Bài 23. Mở rộng khái niệm phân số. Phân số bằng nhau

Ở bậc Tiểu học, chúng ta đã từng làm quen với phân số qua những hình ảnh rất trực quan: một chiếc bánh pizza chia làm $4$ phần bằng nhau lấy $3$ phần ta được phân số $\dfrac{3}{4}$, hay một thanh sô-cô-la chia $6$ phần lấy $5$ phần ta được $\dfrac{5}{6}.$ Trong các phân số đó, tử số và mẫu số đều là các số tự nhiên (với mẫu số khác $0$).

Tuy nhiên, khi bước vào lớp 6, thế giới số của chúng ta đã mở rộng vượt bậc với sự xuất hiện của tập hợp số nguyên $\mathbb{Z}$ bao gồm cả số $0$ và các số nguyên âm (như $-1; -2; -15; \dots$). Vậy nếu một khoản nợ $12$ triệu đồng được chia đều cho $4$ người cùng gánh, mỗi người chịu bao nhiêu? Đó là $(-12) : 4 = \dfrac{-12}{4} = -3$ triệu đồng! Phân số có tử số là số nguyên âm xuất hiện tự nhiên như thế.

Bài học hôm nay sẽ giúp các em mở rộng trọn vẹn khái niệm phân số lên tập số nguyên, làm chủ quy tắc tích chéo để nhận biết hai phân số bằng nhau, nắm vững tính chất cơ bản để rút gọn phân số và tự tin giải quyết toàn bộ các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao học sinh giỏi với số liệu độc bản $100\%.$

Khởi động — Kết nối tri thức (5–7 phút)

Hãy cùng suy ngẫm và trả lời nhanh 4 câu hỏi khởi động sau đây:

Câu 1 (Hình học & Tỉ số): Một dải ruy-băng dài $1\text{ m}$ được chia thành $8$ đoạn bằng nhau. Bạn Mai cắt lấy $5$ đoạn để thắt nơ. Phân số chỉ phần ruy-băng bạn Mai đã lấy là bao nhiêu? Trả lời: Ta lấy $5$ phần trong tổng số $8$ phần bằng nhau, ứng với phân số $\dfrac{5}{8}.$

Câu 2 (Thực tế số âm): Tàu ngầm đang lặn ở độ sâu $45\text{ m}$ dưới mực nước biển (được biểu diễn bằng số nguyên $-45$). Nếu tàu chia hành trình nổi lên mặt nước làm $3$ chặng bằng nhau, mỗi chặng tàu dịch chuyển một khoảng bao nhiêu? Trả lời: Khoảng dịch chuyển mỗi chặng là $(-45) : 3 = \dfrac{-45}{3} = -15\text{ m}.$ Biểu thức $\dfrac{-45}{3}$ chính là một phân số có tử số âm!

Câu 3 (Biểu diễn số nguyên): Các số nguyên $7; -9; 0$ có thể viết dưới dạng phân số có mẫu bằng $1$ được không? Trả lời: Hoàn toàn được: $7 = \dfrac{7}{1};$ $-9 = \dfrac{-9}{1};$ $0 = \dfrac{0}{1}.$

Câu 4 (Nhận biết hai phân số bằng nhau): Hai phân số $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{6}{9}$ có biểu diễn cùng một lượng giá trị không? Vì sao? Trả lời: Có, vì nếu ta chia một đoạn thẳng làm $3$ phần lấy $2$ phần, cũng chính bằng việc chia đoạn thẳng đó làm $9$ phần nhỏ rồi lấy $6$ phần nhỏ ($2 \times 3 = 6$ và $3 \times 3 = 9$).

1. Lý thuyết trọng tâm

1.1. Mở rộng khái niệm phân số

Ghi nhớ

Định nghĩa phân số: Người ta gọi $\dfrac{a}{b}$ với $a, b \in \mathbb{Z}$ và $b \neq 0$ là một phân số, trong đó:

• $a$ được gọi là tử số (hay gọi tắt là tử).
• $b$ được gọi là mẫu số (hay gọi tắt là mẫu).

Điểm mở rộng cốt lõi so với Tiểu học:

1. Tử số $a$ và mẫu số $b$ hiện nay là các số nguyên (có thể mang dấu âm hoặc bằng $0$).
2. Điều kiện bắt buộc duy nhất: Mẫu số $b$ luôn luôn phải khác $0$ ($b \neq 0$). Phép chia cho $0$ không có nghĩa, nên biểu thức có mẫu bằng $0$ không bao giờ là một phân số.
3. Mọi số nguyên $a$ đều có thể coi là một phân số với mẫu số bằng $1$:$$a = \dfrac{a}{1} \quad (a \in \mathbb{Z}).$$

Bảng nhận diện phân số và cách viết không phải phân số:

1.2. Hai phân số bằng nhau và Quy tắc tích chéo

Làm thế nào để biết hai phân số bất kỳ $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ có bằng nhau hay không mà không cần vẽ hình hay tính ra số thập phân? Hãy sử dụng vũ khí lợi hại nhất: Quy tắc tích chéo!

Quan trọng

Quy tắc hai phân số bằng nhau: Hai phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ được gọi là bằng nhau nếu:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c.$$

(Tích của tử phân số này nhân mẫu phân số kia bằng tích của mẫu phân số này nhân tử phân số kia).

Vì sao quy tắc này luôn đúng? Khi ta quy đồng mẫu số hai phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ về mẫu chung $b \cdot d$:

Hai phân số có cùng mẫu số $b \cdot d$ muốn bằng nhau thì hai tử số phải bằng nhau, tức là $a \cdot d = b \cdot c.$

Ví dụ minh họa:

• Xét cặp $\dfrac{-3}{7}$ và $\dfrac{9}{-21}$: Ta có tích chéo thứ nhất: $(-3) \cdot (-21) = 63.$ Tích chéo thứ hai: $7 \cdot 9 = 63.$ Vì $(-3) \cdot (-21) = 7 \cdot 9 = 63$ nên $\dfrac{-3}{7} = \dfrac{9}{-21}.$
• Xét cặp $\dfrac{-4}{5}$ và $\dfrac{8}{10}$: Tích chéo thứ nhất: $(-4) \cdot 10 = -40.$ Tích chéo thứ hai: $5 \cdot 8 = 40.$ Vì $-40 \neq 40$ nên $\dfrac{-4}{5} \neq \dfrac{8}{10}.$

1.3. Tính chất cơ bản của phân số

Phân số có hai tính chất nền tảng cho phép biến đổi linh hoạt mà không làm thay đổi giá trị:

Ghi nhớ

Hai tính chất cơ bản:

1. Tính chất nhân: Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên $m \neq 0$ thì ta được một phân số bằng phân số đã cho:$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot m}{b \cdot m} \quad (m \in \mathbb{Z}, m \neq 0).$$
2. Tính chất chia: Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung $n$ của chúng thì ta được một phân số bằng phân số đã cho:$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a : n}{b : n} \quad (n \in \text{ƯC}(a, b)).$$

Quy tắc đổi dấu — Chuẩn mực đưa về mẫu dương: Trong toán học, chúng ta luôn ưu tiên viết phân số dưới dạng mẫu số dương để thuận tiện cho việc so sánh, cộng trừ và biểu diễn trên trục số. Áp dụng tính chất nhân với $m = -1$:

Ví dụ:

• $\dfrac{5}{-9} = \dfrac{-5}{9}.$
• $\dfrac{-7}{-12} = \dfrac{7}{12}.$
• $-\dfrac{2}{3} = \dfrac{-2}{3} = \dfrac{2}{-3}.$

1.4. Rút gọn phân số và Phân số tối giản

Mẹo hay

Rút gọn phân số: là thao tác chia cả tử và mẫu của phân số cho một ước chung lớn hơn $1$ (hoặc khác $1$ và $-1$) của chúng để nhận được phân số đơn giản hơn nhưng có giá trị bằng phân số ban đầu.

Phân số tối giản: Phân số $\dfrac{a}{b}$ được gọi là tối giản nếu tử và mẫu chỉ có ước chung là $1$ và $-1,$ nghĩa là:

$$\text{ƯCLN}(|a|, |b|) = 1.$$

Kỹ thuật rút gọn nhanh nhất chỉ trong 1 bước: Để đưa ngay phân số $\dfrac{a}{b}$ về phân số tối giản có mẫu dương:

1. Đưa dấu âm lên tử số nếu mẫu âm.
2. Tìm $\text{ƯCLN}(|a|, |b|).$
3. Chia cả tử và mẫu cho $\text{ƯCLN}$ vừa tìm được.

Ví dụ: Rút gọn phân số $\dfrac{36}{-84}$:

• Bước 1: Đưa về mẫu dương: $\dfrac{36}{-84} = \dfrac{-36}{84}.$
• Bước 2: Tìm $\text{ƯCLN}(36, 84)$: $36 = 2^2 \cdot 3^2;$ $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \implies \text{ƯCLN}(36, 84) = 2^2 \cdot 3 = 12.$
• Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $12$:$$\dfrac{-36}{84} = \dfrac{(-36) : 12}{84 : 12} = \dfrac{-3}{7}.$$Phân số $\dfrac{-3}{7}$ là phân số tối giản.

1.5. Sơ đồ tư duy tổng hợp kiến thức Bài 23

Dưới đây là sơ đồ cấu trúc toàn bộ nội dung Bài 23 giúp các em nắm trọn mạch logic:

2. Các dạng toán thường gặp và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết phân số — Điều kiện để một biểu thức là phân số

Phương pháp giải:

1. Một biểu thức $\dfrac{A}{B}$ là phân số khi và chỉ khi cả tử số $A$ và mẫu số $B$ đều là các số nguyên và mẫu số $B$ khác $0$ ($B \neq 0$).
2. Với bài toán chứa biến $n$: Tìm $n \in \mathbb{Z}$ để mẫu số khác $0$ (tức giải điều kiện $B(n) \neq 0$).

Ví dụ 1: Trong các cách viết sau, cách viết nào cho ta một phân số?

Lời giải:

• $\dfrac{-7}{15}$ là phân số vì $-7 \in \mathbb{Z},$ $15 \in \mathbb{Z}$ và $15 \neq 0.$
• $\dfrac{0}{11}$ là phân số vì $0 \in \mathbb{Z},$ $11 \in \mathbb{Z}$ và $11 \neq 0.$
• $\dfrac{-8}{0}$ không phải là phân số vì mẫu số bằng $0.$
• $\dfrac{4{,}2}{-9}$ không phải là phân số vì tử số $4{,}2$ không phải số nguyên.
• $\dfrac{16}{-5}$ là phân số vì $16 \in \mathbb{Z},$ $-5 \in \mathbb{Z}$ và $-5 \neq 0.$
• $\dfrac{-3}{-4}$ là phân số vì $-3, -4 \in \mathbb{Z}$ và $-4 \neq 0.$

Ví dụ 2: Cho biểu thức $A = \dfrac{7}{n - 3}$ với $n \in \mathbb{Z}.$ a) Tìm điều kiện của số nguyên $n$ để $A$ là một phân số. b) Tính giá trị của $A$ khi $n = 10;$ $n = -4;$ $n = 3.$

Lời giải: a) Để biểu thức $A = \dfrac{7}{n - 3}$ là một phân số thì mẫu số phải khác $0$:

Vậy với mọi số nguyên $n \neq 3$ thì $A$ là một phân số.

b) Thay các giá trị của $n$:

• Với $n = 10$: Mẫu số là $10 - 3 = 7 \neq 0,$ ta có $A = \dfrac{7}{7} = 1.$
• Với $n = -4$: Mẫu số là $-4 - 3 = -7 \neq 0,$ ta có $A = \dfrac{7}{-7} = -1.$
• Với $n = 3$: Mẫu số bằng $3 - 3 = 0,$ do đó tại $n = 3$ biểu thức $A$ không xác định (không có giá trị).

Dạng 2: Kiểm tra hai phân số bằng nhau — Lập phân số bằng nhau

Phương pháp giải:

1. Để kiểm tra $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ có bằng nhau không:
   • Tính tích $a \cdot d$ và tích $b \cdot c.$
   • Nếu $a \cdot d = b \cdot c$ thì $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}.$
   • Nếu $a \cdot d \neq b \cdot c$ thì $\dfrac{a}{b} \neq \dfrac{c}{d}.$
2. Từ đẳng thức tích $a \cdot d = b \cdot c$ ($a, b, c, d \neq 0$), ta có thể lập được $4$ cặp phân số bằng nhau:$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}; \qquad \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}; \qquad \dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a}; \qquad \dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}.$$

Ví dụ 3: Các cặp phân số sau có bằng nhau không? Vì sao? a) $\dfrac{-4}{9}$ và $\dfrac{12}{-27}.$ b) $\dfrac{-5}{8}$ và $\dfrac{15}{24}.$ c) $\dfrac{-7}{-10}$ và $\dfrac{21}{30}.$

Lời giải: a) Xét tích chéo: $(-4) \cdot (-27) = 108;$ $9 \cdot 12 = 108.$ Vì $(-4) \cdot (-27) = 9 \cdot 12 = 108$ nên $\dfrac{-4}{9} = \dfrac{12}{-27}.$

b) Xét tích chéo: $(-5) \cdot 24 = -120;$ $8 \cdot 15 = 120.$ Vì $-120 \neq 120$ nên $\dfrac{-5}{8} \neq \dfrac{15}{24}.$

c) Xét tích chéo: $(-7) \cdot 30 = -210;$ $(-10) \cdot 21 = -210.$ Vì $(-7) \cdot 30 = (-10) \cdot 21 = -210$ nên $\dfrac{-7}{-10} = \dfrac{21}{30}.$

Ví dụ 4: Từ đẳng thức $(-6) \cdot 20 = 15 \cdot (-8)$ (cùng bằng $-120$), hãy viết ra $4$ cặp phân số bằng nhau.

Lời giải: Bốn cặp phân số bằng nhau được tạo thành là:

1. $\dfrac{-6}{15} = \dfrac{-8}{20}.$
2. $\dfrac{-6}{-8} = \dfrac{15}{20}.$
3. $\dfrac{20}{15} = \dfrac{-8}{-6}.$
4. $\dfrac{20}{-8} = \dfrac{15}{-6}.$

Dạng 3: Tìm số nguyên $x$ chưa biết trong đẳng thức phân số

Phương pháp giải:

1. Áp dụng quy tắc tích chéo: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \implies a \cdot d = b \cdot c.$
2. Tìm thừa số chưa biết: $x = \dfrac{b \cdot c}{a}$ hoặc giải phương trình bậc nhất tìm $x.$
3. Lưu ý nhân chia số nguyên đúng dấu. Nếu xuất hiện $x^2 = k^2$ thì $x = k$ hoặc $x = -k.$

Ví dụ 5: Tìm số nguyên $x,$ biết: a) $\dfrac{x}{15} = \dfrac{-8}{20}.$ b) $\dfrac{-14}{x} = \dfrac{21}{-6}.$ c) $\dfrac{x - 2}{18} = \dfrac{-5}{30}.$ d) $\dfrac{x}{4} = \dfrac{25}{x}.$

Lời giải: a) Áp dụng quy tắc tích chéo:

Vậy $x = -6.$

b) Điều kiện: $x \neq 0.$ Áp dụng quy tắc tích chéo:

Vậy $x = 4.$

c) Áp dụng quy tắc tích chéo:

Vậy $x = -1.$

d) Điều kiện: $x \neq 0.$ Áp dụng tích chéo:

Vì $100 = 10^2 = (-10)^2$ nên $x = 10$ hoặc $x = -10.$ Vậy $x \in \{10; -10\}.$

Dạng 4: Rút gọn phân số về phân số tối giản có mẫu dương

Phương pháp giải:

1. Đưa dấu âm về tử số nếu mẫu âm: $\dfrac{a}{-b} = \dfrac{-a}{b}.$
2. Tìm $\text{ƯCLN}(|a|, |b|).$
3. Chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất đó.
4. Với phân số chứa phép tính lũy thừa hoặc nhân tử: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử chung rồi triệt tiêu.

Ví dụ 6: Rút gọn các phân số sau về phân số tối giản có mẫu dương: a) $\dfrac{-42}{70}.$ b) $\dfrac{54}{-90}.$ c) $\dfrac{-48}{-108}.$ d) $\dfrac{2^3 \cdot 5^2 - 2^3 \cdot 5}{2^4 \cdot 15}.$

Lời giải: a) Ta có $\text{ƯCLN}(42, 70) = 14.$ Chia cả tử và mẫu cho $14$:

b) Đưa dấu âm lên tử: $\dfrac{54}{-90} = \dfrac{-54}{90}.$ Ta có $\text{ƯCLN}(54, 90) = 18.$ Chia cả tử và mẫu cho $18$:

c) Chia cả tử và mẫu cho $-1$ để đưa về số dương: $\dfrac{-48}{-108} = \dfrac{48}{108}.$ Ta có $\text{ƯCLN}(48, 108) = 12.$ Chia cả tử và mẫu cho $12$:

d) Phân tích tử và mẫu thành tích các thừa số:

• Tử số: $$2^3 \cdot 5^2 - 2^3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5 \cdot (5 - 1) = 8 \cdot 5 \cdot 4 = 160.$$
• Mẫu số: $2^4 \cdot 15 = 16 \cdot 15 = 240.$ Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung:$$\dfrac{2^3 \cdot 5 \cdot 4}{2^4 \cdot 3 \cdot 5} = \dfrac{2^5 \cdot 5}{2^4 \cdot 3 \cdot 5} = \dfrac{2}{3}.$$

Dạng 5: Bài toán thực tế — Thiết lập phân số phần/toàn thể và rút gọn

Phương pháp giải:

1. Bước 1: Xác định đại lượng "toàn thể" (làm mẫu số) và "bộ phận được xét" (làm tử số).
2. Bước 2: Đưa cả hai đại lượng về cùng một đơn vị đo lường.
3. Bước 3: Lập phân số $\dfrac{\text{Bộ phận}}{\text{Toàn thể}}$ rồi rút gọn về phân số tối giản.

Ví dụ 7 (Thời gian): Một tiết học kéo dài $45$ phút. Thầy giáo giảng bài mới trong $20$ phút, thời gian còn lại dành cho học sinh thảo luận nhóm và làm bài tập. a) Thời gian giảng bài mới chiếm mấy phần của một tiết học? b) Thời gian học sinh thảo luận nhóm chiếm mấy phần của một giờ ($60$ phút)?

Lời giải: a) Toàn bộ tiết học là $45$ phút. Thời gian giảng bài mới là $20$ phút. Phân số chỉ thời gian giảng bài mới so với một tiết học là:

Như vậy, thời gian giảng bài mới chiếm $\dfrac{4}{9}$ tiết học.

b) Thời gian học sinh thảo luận nhóm là:

Một giờ có $60$ phút. Phân số chỉ thời gian thảo luận so với một giờ là:

Như vậy, thời gian thảo luận chiếm $\dfrac{5}{12}$ giờ.

Ví dụ 8 (Kinh tế gia đình): Thu nhập hằng tháng của gia đình bác Hưng là $24\,000\,000$ đồng. Trong tháng vừa qua, gia đình chi tiêu $9\,600\,000$ đồng cho tiền ăn uống, $4\,800\,000$ đồng cho tiền học phí của hai con, phần còn lại dành cho các chi phí khác và tiết kiệm. a) Số tiền ăn uống chiếm bao nhiêu phần tổng thu nhập? b) Số tiền dành cho chi phí khác và tiết kiệm chiếm bao nhiêu phần tổng thu nhập?

Lời giải: a) Số tiền ăn uống chiếm số phần tổng thu nhập là:

Như vậy, tiền ăn uống chiếm $\dfrac{2}{5}$ tổng thu nhập.

b) Tổng số tiền ăn uống và học phí là:

Số tiền dành cho chi phí khác và tiết kiệm là:

Phần tiền tiết kiệm và chi phí khác chiếm số phần tổng thu nhập là:

Như vậy, chi phí khác và tiết kiệm chiếm $\dfrac{2}{5}$ tổng thu nhập.

3. Chuyên đề nâng cao & Bồi dưỡng Học sinh giỏi

Chuyên đề 1: Tìm số nguyên $n$ để phân số nhận giá trị nguyên

Mẹo hay

Phương pháp cốt lõi: Để phân số $\dfrac{A(n)}{B(n)}$ nhận giá trị nguyên với $n \in \mathbb{Z}$:

1. Tách tử số theo mẫu số: $A(n) = k \cdot B(n) + r,$ trong đó $r$ là một số nguyên không chứa $n.$
2. Khi đó: $\dfrac{A(n)}{B(n)} = k + \dfrac{r}{B(n)}.$
3. Để biểu thức nguyên thì $\dfrac{r}{B(n)} \in \mathbb{Z} \iff B(n) \in \text{Ư}(r).$
4. Lập bảng xét từng ước số nguyên của $r$ để tìm $n.$

Bài toán HSG 1: Tìm tất cả các số nguyên $n$ để phân số sau nhận giá trị nguyên:

Lời giải chi tiết: Điều kiện xác định: $n + 1 \neq 0 \iff n \neq -1.$ Biến đổi tử số xuất hiện mẫu số $n + 1$:

Do đó:

Để $P$ nhận giá trị nguyên thì $\dfrac{5}{n + 1}$ phải là số nguyên, tức là $n + 1$ là ước của $5$:

Ta lập bảng giá trị:

Vậy các số nguyên $n$ thỏa mãn yêu cầu là $n \in \{-6; -2; 0; 4\}.$

Chuyên đề 2: Chứng minh phân số tối giản với mọi số tự nhiên $n$

Mẹo hay

Phương pháp chứng minh phân số $\dfrac{A(n)}{B(n)}$ tối giản:

1. Gọi $d = \text{ƯCLN}(A(n), B(n))$ ($d \in \mathbb{N}^*$).
2. Suy ra $A(n) \;\vdots\; d$ và $B(n) \;\vdots\; d.$
3. Nhân hệ số thích hợp vào hai biểu thức rồi trừ đi để triệt tiêu biến $n$: Tìm $p, q$ sao cho $p \cdot A(n) - q \cdot B(n) = C$ ($C$ là hằng số nguyên).
4. Suy ra $C \;\vdots\; d \implies d \in \text{Ư}(C).$
5. Nếu $C = 1$ hoặc $C = -1$ thì $d = 1,$ kết luận phân số luôn tối giản.

Bài toán HSG 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n,$ phân số sau luôn là phân số tối giản:

Lời giải chi tiết: Gọi $d = \text{ƯCLN}(3n + 2, 5n + 3)$ với $d \in \mathbb{N}^*.$ Theo định nghĩa ước chung lớn nhất, ta có:

Suy ra:

Do đó, hiệu của hai số cũng phải chia hết cho $d$:

Vì $d \in \mathbb{N}^*$ và $1 \;\vdots\; d$ nên bắt buộc $d = 1.$ Vì tử và mẫu có ước chung lớn nhất bằng $1$ nên phân số $Q = \dfrac{3n + 2}{5n + 3}$ luôn là phân số tối giản với mọi số tự nhiên $n.$ (Đpcm).

Chuyên đề 3: Bài toán tìm phân số khi thay đổi tử và mẫu

Bài toán HSG 3: Cho phân số $\dfrac{23}{38}.$ Tìm số tự nhiên $k$ sao cho khi thêm $k$ vào cả tử số và mẫu số của phân số đã cho thì ta được một phân số mới bằng $\dfrac{3}{4}.$

Lời giải chi tiết: Khi thêm số tự nhiên $k$ vào cả tử và mẫu, phân số mới là:

Theo đề bài, phân số mới bằng $\dfrac{3}{4},$ do đó ta có đẳng thức:

Áp dụng quy tắc tích chéo:

Chuyển vế đổi dấu:

Thử lại: $\dfrac{23 + 22}{38 + 22} = \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}$ (đúng hoàn toàn). Vậy số tự nhiên cần tìm là $k = 22.$

Chuyên đề 4: Tìm phân số tối giản thỏa mãn điều kiện lũy thừa / tích số

Bài toán HSG 4: Tìm phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$ ($a, b \in \mathbb{N}^*, b \neq 0$), biết rằng phân số này có giá trị bằng $\dfrac{4}{7}$ và tích của tử số và mẫu số là $700.$

Lời giải chi tiết: Vì phân số bằng $\dfrac{4}{7}$ nên ta có thể biểu diễn $a$ và $b$ theo cùng một tham số $k \in \mathbb{N}^*$:

Mặt khác, tích của tử số và mẫu số bằng $700$:

Vì $k \in \mathbb{N}^*$ nên $k = 5.$ Từ đó ta tính được:

Phân số cần tìm ban đầu có tử và mẫu là $20$ và $35.$ Đề bài yêu cầu tìm phân số tối giản, mà $\dfrac{20}{35}$ rút gọn chính là $\dfrac{4}{7}.$ Vậy phân số tối giản cần tìm là $\dfrac{4}{7}.$

Chuyên đề 5: Dãy phân số quy luật Fibonacci và tính nguyên tố cùng nhau

Bài toán HSG 5: Xét dãy các phân số sau:

a) Hãy phát hiện quy luật và viết tiếp hai phân số kế tiếp $u_6$ và $u_7.$ b) Chứng minh rằng tất cả các phân số trong dãy trên đều là phân số tối giản.

Lời giải chi tiết: a) Quan sát các số hạng của dãy:

• Tử số của $u_1, u_2, u_3, u_4, u_5$ lần lượt là: $1; 2; 3; 5; 8.$
• Mẫu số tương ứng là: $2; 3; 5; 8; 13.$ Nhận xét: Mẫu số của phân số đứng trước chính là tử số của phân số liền sau. Đồng thời, mẫu số của mỗi phân số bằng tổng của tử số và mẫu số của phân số liền trước nó (hoặc dãy các số $1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ chính là dãy số Fibonacci bắt đầu từ $F_2 = 1, F_3 = 2$). Cụ thể:
• Phân số $u_6$ có tử số là $13,$ mẫu số là $8 + 13 = 21,$ tức là $u_6 = \dfrac{13}{21}.$
• Phân số $u_7$ có tử số là $21,$ mẫu số là $13 + 21 = 34,$ tức là $u_7 = \dfrac{21}{34}.$

b) Ta chứng minh tổng quát: Nếu hai số liên tiếp trong dãy Fibonacci là $F_n$ và $F_{n+1}$ thì phân số $\dfrac{F_n}{F_{n+1}}$ luôn tối giản. Thật vậy, giả sử $d = \text{ƯCLN}(F_n, F_{n+1}).$ Vì theo quy luật hình thành dãy Fibonacci: $F_{n+1} = F_n + F_{n-1} \implies F_{n-1} = F_{n+1} - F_n.$ Do $F_{n+1} \;\vdots\; d$ và $F_n \;\vdots\; d$ nên hiệu của chúng cũng chia hết cho $d$:

Lặp lại liên tiếp quá trình này lùi về đầu dãy, ta suy ra:

Mà $F_1 = 1,$ do đó $1 \;\vdots\; d \implies d = 1.$ Vì $\text{ƯCLN}(F_n, F_{n+1}) = 1$ nên mọi phân số trong dãy đều là phân số tối giản.

4. Trắc nghiệm tương tác kiểm tra độ hiểu bài

5. Phiếu bài tập tự luyện và lời giải chi tiết

Phần 1: Mức độ Nhận biết — Thông hiểu

Bài 1: Trong các cách viết sau, cách viết nào là phân số? Chỉ rõ tử số và mẫu số của mỗi phân số:

Bài 2: Viết các số nguyên sau dưới dạng phân số có mẫu số bằng $1$:

Bài 3: Kiểm tra xem mỗi cặp phân số sau có bằng nhau hay không bằng quy tắc tích chéo: a) $\dfrac{5}{8}$ và $\dfrac{20}{32}.$ b) $\dfrac{-3}{7}$ và $\dfrac{9}{-21}.$ c) $\dfrac{-6}{11}$ và $\dfrac{18}{33}.$ d) $\dfrac{-8}{-10}$ và $\dfrac{12}{15}.$