Bài 27. Hai bài toán về phân số

Trong thực tiễn hằng ngày cũng như trong các đề thi tuyển sinh, đề thi học sinh giỏi, các bài toán ứng dụng phân số xuất hiện với tần suất dày đặc: Một cửa hàng giảm giá $20\%$ cho một đôi giày thể thao giá $650\,000$ đồng, số tiền được giảm là bao nhiêu? hay Bác Ba bán được $45\text{ kg}$ gạo thì vừa đúng bằng $\dfrac{3}{5}$ số gạo trong bao, hỏi ban đầu trong bao có tất cả bao nhiêu kilôgam gạo?

Hai câu hỏi trên đại diện cho hai bài toán cơ bản về phân số mà mọi học sinh lớp 6 đều cần làm chủ:

• Bài toán 1: Biết số tổng thể, tìm giá trị của một phân số của số đó (Làm phép NHÂN).
• Bài toán 2: Biết giá trị của phân số, tìm ngược lại số tổng thể ban đầu (Làm phép CHIA).

Bài học hôm nay sẽ giúp các em phân biệt chuẩn xác hai bài toán chỉ trong 3 giây, làm chủ phương pháp giải toán "phần còn lại", phương pháp "tính ngược từ cuối" và giải quyết trọn vẹn các chuyên đề học sinh giỏi độc bản $100\%$ có lời giải chi tiết!

Khởi động — Kết nối thực tiễn (5–7 phút)

Hãy cùng khởi động với 5 câu hỏi tư duy sau:

Câu 1 (Nhân chia nhẩm): Tính nhanh: a) $60 \cdot \dfrac{3}{4}$ b) $45 : \dfrac{3}{5}$ c) $120 \cdot 15\%$ Trả lời: a) $45;$ b) $45 \cdot \dfrac{5}{3} = 75;$ c) $120 \cdot \dfrac{15}{100} = 18.$

Câu 2 (Bài toán tìm một phần): Lớp 6B có $45$ học sinh, trong đó $\dfrac{2}{3}$ số học sinh tham gia câu lạc bộ bơi lội. Hỏi lớp 6B có bao nhiêu bạn tham gia câu lạc bộ bơi lội? Trả lời: Số học sinh tham gia là: $45 \cdot \dfrac{2}{3} = 30$ bạn.

Câu 3 (Bài toán tìm ban đầu): Bạn Lan tiết kiệm tiền mua sách. Sau khi mua một cuốn từ điển hết $90\,000$ đồng, Lan nhận ra số tiền mua sách đúng bằng $\dfrac{3}{4}$ tổng số tiền tiết kiệm của mình. Hỏi ban đầu Lan có bao nhiêu tiền tiết kiệm? Trả lời: Vì $\dfrac{3}{4}$ số tiền bằng $90\,000$ đồng, nên số tiền ban đầu là: $90\,000 : \dfrac{3}{4} = 90\,000 \cdot \dfrac{4}{3} = 120\,000$ đồng.

Câu 4 (Khái niệm phần trăm): Viết các phân số sau dưới dạng phần trăm: $\dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{4}; \dfrac{1}{5}; \dfrac{7}{10}.$ Trả lời: $$\dfrac{1}{2} = 50\%; \quad \dfrac{3}{4} = 75\%; \quad \dfrac{1}{5} = 20\%; \quad \dfrac{7}{10} = 70\%.$$

Câu 5 (Giảm giá mua sắm): Một chiếc áo khoác có giá niêm yết $500\,000$ đồng đang được giảm giá $30\%.$ Số tiền được giảm là bao nhiêu và giá bán sau khi giảm là bao nhiêu? Trả lời:

• Số tiền được giảm: $500\,000 \cdot 30\% = 500\,000 \cdot \dfrac{30}{100} = 150\,000$ đồng.
• Giá bán sau khi giảm: $500\,000 - 150\,000 = 350\,000$ đồng (hoặc $500\,000 \cdot (100\% - 30\%) = 350\,000$ đồng).

1. Lý thuyết trọng tâm

1.1. Bài toán 1 — Tìm giá trị phân số của một số cho trước

Ghi nhớ

Quy tắc Bài toán 1: Muốn tìm $\dfrac{m}{n}$ của một số $a$ cho trước, ta lấy số $a$ nhân với phân số $\dfrac{m}{n}$:

$$\text{Giá trị } \dfrac{m}{n} \text{ của } a = a \cdot \dfrac{m}{n} \quad (m, n \in \mathbb{N}^*, a \in \mathbb{R}).$$

Mở rộng với tỉ số phần trăm: Muốn tìm $p\%$ của số $a,$ ta tính:

$$a \cdot \dfrac{p}{100} \quad (\text{vì } p\% = \dfrac{p}{100}).$$

Ví dụ:

• Tìm $\dfrac{3}{5}$ của $150\text{ kg}$: Ta tính $150 \cdot \dfrac{3}{5} = 90\text{ kg}.$
• Tìm $25\%$ của $80\text{ m}$: Ta tính $80 \cdot \dfrac{25}{100} = 20\text{ m}.$

1.2. Bài toán 2 — Tìm một số khi biết giá trị phân số của nó

Ghi nhớ

Quy tắc Bài toán 2: Muốn tìm một số $x,$ biết rằng $\dfrac{m}{n}$ của nó bằng $b,$ ta lấy $b$ chia cho phân số $\dfrac{m}{n}$:

$$x = b : \dfrac{m}{n} \quad (m, n \in \mathbb{N}^*, b \neq 0).$$

Mở rộng với tỉ số phần trăm: Muốn tìm số $x,$ biết rằng $p\%$ của nó bằng $b,$ ta tính:

$$x = b : \dfrac{p}{100} = b \cdot \dfrac{100}{p}.$$

Ví dụ:

• Tìm số $x$ biết $\dfrac{4}{7}$ của nó bằng $28$:$$x = 28 : \dfrac{4}{7} = 28 \cdot \dfrac{7}{4} = 49.$$
• Tìm số tiền ban đầu biết $15\%$ số tiền đó là $45\,000$ đồng:$$\text{Số tiền} = 45\,000 : \dfrac{15}{100} = 45\,000 \cdot \dfrac{100}{15} = 300\,000\text{ (đồng)}.$$

1.3. Bí quyết vàng phân biệt Bài toán 1 và Bài toán 2 trong 3 giây

Rất nhiều bạn học sinh bị nhầm lẫn giữa phép NHÂN và phép CHIA khi giải toán thực tế. Hãy khắc cốt ghi tâm bí quyết sau:

Mẹo hay

Mẹo tìm chữ "CỦA": Hãy tìm chữ "của" trong câu văn của đề bài và nhìn ngay vào đối tượng đứng ngay sau chữ "của":

1. Nếu đối tượng đứng sau chữ "của" là một số đã biết cụ thể $\implies$ Bài toán 1 $\implies$ Làm phép NHÂN. Ví dụ: "Tìm $\dfrac{3}{4}$ của 80" $\implies$ Số $80$ đã biết $\implies 80 \cdot \dfrac{3}{4} = 60.$
2. Nếu đối tượng đứng sau chữ "của" là số chưa biết (cần đi tìm) $\implies$ Bài toán 2 $\implies$ Làm phép CHIA. Ví dụ: "$\dfrac{3}{4}$ của một số bằng 60, tìm số đó" $\implies$ Số đó chưa biết $\implies 60 : \dfrac{3}{4} = 80.$

1.4. Bài toán "Phần còn lại" — Quy luật tư duy từng bước

Trong các bài toán thực tế phức tạp (chia tài sản, bán hàng qua nhiều ngày, đọc sách), đề bài thường không cho phân số so với toàn thể ban đầu mà cho phân số so với phần còn lại:

Quan trọng

Quy tắc phân biệt:

• Nếu đã dùng $\dfrac{m}{n}$ của tổng thể, thì phần còn lại là:$$1 - \dfrac{m}{n}.$$
• Nếu bước tiếp theo dùng $\dfrac{p}{q}$ của phần còn lại, thì phân số chỉ lượng dùng ở bước này so với tổng thể ban đầu là:$$\dfrac{p}{q} \cdot \left(1 - \dfrac{m}{n}\right).$$
• Không bao giờ được lấy $\dfrac{m}{n} + \dfrac{p}{q}$ nếu hai phân số không cùng nói về một đại lượng mốc!

1.5. Sơ đồ tư duy tổng kết Bài 27

2. Các dạng toán trọng tâm và phương pháp giải

Dạng 1: Tìm giá trị phân số của một số cho trước

Phương pháp giải: Lấy số cho trước nhân với phân số tương ứng. Nếu là phần trăm, chuyển phần trăm về phân số mẫu $100$ rồi nhân.

Ví dụ 1: Tính: a) $\dfrac{4}{7}$ của $140\text{ m}$ b) $\dfrac{-3}{8}$ của $64$ c) $35\%$ của $240\,000$ đồng d) $\dfrac{5}{9}$ của $2\dfrac{1}{4}$

Lời giải: a) $$140 \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{140 \cdot 4}{7} = 20 \cdot 4 = 80\text{ (m)}.$$

b) $$64 \cdot \dfrac{-3}{8} = \dfrac{64 \cdot (-3)}{8} = 8 \cdot (-3) = -24.$$

c) $240\,000 \cdot \dfrac{35}{100} = 240\,000 \cdot \dfrac{7}{20} = 12\,000 \cdot 7 = 84\,000\text{ (đồng)}.$

d) Đổi $2\dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4}.$ Ta có: $\dfrac{9}{4} \cdot \dfrac{5}{9} = \dfrac{5}{4}.$

Dạng 2: Tìm một số khi biết giá trị phân số của nó

Phương pháp giải: Lấy giá trị đã biết chia cho phân số (hoặc phần trăm).

Ví dụ 2: Tìm số $x,$ biết: a) $\dfrac{5}{9}$ của số $x$ bằng $45$ b) $\dfrac{-4}{7}$ của số $x$ bằng $28$ c) $40\%$ của số $x$ bằng $120$ d) $\dfrac{2}{3}$ của số $x$ bằng $\dfrac{8}{15}$

Lời giải: a) $x = 45 : \dfrac{5}{9} = 45 \cdot \dfrac{9}{5} = 9 \cdot 9 = 81.$ Vậy $x = 81.$

b) $$x = 28 : \dfrac{-4}{7} = 28 \cdot \dfrac{7}{-4} = 7 \cdot (-7) = -49.$$ Vậy $x = -49.$

c) $$x = 120 : \dfrac{40}{100} = 120 : \dfrac{2}{5} = 120 \cdot \dfrac{5}{2} = 60 \cdot 5 = 300.$$ Vậy $x = 300.$

d) $$x = \dfrac{8}{15} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{15} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{4}{5}.$$ Vậy $x = \dfrac{4}{5}.$

Dạng 3: Bài toán kinh tế thực tế — Mua sắm, giảm giá, tăng giá

Phương pháp giải:

1. Một mặt hàng giá gốc $G,$ khi được giảm giá $p\%$ thì:
   • Số tiền được giảm: $G \cdot \dfrac{p}{100}.$
   • Giá bán mới: $G \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right) = G \cdot \dfrac{100 - p}{100}.$
2. Nếu biết giá bán mới sau khi giảm $p\%$ là $B,$ muốn tìm giá gốc ban đầu $G$:$$G = B : \dfrac{100 - p}{100}.$$

Ví dụ 3: a) Nhân dịp khai giảng, một hiệu sách giảm giá $15\%$ cho tất cả các loại sách tham khảo. Bạn Mai mua một bộ sách có giá bìa là $260\,000$ đồng. Hỏi Mai phải trả bao nhiêu tiền? b) Một chiếc xe đạp thể thao sau khi được giảm giá $20\%$ thì có giá bán là $2\,800\,000$ đồng. Hỏi giá niêm yết ban đầu của chiếc xe đạp là bao nhiêu?

Lời giải: a) Vì được giảm $15\%$ nên giá bán bằng $100\% - 15\% = 85\%$ giá bìa. Số tiền bạn Mai phải trả là:

b) Giá bán $2\,800\,000$ đồng ứng với:

Giá niêm yết ban đầu của chiếc xe đạp là:

Dạng 4: Bài toán nhiều bước liên quan đến "phần còn lại"

Phương pháp giải:

1. Xác định phân số chỉ lượng thực hiện ở từng bước so với lượng ban đầu.
2. Tìm phân số chỉ lượng còn lại ứng với số liệu cụ thể ở bước cuối.
3. Dùng Bài toán 2 để tìm lượng ban đầu.

Ví dụ 4: Một đội công nhân làm đường trong ba ngày thì hoàn thành một đoạn đường:

• Ngày thứ nhất làm được $\dfrac{1}{3}$ đoạn đường.
• Ngày thứ hai làm được $\dfrac{2}{5}$ đoạn đường còn lại.
• Ngày thứ ba làm nốt $48\text{ m}$ đường cuối cùng. Hỏi chiều dài toàn bộ đoạn đường là bao nhiêu mét?

Lời giải: Coi toàn bộ đoạn đường là $1.$ Sau ngày thứ nhất, đoạn đường còn lại là:

Ngày thứ hai làm được số phần đoạn đường là:

Sau hai ngày đầu, số phần đoạn đường đã làm là:

Ngày thứ ba làm được số phần đoạn đường là:

Đoạn đường ngày thứ ba dài $48\text{ m},$ tương ứng với $\dfrac{2}{5}$ chiều dài cả đoạn đường. Chiều dài toàn bộ đoạn đường là:

Đáp số: $120\text{ m}.$

3. Chuyên đề nâng cao & Bồi dưỡng Học sinh giỏi

Chuyên đề 1: Phương pháp chọn đại lượng không đổi làm mốc

Mẹo hay

Tư duy cốt lõi: Trong các bài toán có sự thêm vào, bớt đi giữa hai đối tượng, tổng số hoặc một trong hai đối tượng thường giữ nguyên không đổi. Ta phải:

1. Xác định đại lượng nào không đổi xuyên suốt bài toán.
2. Quy đổi các đại lượng biến thiên về tỉ số so với đại lượng không đổi đó.
3. Tìm phân số chênh lệch ứng với số lượng cụ thể được thêm/bớt để giải theo Bài toán 2.

Bài toán HSG 1: Hai ngăn sách có tổng cộng $120$ quyển sách. Lúc đầu, số sách ở ngăn I bằng $\dfrac{3}{5}$ số sách ở ngăn II. Sau đó, người ta chuyển $10$ quyển từ ngăn II sang ngăn I. a) Tính số sách ở mỗi ngăn lúc đầu. b) Sau khi chuyển, số sách ở ngăn I chiếm mấy phần tổng số sách của cả hai ngăn?

Lời giải chi tiết: a) Lúc đầu, số sách ngăn I bằng $\dfrac{3}{5}$ số sách ngăn II. Tổng số phần bằng nhau là:

Số sách ngăn I lúc đầu là:

Số sách ngăn II lúc đầu là:

b) Sau khi chuyển $10$ quyển từ ngăn II sang ngăn I:

• Số sách ngăn I lúc sau: $45 + 10 = 55$ quyển.
• Tổng số sách hai ngăn vẫn giữ nguyên không đổi là $120$ quyển. Phân số chỉ số sách ngăn I so với tổng số sách lúc này là:$$\dfrac{55}{120} = \dfrac{55 : 5}{120 : 5} = \dfrac{11}{24}\text{ (tổng số sách)}.$$

Bài toán HSG 2 (Mức độ khó): Một giá sách có hai ngăn. Số sách ở ngăn I bằng $\dfrac{2}{3}$ số sách ở ngăn II. Nếu chuyển $12$ quyển từ ngăn II sang ngăn I thì số sách ở ngăn I lúc này bằng $\dfrac{4}{5}$ số sách ở ngăn II. Tính số sách ở mỗi ngăn lúc đầu.

Lời giải chi tiết: Nhận xét: Khi chuyển sách giữa hai ngăn, tổng số sách ở cả hai ngăn không bao giờ thay đổi. Ta chọn tổng số sách cả hai ngăn làm đơn vị mốc ($1$).

• Lúc đầu: Số sách ngăn I bằng $\dfrac{2}{3}$ số sách ngăn II $\implies$ ngăn I chiếm $2$ phần, ngăn II chiếm $3$ phần, tổng là $2 + 3 = 5$ phần. Do đó, số sách ngăn I bằng $\dfrac{2}{5}$ tổng số sách cả hai ngăn.
• Lúc sau: Số sách ngăn I bằng $\dfrac{4}{5}$ số sách ngăn II $\implies$ ngăn I chiếm $4$ phần, ngăn II chiếm $5$ phần, tổng là $4 + 5 = 9$ phần. Do đó, số sách ngăn I bằng $\dfrac{4}{9}$ tổng số sách cả hai ngăn.
• Chênh lệch sách ở ngăn I là $12$ quyển, tương ứng với phân số:$$\dfrac{4}{9} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{20}{45} - \dfrac{18}{45} = \dfrac{2}{45}\text{ (tổng số sách)}.$$
• Tổng số sách ở cả hai ngăn là:$$12 : \dfrac{2}{45} = 12 \cdot \dfrac{45}{2} = 270\text{ (quyển)}.$$
• Số sách ở ngăn I lúc đầu là:$$270 \cdot \dfrac{2}{5} = 108\text{ (quyển)}.$$
• Số sách ở ngăn II lúc đầu là:$$270 - 108 = 162\text{ (quyển)}.$$Thử lại: $\dfrac{108}{162} = \dfrac{2}{3}$ (đúng). Chuyển $12$ quyển: ngăn I có $108 + 12 = 120,$ ngăn II có $162 - 12 = 150;$ tỉ số $\dfrac{120}{150} = \dfrac{4}{5}$ (đúng hoàn toàn). Đáp số: Ngăn I có $108$ quyển; Ngăn II có $162$ quyển.

Chuyên đề 2: Phương pháp tính ngược từ cuối (Truy hồi ngược dòng)

Mẹo hay

Khi nào áp dụng tính ngược từ cuối? Khi đề bài mô tả một chuỗi hành động liên tiếp dạng: "bán $\dfrac{1}{2}$ số trứng rồi thêm $2$ quả, sau đó người thứ hai mua $\dfrac{1}{2}$ số còn lại rồi thêm $2$ quả...", và kết thúc bằng một con số cụ thể còn lại ở cuối cùng. Nguyên tắc: Lần ngược từ bước cuối cùng trở về bước đầu tiên. Tại mỗi bước: đại lượng còn lại cộng thêm phần lẻ rồi chia cho phân số còn lại.

Bài toán HSG 3: Một bác nông dân mang một sọt cam ra chợ bán:

• Người thứ nhất mua $\dfrac{1}{2}$ số cam và thêm $1$ quả.
• Người thứ hai mua $\dfrac{1}{2}$ số cam còn lại và thêm $1$ quả.
• Người thứ ba mua $\dfrac{1}{2}$ số cam còn lại sau lần hai và thêm $1$ quả thì vừa hết sọt cam. Hỏi bác nông dân đã mang ra chợ tất cả bao nhiêu quả cam?

Lời giải chi tiết: Ta giải ngược từ người mua thứ ba trở về trước:

• Xét người thứ ba: Người thứ ba mua $\dfrac{1}{2}$ số cam còn lại và thêm $1$ quả thì hết. Như vậy, $1$ quả cam cuối cùng này chính là $\dfrac{1}{2}$ số cam còn lại trước khi người thứ ba mua:

  $$1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\text{ (số cam trước lần 3)}.$$

  Số cam còn lại trước khi người thứ ba mua là:

  $$1 : \dfrac{1}{2} = 2\text{ (quả)}.$$

• Xét người thứ hai: Người thứ hai mua $\dfrac{1}{2}$ số cam còn lại và thêm $1$ quả, thì còn lại $2$ quả cho người thứ ba. Do đó, nếu người thứ hai chỉ mua đúng $\dfrac{1}{2}$ số cam thì sẽ còn lại:

  $$2 + 1 = 3\text{ (quả)}.$$

  Số $3$ quả này ứng với $\dfrac{1}{2}$ số cam trước khi người thứ hai mua. Số cam còn lại trước khi người thứ hai mua là:

  $$3 : \dfrac{1}{2} = 6\text{ (quả)}.$$

• Xét người thứ nhất: Người thứ nhất mua $\dfrac{1}{2}$ tổng số cam và thêm $1$ quả, thì còn lại $6$ quả cho người thứ hai. Nếu người thứ nhất chỉ mua đúng $\dfrac{1}{2}$ tổng số cam thì còn lại:

  $$6 + 1 = 7\text{ (quả)}.$$

  Số $7$ quả này ứng với $\dfrac{1}{2}$ tổng số cam ban đầu. Tổng số cam ban đầu bác nông dân mang ra chợ là:

  $$7 : \dfrac{1}{2} = 14\text{ (quả)}.$$

Thử lại:

• Ban đầu có $14$ quả.
• Người 1 mua: $14 \cdot \dfrac{1}{2} + 1 = 7 + 1 = 8$ quả $\implies$ còn $14 - 8 = 6$ quả.
• Người 2 mua: $6 \cdot \dfrac{1}{2} + 1 = 3 + 1 = 4$ quả $\implies$ còn $6 - 4 = 2$ quả.
• Người 3 mua: $2 \cdot \dfrac{1}{2} + 1 = 1 + 1 = 2$ quả $\implies$ còn $2 - 2 = 0$ quả (hết sạch cam, chuẩn xác $100\%$). Đáp số: $14$ quả cam.

Chuyên đề 3: Bài toán công việc chung — công việc riêng

Bài toán HSG 4: Hai người thợ cùng làm chung một công việc thì sau $6$ giờ sẽ hoàn thành. Nếu người thứ nhất làm một mình thì phải mất $10$ giờ mới xong. Hỏi nếu người thứ hai làm một mình thì sau bao nhiêu giờ sẽ hoàn thành công việc đó?

Lời giải chi tiết: Coi toàn bộ công việc là đơn vị $1.$

• Trong $1$ giờ, cả hai người cùng làm được số phần công việc là:$$1 : 6 = \dfrac{1}{6}\text{ (công việc)}.$$
• Trong $1$ giờ, người thứ nhất làm một mình được số phần công việc là:$$1 : 10 = \dfrac{1}{10}\text{ (công việc)}.$$
• Trong $1$ giờ, người thứ hai làm một mình được số phần công việc là:$$\dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{30} - \dfrac{3}{30} = \dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{15}\text{ (công việc)}.$$
• Thời gian để người thứ hai làm một mình xong toàn bộ công việc là:$$1 : \dfrac{1}{15} = 15\text{ (giờ)}.$$Đáp số: $15$ giờ.

Chuyên đề 4: Bài toán nồng độ phần trăm và pha chế dung dịch

Bài toán HSG 5: Một bình đựng $400\text{ g}$ dung dịch nước muối có nồng độ muối là $5\%.$ Người ta muốn pha thêm nước tinh khiết vào bình để được một dung dịch nước muối mới có nồng độ muối là $2\%.$ Hỏi cần phải đổ thêm vào bình bao nhiêu gam nước tinh khiết?

Lời giải chi tiết: Nhận xét: Khi đổ thêm nước tinh khiết, khối lượng muối nguyên chất trong bình không thay đổi. Ta lấy lượng muối này làm mốc!

• Khối lượng muối nguyên chất có trong bình là:$$400 \cdot 5\% = 400 \cdot \dfrac{5}{100} = 20\text{ (g)}.$$
• Trong dung dịch mới, khối lượng muối $20\text{ g}$ này chiếm đúng $2\%$ khối lượng dung dịch mới. Khối lượng dung dịch mới sau khi pha thêm nước là:$$20 : 2\% = 20 : \dfrac{2}{100} = 20 \cdot \dfrac{100}{2} = 1000\text{ (g)}.$$
• Khối lượng nước tinh khiết cần đổ thêm vào bình là:$$1000 - 400 = 600\text{ (g)}.$$Đáp số: $600\text{ g}$ nước tinh khiết.

4. Trắc nghiệm tương tác kiểm tra độ hiểu bài

5. Phiếu bài tập tự luyện và lời giải chi tiết

Phần 1: Mức độ Nhận biết — Thông hiểu

Bài 1: Tính: a) $\dfrac{5}{8}$ của $160\text{ kg}$ b) $\dfrac{-4}{9}$ của $72$ c) $30\%$ của $150\text{ m}$ d) $\dfrac{7}{12}$ của $3\dfrac{3}{7}$

Bài 2: Tìm số $x,$ biết: a) $\dfrac{3}{7}$ của $x$ bằng $21$ b) $\dfrac{-5}{8}$ của $x$ bằng $40$ c) $60\%$ của $x$ bằng $180$ d) $\dfrac{4}{9}$ của $x$ bằng $\dfrac{16}{27}$

Bài 3: Một trường THCS có $900$ học sinh. Trong đó có $65\%$ học sinh đạt học lực Khá và Giỏi. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh đạt học lực Khá và Giỏi?

Bài 4: Bác nông dân thu hoạch được một số thóc. Sau khi bán đi $\dfrac{3}{5}$ số thóc đó thì trong kho còn lại $16$ tạ thóc. Hỏi bác nông dân đã thu hoạch được tất cả bao nhiêu tạ thóc?

Phần 2: Mức độ Vận dụng

Bài 5 (Mua sắm giảm giá): Nhân dịp Ngày Quốc tế Phụ nữ 8/3, một cửa hàng hoa tươi giảm giá $20\%$ cho tất cả các bó hoa. a) Bạn Hùng mua một bó hoa có giá niêm yết $250\,000$ đồng. Hỏi Hùng phải trả bao nhiêu tiền? b) Mẹ bạn Hùng mua một lẵng hoa và sau khi được giảm giá chỉ phải trả $320\,000$ đồng. Hỏi giá gốc của lẵng hoa đó là bao nhiêu?

Bài 6 (Đọc sách ba ngày): Bạn Lan đọc một cuốn sách dày $180$ trang trong ba ngày:

• Ngày thứ nhất Lan đọc được $\dfrac{1}{3}$ số trang sách.
• Ngày thứ hai Lan đọc được $\dfrac{3}{5}$ số trang còn lại.
• Ngày thứ ba Lan đọc hết phần còn lại. Hỏi mỗi ngày bạn Lan đọc được bao nhiêu trang sách?

Bài 7 (Đội thi công): Một đội công nhân sửa đường trong ba ngày:

• Ngày thứ nhất sửa được $\dfrac{2}{7}$ đoạn đường.
• Ngày thứ hai sửa được $\dfrac{3}{5}$ đoạn đường còn lại.
• Ngày thứ ba sửa nốt $40\text{ m}$ cuối cùng. Tính chiều dài toàn bộ đoạn đường đội công nhân đã sửa.

Bài 8 (Cắt chia tấm vải): Một cửa hàng có một tấm vải. Lần thứ nhất người ta bán $\dfrac{1}{4}$ tấm vải. Lần thứ hai người ta bán tiếp $\dfrac{2}{3}$ tấm vải còn lại. Sau hai lần bán, tấm vải còn lại $15\text{ m}.$ Hỏi ban đầu tấm vải dài bao nhiêu mét?

Phần 3: Mức độ Vận dụng cao & Học sinh giỏi

Bài 9 (Tỉ số không đổi): Một câu lạc bộ có số học sinh nam bằng $\dfrac{3}{4}$ số học sinh nữ. Nếu câu lạc bộ nhận thêm $6$ học sinh nam nữa thì số học sinh nam lúc này bằng $\dfrac{9}{10}$ số học sinh nữ. Hỏi ban đầu câu lạc bộ có bao nhiêu học sinh (cả nam và nữ)?

Bài 10 (Hai ngăn sách chuyển động): Hai ngăn sách có tổng cộng $160$ cuốn sách. Ban đầu số sách ở ngăn A bằng $\dfrac{3}{5}$ số sách ở ngăn B. Người ta chuyển một số cuốn sách từ ngăn B sang ngăn A thì số sách ở ngăn A lúc này bằng $\dfrac{7}{9}$ số sách ở ngăn B. Hỏi người ta đã chuyển bao nhiêu cuốn sách?

Bài 11 (Tính ngược từ cuối): Một người mang một rổ trứng đi bán:

• Lần thứ nhất bán $\dfrac{1}{2}$ số trứng và thêm $2$ quả.
• Lần thứ hai bán $\dfrac{1}{2}$ số trứng còn lại và thêm $2$ quả.
• Lần thứ ba bán $\dfrac{1}{2}$ số trứng còn lại sau lần hai và thêm $2$ quả thì vừa hết số trứng trong rổ. Hỏi người đó đã mang đi bán tất cả bao nhiêu quả trứng?

Bài 12 (Công việc chung): Hai người thợ cùng làm một công việc thì sau $12$ giờ sẽ xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong $4$ giờ rồi người thứ hai đến làm tiếp một mình trong $9$ giờ thì cả hai người làm được $\dfrac{7}{12}$ công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm xong công việc đó trong bao lâu?

Lời giải chi tiết phiếu bài tập tự luyện

Lời giải Bài 1:

a) $160 \cdot \dfrac{5}{8} = 20 \cdot 5 = 100\text{ (kg)}.$ b) $72 \cdot \dfrac{-4}{9} = 8 \cdot (-4) = -32.$ c) $150 \cdot 30\% = 150 \cdot \dfrac{30}{100} = 45\text{ (m)}.$ d) $3\dfrac{3}{7} = \dfrac{24}{7}.$ Ta có: $\dfrac{24}{7} \cdot \dfrac{7}{12} = 2.$

Lời giải Bài 2:

a) $x = 21 : \dfrac{3}{7} = 21 \cdot \dfrac{7}{3} = 49.$ b) $x = 40 : \dfrac{-5}{8} = 40 \cdot \dfrac{8}{-5} = -64.$ c) $x = 180 : 60\% = 180 : \dfrac{3}{5} = 180 \cdot \dfrac{5}{3} = 300.$ d) $$x = \dfrac{16}{27} : \dfrac{4}{9} = \dfrac{16}{27} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{4}{3}.$$

Lời giải Bài 3:

Số học sinh đạt học lực Khá và Giỏi của trường là:

Lời giải Bài 4:

Phân số chỉ số thóc còn lại trong kho là:

Tổng số thóc bác nông dân thu hoạch được là:

Lời giải Bài 5:

a) Giá bán bằng $100\% - 20\% = 80\%$ giá niêm yết. Số tiền bạn Hùng phải trả là:

b) Giá $320\,000$ đồng ứng với $80\%$ giá gốc. Giá gốc của lẵng hoa là:

Lời giải Bài 6:

• Ngày thứ nhất Lan đọc được:$$180 \cdot \dfrac{1}{3} = 60\text{ (trang)}.$$
• Số trang còn lại sau ngày thứ nhất:$$180 - 60 = 120\text{ (trang)}.$$
• Ngày thứ hai Lan đọc được:$$120 \cdot \dfrac{3}{5} = 72\text{ (trang)}.$$
• Ngày thứ ba Lan đọc được:$$120 - 72 = 48\text{ (trang)}.$$

Lời giải Bài 7:

Coi cả đoạn đường là $1.$ Sau ngày thứ nhất, đoạn đường còn lại là:

Ngày thứ hai sửa được:

Ngày thứ ba sửa được:

Chiều dài toàn bộ đoạn đường là:

Lời giải Bài 8:

Sau lần bán thứ nhất, tấm vải còn lại:

Lần thứ hai bán được:

Sau hai lần bán, tấm vải còn lại:

Ban đầu tấm vải dài:

Lời giải Bài 9:

Nhận xét: Số học sinh nữ không thay đổi. Ta chọn số học sinh nữ làm mốc ($1$).

• Lúc đầu: Số học sinh nam bằng $\dfrac{3}{4}$ số học sinh nữ.
• Lúc sau: Số học sinh nam bằng $\dfrac{9}{10}$ số học sinh nữ. Số học sinh nam tăng thêm $6$ bạn, ứng với phân số:$$\dfrac{9}{10} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{18}{20} - \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{20}\text{ (số học sinh nữ)}.$$Số học sinh nữ của câu lạc bộ là:$$6 : \dfrac{3}{20} = 6 \cdot \dfrac{20}{3} = 40\text{ (học sinh)}.$$Số học sinh nam ban đầu là:$$40 \cdot \dfrac{3}{4} = 30\text{ (học sinh)}.$$Tổng số học sinh ban đầu của câu lạc bộ là:$$40 + 30 = 70\text{ (học sinh)}.$$

Lời giải Bài 10:

Tổng số sách ở hai ngăn không đổi là $160$ quyển.

• Lúc đầu: Ngăn A bằng $\dfrac{3}{5}$ ngăn B $\implies$ ngăn A có $3$ phần, tổng hai ngăn có $3 + 5 = 8$ phần. Số sách ngăn A lúc đầu:$$160 \cdot \dfrac{3}{8} = 60\text{ (quyển)}.$$
• Lúc sau: Ngăn A bằng $\dfrac{7}{9}$ ngăn B $\implies$ ngăn A có $7$ phần, tổng hai ngăn có $7 + 9 = 16$ phần. Số sách ngăn A lúc sau:$$160 \cdot \dfrac{7}{16} = 70\text{ (quyển)}.$$Số cuốn sách đã chuyển từ ngăn B sang ngăn A là:$$70 - 60 = 10\text{ (quyển)}.$$

Lời giải Bài 11:

Giải ngược từ lần bán thứ ba:

• Lần 3: Người thứ ba mua $\dfrac{1}{2}$ số trứng còn lại và thêm $2$ quả thì hết. Số trứng trước lần ba là:$$2 : \dfrac{1}{2} = 4\text{ (quả)}.$$
• Lần 2: Người thứ hai mua $\dfrac{1}{2}$ số trứng còn lại và thêm $2$ quả thì còn $4$ quả. Nếu người hai chỉ mua $\dfrac{1}{2}$ thì còn lại: $4 + 2 = 6$ quả. Số trứng trước lần hai là:$$6 : \dfrac{1}{2} = 12\text{ (quả)}.$$
• Lần 1: Người thứ nhất mua $\dfrac{1}{2}$ tổng số trứng và thêm $2$ quả thì còn $12$ quả. Nếu người một chỉ mua $\dfrac{1}{2}$ thì còn lại: $12 + 2 = 14$ quả. Tổng số trứng ban đầu là:$$14 : \dfrac{1}{2} = 28\text{ (quả)}.$$Đáp số: $28$ quả trứng.

Lời giải Bài 12:

Coi toàn bộ công việc là $1.$ Trong $1$ giờ, cả hai người cùng làm được:

Người thứ nhất làm trong $4$ giờ, người thứ hai làm trong $9$ giờ $= 4$ giờ $+ 5$ giờ. Ta coi như hai người cùng làm chung trong $4$ giờ, sau đó người thứ hai làm một mình thêm $5$ giờ nữa.

• Trong $4$ giờ làm chung, cả hai người làm được:$$4 \cdot \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}\text{ (công việc)}.$$
• Trong $5$ giờ làm một mình, người thứ hai làm được:$$\dfrac{7}{12} - \dfrac{4}{12} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\text{ (công việc)}.$$
• Trong $1$ giờ, người thứ hai làm được:$$\dfrac{1}{4} : 5 = \dfrac{1}{20}\text{ (công việc)}.$$
• Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc:$$1 : \dfrac{1}{20} = 20\text{ (giờ)}.$$
• Trong $1$ giờ, người thứ nhất làm được:$$\dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{5}{60} - \dfrac{3}{60} = \dfrac{2}{60} = \dfrac{1}{30}\text{ (công việc)}.$$
• Thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc:$$1 : \dfrac{1}{30} = 30\text{ (giờ)}.$$Đáp số: Người thứ nhất làm trong $30$ giờ; Người thứ hai làm trong $20$ giờ.

6. Đề kiểm tra 15 phút (Đề A & Đề B)

Đề A (Thời gian: 15 phút)

Phần 1: Trắc nghiệm (4 điểm) Câu 1: $\dfrac{3}{4}$ của $80\text{ kg}$ bằng: A. $60\text{ kg}$ B. $40\text{ kg}$ C. $100\text{ kg}$ D. $120\text{ kg}$

Câu 2: Tìm số $x$ biết $20\%$ của $x$ bằng $15$: A. $3$ B. $75$ C. $300$ D. $45$

Phần 2: Tự luận (6 điểm) Câu 3 (3 điểm): Một cửa hàng bán một chiếc ba lô với giá niêm yết là $350\,000$ đồng. Nhân dịp năm học mới, cửa hàng giảm giá $20\%.$ Hỏi người mua phải trả bao nhiêu tiền?

Câu 4 (3 điểm): Bác An bán được $36\text{ kg}$ xoài, số xoài này bằng $\dfrac{4}{7}$ tổng số xoài bác có. Hỏi bác An có tất cả bao nhiêu kilôgam xoài?

Đáp án và Biểu điểm Đề A

• Câu 1 (2 điểm): Chọn A (vì $80 \cdot \dfrac{3}{4} = 60\text{ kg}$).
• Câu 2 (2 điểm): Chọn B (vì $x = 15 : 20\% = 15 \cdot 5 = 75$).
• Câu 3 (3 điểm): Số tiền được giảm là: $350\,000 \cdot 20\% = 70\,000$ đồng. (1,5 điểm) Số tiền người mua phải trả là: $350\,000 - 70\,000 = 280\,000$ đồng. (1,5 điểm)
• Câu 4 (3 điểm): Tổng số xoài bác An có là: $36 : \dfrac{4}{7} = 36 \cdot \dfrac{7}{4} = 63\text{ (kg)}.$ (3,0 điểm)

Đề B (Thời gian: 15 phút)

Phần 1: Trắc nghiệm (4 điểm) Câu 1: Biết $\dfrac{2}{5}$ chiều dài một sợi dây là $10\text{ m}$. Sợi dây đó dài: A. $4\text{ m}$ B. $25\text{ m}$ C. $20\text{ m}$ D. $15\text{ m}$

Câu 2: $45\%$ của $200$ bằng: A. $90$ B. $45$ C. $100$ D. $80$

Phần 2: Tự luận (6 điểm) Câu 3 (3 điểm): Một lớp học có $45$ học sinh. Số học sinh tham gia câu lạc bộ Âm nhạc chiếm $\dfrac{2}{9}$ số học sinh cả lớp. Tính số học sinh tham gia câu lạc bộ Âm nhạc.

Câu 4 (3 điểm): Một cửa hàng bán một chiếc nồi cơm điện với giá $540\,000$ đồng sau khi đã được giảm giá $10\%.$ Tính giá niêm yết ban đầu của chiếc nồi cơm điện đó.

Đáp án và Biểu điểm Đề B

• Câu 1 (2 điểm): Chọn B (vì $10 : \dfrac{2}{5} = 25\text{ m}$).
• Câu 2 (2 điểm): Chọn A (vì $200 \cdot 45\% = 90$).
• Câu 3 (3 điểm): Số học sinh tham gia câu lạc bộ Âm nhạc là: $45 \cdot \dfrac{2}{9} = 10\text{ (học sinh)}.$ (3,0 điểm)
• Câu 4 (3 điểm): Giá bán $540\,000$ đồng ứng với: $100\% - 10\% = 90\%$ giá niêm yết. (1,0 điểm) Giá niêm yết ban đầu là: $540\,000 : 90\% = 540\,000 : \dfrac{9}{10} = 600\,000\text{ (đồng)}.$ (2,0 điểm)

7. Cạm bẫy học sinh thường gặp & Bí quyết ghi nhớ

Lưu ý / Cảnh báo

Các cạm bẫy học sinh thường mắc phải:

1. Lẫn lộn giữa phép nhân và phép chia: Rất nhiều bạn khi gặp bài toán "Tìm số biết $\dfrac{3}{5}$ của nó là $60$" lại lấy $60 \cdot \dfrac{3}{5} = 36$ (sai hoàn toàn!). Phải lấy $60 : \dfrac{3}{5} = 100.$ Hãy luôn tìm chữ "của" để nhận dạng.
2. Cộng dồn phân số không cùng mốc: Đề bài cho: "Ngày 1 bán $\dfrac{1}{3}$ số cam, ngày 2 bán $\dfrac{1}{2}$ số cam còn lại", học sinh liền lấy $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}$ cả sọt cam (sai nghiêm trọng!). $\dfrac{1}{2}$ ở đây là một nửa của phần còn lại, chứ không phải một nửa của cả sọt.
3. Nhầm giá sau giảm với số tiền giảm: Giảm $20\%$ nghĩa là giá mới bằng $80\%$ giá cũ. Cần đọc kỹ câu hỏi hỏi "số tiền được giảm" hay "số tiền phải trả".

Mẹo hay

Thơ vui ghi nhớ Hai bài toán phân số: "Bài toán số một chớ phiền, Đã cho số gốc, nhân liền ra ngay! Bài toán số hai khéo thay, Biết phần giá trị, chia ngay tức thì! Phần còn lại nhớ khắc ghi, Trừ đi một trọn, tính suy từng vòng! Ngược dòng từ dưới lên trên, Cộng bù chia tiếp, ấm êm điểm mười!"