Bài 25. Phép cộng và phép trừ phân số
Trong thực tế cuộc sống, chúng ta thường xuyên cần gộp các phần rời rạc lại với nhau hoặc tính toán phần còn lại sau khi đã sử dụng: Bác thợ mộc ghép hai thanh gỗ có chiều dài lần lượt là 3 4 m \dfrac{3}{4}\text{ m} 4 3 m 2 3 m \dfrac{2}{3}\text{ m} 3 2 m hay Một bể nước buổi sáng dùng hết 2 5 \dfrac{2}{5} 5 2 1 3 \dfrac{1}{3} 3 1
Để giải quyết những bài toán đó, chúng ta cần thực hiện phép cộng và phép trừ phân số . Khi mở rộng lên tập số nguyên, các phân số có thể mang dấu âm, vì vậy việc nắm vững quy tắc quy đồng, khái niệm số đối và các tính chất giao hoán, kết hợp sẽ giúp chúng ta tính toán chuẩn xác, linh hoạt và biến những biểu thức cồng kềnh trở nên vô cùng giản dị.
Bài học hôm nay sẽ giúp các em làm chủ trọn vẹn phép cộng, phép trừ phân số, các kỹ thuật tính nhanh và chinh phục các bài toán nâng cao học sinh giỏi với 100 % 100\% 100%
Khởi động — Ôn tập và Khám phá (5–7 phút)
Hãy cùng thử sức với 5 câu hỏi gợi mở sau:
Câu 1 (Tiểu học): Tính nhẩm: 3 8 + 4 8 \dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{8} 8 3 + 8 4 7 10 − 3 10 . \dfrac{7}{10} - \dfrac{3}{10}. 10 7 − 10 3 . Trả lời: Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân số cùng mẫu, ta cộng (hoặc trừ) các tử số và giữ nguyên mẫu số:
3 8 + 4 8 = 7 8 ; 7 10 − 3 10 = 4 10 = 2 5 . \dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{8} = \dfrac{7}{8}; \qquad \dfrac{7}{10} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}. 8 3 + 8 4 = 8 7 ; 10 7 − 10 3 = 10 4 = 5 2 . Câu 2 (Khác mẫu): Để tính 1 4 + 2 3 , \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}, 4 1 + 3 2 , Trả lời: Ta phải quy đồng mẫu số về mẫu chung là BCNN ( 4 , 3 ) = 12 \text{BCNN}(4, 3) = 12 BCNN ( 4 , 3 ) = 12
1 4 + 2 3 = 3 12 + 8 12 = 11 12 . \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{11}{12}. 4 1 + 3 2 = 12 3 + 12 8 = 12 11 . Câu 3 (Số nguyên có dấu): Tính nhanh các phép tính số nguyên:
a) ( − 8 ) + 5 (-8) + 5 ( − 8 ) + 5 7 − ( − 4 ) 7 - (-4) 7 − ( − 4 ) ( − 6 ) + ( − 9 ) (-6) + (-9) ( − 6 ) + ( − 9 ) Trả lời: a) − 3 ; -3; − 3 ; 7 + 4 = 11 ; 7 + 4 = 11; 7 + 4 = 11 ; − 15. -15. − 15.
Câu 4 (Khái niệm đối nhau): Số nguyên nào cộng với 5 5 5 0 0 0 3 7 \dfrac{3}{7} 7 3 0 0 0 Trả lời: Số đối của 5 5 5 − 5 -5 − 5 5 + ( − 5 ) = 0. 5 + (-5) = 0. 5 + ( − 5 ) = 0. 3 7 \dfrac{3}{7} 7 3 0 0 0 − 3 7 . \dfrac{-3}{7}. 7 − 3 .
Câu 5 (Phát hiện sai lầm): Bạn Bình tính: 1 2 + 1 3 = 1 + 1 2 + 3 = 2 5 . \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1 + 1}{2 + 3} = \dfrac{2}{5}. 2 1 + 3 1 = 2 + 3 1 + 1 = 5 2 . Trả lời: Hoàn toàn sai! Không bao giờ được cộng tử với tử, mẫu với mẫu. Nửa cái bánh (1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 1 3 \dfrac{1}{3} 3 1 2 5 < 1 2 \dfrac{2}{5} < \dfrac{1}{2} 5 2 < 2 1 3 6 + 2 6 = 5 6 . \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}. 6 3 + 6 2 = 6 5 .
1. Lý thuyết trọng tâm
1.1. Phép cộng hai phân số cùng mẫu
Quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu:
Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng các tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số :
a m + b m = a + b m ( m ≠ 0 ) . \dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{a + b}{m} \quad (m \neq 0). m a + m b = m a + b ( m = 0 ) . Ví dụ:
− 7 15 + 4 15 = − 7 + 4 15 = − 3 15 = − 1 5 . \dfrac{-7}{15} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{-7 + 4}{15} = \dfrac{-3}{15} = \dfrac{-1}{5}. 15 − 7 + 15 4 = 15 − 7 + 4 = 15 − 3 = 5 − 1 . − 5 12 + − 7 12 = − 5 + ( − 7 ) 12 = − 12 12 = − 1. \dfrac{-5}{12} + \dfrac{-7}{12} = \dfrac{-5 + (-7)}{12} = \dfrac{-12}{12} = -1. 12 − 5 + 12 − 7 = 12 − 5 + ( − 7 ) = 12 − 12 = − 1. Luôn nhớ rút gọn kết quả về phân số tối giản và đưa về mẫu số dương sau khi thực hiện phép tính!
1.2. Phép cộng hai phân số khác mẫu
Quy tắc cộng hai phân số khác mẫu:
Muốn cộng hai phân số có mẫu số khác nhau, ta thực hiện theo 3 bước:
Bước 1: Đưa các phân số về mẫu dương (nếu có mẫu âm) và rút gọn về tối giản (nếu chưa tối giản).Bước 2: Quy đồng mẫu số các phân số (tìm mẫu chung bằng BCNN \text{BCNN} BCNN Bước 3: Cộng các tử số và giữ nguyên mẫu chung, sau đó rút gọn kết quả.
Ví dụ: Tính − 3 8 + 5 12 \dfrac{-3}{8} + \dfrac{5}{12} 8 − 3 + 12 5
Tìm mẫu chung: BCNN ( 8 , 12 ) = 24. \text{BCNN}(8, 12) = 24. BCNN ( 8 , 12 ) = 24.
Thừa số phụ: 24 : 8 = 3 24 : 8 = 3 24 : 8 = 3 24 : 12 = 2. 24 : 12 = 2. 24 : 12 = 2.
Thực hiện cộng:− 3 8 + 5 12 = − 3 ⋅ 3 24 + 5 ⋅ 2 24 = − 9 24 + 10 24 = − 9 + 10 24 = 1 24 . \dfrac{-3}{8} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{-3 \cdot 3}{24} + \dfrac{5 \cdot 2}{24} = \dfrac{-9}{24} + \dfrac{10}{24} = \dfrac{-9 + 10}{24} = \dfrac{1}{24}. 8 − 3 + 12 5 = 24 − 3 ⋅ 3 + 24 5 ⋅ 2 = 24 − 9 + 24 10 = 24 − 9 + 10 = 24 1 .
1.3. Số đối của một phân số
Định nghĩa số đối:
Hai số được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. 0. 0. a b \dfrac{a}{b} b a − a b , -\dfrac{a}{b}, − b a ,
a b + ( − a b ) = 0. \dfrac{a}{b} + \left(-\dfrac{a}{b}\right) = 0. b a + ( − b a ) = 0. Quy tắc chuyển dấu của số đối:
Dấu trừ của phân số có thể đặt linh hoạt ở trước phân số, ở tử số hoặc ở mẫu số:
− a b = − a b = a − b . -\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b}. − b a = b − a = − b a .
Số đối của phân số 4 9 \dfrac{4}{9} 9 4 − 4 9 = − 4 9 . -\dfrac{4}{9} = \dfrac{-4}{9}. − 9 4 = 9 − 4 .
Số đối của phân số − 5 7 \dfrac{-5}{7} 7 − 5 − ( − 5 7 ) = 5 7 . -\left(\dfrac{-5}{7}\right) = \dfrac{5}{7}. − ( 7 − 5 ) = 7 5 .
Số đối của số 0 0 0 0 0 0
1.4. Phép trừ hai phân số
Quy tắc phép trừ phân số:
Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ :
a b − c d = a b + ( − c d ) . \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} + \left(-\dfrac{c}{d}\right). b a − d c = b a + ( − d c ) . Phép trừ cùng mẫu:
a m − b m = a − b m ( m ≠ 0 ) . \dfrac{a}{m} - \dfrac{b}{m} = \dfrac{a - b}{m} \quad (m \neq 0). m a − m b = m a − b ( m = 0 ) . Ví dụ:
Tính cùng mẫu:5 14 − 11 14 = 5 − 11 14 = − 6 14 = − 3 7 . \dfrac{5}{14} - \dfrac{11}{14} = \dfrac{5 - 11}{14} = \dfrac{-6}{14} = \dfrac{-3}{7}. 14 5 − 14 11 = 14 5 − 11 = 14 − 6 = 7 − 3 .
Tính khác mẫu: Tính − 2 5 − 3 10 \dfrac{-2}{5} - \dfrac{3}{10} 5 − 2 − 10 3 10. 10. 10. − 2 5 − 3 10 = − 4 10 − 3 10 = − 4 − 3 10 = − 7 10 . \dfrac{-2}{5} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{-4}{10} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{-4 - 3}{10} = \dfrac{-7}{10}. 5 − 2 − 10 3 = 10 − 4 − 10 3 = 10 − 4 − 3 = 10 − 7 .
1.5. Tính chất của phép cộng phân số và kỹ thuật tính nhanh
Phép cộng phân số trên tập số nguyên sở hữu đầy đủ các tính chất tương tự như phép cộng số nguyên:
Các tính chất cơ bản:
Giao hoán: a b + c d = c d + a b . \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} + \dfrac{a}{b}. b a + d c = d c + b a . Kết hợp: ( a b + c d ) + p q = a b + ( c d + p q ) . \left(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}\right) + \dfrac{p}{q} = \dfrac{a}{b} + \left(\dfrac{c}{d} + \dfrac{p}{q}\right). ( b a + d c ) + q p = b a + ( d c + q p ) . Cộng với số 0 0 0 a b + 0 = 0 + a b = a b . \dfrac{a}{b} + 0 = 0 + \dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}. b a + 0 = 0 + b a = b a . Cộng với số đối: a b + ( − a b ) = 0. \dfrac{a}{b} + \left(-\dfrac{a}{b}\right) = 0. b a + ( − b a ) = 0.
Quy tắc phá ngoặc đổi dấu:
Khi phá dấu ngoặc có dấu trừ đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các số hạng bên trong ngoặc:
− ( a b − c d ) = − a b + c d . -\left(\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d}\right) = -\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}. − ( b a − d c ) = − b a + d c . 1.6. Sơ đồ tư duy tổng kết Bài 25
CẤU TRÚC BÀI HỌC: PHÉP CỘNG & TRỪ PHÂN SỐ
1. Cùng mẫu số
• Cộng/trừ tử, giữ nguyên mẫua m ± b m = a ± b m \dfrac{a}{m} \pm \dfrac{b}{m} = \dfrac{a \pm b}{m} m a ± m b = m a ± b
2. Khác mẫu số
• Đưa về mẫu dươngBCNN \text{BCNN} BCNN
3. Số đối & Phép trừ
• Số đối của a b \dfrac{a}{b} b a − a b -\dfrac{a}{b} − b a a b − c d = a b + − c d \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} + \dfrac{-c}{d} b a − d c = b a + d − c
4. Tính chất tính nhanh
• Giao hoán & Kết hợp
2. Các dạng toán trọng tâm và phương pháp giải
Dạng 1: Thực hiện phép tính cộng, trừ phân số cơ bản
Phương pháp giải:
Đổi các phân số có mẫu âm về mẫu dương.
Rút gọn các phân số về tối giản nếu có thể.
Nếu cùng mẫu: cộng/trừ tử, giữ nguyên mẫu.
Nếu khác mẫu: tìm BCNN \text{BCNN} BCNN
Luôn rút gọn kết quả cuối cùng.
Ví dụ 1: Tính:
a) − 8 17 + 25 17 \dfrac{-8}{17} + \dfrac{25}{17} 17 − 8 + 17 25 5 18 − 7 − 18 \dfrac{5}{18} - \dfrac{7}{-18} 18 5 − − 18 7 − 3 10 + 7 15 \dfrac{-3}{10} + \dfrac{7}{15} 10 − 3 + 15 7 5 12 − 9 16 \dfrac{5}{12} - \dfrac{9}{16} 12 5 − 16 9
Lời giải:
a) Cùng mẫu số 17 17 17
− 8 17 + 25 17 = − 8 + 25 17 = 17 17 = 1. \dfrac{-8}{17} + \dfrac{25}{17} = \dfrac{-8 + 25}{17} = \dfrac{17}{17} = 1. 17 − 8 + 17 25 = 17 − 8 + 25 = 17 17 = 1. b) Đưa về mẫu dương: 7 − 18 = − 7 18 . \dfrac{7}{-18} = \dfrac{-7}{18}. − 18 7 = 18 − 7 .
5 18 − − 7 18 = 5 − ( − 7 ) 18 = 5 + 7 18 = 12 18 = 2 3 . \dfrac{5}{18} - \dfrac{-7}{18} = \dfrac{5 - (-7)}{18} = \dfrac{5 + 7}{18} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}. 18 5 − 18 − 7 = 18 5 − ( − 7 ) = 18 5 + 7 = 18 12 = 3 2 . c) Các mẫu là 10 10 10 15. 15. 15. BCNN ( 10 , 15 ) = 30. \text{BCNN}(10, 15) = 30. BCNN ( 10 , 15 ) = 30. 30 : 10 = 3 ; 30 : 10 = 3; 30 : 10 = 3 ; 30 : 15 = 2. 30 : 15 = 2. 30 : 15 = 2.
− 3 10 + 7 15 = − 3 ⋅ 3 30 + 7 ⋅ 2 30 = − 9 + 14 30 = 5 30 = 1 6 . \dfrac{-3}{10} + \dfrac{7}{15} = \dfrac{-3 \cdot 3}{30} + \dfrac{7 \cdot 2}{30} = \dfrac{-9 + 14}{30} = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}. 10 − 3 + 15 7 = 30 − 3 ⋅ 3 + 30 7 ⋅ 2 = 30 − 9 + 14 = 30 5 = 6 1 . d) Các mẫu là 12 12 12 16. 16. 16. BCNN ( 12 , 16 ) = 48. \text{BCNN}(12, 16) = 48. BCNN ( 12 , 16 ) = 48. 48 : 12 = 4 ; 48 : 12 = 4; 48 : 12 = 4 ; 48 : 16 = 3. 48 : 16 = 3. 48 : 16 = 3.
5 12 − 9 16 = 5 ⋅ 4 48 − 9 ⋅ 3 48 = 20 − 27 48 = − 7 48 . \dfrac{5}{12} - \dfrac{9}{16} = \dfrac{5 \cdot 4}{48} - \dfrac{9 \cdot 3}{48} = \dfrac{20 - 27}{48} = \dfrac{-7}{48}. 12 5 − 16 9 = 48 5 ⋅ 4 − 48 9 ⋅ 3 = 48 20 − 27 = 48 − 7 . Dạng 2: Tính giá trị biểu thức bằng cách hợp lí (Tính nhanh)
Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp để nhóm các phân số có cùng mẫu số hoặc tổng/hiệu là số nguyên.
Áp dụng quy tắc dấu ngoặc để bỏ ngoặc hoặc nhóm số hạng thuận tiện.
Ví dụ 2: Tính bằng cách hợp lí:
a) A = 7 19 + 4 13 + 12 19 + − 17 13 A = \dfrac{7}{19} + \dfrac{4}{13} + \dfrac{12}{19} + \dfrac{-17}{13} A = 19 7 + 13 4 + 19 12 + 13 − 17 B = 3 7 − ( 5 9 − 4 7 ) B = \dfrac{3}{7} - \left(\dfrac{5}{9} - \dfrac{4}{7}\right) B = 7 3 − ( 9 5 − 7 4 ) C = ( 1 3 − 5 8 ) + ( 5 8 − 4 3 ) C = \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{8}\right) + \left(\dfrac{5}{8} - \dfrac{4}{3}\right) C = ( 3 1 − 8 5 ) + ( 8 5 − 3 4 )
Lời giải:
a) Nhóm các phân số có cùng mẫu số:
A = ( 7 19 + 12 19 ) + ( 4 13 + − 17 13 ) A = \left(\dfrac{7}{19} + \dfrac{12}{19}\right) + \left(\dfrac{4}{13} + \dfrac{-17}{13}\right) A = ( 19 7 + 19 12 ) + ( 13 4 + 13 − 17 ) A = 19 19 + 4 + ( − 17 ) 13 = 1 + − 13 13 = 1 + ( − 1 ) = 0. A = \dfrac{19}{19} + \dfrac{4 + (-17)}{13} = 1 + \dfrac{-13}{13} = 1 + (-1) = 0. A = 19 19 + 13 4 + ( − 17 ) = 1 + 13 − 13 = 1 + ( − 1 ) = 0. b) Áp dụng quy tắc phá dấu ngoặc:
B = 3 7 − 5 9 + 4 7 B = \dfrac{3}{7} - \dfrac{5}{9} + \dfrac{4}{7} B = 7 3 − 9 5 + 7 4 B = ( 3 7 + 4 7 ) − 5 9 = 7 7 − 5 9 = 1 − 5 9 = 9 9 − 5 9 = 4 9 . B = \left(\dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{7}\right) - \dfrac{5}{9} = \dfrac{7}{7} - \dfrac{5}{9} = 1 - \dfrac{5}{9} = \dfrac{9}{9} - \dfrac{5}{9} = \dfrac{4}{9}. B = ( 7 3 + 7 4 ) − 9 5 = 7 7 − 9 5 = 1 − 9 5 = 9 9 − 9 5 = 9 4 . c) Phá ngoặc và nhóm các cặp số đối nhau:
C = 1 3 − 5 8 + 5 8 − 4 3 C = \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{8} + \dfrac{5}{8} - \dfrac{4}{3} C = 3 1 − 8 5 + 8 5 − 3 4 C = ( 1 3 − 4 3 ) + ( − 5 8 + 5 8 ) C = \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{4}{3}\right) + \left(-\dfrac{5}{8} + \dfrac{5}{8}\right) C = ( 3 1 − 3 4 ) + ( − 8 5 + 8 5 ) C = − 3 3 + 0 = − 1 + 0 = − 1. C = \dfrac{-3}{3} + 0 = -1 + 0 = -1. C = 3 − 3 + 0 = − 1 + 0 = − 1. Dạng 3: Tìm số chưa biết x x x
Phương pháp giải:
Xác định vai trò của x x x
Nếu x x x x x x
Nếu x x x x x x
Nếu x x x x x x
Hoặc áp dụng Quy tắc chuyển vế : Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó:x + a = b ⟹ x = b − a ; x − a = b ⟹ x = b + a . x + a = b \implies x = b - a; \qquad x - a = b \implies x = b + a. x + a = b ⟹ x = b − a ; x − a = b ⟹ x = b + a.
Ví dụ 3: Tìm số nguyên x x x x , x, x , x − 3 8 = − 5 12 x - \dfrac{3}{8} = \dfrac{-5}{12} x − 8 3 = 12 − 5 7 15 − x = 2 5 \dfrac{7}{15} - x = \dfrac{2}{5} 15 7 − x = 5 2 x + 4 9 = − 1 6 + 5 18 x + \dfrac{4}{9} = \dfrac{-1}{6} + \dfrac{5}{18} x + 9 4 = 6 − 1 + 18 5
Lời giải:
a) Chuyển vế − 3 8 -\dfrac{3}{8} − 8 3 + 3 8 +\dfrac{3}{8} + 8 3
x = − 5 12 + 3 8 x = \dfrac{-5}{12} + \dfrac{3}{8} x = 12 − 5 + 8 3 Mẫu chung BCNN ( 12 , 8 ) = 24 \text{BCNN}(12, 8) = 24 BCNN ( 12 , 8 ) = 24
x = − 10 24 + 9 24 = − 1 24 . x = \dfrac{-10}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{-1}{24}. x = 24 − 10 + 24 9 = 24 − 1 . Vậy x = − 1 24 . x = \dfrac{-1}{24}. x = 24 − 1 .
b) Chuyển vế:
x = 7 15 − 2 5 x = \dfrac{7}{15} - \dfrac{2}{5} x = 15 7 − 5 2 Mẫu chung là 15 15 15
x = 7 15 − 6 15 = 1 15 . x = \dfrac{7}{15} - \dfrac{6}{15} = \dfrac{1}{15}. x = 15 7 − 15 6 = 15 1 . Vậy x = 1 15 . x = \dfrac{1}{15}. x = 15 1 .
c) Thu gọn vế phải trước:
− 1 6 + 5 18 = − 3 18 + 5 18 = 2 18 = 1 9 . \dfrac{-1}{6} + \dfrac{5}{18} = \dfrac{-3}{18} + \dfrac{5}{18} = \dfrac{2}{18} = \dfrac{1}{9}. 6 − 1 + 18 5 = 18 − 3 + 18 5 = 18 2 = 9 1 . Phương trình trở thành:
x + 4 9 = 1 9 x + \dfrac{4}{9} = \dfrac{1}{9} x + 9 4 = 9 1 x = 1 9 − 4 9 = − 3 9 = − 1 3 . x = \dfrac{1}{9} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{-3}{9} = \dfrac{-1}{3}. x = 9 1 − 9 4 = 9 − 3 = 3 − 1 . Vậy x = − 1 3 . x = \dfrac{-1}{3}. x = 3 − 1 .
Dạng 4: Bài toán thực tế về tổng và hiệu phân số
Phương pháp giải:
Coi toàn thể công việc, cả quãng đường, hoặc toàn bộ khối lượng/thu nhập là đơn vị 1. 1. 1.
Thiết lập phép cộng hoặc phép trừ các phân số theo yêu cầu bài toán.
Rút gọn kết quả và trả lời kèm đơn vị.
Ví dụ 4: Ba vòi nước cùng chảy vào một bể cạn. Vòi thứ nhất trong 1 1 1 1 4 \dfrac{1}{4} 4 1 1 1 1 1 3 \dfrac{1}{3} 3 1 1 1 1 1 6 \dfrac{1}{6} 6 1 1 1 1 1 1 1
Lời giải:
a) Trong 1 1 1
1 4 + 1 3 + 1 6 \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} 4 1 + 3 1 + 6 1 Mẫu chung BCNN ( 4 , 3 , 6 ) = 12. \text{BCNN}(4, 3, 6) = 12. BCNN ( 4 , 3 , 6 ) = 12.
1 4 + 1 3 + 1 6 = 3 12 + 4 12 + 2 12 = 3 + 4 + 2 12 = 9 12 = 3 4 (bể) . \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{3 + 4 + 2}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\text{ (bể)}. 4 1 + 3 1 + 6 1 = 12 3 + 12 4 + 12 2 = 12 3 + 4 + 2 = 12 9 = 4 3 (bể) . b) Coi dung tích cả bể là 1. 1. 1. 1 1 1
1 − 3 4 = 4 4 − 3 4 = 1 4 (bể) . 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\text{ (bể)}. 1 − 4 3 = 4 4 − 4 3 = 4 1 (bể) . Vậy sau 1 1 1 3 4 \dfrac{3}{4} 4 3 1 4 \dfrac{1}{4} 4 1
3. Chuyên đề nâng cao & Bồi dưỡng Học sinh giỏi
Chuyên đề 1: Tính tổng dãy phân số viết theo quy luật vi phân (Telescoping sum)
Công thức vi phân cơ bản 1:
Với mọi số tự nhiên n ⩾ 1 n \ge 1 n ⩾ 1
1 n ( n + 1 ) = 1 n − 1 n + 1 . \dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}. n ( n + 1 ) 1 = n 1 − n + 1 1 . Chứng minh: 1 n − 1 n + 1 = n + 1 − n n ( n + 1 ) = 1 n ( n + 1 ) . \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1} = \dfrac{n + 1 - n}{n(n + 1)} = \dfrac{1}{n(n + 1)}. n 1 − n + 1 1 = n ( n + 1 ) n + 1 − n = n ( n + 1 ) 1 .
Bài toán HSG 1: Tính tổng:
S = 1 1 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 4 + ⋯ + 1 99 ⋅ 100 . S = \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \dfrac{1}{99 \cdot 100}. S = 1 ⋅ 2 1 + 2 ⋅ 3 1 + 3 ⋅ 4 1 + ⋯ + 99 ⋅ 100 1 . Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức vi phân tách từng số hạng:
S = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + ⋯ + ( 1 99 − 1 100 ) . S = \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + \dots + \left(\dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{100}\right). S = ( 1 − 2 1 ) + ( 2 1 − 3 1 ) + ( 3 1 − 4 1 ) + ⋯ + ( 99 1 − 100 1 ) . Ta thấy tất cả các số hạng ở giữa đều triệt tiêu lẫn nhau:
S = 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + 1 3 − ⋯ − 1 99 + 1 99 − 1 100 S = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dots - \dfrac{1}{99} + \dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{100} S = 1 − 2 1 + 2 1 − 3 1 + 3 1 − ⋯ − 99 1 + 99 1 − 100 1 S = 1 − 1 100 = 99 100 . S = 1 - \dfrac{1}{100} = \dfrac{99}{100}. S = 1 − 100 1 = 100 99 . Chuyên đề 2: Tính tổng phân số có khoảng cách mẫu là số k k k
Công thức vi phân tổng quát 2:
Với k ∈ N ∗ k \in \mathbb{N}^* k ∈ N ∗ k k k
k n ( n + k ) = 1 n − 1 n + k ⟹ 1 n ( n + k ) = 1 k ( 1 n − 1 n + k ) . \dfrac{k}{n(n + k)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + k} \implies \dfrac{1}{n(n + k)} = \dfrac{1}{k} \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + k}\right). ⟹ n ( n + k ) k = n 1 − n + k 1 n ( n + k ) 1 = k 1 ( n 1 − n + k 1 ) . Bài toán HSG 2: Tính tổng:
M = 3 2 ⋅ 5 + 3 5 ⋅ 8 + 3 8 ⋅ 11 + ⋯ + 3 29 ⋅ 32 . M = \dfrac{3}{2 \cdot 5} + \dfrac{3}{5 \cdot 8} + \dfrac{3}{8 \cdot 11} + \dots + \dfrac{3}{29 \cdot 32}. M = 2 ⋅ 5 3 + 5 ⋅ 8 3 + 8 ⋅ 11 3 + ⋯ + 29 ⋅ 32 3 . Lời giải chi tiết:
Nhận xét: Mỗi mẫu số là tích của hai số cách nhau đúng 3 3 3 5 − 2 = 3 ; 8 − 5 = 3 ; … 5 - 2 = 3; 8 - 5 = 3; \dots 5 − 2 = 3 ; 8 − 5 = 3 ; … 3. 3. 3. 3 n ( n + 3 ) = 1 n − 1 n + 3 . \dfrac{3}{n(n + 3)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 3}. n ( n + 3 ) 3 = n 1 − n + 3 1 .
M = ( 1 2 − 1 5 ) + ( 1 5 − 1 8 ) + ( 1 8 − 1 11 ) + ⋯ + ( 1 29 − 1 32 ) . M = \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5}\right) + \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{8}\right) + \left(\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{11}\right) + \dots + \left(\dfrac{1}{29} - \dfrac{1}{32}\right). M = ( 2 1 − 5 1 ) + ( 5 1 − 8 1 ) + ( 8 1 − 11 1 ) + ⋯ + ( 29 1 − 32 1 ) . Triệt tiêu liên tiếp các số hạng đối nhau:
M = 1 2 − 1 32 = 16 32 − 1 32 = 15 32 . M = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{16}{32} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{15}{32}. M = 2 1 − 32 1 = 32 16 − 32 1 = 32 15 . Chuyên đề 3: Phân tích một phân số thành tổng các phân số Ai Cập
Phân số Ai Cập là phân số có tử số bằng 1 1 1 1 n \dfrac{1}{n} n 1
Bài toán HSG 3: Viết phân số 7 12 \dfrac{7}{12} 12 7 1 1 1
Lời giải chi tiết:
Ta tìm cách tách tử số 7 7 7 12. 12. 12. 12 12 12 Ư ( 12 ) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 } . \text{Ư}(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}. Ư ( 12 ) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 } . 7 7 7
7 = 3 + 4 hoặc 7 = 1 + 6. 7 = 3 + 4 \quad \text{hoặc} \quad 7 = 1 + 6. 7 = 3 + 4 hoặc 7 = 1 + 6.
Cách 1: Tách 7 = 3 + 4 7 = 3 + 4 7 = 3 + 4 7 12 = 3 + 4 12 = 3 12 + 4 12 = 1 4 + 1 3 . \dfrac{7}{12} = \dfrac{3 + 4}{12} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}. 12 7 = 12 3 + 4 = 12 3 + 12 4 = 4 1 + 3 1 .
Cách 2: Tách 7 = 1 + 6 7 = 1 + 6 7 = 1 + 6 7 12 = 1 + 6 12 = 1 12 + 6 12 = 1 12 + 1 2 . \dfrac{7}{12} = \dfrac{1 + 6}{12} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{2}. 12 7 = 12 1 + 6 = 12 1 + 12 6 = 12 1 + 2 1 .
Chuyên đề 4: Đẳng thức chuỗi phân số đan dấu
Bài toán HSG 4: Chứng minh đẳng thức đẹp sau:
1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ + 1 19 − 1 20 = 1 11 + 1 12 + 1 13 + ⋯ + 1 20 . 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{19} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{13} + \dots + \dfrac{1}{20}. 1 − 2 1 + 3 1 − 4 1 + ⋯ + 19 1 − 20 1 = 11 1 + 12 1 + 13 1 + ⋯ + 20 1 . Lời giải chi tiết:
Gọi vế trái là V T VT VT
V T = ( 1 + 1 3 + 1 5 + ⋯ + 1 19 ) − ( 1 2 + 1 4 + 1 6 + ⋯ + 1 20 ) . VT = \left(1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + \dots + \dfrac{1}{19}\right) - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dots + \dfrac{1}{20}\right). VT = ( 1 + 3 1 + 5 1 + ⋯ + 19 1 ) − ( 2 1 + 4 1 + 6 1 + ⋯ + 20 1 ) . Thêm và bớt cùng một lượng ( 1 2 + 1 4 + 1 6 + ⋯ + 1 20 ) \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dots + \dfrac{1}{20}\right) ( 2 1 + 4 1 + 6 1 + ⋯ + 20 1 )
V T = ( 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 20 ) − 2 ⋅ ( 1 2 + 1 4 + ⋯ + 1 20 ) . VT = \left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{20}\right) - 2 \cdot \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{20}\right). VT = ( 1 + 2 1 + 3 1 + ⋯ + 20 1 ) − 2 ⋅ ( 2 1 + 4 1 + ⋯ + 20 1 ) . Nhân 2 2 2
2 ⋅ 1 2 k = 2 2 k = 1 k . 2 \cdot \dfrac{1}{2k} = \dfrac{2}{2k} = \dfrac{1}{k}. 2 ⋅ 2k 1 = 2k 2 = k 1 . Do đó:
2 ⋅ ( 1 2 + 1 4 + ⋯ + 1 20 ) = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 10 . 2 \cdot \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{20}\right) = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{10}. 2 ⋅ ( 2 1 + 4 1 + ⋯ + 20 1 ) = 1 + 2 1 + 3 1 + ⋯ + 10 1 . Thay lại vào biểu thức của V T VT VT
V T = ( 1 + 1 2 + ⋯ + 1 10 + 1 11 + ⋯ + 1 20 ) − ( 1 + 1 2 + ⋯ + 1 10 ) VT = \left(1 + \dfrac{1}{2} + \dots + \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{11} + \dots + \dfrac{1}{20}\right) - \left(1 + \dfrac{1}{2} + \dots + \dfrac{1}{10}\right) VT = ( 1 + 2 1 + ⋯ + 10 1 + 11 1 + ⋯ + 20 1 ) − ( 1 + 2 1 + ⋯ + 10 1 ) V T = 1 11 + 1 12 + 1 13 + ⋯ + 1 20 = V P . VT = \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{13} + \dots + \dfrac{1}{20} = VP. VT = 11 1 + 12 1 + 13 1 + ⋯ + 20 1 = VP. Đẳng thức đã được chứng minh hoàn toàn!
Chuyên đề 5: Chứng minh bất đẳng thức tổng phân số
Bài toán HSG 5: Cho tổng A = 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ + 1 100 2 . A = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + \dots + \dfrac{1}{100^2}. A = 2 2 1 + 3 2 1 + 4 2 1 + ⋯ + 10 0 2 1 .
A < 1. A < 1. A < 1. Lời giải chi tiết:
Nhận xét: Với mọi số tự nhiên n ⩾ 2 , n \ge 2, n ⩾ 2 ,
n 2 > n ( n − 1 ) ⟹ 1 n 2 < 1 ( n − 1 ) n . n^2 > n(n - 1) \implies \dfrac{1}{n^2} < \dfrac{1}{(n - 1)n}. n 2 > n ( n − 1 ) ⟹ n 2 1 < ( n − 1 ) n 1 . Áp dụng cho từng số hạng của tổng A A A
1 2 2 < 1 1 ⋅ 2 = 1 − 1 2 \dfrac{1}{2^2} < \dfrac{1}{1 \cdot 2} = 1 - \dfrac{1}{2} 2 2 1 < 1 ⋅ 2 1 = 1 − 2 1 1 3 2 < 1 2 ⋅ 3 = 1 2 − 1 3 \dfrac{1}{3^2} < \dfrac{1}{2 \cdot 3} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} 3 2 1 < 2 ⋅ 3 1 = 2 1 − 3 1 1 4 2 < 1 3 ⋅ 4 = 1 3 − 1 4 \dfrac{1}{4^2} < \dfrac{1}{3 \cdot 4} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} 4 2 1 < 3 ⋅ 4 1 = 3 1 − 4 1 … \dots … 1 100 2 < 1 99 ⋅ 100 = 1 99 − 1 100 . \dfrac{1}{100^2} < \dfrac{1}{99 \cdot 100} = \dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{100}. 10 0 2 1 < 99 ⋅ 100 1 = 99 1 − 100 1 . Cộng vế theo vế tất cả các bất đẳng thức trên:
A < ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ⋯ + ( 1 99 − 1 100 ) A < \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \dots + \left(\dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{100}\right) A < ( 1 − 2 1 ) + ( 2 1 − 3 1 ) + ⋯ + ( 99 1 − 100 1 ) A < 1 − 1 100 = 99 100 . A < 1 - \dfrac{1}{100} = \dfrac{99}{100}. A < 1 − 100 1 = 100 99 . Vì 99 100 < 1 \dfrac{99}{100} < 1 100 99 < 1
A < 1. A < 1. A < 1. Như vậy, ta có điều phải chứng minh.
4. Trắc nghiệm tương tác kiểm tra độ hiểu bài
5. Phiếu bài tập tự luyện và lời giải chi tiết
Phần 1: Mức độ Nhận biết — Thông hiểu
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau (cùng mẫu số):
a) − 7 13 + 5 13 \dfrac{-7}{13} + \dfrac{5}{13} 13 − 7 + 13 5 11 24 − 17 24 \dfrac{11}{24} - \dfrac{17}{24} 24 11 − 24 17 − 8 15 − − 11 15 \dfrac{-8}{15} - \dfrac{-11}{15} 15 − 8 − 15 − 11 19 − 30 + 11 30 \dfrac{19}{-30} + \dfrac{11}{30} − 30 19 + 30 11
Bài 2: Viết số đối của các số sau:
3 8 ; − 5 14 ; 9 − 20 ; 0 ; − 4. \dfrac{3}{8}; \quad \dfrac{-5}{14}; \quad \dfrac{9}{-20}; \quad 0; \quad -4. 8 3 ; 14 − 5 ; − 20 9 ; 0 ; − 4. Bài 3: Thực hiện các phép tính sau (khác mẫu số):
a) − 3 8 + 5 12 \dfrac{-3}{8} + \dfrac{5}{12} 8 − 3 + 12 5 7 15 − − 2 5 \dfrac{7}{15} - \dfrac{-2}{5} 15 7 − 5 − 2 − 5 9 − 7 12 \dfrac{-5}{9} - \dfrac{7}{12} 9 − 5 − 12 7 4 25 + 3 − 20 \dfrac{4}{25} + \dfrac{3}{-20} 25 4 + − 20 3
Bài 4: Tính nhanh các biểu thức sau:
a) A = 5 11 + − 3 8 + 6 11 + − 5 8 A = \dfrac{5}{11} + \dfrac{-3}{8} + \dfrac{6}{11} + \dfrac{-5}{8} A = 11 5 + 8 − 3 + 11 6 + 8 − 5 B = 4 15 − ( 7 12 − 11 15 ) B = \dfrac{4}{15} - \left(\dfrac{7}{12} - \dfrac{11}{15}\right) B = 15 4 − ( 12 7 − 15 11 )
Phần 2: Mức độ Vận dụng
Bài 5: Tìm số chưa biết x , x, x , x − 5 9 = − 2 3 x - \dfrac{5}{9} = \dfrac{-2}{3} x − 9 5 = 3 − 2 − 7 12 − x = 3 8 \dfrac{-7}{12} - x = \dfrac{3}{8} 12 − 7 − x = 8 3 x + 5 14 = 2 7 − 1 2 x + \dfrac{5}{14} = \dfrac{2}{7} - \dfrac{1}{2} x + 14 5 = 7 2 − 2 1 11 18 − ( x + 1 6 ) = 2 9 \dfrac{11}{18} - \left(x + \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{2}{9} 18 11 − ( x + 6 1 ) = 9 2
Bài 6: Tính hợp lí giá trị các biểu thức:
P = ( 13 21 + 4 9 ) − ( 8 21 − 5 9 ) P = \left(\dfrac{13}{21} + \dfrac{4}{9}\right) - \left(\dfrac{8}{21} - \dfrac{5}{9}\right) P = ( 21 13 + 9 4 ) − ( 21 8 − 9 5 ) Q = − 5 17 + 3 8 + − 12 17 + 5 8 + 7 19 Q = \dfrac{-5}{17} + \dfrac{3}{8} + \dfrac{-12}{17} + \dfrac{5}{8} + \dfrac{7}{19} Q = 17 − 5 + 8 3 + 17 − 12 + 8 5 + 19 7 Bài 7 (Bài toán quãng đường): Một người đi xe đạp trong 3 3 3 1 3 \dfrac{1}{3} 3 1 2 5 \dfrac{2}{5} 5 2
Bài 8 (Bài toán tài chính): Hùng được mẹ cho một khoản tiền để mua đồ dùng học tập. Hùng dùng 1 4 \dfrac{1}{4} 4 1 2 5 \dfrac{2}{5} 5 2
Phần 3: Mức độ Vận dụng cao & Học sinh giỏi
Bài 9: Tính tổng:
S = 1 1 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 5 + 1 5 ⋅ 7 + ⋯ + 1 49 ⋅ 51 . S = \dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \dfrac{1}{49 \cdot 51}. S = 1 ⋅ 3 1 + 3 ⋅ 5 1 + 5 ⋅ 7 1 + ⋯ + 49 ⋅ 51 1 . Bài 10: Tính nhanh giá trị của biểu thức:
A = 1 2 + 1 6 + 1 12 + 1 20 + 1 30 + 1 42 + 1 56 + 1 72 + 1 90 . A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{42} + \dfrac{1}{56} + \dfrac{1}{72} + \dfrac{1}{90}. A = 2 1 + 6 1 + 12 1 + 20 1 + 30 1 + 42 1 + 56 1 + 72 1 + 90 1 . Bài 11: Phân tích phân số 8 15 \dfrac{8}{15} 15 8 1 1 1
Bài 12: Cho biểu thức:
B = 1 3 + 1 3 2 + 1 3 3 + ⋯ + 1 3 100 . B = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + \dots + \dfrac{1}{3^{100}}. B = 3 1 + 3 2 1 + 3 3 1 + ⋯ + 3 100 1 . Chứng minh rằng B < 1 2 . B < \dfrac{1}{2}. B < 2 1 .
Lời giải chi tiết phiếu bài tập tự luyện
Lời giải Bài 1:
a) − 7 + 5 13 = − 2 13 . \dfrac{-7 + 5}{13} = \dfrac{-2}{13}. 13 − 7 + 5 = 13 − 2 . 11 − 17 24 = − 6 24 = − 1 4 . \dfrac{11 - 17}{24} = \dfrac{-6}{24} = \dfrac{-1}{4}. 24 11 − 17 = 24 − 6 = 4 − 1 . − 8 − ( − 11 ) 15 = − 8 + 11 15 = 3 15 = 1 5 . \dfrac{-8 - (-11)}{15} = \dfrac{-8 + 11}{15} = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}. 15 − 8 − ( − 11 ) = 15 − 8 + 11 = 15 3 = 5 1 . 19 − 30 + 11 30 = − 19 30 + 11 30 = − 19 + 11 30 = − 8 30 = − 4 15 . \dfrac{19}{-30} + \dfrac{11}{30} = \dfrac{-19}{30} + \dfrac{11}{30} = \dfrac{-19 + 11}{30} = \dfrac{-8}{30} = \dfrac{-4}{15}. − 30 19 + 30 11 = 30 − 19 + 30 11 = 30 − 19 + 11 = 30 − 8 = 15 − 4 .
Lời giải Bài 2:
Số đối của 3 8 \dfrac{3}{8} 8 3 − 3 8 . \dfrac{-3}{8}. 8 − 3 .
Số đối của − 5 14 \dfrac{-5}{14} 14 − 5 5 14 . \dfrac{5}{14}. 14 5 .
Số đối của 9 − 20 \dfrac{9}{-20} − 20 9 9 20 . \dfrac{9}{20}. 20 9 .
Số đối của 0 0 0 0. 0. 0.
Số đối của − 4 -4 − 4 4. 4. 4.
Lời giải Bài 3:
a) BCNN ( 8 , 12 ) = 24 \text{BCNN}(8, 12) = 24 BCNN ( 8 , 12 ) = 24
− 3 8 + 5 12 = − 9 24 + 10 24 = 1 24 . \dfrac{-3}{8} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{-9}{24} + \dfrac{10}{24} = \dfrac{1}{24}. 8 − 3 + 12 5 = 24 − 9 + 24 10 = 24 1 . b) BCNN ( 15 , 5 ) = 15 \text{BCNN}(15, 5) = 15 BCNN ( 15 , 5 ) = 15
7 15 − − 2 5 = 7 15 + 6 15 = 13 15 . \dfrac{7}{15} - \dfrac{-2}{5} = \dfrac{7}{15} + \dfrac{6}{15} = \dfrac{13}{15}. 15 7 − 5 − 2 = 15 7 + 15 6 = 15 13 . c) BCNN ( 9 , 12 ) = 36 \text{BCNN}(9, 12) = 36 BCNN ( 9 , 12 ) = 36
− 5 9 − 7 12 = − 20 36 − 21 36 = − 41 36 . \dfrac{-5}{9} - \dfrac{7}{12} = \dfrac{-20}{36} - \dfrac{21}{36} = \dfrac{-41}{36}. 9 − 5 − 12 7 = 36 − 20 − 36 21 = 36 − 41 . d) BCNN ( 25 , 20 ) = 100 \text{BCNN}(25, 20) = 100 BCNN ( 25 , 20 ) = 100
4 25 + − 3 20 = 16 100 + − 15 100 = 1 100 . \dfrac{4}{25} + \dfrac{-3}{20} = \dfrac{16}{100} + \dfrac{-15}{100} = \dfrac{1}{100}. 25 4 + 20 − 3 = 100 16 + 100 − 15 = 100 1 . Lời giải Bài 4:
a) Nhóm cùng mẫu số:
A = ( 5 11 + 6 11 ) + ( − 3 8 + − 5 8 ) = 11 11 + − 8 8 = 1 + ( − 1 ) = 0. A = \left(\dfrac{5}{11} + \dfrac{6}{11}\right) + \left(\dfrac{-3}{8} + \dfrac{-5}{8}\right) = \dfrac{11}{11} + \dfrac{-8}{8} = 1 + (-1) = 0. A = ( 11 5 + 11 6 ) + ( 8 − 3 + 8 − 5 ) = 11 11 + 8 − 8 = 1 + ( − 1 ) = 0. b) Phá ngoặc và nhóm:
B = 4 15 − 7 12 + 11 15 = ( 4 15 + 11 15 ) − 7 12 = 15 15 − 7 12 = 1 − 7 12 = 5 12 . B = \dfrac{4}{15} - \dfrac{7}{12} + \dfrac{11}{15} = \left(\dfrac{4}{15} + \dfrac{11}{15}\right) - \dfrac{7}{12} = \dfrac{15}{15} - \dfrac{7}{12} = 1 - \dfrac{7}{12} = \dfrac{5}{12}. B = 15 4 − 12 7 + 15 11 = ( 15 4 + 15 11 ) − 12 7 = 15 15 − 12 7 = 1 − 12 7 = 12 5 . Lời giải Bài 5:
a) Chuyển vế:
x = − 2 3 + 5 9 = − 6 9 + 5 9 = − 1 9 . x = \dfrac{-2}{3} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{-6}{9} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{-1}{9}. x = 3 − 2 + 9 5 = 9 − 6 + 9 5 = 9 − 1 . b) Chuyển vế:
x = − 7 12 − 3 8 = − 14 24 − 9 24 = − 23 24 . x = \dfrac{-7}{12} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{-14}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{-23}{24}. x = 12 − 7 − 8 3 = 24 − 14 − 24 9 = 24 − 23 . c) Tính vế phải: 2 7 − 1 2 = 4 14 − 7 14 = − 3 14 . \dfrac{2}{7} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{14} - \dfrac{7}{14} = \dfrac{-3}{14}. 7 2 − 2 1 = 14 4 − 14 7 = 14 − 3 . x + 5 14 = − 3 14 ⟹ x = − 3 14 − 5 14 = − 8 14 = − 4 7 . x + \dfrac{5}{14} = \dfrac{-3}{14} \implies x = \dfrac{-3}{14} - \dfrac{5}{14} = \dfrac{-8}{14} = \dfrac{-4}{7}. ⟹ x + 14 5 = 14 − 3 x = 14 − 3 − 14 5 = 14 − 8 = 7 − 4 .
d) Ta có:
x + 1 6 = 11 18 − 2 9 = 11 18 − 4 18 = 7 18 . x + \dfrac{1}{6} = \dfrac{11}{18} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{11}{18} - \dfrac{4}{18} = \dfrac{7}{18}. x + 6 1 = 18 11 − 9 2 = 18 11 − 18 4 = 18 7 . x = 7 18 − 1 6 = 7 18 − 3 18 = 4 18 = 2 9 . x = \dfrac{7}{18} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{18} - \dfrac{3}{18} = \dfrac{4}{18} = \dfrac{2}{9}. x = 18 7 − 6 1 = 18 7 − 18 3 = 18 4 = 9 2 . Lời giải Bài 6:
P = 13 21 + 4 9 − 8 21 + 5 9 = ( 13 21 − 8 21 ) + ( 4 9 + 5 9 ) = 5 21 + 9 9 = 5 21 + 1 = 26 21 . P = \dfrac{13}{21} + \dfrac{4}{9} - \dfrac{8}{21} + \dfrac{5}{9} = \left(\dfrac{13}{21} - \dfrac{8}{21}\right) + \left(\dfrac{4}{9} + \dfrac{5}{9}\right) = \dfrac{5}{21} + \dfrac{9}{9} = \dfrac{5}{21} + 1 = \dfrac{26}{21}. P = 21 13 + 9 4 − 21 8 + 9 5 = ( 21 13 − 21 8 ) + ( 9 4 + 9 5 ) = 21 5 + 9 9 = 21 5 + 1 = 21 26 . Q = ( − 5 17 + − 12 17 ) + ( 3 8 + 5 8 ) + 7 19 = − 17 17 + 8 8 + 7 19 = − 1 + 1 + 7 19 = 7 19 . Q = \left(\dfrac{-5}{17} + \dfrac{-12}{17}\right) + \left(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8}\right) + \dfrac{7}{19} = \dfrac{-17}{17} + \dfrac{8}{8} + \dfrac{7}{19} = -1 + 1 + \dfrac{7}{19} = \dfrac{7}{19}. Q = ( 17 − 5 + 17 − 12 ) + ( 8 3 + 8 5 ) + 19 7 = 17 − 17 + 8 8 + 19 7 = − 1 + 1 + 19 7 = 19 7 . Lời giải Bài 7:
Coi toàn bộ quãng đường là 1. 1. 1.
1 3 + 2 5 = 5 15 + 6 15 = 11 15 (qu a ˜ ng đường) . \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{15} + \dfrac{6}{15} = \dfrac{11}{15}\text{ (quãng đường)}. 3 1 + 5 2 = 15 5 + 15 6 = 15 11 (quãng đường) . Trong giờ thứ ba, người đó phải đi:
1 − 11 15 = 4 15 (qu a ˜ ng đường) . 1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}\text{ (quãng đường)}. 1 − 15 11 = 15 4 (quãng đường) . Lời giải Bài 8:
Coi toàn bộ số tiền là 1. 1. 1.
1 4 + 2 5 = 5 20 + 8 20 = 13 20 (s o ˆ ˊ ti e ˆ ˋ n) . \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{13}{20}\text{ (số tiền)}. 4 1 + 5 2 = 20 5 + 20 8 = 20 13 (số tiền) . Số tiền Hùng còn lại chiếm:
1 − 13 20 = 7 20 (s o ˆ ˊ ti e ˆ ˋ n) . 1 - \dfrac{13}{20} = \dfrac{7}{20}\text{ (số tiền)}. 1 − 20 13 = 20 7 (số tiền) . Lời giải Bài 9:
Nhân cả hai vế với 2 2 2
2 S = 2 1 ⋅ 3 + 2 3 ⋅ 5 + ⋯ + 2 49 ⋅ 51 . 2S = \dfrac{2}{1 \cdot 3} + \dfrac{2}{3 \cdot 5} + \dots + \dfrac{2}{49 \cdot 51}. 2S = 1 ⋅ 3 2 + 3 ⋅ 5 2 + ⋯ + 49 ⋅ 51 2 . Áp dụng vi phân: 2 n ( n + 2 ) = 1 n − 1 n + 2 . \dfrac{2}{n(n + 2)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 2}. n ( n + 2 ) 2 = n 1 − n + 2 1 .
2 S = ( 1 − 1 3 ) + ( 1 3 − 1 5 ) + ⋯ + ( 1 49 − 1 51 ) = 1 − 1 51 = 50 51 . 2S = \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \dots + \left(\dfrac{1}{49} - \dfrac{1}{51}\right) = 1 - \dfrac{1}{51} = \dfrac{50}{51}. 2S = ( 1 − 3 1 ) + ( 3 1 − 5 1 ) + ⋯ + ( 49 1 − 51 1 ) = 1 − 51 1 = 51 50 . Suy ra:
S = 50 51 : 2 = 25 51 . S = \dfrac{50}{51} : 2 = \dfrac{25}{51}. S = 51 50 : 2 = 51 25 . Lời giải Bài 10:
Viết mỗi mẫu số dưới dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp:
2 = 1 ⋅ 2 ; 6 = 2 ⋅ 3 ; 12 = 3 ⋅ 4 ; … ; 90 = 9 ⋅ 10. 2 = 1 \cdot 2; \quad 6 = 2 \cdot 3; \quad 12 = 3 \cdot 4; \quad \dots; \quad 90 = 9 \cdot 10. 2 = 1 ⋅ 2 ; 6 = 2 ⋅ 3 ; 12 = 3 ⋅ 4 ; … ; 90 = 9 ⋅ 10. Do đó:
A = 1 1 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 4 + ⋯ + 1 9 ⋅ 10 A = \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \dfrac{1}{9 \cdot 10} A = 1 ⋅ 2 1 + 2 ⋅ 3 1 + 3 ⋅ 4 1 + ⋯ + 9 ⋅ 10 1 A = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ⋯ + ( 1 9 − 1 10 ) = 1 − 1 10 = 9 10 . A = \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \dots + \left(\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{10}\right) = 1 - \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10}. A = ( 1 − 2 1 ) + ( 2 1 − 3 1 ) + ⋯ + ( 9 1 − 10 1 ) = 1 − 10 1 = 10 9 . Lời giải Bài 11:
Các ước dương của 15 15 15 { 1 ; 3 ; 5 ; 15 } . \{1; 3; 5; 15\}. { 1 ; 3 ; 5 ; 15 } . 8 8 8 8 = 3 + 5. 8 = 3 + 5. 8 = 3 + 5.
8 15 = 3 + 5 15 = 3 15 + 5 15 = 1 5 + 1 3 . \dfrac{8}{15} = \dfrac{3 + 5}{15} = \dfrac{3}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{3}. 15 8 = 15 3 + 5 = 15 3 + 15 5 = 5 1 + 3 1 . Vậy phân số 8 15 \dfrac{8}{15} 15 8 1 5 + 1 3 . \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{3}. 5 1 + 3 1 .
Lời giải Bài 12:
Nhân biểu thức B B B 3 3 3
3 B = 1 + 1 3 + 1 3 2 + ⋯ + 1 3 99 . 3B = 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dots + \dfrac{1}{3^{99}}. 3B = 1 + 3 1 + 3 2 1 + ⋯ + 3 99 1 . Lấy 3 B − B 3B - B 3B − B
2 B = 1 − 1 3 100 . 2B = 1 - \dfrac{1}{3^{100}}. 2B = 1 − 3 100 1 . Vì 3 100 > 0 3^{100} > 0 3 100 > 0 1 − 1 3 100 < 1. 1 - \dfrac{1}{3^{100}} < 1. 1 − 3 100 1 < 1.
2 B < 1 ⟹ B < 1 2 . 2B < 1 \implies B < \dfrac{1}{2}. 2B < 1 ⟹ B < 2 1 . Như vậy, ta có điều phải chứng minh.
6. Đề kiểm tra 15 phút (Đề A & Đề B)
Đề A (Thời gian: 15 phút)
Phần 1: Trắc nghiệm (4 điểm)
Câu 1: Số đối của phân số − 4 9 \dfrac{-4}{9} 9 − 4 4 − 9 \dfrac{4}{-9} − 9 4 4 9 \dfrac{4}{9} 9 4 − 9 4 \dfrac{-9}{4} 4 − 9 9 4 \dfrac{9}{4} 4 9
Câu 2: Kết quả của phép tính − 3 7 + 5 7 \dfrac{-3}{7} + \dfrac{5}{7} 7 − 3 + 7 5 2 7 \dfrac{2}{7} 7 2 − 2 7 \dfrac{-2}{7} 7 − 2 8 7 \dfrac{8}{7} 7 8 − 8 7 \dfrac{-8}{7} 7 − 8
Phần 2: Tự luận (6 điểm)
Câu 3 (3 điểm): Tính:
a) − 5 8 + 7 12 \dfrac{-5}{8} + \dfrac{7}{12} 8 − 5 + 12 7 9 14 − − 5 21 \dfrac{9}{14} - \dfrac{-5}{21} 14 9 − 21 − 5
Câu 4 (3 điểm): Tìm x , x, x ,
x − 2 5 = − 7 15 x - \dfrac{2}{5} = \dfrac{-7}{15} x − 5 2 = 15 − 7 Đáp án và Biểu điểm Đề A
Câu 1 (2 điểm): Chọn B (vì − ( − 4 9 ) = 4 9 -\left(\dfrac{-4}{9}\right) = \dfrac{4}{9} − ( 9 − 4 ) = 9 4 Câu 2 (2 điểm): Chọn A (vì − 3 + 5 7 = 2 7 \dfrac{-3 + 5}{7} = \dfrac{2}{7} 7 − 3 + 5 = 7 2 Câu 3 (3 điểm):
a) Mẫu chung 24 24 24 − 15 24 + 14 24 = − 1 24 . \dfrac{-15}{24} + \dfrac{14}{24} = \dfrac{-1}{24}. 24 − 15 + 24 14 = 24 − 1 . 42 42 42 27 42 − − 10 42 = 27 + 10 42 = 37 42 . \dfrac{27}{42} - \dfrac{-10}{42} = \dfrac{27 + 10}{42} = \dfrac{37}{42}. 42 27 − 42 − 10 = 42 27 + 10 = 42 37 . Câu 4 (3 điểm):
x = − 7 15 + 2 5 = − 7 15 + 6 15 = − 1 15 . x = \dfrac{-7}{15} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{-7}{15} + \dfrac{6}{15} = \dfrac{-1}{15}. x = 15 − 7 + 5 2 = 15 − 7 + 15 6 = 15 − 1 .
Đề B (Thời gian: 15 phút)
Phần 1: Trắc nghiệm (4 điểm)
Câu 1: Kết quả của phép tính 5 12 − 11 12 \dfrac{5}{12} - \dfrac{11}{12} 12 5 − 12 11 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 − 1 2 \dfrac{-1}{2} 2 − 1 − 6 12 \dfrac{-6}{12} 12 − 6
Câu 2: Tìm x x x x + 1 3 = 0 x + \dfrac{1}{3} = 0 x + 3 1 = 0 x = 1 3 x = \dfrac{1}{3} x = 3 1 x = 0 x = 0 x = 0 x = − 1 3 x = \dfrac{-1}{3} x = 3 − 1 x = 1 x = 1 x = 1
Phần 2: Tự luận (6 điểm)
Câu 3 (3 điểm): Tính hợp lí:
M = 7 15 + − 4 9 + 8 15 + − 5 9 M = \dfrac{7}{15} + \dfrac{-4}{9} + \dfrac{8}{15} + \dfrac{-5}{9} M = 15 7 + 9 − 4 + 15 8 + 9 − 5 Câu 4 (3 điểm): Một lớp học có 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 1 3 \dfrac{1}{3} 3 1
Đáp án và Biểu điểm Đề B
Câu 1 (2 điểm): Chọn D (vì 5 − 11 12 = − 6 12 = − 1 2 \dfrac{5 - 11}{12} = \dfrac{-6}{12} = \dfrac{-1}{2} 12 5 − 11 = 12 − 6 = 2 − 1 Câu 2 (2 điểm): Chọn C (vì tổng bằng 0 0 0 x x x Câu 3 (3 điểm):
M = ( 7 15 + 8 15 ) + ( − 4 9 + − 5 9 ) = 15 15 + − 9 9 = 1 + ( − 1 ) = 0. M = \left(\dfrac{7}{15} + \dfrac{8}{15}\right) + \left(\dfrac{-4}{9} + \dfrac{-5}{9}\right) = \dfrac{15}{15} + \dfrac{-9}{9} = 1 + (-1) = 0. M = ( 15 7 + 15 8 ) + ( 9 − 4 + 9 − 5 ) = 15 15 + 9 − 9 = 1 + ( − 1 ) = 0. Câu 4 (3 điểm):
Tổng số học sinh thích Toán và Văn là: 1 2 + 1 3 = 5 6 \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} 2 1 + 3 1 = 6 5 1 − 5 6 = 1 6 1 - \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6} 1 − 6 5 = 6 1
7. Cạm bẫy học sinh thường gặp & Bí quyết nhớ lâu
Các cạm bẫy chết người cần tránh:
Cộng/trừ cả tử và mẫu: Lỗi sai phổ biến nhất là viết a b + c d = a + c b + d . \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a+c}{b+d}. b a + d c = b + d a + c . Không bao giờ được cộng/trừ các mẫu số với nhau !Sai dấu khi trừ phân số âm: Phép trừ một số âm biến thành phép cộng: a b − ( − c d ) = a b + c d . \dfrac{a}{b} - \left(\dfrac{-c}{d}\right) = \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}. b a − ( d − c ) = b a + d c . Quên đổi dấu khi chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia, phải nhớ đổi dấu: cộng thành trừ, trừ thành cộng.Quên rút gọn kết quả: Tính ra 6 8 \dfrac{6}{8} 8 6 3 4 \dfrac{3}{4} 4 3
Bài ca phép cộng trừ phân số:
"Cùng mẫu thì dễ quá rồi,
Tử cộng trừ tử, mẫu ngồi yên nguyên!
Khác mẫu chớ có làm phiền,
Quy đồng mẫu số, tính liền ra ngay!
Phép trừ biến hóa khéo thay,
Cộng cùng số đối, thẳng tay tính liền!
Dấu ngoặc chuyển vế chớ quên,
Đổi dấu số hạng, ấm êm điểm mười!"
NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP
Tự kiểm tra kiến thức Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.
← Thẻ trước Thẻ tiếp → Làm lại
Bật JavaScript để ôn tập với thẻ nhớ lại và câu điền khuyết. 