Ôn tập Chương 2: Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Chương II là một trong những trụ cột quan trọng nhất của số học lớp 6, kết nối liền mạch 5 bài học cốt lõi: từ khái niệm nền tảng về quan hệ chia hết (Bài 8), các quy tắc nhận biết nhanh (Bài 9), cấu trúc nguyên tử của số tự nhiên qua số nguyên tố (Bài 10), đến công cụ giải quyết bài toán chia đều và chu kỳ lặp là Ước chung lớn nhất (Bài 11) cùng Bội chung nhỏ nhất (Bài 12).

Bài viết này hệ thống hóa toàn bộ kiến thức trọng tâm của Chương II, tổng hợp các dạng toán thực tế, 5 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi và 3 đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận có trắc nghiệm tương tác kèm lời giải chi tiết.

Phần I. Hệ thống kiến thức cốt lõi Chương II

1. Sơ đồ mạch kiến thức Chương II

Toàn bộ chương được phát triển chặt chẽ từ một mối quan hệ gốc duy nhất: quan hệ chia hết.

2. Bảng tóm tắt 5 bài học trọng tâm

3. Bảng so sánh then chốt: Phân biệt ƯCLN và BCNN

Đây là điểm học sinh hay nhầm lẫn nhất trong toàn bộ chương. Cả hai phương pháp đều khởi đầu bằng việc phân tích các số ra thừa số nguyên tố, nhưng các bước tiếp theo hoàn toàn trái ngược:

Ví dụ so sánh đối chiếu: Cho hai số $24 = 2^3 \cdot 3$ và $36 = 2^2 \cdot 3^2.$

• Thừa số chung là $2$ và $3$. Thừa số riêng: không có.
• $\text{ƯCLN}(24, 36) = 2^2 \cdot 3^1 = 12.$ (nhỏ hơn hoặc bằng $24$)
• $\text{BCNN}(24, 36) = 2^3 \cdot 3^2 = 72.$ (lớn hơn hoặc bằng $36$)
• Tích: $\text{ƯCLN} \cdot \text{BCNN} = 12 \cdot 72 = 864 = 24 \cdot 36.$

4. Các sai lầm kinh điển học sinh hay mắc phải

Lưu ý / Cảnh báo

Hãy ghi nhớ và tránh các lỗi sai phổ biến sau:

1. Hiểu sai tính chất tổng chia hết: Tổng $(a + b) \ \vdots \ m$ không có nghĩa là từng số $a$ và $b$ phải chia hết cho $m.$ Ví dụ: $11 + 14 = 25 \ \vdots \ 5$, nhưng cả $11$ và $14$ đều không chia hết cho 5.
2. Nhầm lẫn dấu hiệu chia hết cho 3 và 9 với chữ số tận cùng: Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9 phụ thuộc vào tổng các chữ số, tuyệt đối không nhìn vào chữ số tận cùng. Ví dụ số $23$ tận cùng là 3 nhưng không chia hết cho 3; số $19$ tận cùng là 9 nhưng không chia hết cho 9.
3. Nhầm lẫn giữa chia hết cho 3 và chia hết cho 9: Số chia hết cho 9 thì luôn chia hết cho 3. Ngược lại, số chia hết cho 3 chưa chắc chia hết cho 9. Ví dụ: số $24$ có tổng chữ số là $6 \ \vdots \ 3$ nên $24 \ \vdots \ 3$, nhưng $24 \not\vdots \ 9.$
4. Nhầm lẫn về số nguyên tố: Số $0$ và số $1$ không phải là số nguyên tố và cũng không phải là hợp số. Số $2$ là số nguyên tố chẵn duy nhất. Mọi số nguyên tố khác đều là số lẻ.
5. Phân tích chưa triệt để ra thừa số nguyên tố: Viết $72 = 8 \cdot 9$ hay $72 = 2 \cdot 36$ là chưa hoàn thành phân tích vì $8, 9, 36$ vẫn là hợp số. Viết đúng phải là $72 = 2^3 \cdot 3^2.$
6. Hiểu sai khái niệm nguyên tố cùng nhau: Hai số nguyên tố cùng nhau chỉ cần có $\text{ƯCLN} = 1$, bản thân chúng không nhất thiết phải là số nguyên tố. Ví dụ $8$ và $15$ đều là hợp số nhưng $\text{ƯCLN}(8, 15) = 1$ nên chúng là hai số nguyên tố cùng nhau.
7. Lấy số $0$ làm BCNN: Số $0$ là bội chung của mọi số tự nhiên khác 0, nhưng theo định nghĩa $\text{BCNN}$ phải là số nhỏ nhất khác 0. Do đó $\text{BCNN}$ không bao giờ bằng 0.

Phần II. Bài toán tổng hợp (Liên kết nhiều bài)

Các bài toán dưới đây kết hợp nhiều mảng kiến thức đã học trong Chương II:

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Cho hai số tự nhiên $48$ và $72.$ a) Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. b) Tìm $\text{ƯCLN}(48, 72)$ và $\text{BCNN}(48, 72).$ c) Kiểm tra lại hệ thức $\text{ƯCLN}(a, b) \cdot \text{BCNN}(a, b) = a \cdot b.$

Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính sau rồi phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố: a) $A = 15 \cdot 6 + 225 : 15^2;$ b) $B = 5 \cdot 4^2 - 48 : 2^3.$

Ví dụ 3. Không thực hiện phép tính, hãy xét xem: a) Tổng $M = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 + 135$ có chia hết cho 5 không? b) Hiệu $N = 450 - 4 \cdot 25 - 5 \cdot 8$ có chia hết cho 10 không?

Ví dụ 4. Không tính kết quả, hãy giải thích vì sao mỗi số sau đều là hợp số: a) $P = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 + 45;$ b) $Q = 14 \cdot 15 \cdot 16 - 4 \cdot 5 \cdot 6.$

Ví dụ 5. Tìm các chữ số $x, y$ để số $\overline{4xy}$ chia hết cho cả $2, 5$ và $9.$ Số tìm được là số nguyên tố hay hợp số?

Bài tập luyện tập tự giải

Luyện tập 1. Cho hai số $28$ và $42.$ a) Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. b) Tìm $\text{ƯCLN}(28, 42)$ và $\text{BCNN}(28, 42).$ c) Chứng minh rằng $\text{ƯCLN}(28, 42) \cdot \text{BCNN}(28, 42) = 28 \cdot 42.$

Luyện tập 2. Tính giá trị biểu thức sau rồi phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố:

Luyện tập 3. Không thực hiện phép tính, hãy giải thích vì sao biểu thức sau chia hết cho 15:

Luyện tập 4. Không tính giá trị, hãy cho biết mỗi số sau là số nguyên tố hay hợp số: a) $E = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 + 2026;$ b) $F = 15 \cdot 19 \cdot 23 - 5 \cdot 7 \cdot 9.$

Luyện tập 5. a) Tìm chữ số $a$ để số $\overline{5a7}$ chia hết cho 9. b) Tìm các chữ số $a, b$ để số $\overline{a7b}$ chia hết cho cả 2, 5 và 3.

Luyện tập 6. Số bút bi trong một thùng khi xếp thành từng hộp $12$ chiếc, $15$ chiếc hoặc $18$ chiếc đều vừa đủ. Tính số bút bi trong thùng, biết số bút nằm trong khoảng từ $300$ đến $400$ chiếc.

Phần III. Năm chuyên đề nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi

Năm chuyên đề dưới đây bao quát các dạng bài tập phân loại học sinh giỏi thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện và kỳ thi khảo sát chất lượng:

Chuyên đề 1: Phương pháp chứng minh chia hết

Ghi nhớ

Phương pháp giải:

• Phương pháp đặt thừa số chung: Để chứng minh một tổng luỹ thừa chia hết cho số $m$, ta nhóm các số hạng thành từng cặp hoặc từng bộ ba, bộ bốn thích hợp sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chung là $m$ hoặc bội của $m.$
• Tích các số tự nhiên liên tiếp: Trong $k$ số tự nhiên liên tiếp luôn có đúng một số chia hết cho $k.$ Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2; tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6; tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.

Bài nâng cao 1. Cho tổng $A = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{19} + 3^{20}.$ Chứng tỏ rằng $A \ \vdots \ 4.$

Bài nâng cao 2. Cho biểu thức $B = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{58} + 5^{59}.$ Chứng minh rằng $B \ \vdots \ 6$ và $B \ \vdots \ 31.$

Bài nâng cao 3. Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 24.

Chuyên đề 2: Dấu hiệu chia hết và bài toán điền chữ số

Ghi nhớ

Phương pháp giải:

• Ưu tiên xét điều kiện chia hết cho 2 hoặc cho 5 trước để thu hẹp chữ số tận cùng.
• Sau đó sử dụng điều kiện chia hết cho 3 hoặc cho 9 dựa vào tổng các chữ số.
• Với bài toán tìm số cấu tạo, sử dụng phân tích hàng: $\overline{ab} = 10a + b$ để đưa về phương trình ước số.

Bài nâng cao 4. Tìm các chữ số $a, b$ để số $\overline{3a4b}$ chia hết cho cả 5 và 9.

Bài nâng cao 5. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp đúng 3 lần tích các chữ số của nó.

Bài nâng cao 6. Tìm các chữ số $x, y, z, t$ và số tự nhiên $k$ sao cho:

Chuyên đề 3: Số nguyên tố, hợp số và bài toán đếm ước

Ghi nhớ

Phương pháp giải:

• Để chứng minh một số là hợp số, chỉ ra nó có một ước lớn hơn 1 và khác chính nó.
• Khi giải bài toán tìm số nguyên tố $p$, thường xét các trường hợp của $p$ theo số dư khi chia cho 3 ($p = 3k, 3k+1, 3k+2$) hoặc chia cho 5.
• Công thức tính số ước: Nếu số $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ thì số ước của $N$ là $(a_1 + 1)(a_2 + 1)\cdots(a_k + 1).$

Bài nâng cao 7. Hai số $43$ và $25$ khi chia cho số tự nhiên $a$ ($a > 1$) đều có cùng số dư $r.$ Tìm số $a$ và số dư $r.$

Bài nâng cao 8. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $p + 2$ và $p + 4$ cũng đều là số nguyên tố.

Bài nâng cao 9. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng: a) 9 ước số; b) 10 ước số.

Chuyên đề 4: Ước chung lớn nhất và bài toán chia đều

Ghi nhớ

Phương pháp giải:

• Nếu $\text{ƯCLN}(a, b) = d$, ta đặt $a = d \cdot m$ và $b = d \cdot n$ với $\text{ƯCLN}(m, n) = 1.$
• Nếu hai số $A$ và $B$ chia cho $x$ có cùng số dư thì hiệu $(A - B) \ \vdots \ x.$
• Nếu $A$ chia $x$ dư $r_1$, $B$ chia $x$ dư $r_2$ thì $(A - r_1) \ \vdots \ x$ và $(B - r_2) \ \vdots \ x$ với điều kiện $x > r_1$ và $x > r_2.$

Bài nâng cao 10. Tìm hai số tự nhiên $a, b$ ($a < b$), biết rằng $a + b = 96$ và $\text{ƯCLN}(a, b) = 12.$

Bài nâng cao 11. Tìm số tự nhiên $a$, biết rằng $355$ chia cho $a$ dư $15$, còn $260$ chia cho $a$ dư $20.$

Bài nâng cao 12. Tìm các số tự nhiên $a, b$ ($a < b$), biết rằng $a \cdot b = 540$ và $\text{ƯCLN}(a, b) = 6.$

Chuyên đề 5: Bội chung nhỏ nhất, chu kỳ lặp và hệ thức vàng

Ghi nhớ

Phương pháp giải:

• Bài toán gặp lại nhau sau một khoảng thời gian: thời gian gặp lại lần đầu tiên chính là $\text{BCNN}$ của các chu kỳ thành phần.
• Sử dụng hệ thức: $\text{ƯCLN}(a, b) \cdot \text{BCNN}(a, b) = a \cdot b.$ Đặt $a = dm, b = dn$ với $\text{ƯCLN}(m, n) = 1$, khi đó $\text{BCNN}(a, b) = d \cdot m \cdot n.$

Bài nâng cao 13. Tìm hai số tự nhiên $a, b$ ($a < b$), biết rằng $\text{ƯCLN}(a, b) = 15$ và $\text{BCNN}(a, b) = 180.$

Bài nâng cao 14. Hai vệ tinh viễn thông bay quanh Trái Đất theo quỹ đạo tròn. Vệ tinh A mất $16$ giờ để bay hết một vòng, vệ tinh B mất $24$ giờ để bay hết một vòng. Lúc 0 giờ ngày 1 tháng 1, cả hai vệ tinh cùng bay qua đường kinh tuyến số 0. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì cả hai vệ tinh lại cùng bay qua kinh tuyến số 0 vào đúng thời điểm đó?

Bài nâng cao 15. Tìm hai số tự nhiên $a, b$ ($a < b$), biết rằng: a) $\text{BCNN}(a, b) + \text{ƯCLN}(a, b) = 25;$ b) $\text{BCNN}(a, b) - \text{ƯCLN}(a, b) = 5.$

Phần IV. Tuyển tập bài thi học sinh giỏi & khảo sát chất lượng

Bài 1. Một nhóm học sinh gồm nhiều hơn 25 bạn đứng xếp thành một vòng tròn. Khi đếm số lần lượt theo chiều kim đồng hồ bắt đầu từ số 1, thì số 35 và số 980 rơi vào cùng một bạn học sinh. Hỏi nhóm đó có ít nhất bao nhiêu học sinh?

Bài 2. Tìm số tự nhiên $n$, biết rằng:

Bài 3. Tìm số nguyên tố $p$ sao cho cả bốn số $p + 4, p + 8, p + 12, p + 16$ đều là các số nguyên tố.

Bài 4. Tìm các số tự nhiên $n < 40$ để hai số $2n + 5$ và $3n + 1$ có ước chung khác 1.

Bài 5. Tổng của năm số tự nhiên bằng 180. Ước chung lớn nhất của năm số đó có thể nhận giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Bài 6. Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho 7 thì dư 4, chia cho 9 thì dư 6, chia cho 11 thì dư 8 và số đó chia hết cho 13.

Phần V. Ba đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận

Ma trận đề kiểm tra chuẩn cấu trúc: 3 điểm Trắc nghiệm (12 câu) + 7 điểm Tự luận (4 bài).

Đề kiểm tra số 1

Trắc nghiệm tương tác (3,0 điểm)

Tự luận Đề số 1 (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm). Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: a) $108;$ b) $360.$

Bài 2 (2,0 điểm). Tìm $\text{ƯCLN}(24, 32)$ và $\text{BCNN}(24, 32).$

Bài 3 (1,5 điểm). Số học sinh của một lớp khi xếp hàng 8 em hoặc hàng 10 em đều vừa đủ. Tính số học sinh của lớp đó, biết rằng số học sinh trong khoảng từ $70$ đến $90$ em.

Bài 4 (1,5 điểm). a) Không tính kết quả, hãy giải thích vì sao tổng $4 \cdot 5 \cdot 6 + 75$ chia hết cho 5. b) Tìm các chữ số $x$ để số $\overline{5x4}$ chia hết cho 3.

Đề kiểm tra số 2

Trắc nghiệm tương tác (3,0 điểm)

Tự luận Đề số 2 (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm). Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: a) $120;$ b) $450.$

Bài 2 (2,0 điểm). Tìm $\text{ƯCLN}(28, 42)$ và $\text{BCNN}(28, 42).$

Bài 3 (1,5 điểm). Số học sinh khối 6 của một trường khi xếp thành các hàng $12$ em hoặc $15$ em đều vừa vặn, không thừa em nào. Tính số học sinh của khối 6, biết số học sinh nằm trong khoảng từ $100$ đến $140$ em.

Bài 4 (1,5 điểm). a) Không tính kết quả, hãy giải thích vì sao tổng $3 \cdot 5 \cdot 8 + 85$ chia hết cho 5. b) Tìm các chữ số $y$ để số $\overline{8y1}$ chia hết cho 3.

Đề kiểm tra số 3 (Đề phân hóa nâng cao)

Trắc nghiệm tương tác (3,0 điểm)

Tự luận Đề số 3 (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm). Cho hai số $126$ và $168.$ a) Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. b) Tìm $\text{ƯCLN}(126, 168)$ và $\text{BCNN}(126, 168).$

Bài 2 (1,5 điểm). Ba bạn An, Bình và Cường cùng tham gia trực nhật thư viện vào ngày đầu tuần. Biết rằng An cứ $6$ ngày trực một lần, Bình cứ $8$ ngày trực một lần, còn Cường cứ $10$ ngày trực một lần. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì cả ba bạn lại cùng trực nhật vào một ngày?

Bài 3 (2,0 điểm). Cho biểu thức:

Chứng tỏ rằng: a) $S \ \vdots \ 5;$ b) $S \ \vdots \ 21.$

Bài 4 (1,5 điểm). Tìm hai số tự nhiên $a$ và $b$ ($a < b$), biết rằng $\text{ƯCLN}(a, b) = 8$ và $\text{BCNN}(a, b) = 192.$

Phần VI. Lời giải chi tiết & Đáp án

A. Lời giải Bài tập luyện tập (Phần II)

Lời giải Luyện tập 1. a) Phân tích: $28 = 2^2 \cdot 7;\; 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7.$ b) $\text{ƯCLN}(28, 42) = 2 \cdot 7 = 14.$ $\text{BCNN}(28, 42) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84.$ c) $\text{ƯCLN} \cdot \text{BCNN} = 14 \cdot 84 = 1176.$ Ta có $28 \cdot 42 = 1176.$ Hai kết quả bằng nhau.

Lời giải Luyện tập 2.

Phân tích ra thừa số nguyên tố:

Lời giải Luyện tập 3. Ta có:

• $3150 = 15 \cdot 210 \ \vdots \ 15.$
• $45 = 15 \cdot 3 \ \vdots \ 15.$
• $90 = 15 \cdot 6 \ \vdots \ 15.$
• $60 = 15 \cdot 4 \ \vdots \ 15.$ Vì mọi số hạng trong biểu thức đều chia hết cho 15 nên $D \ \vdots \ 15.$

Lời giải Luyện tập 4. a) $E = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 + 2026.$ Tích $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ có thừa số 2 nên chia hết cho 2; số $2026$ có tận cùng chẵn nên chia hết cho 2. Do đó tổng $E \ \vdots \ 2.$ Mà $E > 2$ nên $E$ là hợp số. b) $F = 15 \cdot 19 \cdot 23 - 5 \cdot 7 \cdot 9.$ Tích $15 \cdot 19 \cdot 23$ có $15 \ \vdots \ 5$; tích $5 \cdot 7 \cdot 9$ có thừa số 5. Do đó cả hai tích đều chia hết cho 5, suy ra hiệu $F \ \vdots \ 5.$ Mà $F > 5$ nên $F$ là hợp số.

Lời giải Luyện tập 5. a) Số $\overline{5a7} \ \vdots \ 9 \iff 5 + a + 7 = 12 + a \ \vdots \ 9.$ Vì $a$ là chữ số nên $12 + a = 18 \implies a = 6.$ Số tìm được là $567.$ b) Số $\overline{a7b} \ \vdots \ 2$ và $\ \vdots \ 5 \implies b = 0.$ Số trở thành $\overline{a70}.$ Để $\overline{a70} \ \vdots \ 3 \iff a + 7 + 0 = a + 7 \ \vdots \ 3.$ Vì $a \in \{1; 2; \dots; 9\}$ nên $a + 7 \in \{9; 12; 15\} \implies a \in \{2; 5; 8\}.$ Vậy có ba cặp $(a, b)$ là $(2, 0), (5, 0), (8, 0).$

Lời giải Luyện tập 6. Gọi số bút bi là $x$ chiếc ($300 \le x \le 400$). Vì xếp thành từng hộp $12, 15, 18$ chiếc đều vừa đủ nên $x \in \text{BC}(12, 15, 18).$ Phân tích: $12 = 2^2 \cdot 3;\; 15 = 3 \cdot 5;\; 18 = 2 \cdot 3^2.$

Vì $300 \le x \le 400$ nên $x = 360.$ Vậy trong thùng có đúng $360$ chiếc bút bi.

B. Lời giải 5 Chuyên đề nâng cao (Phần III)

Lời giải Nâng cao 1. Tổng $A$ có 20 số hạng, ta nhóm từng cặp 2 số hạng liên tiếp:

Vì có thừa số 4 nên $A \ \vdots \ 4.$

Lời giải Nâng cao 2. Tổng $B$ có $60$ số hạng.

• Chứng minh $B \ \vdots \ 6$: Nhóm từng cặp 2 số hạng liên tiếp:$$B = (1 + 5) + (5^2 + 5^3) + \dots + (5^{58} + 5^{59})$$$$B = 6 + 5^2(1 + 5) + \dots + 5^{58}(1 + 5) = 6(1 + 5^2 + \dots + 5^{58}) \ \vdots \ 6.$$
• Chứng minh $B \ \vdots \ 31$: Vì $60$ chia hết cho 3 nên ta nhóm từng bộ ba số hạng liên tiếp (gồm 20 nhóm):$$B = (1 + 5 + 5^2) + (5^3 + 5^4 + 5^5) + \dots + (5^{57} + 5^{58} + 5^{59})$$$$B = (1 + 5 + 25) + 5^3(1 + 5 + 25) + \dots + 5^{57}(1 + 5 + 25)$$$$B = 31 + 31 \cdot 5^3 + \dots + 31 \cdot 5^{57} = 31(1 + 5^3 + \dots + 5^{57}) \ \vdots \ 31.$$

Lời giải Nâng cao 3. Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là $n, n+1, n+2, n+3.$

• Trong 4 số tự nhiên liên tiếp, chắc chắn có hai số chẵn liên tiếp. Trong hai số chẵn liên tiếp, luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4, do đó tích của chúng chia hết cho $2 \cdot 4 = 8.$
• Trong 4 số tự nhiên liên tiếp, luôn có ít nhất một số chia hết cho 3.
• Vì $\text{ƯCLN}(8, 3) = 1$ nên tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho $8 \cdot 3 = 24.$

Lời giải Nâng cao 4. Số $\overline{3a4b} \ \vdots \ 5 \implies b \in \{0; 5\}.$

• Trường hợp 1: $b = 0$, số trở thành $\overline{3a40}.$ Để chia hết cho 9 thì $3 + a + 4 + 0 = 7 + a \ \vdots \ 9 \implies a = 2.$ Ta được số $3240.$
• Trường hợp 2: $b = 5$, số trở thành $\overline{3a45}.$ Để chia hết cho 9 thì $3 + a + 4 + 5 = 12 + a \ \vdots \ 9 \implies a = 6.$ Ta được số $3645.$ Vậy có hai cặp chữ số $(a, b)$ là $(2, 0)$ và $(6, 5).$

Lời giải Nâng cao 5. Gọi số có hai chữ số là $\overline{ab}$ ($1 \le a \le 9;\; 0 \le b \le 9$). Theo đề bài: $\overline{ab} = 3 \cdot a \cdot b.$

Do đó $10a \ \vdots \ (3a - 1).$ Ta có $3 \cdot (10a) = 30a = 10(3a - 1) + 10.$ Vì $10(3a - 1) \ \vdots \ (3a - 1)$ nên $10 \ \vdots \ (3a - 1).$ Suy ra $(3a - 1)$ là ước của 10. Các ước dương của 10 là $\{1; 2; 5; 10\}.$

• $3a - 1 = 1 \implies 3a = 2$ (loại).
• $3a - 1 = 2 \implies 3a = 3 \implies a = 1.$ Khi đó $10 \cdot 1 = b(3 \cdot 1 - 1) \implies 10 = 2b \implies b = 5.$ Thử lại: $15 = 3 \cdot 1 \cdot 5$ (đúng!).
• $3a - 1 = 5 \implies 3a = 6 \implies a = 2.$ Khi đó $10 \cdot 2 = b(3 \cdot 2 - 1) \implies 20 = 5b \implies b = 4.$ Thử lại: $24 = 3 \cdot 2 \cdot 4$ (đúng!).
• $3a - 1 = 10 \implies 3a = 11$ (loại). Vậy có hai số thỏa mãn là $15$ và $24.$

Lời giải Nâng cao 6. Biểu thức: $\overline{xyzt0} - 1110k = \overline{xyzt}.$ Đặt $N = \overline{xyzt}.$ Khi đó $\overline{xyzt0} = 10N.$ Phương trình trở thành:

Vì $N$ là số tự nhiên có 4 chữ số và $\text{ƯCLN}(370, 3) = 1$ nên $k$ phải chia hết cho 3. Đặt $k = 3m$, khi đó $N = 370m.$ Vì $N$ có 4 chữ số ($1000 \le N \le 9999$) nên $1000 \le 370m \le 9999 \implies 3 \le m \le 27.$ Ví dụ với $m = 3$, ta có $k = 9$ và $N = 1110.$ Khi đó $11100 - 1110 \cdot 9 = 11100 - 9990 = 1110$ (đúng).

Lời giải Nâng cao 7. Vì $43$ và $25$ chia cho $a$ đều có cùng số dư $r$ ($r < a$) nên hiệu của chúng phải chia hết cho $a$:

Vì $a > 1$ và $a > r$, các ước của $18$ lớn hơn 1 là $\{2; 3; 6; 9; 18\}.$

• Nếu $a = 18$: $43 = 18 \cdot 2 + 7;\; 25 = 18 \cdot 1 + 7 \implies r = 7.$
• Nếu $a = 9$: $43 = 9 \cdot 4 + 7;\; 25 = 9 \cdot 2 + 7 \implies r = 7.$
• Nếu $a = 6$: $43 = 6 \cdot 7 + 1;\; 25 = 6 \cdot 4 + 1 \implies r = 1.$
• Nếu $a = 3$: $43 = 3 \cdot 14 + 1;\; 25 = 3 \cdot 8 + 1 \implies r = 1.$
• Nếu $a = 2$: $43 = 2 \cdot 21 + 1;\; 25 = 2 \cdot 12 + 1 \implies r = 1.$