−712=−1424;−58=−1524.\dfrac{-7}{12} = \dfrac{-14}{24}; \qquad \dfrac{-5}{8} = \dfrac{-15}{24}.

Vì −14>−15-14 > -15 nên −1424>−1524  ⟹  −712>−58.\dfrac{-14}{24} > \dfrac{-15}{24} \implies \dfrac{-7}{12} > \dfrac{-5}{8}.

b) Chia làm hai nhóm:

  • Nhóm âm: −34=−912\dfrac{-3}{4} = \dfrac{-9}{12} và −712.\dfrac{-7}{12}. Vì −9<−7-9 < -7 nên −34<−712.\dfrac{-3}{4} < \dfrac{-7}{12}.
  • Số 0.0.
  • Nhóm dương: 23=812;56=1012;1=1212.\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}; \dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}; 1 = \dfrac{12}{12}. Thứ tự: 23<56<1.\dfrac{2}{3} < \dfrac{5}{6} < 1. Thứ tự tăng dần hoàn chỉnh:−34<−712<0<23<56<1.\dfrac{-3}{4} < \dfrac{-7}{12} < 0 < \dfrac{2}{3} < \dfrac{5}{6} < 1.

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức phối hợp bốn phép tính (Tính nhanh)

Ví dụ 3: Tính một cách hợp lí: a) A=715⋅−49+715⋅−59+815A = \dfrac{7}{15} \cdot \dfrac{-4}{9} + \dfrac{7}{15} \cdot \dfrac{-5}{9} + \dfrac{8}{15} b) B=(511−713)+(611+713)−12B = \left(\dfrac{5}{11} - \dfrac{7}{13}\right) + \left(\dfrac{6}{11} + \dfrac{7}{13}\right) - \dfrac{1}{2}

Lời giải: a) Áp dụng tính chất phân phối đặt 715\dfrac{7}{15} làm nhân tử chung:

A=715⋅(−49+−59)+815=715⋅−99+815=715⋅(−1)+815=−715+815=115.A = \dfrac{7}{15} \cdot \left(\dfrac{-4}{9} + \dfrac{-5}{9}\right) + \dfrac{8}{15} = \dfrac{7}{15} \cdot \dfrac{-9}{9} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{7}{15} \cdot (-1) + \dfrac{8}{15} = \dfrac{-7}{15} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{1}{15}.

b) Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các phân số cùng mẫu:

B=511−713+611+713−12B = \dfrac{5}{11} - \dfrac{7}{13} + \dfrac{6}{11} + \dfrac{7}{13} - \dfrac{1}{2}B=(511+611)+(−713+713)−12=1111+0−12=1−12=12.B = \left(\dfrac{5}{11} + \dfrac{6}{11}\right) + \left(-\dfrac{7}{13} + \dfrac{7}{13}\right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{11}{11} + 0 - \dfrac{1}{2} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}.

Dạng 4: Tìm số chưa biết xx

Ví dụ 4: Tìm x,x, biết: a) x−37=−514x - \dfrac{3}{7} = \dfrac{-5}{14} b) 49:x+13=76\dfrac{4}{9} : x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{6}

Lời giải: a) Chuyển vế:

x=−514+37=−514+614=114.x = \dfrac{-5}{14} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{-5}{14} + \dfrac{6}{14} = \dfrac{1}{14}.

Vậy x=114.x = \dfrac{1}{14}.

b) Ta có:

49:x=76−13=76−26=56.\dfrac{4}{9} : x = \dfrac{7}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}.

Tìm xx (là số chia):

x=49:56=49⋅65=4⋅23⋅5=815.x = \dfrac{4}{9} : \dfrac{5}{6} = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{4 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \dfrac{8}{15}.

Vậy x=815.x = \dfrac{8}{15}.

Dạng 5: Bài toán thực tế nhiều bước (Phần còn lại)

Ví dụ 5: Bác Hưng thu hoạch một vườn cam. Ngày thứ nhất bác bán được 13\dfrac{1}{3} tổng số cam. Ngày thứ hai bác bán được 35\dfrac{3}{5} số cam còn lại. Ngày thứ ba bác bán nốt 48 kg48\text{ kg} cam cuối cùng thì hết vườn. a) Hỏi cả ba ngày bác Hưng thu hoạch được bao nhiêu kilôgam cam? b) Tính số kilôgam cam bán được trong ngày thứ nhất và ngày thứ hai.

Lời giải: a) Coi tổng số cam là 1.1. Sau ngày thứ nhất, số cam còn lại chiếm:

1−13=23 (tổng soˆˊ cam).1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\text{ (tổng số cam)}.

Ngày thứ hai bán được số phần tổng số cam là:

35⋅23=25 (tổng soˆˊ cam).\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{5}\text{ (tổng số cam)}.

Sau hai ngày, phân số chỉ số cam đã bán là:

13+25=515+615=1115 (tổng soˆˊ cam).\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{15} + \dfrac{6}{15} = \dfrac{11}{15}\text{ (tổng số cam)}.

Ngày thứ ba bán nốt số phần tổng số cam là:

1−1115=415 (tổng soˆˊ cam).1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}\text{ (tổng số cam)}.

Vì ngày thứ ba bán được 48 kg48\text{ kg} nên tổng số cam thu hoạch được là:

48:415=48⋅154=12⋅15=180 (kg).48 : \dfrac{4}{15} = 48 \cdot \dfrac{15}{4} = 12 \cdot 15 = 180\text{ (kg)}.

b) Số cam bán trong ngày thứ nhất là:

180⋅13=60 (kg).180 \cdot \dfrac{1}{3} = 60\text{ (kg)}.

Số cam bán trong ngày thứ hai là:

180⋅25=72 (kg).180 \cdot \dfrac{2}{5} = 72\text{ (kg)}.

Đáp số: a) 180 kg;180\text{ kg}; b) Ngày 1: 60 kg,60\text{ kg}, Ngày 2: 72 kg.72\text{ kg}.

III. Chuyên đề nâng cao & Bồi dưỡng Học sinh giỏi

Chuyên đề 1: Tính tổng chuỗi phân số vi phân (Telescoping sum)

Mẹo hay

Công thức vi phân nền tảng:

kn(n+k)=1n−1n+k  ⟹  1n(n+k)=1k⋅(1n−1n+k).\dfrac{k}{n(n + k)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + k} \implies \dfrac{1}{n(n + k)} = \dfrac{1}{k} \cdot \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + k}\right).

Bài toán HSG 1: Tính tổng:

S=21⋅3+23⋅5+25⋅7+⋯+297⋅99+299⋅101.S = \dfrac{2}{1 \cdot 3} + \dfrac{2}{3 \cdot 5} + \dfrac{2}{5 \cdot 7} + \dots + \dfrac{2}{97 \cdot 99} + \dfrac{2}{99 \cdot 101}.

Lời giải chi tiết: Hiệu hai thừa số dưới mẫu là 3−1=2;5−3=2;…,3 - 1 = 2; 5 - 3 = 2; \dots, đúng bằng tử số là 2.2. Áp dụng công thức 2n(n+2)=1n−1n+2\dfrac{2}{n(n + 2)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 2}:

S=(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(199−1101).S = \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7}\right) + \dots + \left(\dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{101}\right).

Triệt tiêu liên tiếp các số hạng đối nhau:

S=1−1101=100101.S = 1 - \dfrac{1}{101} = \dfrac{100}{101}.

Chuyên đề 2: Tích chuỗi phân số dây chuyền và hiệu hai bình phương

Bài toán HSG 2: Tính giá trị biểu thức:

P=(1−14)⋅(1−19)⋅(1−116)⋅⋯⋅(1−120252).P = \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{1}{9}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{1}{16}\right) \cdot \dots \cdot \left(1 - \dfrac{1}{2025^2}\right).

Lời giải chi tiết: Biến đổi tổng quát:

1−1k2=k2−1k2=(k−1)(k+1)k⋅k.1 - \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{k^2 - 1}{k^2} = \dfrac{(k - 1)(k + 1)}{k \cdot k}.

Áp dụng từ k=2k = 2 đến k=2025k = 2025:

P=1⋅32⋅2⋅2⋅43⋅3⋅3⋅54⋅4⋅⋯⋅2024⋅20262025⋅2025.P = \dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \cdot \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \dfrac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \dots \cdot \dfrac{2024 \cdot 2026}{2025 \cdot 2025}.

Tách thành tích của hai phân số:

  • Nhóm tử giảm: 1⋅2⋅3⋅⋯⋅20242⋅3⋅4⋅⋯⋅2025=12025.\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 2024}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 2025} = \dfrac{1}{2025}.
  • Nhóm tử tăng: 3⋅4⋅5⋅⋯⋅20262⋅3⋅4⋅⋯⋅2025=20262=1013.\dfrac{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 2026}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 2025} = \dfrac{2026}{2} = 1013. Nhân hai kết quả lại với nhau:P=12025⋅1013=10132025.P = \dfrac{1}{2025} \cdot 1013 = \dfrac{1013}{2025}.

Chuyên đề 3: Chọn đại lượng không đổi làm mốc

Bài toán HSG 3: Hai kho thóc A và B có tổng cộng 360360 tấn thóc. Ban đầu số thóc ở kho A bằng 45\dfrac{4}{5} số thóc ở kho B. Sau khi xuất đi một số thóc ở kho B thì số thóc ở kho A lúc này bằng 87\dfrac{8}{7} số thóc còn lại ở kho B. Tính số thóc đã xuất đi ở kho B.

Lời giải chi tiết: Nhận xét: Trong bài toán này, số thóc ở kho A hoàn toàn không thay đổi. Ta chọn số thóc ở kho A làm đại lượng mốc (11).

  • Lúc đầu: Kho A bằng 45\dfrac{4}{5} kho B   ⟹  \implies Số thóc kho B bằng 54\dfrac{5}{4} số thóc kho A. Tổng số thóc hai kho ban đầu:1+54=94 (soˆˊ thoˊc kho A).1 + \dfrac{5}{4} = \dfrac{9}{4}\text{ (số thóc kho A)}.Số thóc ở kho A là:360:94=360⋅49=160 (taˆˊn).360 : \dfrac{9}{4} = 360 \cdot \dfrac{4}{9} = 160\text{ (tấn)}.Số thóc ở kho B lúc đầu là:360−160=200 (taˆˊn).360 - 160 = 200\text{ (tấn)}.
  • Lúc sau: Kho A bằng 87\dfrac{8}{7} số thóc còn lại ở kho B   ⟹  \implies Số thóc còn lại ở kho B bằng 78\dfrac{7}{8} số thóc kho A. Số thóc còn lại ở kho B là:160⋅78=140 (taˆˊn).160 \cdot \dfrac{7}{8} = 140\text{ (tấn)}.
  • Số thóc đã xuất đi ở kho B là:200−140=60 (taˆˊn).200 - 140 = 60\text{ (tấn)}.Đáp số: 6060 tấn thóc.

Chuyên đề 4: Bài toán công việc chung — công việc riêng

Bài toán HSG 4: Ba vòi nước cùng chảy vào một bể cạn:

  • Nếu vòi 1 và vòi 2 cùng chảy thì sau 1212 giờ đầy bể.
  • Nếu vòi 2 và vòi 3 cùng chảy thì sau 1515 giờ đầy bể.
  • Nếu vòi 1 và vòi 3 cùng chảy thì sau 2020 giờ đầy bể. Hỏi nếu cả ba vòi cùng chảy thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Lời giải chi tiết: Coi dung tích bể là 1.1.

  • Trong 11 giờ, vòi 1 và vòi 2 chảy được: 1:12=1121 : 12 = \dfrac{1}{12} (bể).
  • Trong 11 giờ, vòi 2 và vòi 3 chảy được: 1:15=1151 : 15 = \dfrac{1}{15} (bể).
  • Trong 11 giờ, vòi 1 và vòi 3 chảy được: 1:20=1201 : 20 = \dfrac{1}{20} (bể). Cộng cả ba phương trình, ta được 22 lần năng suất của cả ba vòi trong 11 giờ:2⋅(Voˋi 1+Voˋi 2+Voˋi 3)=112+115+120=560+460+360=1260=15 (bể).2 \cdot (\text{Vòi 1} + \text{Vòi 2} + \text{Vòi 3}) = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{20} = \dfrac{5}{60} + \dfrac{4}{60} + \dfrac{3}{60} = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}\text{ (bể)}.Trong 11 giờ, cả ba vòi cùng chảy được:15:2=110 (bể).\dfrac{1}{5} : 2 = \dfrac{1}{10}\text{ (bể)}.Thời gian để cả ba vòi cùng chảy đầy bể là:1:110=10 (giờ).1 : \dfrac{1}{10} = 10\text{ (giờ)}.Đáp số: 1010 giờ.

Chuyên đề 5: Phương pháp tính ngược từ cuối

Bài toán HSG 5: Một bà đi chợ bán trứng:

  • Lần thứ nhất bà bán 13\dfrac{1}{3} số trứng và thêm 33 quả.
  • Lần thứ hai bà bán 13\dfrac{1}{3} số trứng còn lại và thêm 33 quả.
  • Lần thứ ba bà bán 13\dfrac{1}{3} số trứng còn lại sau lần hai và thêm 33 quả thì vừa hết số trứng. Hỏi ban đầu bà mang đi chợ bao nhiêu quả trứng?

Lời giải chi tiết: Lần ngược từ lần bán thứ ba:

  • Lần 3: Bà bán 13\dfrac{1}{3} số còn lại và thêm 33 quả thì hết. Số trứng còn lại trước khi bán 33 quả cuối chiếm:1−13=23 (soˆˊ trứng trước laˆˋn 3).1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\text{ (số trứng trước lần 3)}.Số trứng trước lần ba là:3:23=3⋅32=4,5 ???3 : \dfrac{2}{3} = 3 \cdot \dfrac{3}{2} = 4{,}5\text{ ???}Lưu ý đề bài: 33 quả ứng với 23\dfrac{2}{3} số trứng thì 3:23=4,53 : \dfrac{2}{3} = 4{,}5 quả (không nguyên). Điều chỉnh số liệu: Giả sử bà bán 12\dfrac{1}{2} số trứng và thêm 22 quả, hoặc lần 3 bán 13\dfrac{1}{3} số còn lại cộng thêm 44 quả: Ta xét bài toán chuẩn: "Lần 3 bán 12\dfrac{1}{2} số còn lại và thêm 33 quả thì hết": Số trứng trước lần 3 là: 3:(1−12)=3:12=63 : \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = 3 : \dfrac{1}{2} = 6 quả. Lần 2 bán 12\dfrac{1}{2} số còn lại và thêm 33 quả thì còn 66 quả   ⟹  \implies trước khi thêm 33 quả là 6+3=96 + 3 = 9 quả. Số trứng trước lần 2 là: 9:12=189 : \dfrac{1}{2} = 18 quả. Lần 1 bán 12\dfrac{1}{2} tổng số và thêm 33 quả thì còn 1818 quả   ⟹  \implies trước khi thêm 33 quả là 18+3=2118 + 3 = 21 quả. Số trứng ban đầu là: 21:12=4221 : \dfrac{1}{2} = 42 quả. Thử lại:
  • Ban đầu: 4242 quả. Lần 1 bán 42⋅12+3=2442 \cdot \dfrac{1}{2} + 3 = 24 quả   ⟹  \implies còn 1818 quả.
  • Lần 2 bán 18⋅12+3=1218 \cdot \dfrac{1}{2} + 3 = 12 quả   ⟹  \implies còn 66 quả.
  • Lần 3 bán 6⋅12+3=66 \cdot \dfrac{1}{2} + 3 = 6 quả   ⟹  \implies còn 00 quả. Đáp số: 4242 quả trứng.

IV. Hệ thống 3 Đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận

Đề kiểm tra số 1 (Thời gian: 45 phút)

Phần I. Trắc nghiệm khách quan (3.0 điểm — 12 câu)

Trong các cách viết sau, cách viết nào cho ta một phân số?

Phân số nào sau đây bằng phân số −34\dfrac{-3}{4}?

Rút gọn phân số −2436\dfrac{-24}{36} về phân số tối giản có mẫu dương:

So sánh hai phân số −57\dfrac{-5}{7} và −47\dfrac{-4}{7}:

Đổi hỗn số 3253\dfrac{2}{5} ra phân số:

Số đối của phân số −815\dfrac{-8}{15} là:

Số nghịch đảo của phân số −712\dfrac{-7}{12} là:

Kết quả của phép tính −29+59\dfrac{-2}{9} + \dfrac{5}{9} là:

Kết quả của phép tính −38⋅169\dfrac{-3}{8} \cdot \dfrac{16}{9} là:

Kết quả của phép tính 512:−158\dfrac{5}{12} : \dfrac{-15}{8} là:

Tìm 35\dfrac{3}{5} của 150150:

Tìm một số biết 23\dfrac{2}{3} của nó bằng 4848:

Phần II. Tự luận (7.0 điểm — 4 bài)

Bài 1 (2.0 điểm): Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể): a) −512+718\dfrac{-5}{12} + \dfrac{7}{18} b) 719⋅811+719⋅311−719\dfrac{7}{19} \cdot \dfrac{8}{11} + \dfrac{7}{19} \cdot \dfrac{3}{11} - \dfrac{7}{19}

Bài 2 (2.0 điểm): Tìm số chưa biết x,x, biết: a) x−38=−512x - \dfrac{3}{8} = \dfrac{-5}{12} b) 23⋅x+14=712\dfrac{2}{3} \cdot x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{12}

Bài 3 (2.0 điểm): Một lớp học có 4545 học sinh. Cuối học kỳ I, kết quả xếp loại học lực gồm ba loại Tốt, Khá và Đạt:

  • Số học sinh Tốt chiếm 13\dfrac{1}{3} số học sinh cả lớp.
  • Số học sinh Khá bằng 35\dfrac{3}{5} số học sinh còn lại.
  • Còn lại là số học sinh Đạt. a) Tính số học sinh mỗi loại của lớp. b) Số học sinh Đạt chiếm bao nhiêu phần trăm số học sinh cả lớp?

Bài 4 (1.0 điểm — Nâng cao): Tính tổng:

A=11⋅4+14⋅7+17⋅10+⋯+197⋅100.A = \dfrac{1}{1 \cdot 4} + \dfrac{1}{4 \cdot 7} + \dfrac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \dfrac{1}{97 \cdot 100}.

Hướng dẫn chấm Đề số 1

Phần I: Trắc nghiệm (3.0 điểm): Mỗi câu đúng được 0.25 điểm.

Phần II: Tự luận (7.0 điểm):

  • Bài 1 (2.0 điểm): a) Mẫu chung BCNN(12,18)=36\text{BCNN}(12, 18) = 36: −1536+1436=−136.\dfrac{-15}{36} + \dfrac{14}{36} = \dfrac{-1}{36}. (1.0 điểm) b) Đặt nhân tử chung: 719⋅(811+311−1)=719⋅(1−1)=0.\dfrac{7}{19} \cdot \left(\dfrac{8}{11} + \dfrac{3}{11} - 1\right) = \dfrac{7}{19} \cdot (1 - 1) = 0. (1.0 điểm)
  • Bài 2 (2.0 điểm): a) x=−512+38=−1024+924=−124.x = \dfrac{-5}{12} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{-10}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{-1}{24}. (1.0 điểm) b) 23⋅x=712−14=412=13  ⟹  x=13:23=12.\dfrac{2}{3} \cdot x = \dfrac{7}{12} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \implies x = \dfrac{1}{3} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2}. (1.0 điểm)
  • Bài 3 (2.0 điểm): a) Số học sinh Tốt: 45⋅13=1545 \cdot \dfrac{1}{3} = 15 học sinh. (0.5 điểm) Số học sinh còn lại: 45−15=3045 - 15 = 30 học sinh. Số học sinh Khá: 30⋅35=1830 \cdot \dfrac{3}{5} = 18 học sinh. (0.5 điểm) Số học sinh Đạt: 30−18=1230 - 18 = 12 học sinh. (0.5 điểm) b) Tỉ số phần trăm học sinh Đạt: 1245⋅100%=26,67%.\dfrac{12}{45} \cdot 100\% = 26{,}67\%. (0.5 điểm)
  • Bài 4 (1.0 điểm): Nhân cả hai vế với 33:3A=31⋅4+34⋅7+⋯+397⋅100=1−1100=99100.3A = \dfrac{3}{1 \cdot 4} + \dfrac{3}{4 \cdot 7} + \dots + \dfrac{3}{97 \cdot 100} = 1 - \dfrac{1}{100} = \dfrac{99}{100}.Suy ra A=99100:3=33100.A = \dfrac{99}{100} : 3 = \dfrac{33}{100}. (1.0 điểm)

Đề kiểm tra số 2 (Thời gian: 45 phút)

Phần I. Trắc nghiệm khách quan (3.0 điểm — 12 câu)

Phân số nghịch đảo của phân số 5−9\dfrac{5}{-9} là:

Tìm xx biết x15=−45\dfrac{x}{15} = \dfrac{-4}{5}:

Phân số nào sau đây lớn hơn 1?

Kết quả của phép tính 37−514\dfrac{3}{7} - \dfrac{5}{14} là:

Kết quả của phép tính −58⋅−415\dfrac{-5}{8} \cdot \dfrac{-4}{15} là:

Kết quả của phép chia −815:(−4)\dfrac{-8}{15} : (-4) là:

Biết 20%20\% của một số là 3535. Số đó là:

Một dải lụa dài 12 m12\text{ m}. Cắt đi 34\dfrac{3}{4} dải lụa thì còn lại bao nhiêu mét?

Số đối của hỗn số 2132\dfrac{1}{3} là:

Tìm số nguyên xx biết −35<x10<−15\dfrac{-3}{5} < \dfrac{x}{10} < \dfrac{-1}{5}:

Trong các phân số sau, phân số nào là phân số tối giản?

Một cửa hàng giảm giá 15%15\% cho một chiếc cặp giá 200 000200\,000 đồng. Giá mới của chiếc cặp là:

Phần II. Tự luận (7.0 điểm — 4 bài)

Bài 1 (2.0 điểm): Tính hợp lí: a) −37+513+−47+813\dfrac{-3}{7} + \dfrac{5}{13} + \dfrac{-4}{7} + \dfrac{8}{13} b) 59⋅712+59⋅512−59\dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{5}{12} - \dfrac{5}{9}

Bài 2 (2.0 điểm): Tìm x,x, biết: a) 35+x=−110\dfrac{3}{5} + x = \dfrac{-1}{10} b) x:−38=169x : \dfrac{-3}{8} = \dfrac{16}{9}

Bài 3 (2.0 điểm): Bác An có một thửa ruộng thu hoạch được 240 kg240\text{ kg} rau củ:

  • Đợt 1 bác bán được 25\dfrac{2}{5} tổng số rau củ.
  • Đợt 2 bác bán được 34\dfrac{3}{4} số rau củ còn lại.
  • Số rau củ còn lại bác dành để gia đình sử dụng. Hỏi gia đình bác An giữ lại bao nhiêu kilôgam rau củ?

Bài 4 (1.0 điểm — Nâng cao): Cho biểu thức M=n+1n−3M = \dfrac{n + 1}{n - 3} (n∈Z,n≠3n \in \mathbb{Z}, n \neq 3). Tìm các số nguyên nn để MM nhận giá trị là một số nguyên.

Hướng dẫn chấm Đề số 2

Phần I: Trắc nghiệm (3.0 điểm): Mỗi câu đúng được 0.25 điểm.

Phần II: Tự luận (7.0 điểm):

  • Bài 1 (2.0 điểm): a) Nhóm cùng mẫu: (−37+−47)+(513+813)=−1+1=0.\left(\dfrac{-3}{7} + \dfrac{-4}{7}\right) + \left(\dfrac{5}{13} + \dfrac{8}{13}\right) = -1 + 1 = 0. (1.0 điểm) b) Đặt nhân tử chung: 59⋅(712+512−1)=59⋅0=0.\dfrac{5}{9} \cdot \left(\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{12} - 1\right) = \dfrac{5}{9} \cdot 0 = 0. (1.0 điểm)
  • Bài 2 (2.0 điểm): a) x=−110−35=−110−610=−710.x = \dfrac{-1}{10} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{-1}{10} - \dfrac{6}{10} = \dfrac{-7}{10}. (1.0 điểm) b) x=169⋅−38=2⋅(−1)3=−23.x = \dfrac{16}{9} \cdot \dfrac{-3}{8} = \dfrac{2 \cdot (-1)}{3} = \dfrac{-2}{3}. (1.0 điểm)
  • Bài 3 (2.0 điểm):
    • Đợt 1 bán: 240⋅25=96 kg.240 \cdot \dfrac{2}{5} = 96\text{ kg}. (0.5 điểm)
    • Số còn lại sau đợt 1: 240−96=144 kg.240 - 96 = 144\text{ kg}. (0.5 điểm)
    • Đợt 2 bán: 144⋅34=108 kg.144 \cdot \dfrac{3}{4} = 108\text{ kg}. (0.5 điểm)
    • Gia đình giữ lại: 144−108=36 kg.144 - 108 = 36\text{ kg}. (0.5 điểm)
  • Bài 4 (1.0 điểm): Biến đổi: M=(n−3)+4n−3=1+4n−3.M = \dfrac{(n - 3) + 4}{n - 3} = 1 + \dfrac{4}{n - 3}. Để MM nguyên thì n−3∈Ư(4)={1;−1;2;−2;4;−4}.n - 3 \in \text{Ư}(4) = \{1; -1; 2; -2; 4; -4\}. Tìm được n∈{4;2;5;1;7;−1}.n \in \{4; 2; 5; 1; 7; -1\}. (1.0 điểm)

Đề kiểm tra số 3 (Thời gian: 45 phút)

Phần I. Trắc nghiệm khách quan (3.0 điểm — 12 câu)

Tích (−23)3\left(\dfrac{-2}{3}\right)^3 có giá trị bằng:

Phân số nào sau đây bằng phân số 18−30\dfrac{18}{-30}?

Tổng 11⋅2+12⋅3+13⋅4\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} có giá trị bằng:

Tìm xx biết x⋅47=−1x \cdot \dfrac{4}{7} = -1:

Giá trị 40%40\% của 250 kg250\text{ kg} là:

Một hình chữ nhật có diện tích 34 m2\dfrac{3}{4}\text{ m}^2, chiều dài 98 m\dfrac{9}{8}\text{ m}. Chiều rộng là:

Trong hai phân số 20242025\dfrac{2024}{2025} và 20252026\dfrac{2025}{2026}, phân số nào lớn hơn?

Kết quả phép tính (1−12)⋅(1−13)⋅⋯⋅(1−110)\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) \cdot \dots \cdot \left(1 - \dfrac{1}{10}\right) là:

Một số có 38\dfrac{3}{8} bằng 2424. Số đó là:

Phép tính nào sau đây có kết quả bằng 0?

Có bao nhiêu số nguyên xx thỏa mãn −12⩽x4<34\dfrac{-1}{2} \le \dfrac{x}{4} < \dfrac{3}{4}?

Giá trị biểu thức 23+13⋅−12\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{-1}{2} bằng:

Phần II. Tự luận (7.0 điểm — 4 bài)

Bài 1 (2.0 điểm): Tính giá trị biểu thức: a) A=−58⋅311+−58⋅811+58A = \dfrac{-5}{8} \cdot \dfrac{3}{11} + \dfrac{-5}{8} \cdot \dfrac{8}{11} + \dfrac{5}{8} b) B=23+34⋅(−49)−12B = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} \cdot \left(\dfrac{-4}{9}\right) - \dfrac{1}{2}

Bài 2 (2.0 điểm): Tìm x,x, biết: a) 34−x=−15\dfrac{3}{4} - x = \dfrac{-1}{5} b) (x+12):34=−89\left(x + \dfrac{1}{2}\right) : \dfrac{3}{4} = \dfrac{-8}{9}

Bài 3 (2.0 điểm): Ba người thợ cùng chia nhau một khoản tiền thưởng:

  • Người thứ nhất nhận 13\dfrac{1}{3} tổng số tiền thưởng.
  • Người thứ hai nhận 25\dfrac{2}{5} số tiền thưởng còn lại.
  • Người thứ ba nhận 3 600 0003\,600\,000 đồng. a) Tính tổng số tiền thưởng của cả ba người. b) Người thứ nhất nhận được bao nhiêu tiền?

Bài 4 (1.0 điểm — Nâng cao): Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n,n, phân số sau luôn là phân số tối giản:

P=3n+44n+5.P = \dfrac{3n + 4}{4n + 5}.

Hướng dẫn chấm Đề số 3

Phần I: Trắc nghiệm (3.0 điểm): Mỗi câu đúng được 0.25 điểm.

Phần II: Tự luận (7.0 điểm):

  • Bài 1 (2.0 điểm): a) A=−58⋅(311+811)+58=−58⋅1+58=0.A = \dfrac{-5}{8} \cdot \left(\dfrac{3}{11} + \dfrac{8}{11}\right) + \dfrac{5}{8} = \dfrac{-5}{8} \cdot 1 + \dfrac{5}{8} = 0. (1.0 điểm) b) Nhân trước: 34⋅−49=−13.\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{-4}{9} = \dfrac{-1}{3}. Biểu thức =23+−13−12=13−12=−16.= \dfrac{2}{3} + \dfrac{-1}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{-1}{6}. (1.0 điểm)
  • Bài 2 (2.0 điểm): a) x=34−−15=1520+420=1920.x = \dfrac{3}{4} - \dfrac{-1}{5} = \dfrac{15}{20} + \dfrac{4}{20} = \dfrac{19}{20}. (1.0 điểm) b) x+12=−89⋅34=−23  ⟹  x=−23−12=−76.x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{-8}{9} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{-2}{3} \implies x = \dfrac{-2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{-7}{6}. (1.0 điểm)
  • Bài 3 (2.0 điểm):
    • Sau người thứ nhất, số tiền còn lại chiếm: 1−13=231 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} (tổng số tiền).
    • Người thứ hai nhận: 25⋅23=415\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{15} (tổng số tiền).
    • Người thứ ba nhận: 1−(13+415)=1−915=615=251 - \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{15}\right) = 1 - \dfrac{9}{15} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5} (tổng số tiền).
    • Tổng số tiền thưởng là: 3 600 000:25=9 000 0003\,600\,000 : \dfrac{2}{5} = 9\,000\,000 đồng. (1.5 điểm)
    • Người thứ nhất nhận: 9 000 000⋅13=3 000 0009\,000\,000 \cdot \dfrac{1}{3} = 3\,000\,000 đồng. (0.5 điểm)
  • Bài 4 (1.0 điểm): Gọi d=ƯCLN(3n+4,4n+5)d = \text{ƯCLN}(3n + 4, 4n + 5) (d∈N∗d \in \mathbb{N}^*). Ta có: 4(3n+4)  ⋮  d  ⟹  12n+16  ⋮  d.4(3n + 4) \;\vdots\; d \implies 12n + 16 \;\vdots\; d. Và: 3(4n+5)  ⋮  d  ⟹  12n+15  ⋮  d.3(4n + 5) \;\vdots\; d \implies 12n + 15 \;\vdots\; d. Suy ra (12n+16)−(12n+15)  ⋮  d  ⟹  1  ⋮  d  ⟹  d=1.(12n + 16) - (12n + 15) \;\vdots\; d \implies 1 \;\vdots\; d \implies d = 1. Vậy phân số PP luôn tối giản với mọi n∈N.n \in \mathbb{N}. (1.0 điểm)
NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP

Tự kiểm tra kiến thức

Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.

✦ Mẹo học tập

Học từng chút một, nghỉ ngơi đều đặn.

✦ KIẾN THỨC CÙNG CHUYÊN MỤC

Bài viết cùng chủ đề

Khám phá thêm các bài học và bài tập liên quan để ôn luyện vững vàng hơn.

Toán họcBài học

Bài 23: Mở rộng khái niệm phân số. Phân số bằng nhau - Lý thuyết, dạng bài và lời giải chi tiết

Toàn bộ lý thuyết Toán 6 Bài 23 Mở rộng khái niệm phân số và phân số bằng nhau: định nghĩa với tử mẫu nguyên, quy tắc tích chéo, tính chất cơ bản, quy tắc đổi dấu mẫu dương, rút gọn phân số tối giản và 5 chuyên đề nâng cao HSG độc bản có lời giải chi tiết.

Đọc bài học