Câu 1. Viết hai tập hợp:

• $\text{Ư}(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}.$
• $\text{Ư}(20) = \{1; 2; 4; 5; 10; 20\}.$ Các số có mặt trong cả hai tập hợp là: $1; 2; 4.$

Câu 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố:

• $40 = 2^3 \cdot 5.$
• $56 = 2^3 \cdot 7.$

Câu 3. Áp dụng công thức tính số ước: Vì $36 = 2^2 \cdot 3^2$ nên số lượng ước của $36$ là: $(2 + 1)(2 + 1) = 3 \cdot 3 = 9$ ước. (Các ước là: $1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36$).

Câu 4.

Em đã chia cả tử và mẫu cho số $5.$ Không còn chia được cho số tự nhiên nào lớn hơn $5$ nữa vì $2$ và $3$ không còn ước chung nào khác $1.$

Câu 5. Để tìm những số vừa là ước của số này vừa là ước của số kia, việc liệt kê hết các ước chỉ tiện khi các số nhỏ. Với các số lớn, ta có phương pháp tìm ƯCLN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố rồi lấy các ước của ƯCLN đó mà không cần liệt kê toàn bộ.

Ta có:

• $\text{Ư}(16) = \{1; 2; 4; 8; 16\}$
• $\text{Ư}(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}$

Các số cùng xuất hiện trong cả hai tập hợp là: $1; 2; 4; 8.$ Do đó:

Số lớn nhất trong tập hợp đó là $8,$ vậy:

(Nhận xét: các ước chung $1; 2; 4; 8$ đều là ước của số $8$).

• Bước 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố:$$36 = 2^2 \cdot 3^2$$$$90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$$
• Bước 2: Các thừa số nguyên tố chung là $2$ và $3$ (thừa số $5$ chỉ có ở $90$ nên không lấy).
• Bước 3: Lấy mỗi thừa số chung với số mũ nhỏ nhất:
  • Thừa số $2$: số mũ nhỏ nhất là $1$ (trong $2^1$).
  • Thừa số $3$: số mũ nhỏ nhất là $2$ (trong $3^2$).$$\text{ƯCLN}(36, 90) = 2^1 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18.$$

Từ đó:

a) Phân tích: $9 = 3^2$ và $20 = 2^2 \cdot 5.$ Hai số không có thừa số nguyên tố chung nào, do đó $\text{ƯCLN}(9, 20) = 1.$ Vậy $9$ và $20$ là hai số nguyên tố cùng nhau (dù cả hai số đều là hợp số!).

b) Phân tích: $28 = 2^2 \cdot 7$ và $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7.$

Chia cả tử và mẫu cho $14$:

Vì $\text{ƯCLN}(2, 3) = 1$ nên phân số $\dfrac{2}{3}$ là phân số tối giản.

a) Ta có $45\ \vdots\ 3$ (vì $45 : 3 = 15$), nhưng $70 \not\vdots\ 3$ (vì $70 : 3 = 23$ dư $1$). Vì số $3$ không là ước của $70$ nên $3$ không phải là ước chung của $45$ và $70$.

b) Ta có $48\ \vdots\ 6$ (vì $48 : 6 = 8$) và $72\ \vdots\ 6$ (vì $72 : 6 = 12$). Vì $6$ là ước của cả $48$ và $72$ nên $6$ là ước chung của $48$ và $72$.

a)

• $\text{Ư}(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}.$
• $\text{Ư}(30) = \{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30\}.$

b) Các phần tử có mặt trong cả hai tập hợp là: $1; 2; 3; 6.$ Do đó:

a) Ta có:

• $\text{Ư}(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}$
• $\text{Ư}(36) = \{1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\}$ Vậy $\text{ƯC}(24, 36) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}.$

b) Ta có:

• $\text{Ư}(14) = \{1; 2; 7; 14\}$
• $\text{Ư}(35) = \{1; 5; 7; 35\}$ Vậy $\text{ƯC}(14, 35) = \{1; 7\}.$

a) Vì $18\ \vdots\ 6$ nên:

b) Vì $21\ \vdots\ 7$ và $63\ \vdots\ 7$ nên:

c) Phân tích: $24 = 2^3 \cdot 3$ và $40 = 2^3 \cdot 5.$ Thừa số nguyên tố chung là $2.$

d) Phân tích:

• $36 = 2^2 \cdot 3^2$
• $54 = 2 \cdot 3^3$
• $72 = 2^3 \cdot 3^2$ Thừa số chung là $2$ và $3,$ lấy số mũ nhỏ nhất:$$\text{ƯCLN}(36, 54, 72) = 2^1 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18.$$

a) Vì $27\ \vdots\ 9$ nên:

b) Vì $48\ \vdots\ 12$ và $96\ \vdots\ 12$ nên:

c) Phân tích: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ và $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7.$ Thừa số chung là $3$ và $5$:

d) Phân tích:

• $36 = 2^2 \cdot 3^2$
• $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
• $140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$ Thừa số nguyên tố chung duy nhất có mặt ở cả ba số là $2$ (số $3$ và $5$ không có đủ ở cả 3 số).$$\text{ƯCLN}(36, 60, 140) = 2^2 = 4.$$

a) Phân tích: $54 = 2 \cdot 3^3$ và $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5.$

b) Phân tích:

• $48 = 2^4 \cdot 3$
• $72 = 2^3 \cdot 3^2$
• $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ Thừa số chung là $2$ và $3,$ lấy số mũ nhỏ nhất là $2^3$ và $3^1$:$$\text{ƯCLN}(48, 72, 120) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24.$$

a) Vì $\text{ƯCLN}(36, 54) = 18$ nên:

b) Ta thấy $48\ \vdots\ 16$ và $80\ \vdots\ 16$ nên $\text{ƯCLN}(16, 48, 80) = 16.$ Do đó:

a)

b) Phân tích:

• $24 = 2^3 \cdot 3$
• $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
• $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$$$\text{ƯCLN}(24, 60, 84) = 2^2 \cdot 3 = 12.$$Do đó:$$\text{ƯC}(24, 60, 84) = \text{Ư}(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}.$$

Phân tích ra thừa số nguyên tố:

• $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$
• $140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$ Thừa số chung là $2$ và $7$:$$\text{ƯCLN}(84, 140) = 2^2 \cdot 7 = 28.$$Do đó:$$\text{ƯC}(84, 140) = \text{Ư}(28) = \{1; 2; 4; 7; 14; 28\}.$$

a) Phân tích: $14 = 2 \cdot 7$ và $25 = 5^2.$ Hai số không có thừa số nguyên tố chung nên $\text{ƯCLN}(14, 25) = 1.$ Vậy $14$ và $25$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Ta có $15 = 3 \cdot 5.$ Cần tìm một hợp số không chia hết cho $3$ và không chia hết cho $5.$ Chẳng hạn chọn số $8$ ($8 = 2^3$ là hợp số và $\text{ƯCLN}(8, 15) = 1$) hoặc số $14, 16, 22, 26, 49.$

a) $21 = 3 \cdot 7$ và $40 = 2^3 \cdot 5.$ Không có thừa số nguyên tố chung $\implies \text{ƯCLN}(21, 40) = 1.$ Vậy $21$ và $40$ nguyên tố cùng nhau.

b) $18 = 2 \cdot 3^2$ và $45 = 3^2 \cdot 5 \implies \text{ƯCLN}(18, 45) = 3^2 = 9 \neq 1.$ Vậy $18$ và $45$ không nguyên tố cùng nhau.

c) Ta có $14 = 2 \cdot 7.$ Ta cần tìm các hợp số là số lẻ và không chia hết cho $7.$ Chẳng hạn hai số $9$ ($9 = 3^2$) và $25$ ($25 = 5^2$). Cả hai đều là hợp số và đều nguyên tố cùng nhau với $14.$

a) Ta có $\text{ƯCLN}(18, 30) = 6.$ Chia cả tử và mẫu cho $6$:

b) Ta có $\text{ƯCLN}(24, 36) = 12.$ Chia cả tử và mẫu cho $12$:

c) Ta có $35 = 5 \cdot 7$ và $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \implies \text{ƯCLN}(35, 84) = 7.$ Chia cả tử và mẫu cho $7$:

Số học sinh của tổ II vừa là ước của $48,$ vừa là ước của $36,$ nên là ước chung của $48$ và $36.$ Ta có:

• $48 = 2^4 \cdot 3$
• $36 = 2^2 \cdot 3^2$$$\text{ƯCLN}(48, 36) = 2^2 \cdot 3 = 12.$$Do đó:$$\text{ƯC}(48, 36) = \text{Ư}(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}.$$Vì tổ II có nhiều hơn $4$ học sinh nên số học sinh của tổ II có thể là $6$ học sinh hoặc $12$ học sinh.

Độ dài cạnh ô vuông phải là ước chung của chiều dài $96\text{ m}$ và chiều rộng $36\text{ m}.$ Để cạnh ô vuông đạt kích thước lớn nhất, độ dài cạnh phải bằng $\text{ƯCLN}(96, 36).$ Phân tích ra thừa số nguyên tố:

• $96 = 2^5 \cdot 3$
• $36 = 2^2 \cdot 3^2$$$\text{ƯCLN}(96, 36) = 2^2 \cdot 3 = 12.$$Vậy độ dài cạnh ô vuông lớn nhất bằng $12\text{ m}.$

a) Số đĩa là ước chung của $420;\; 1050$ và $280.$ Để số đĩa chia được là nhiều nhất, số đĩa phải bằng $\text{ƯCLN}(420, 1050, 280).$ Phân tích ra thừa số nguyên tố:

• $420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
• $1050 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7$
• $280 = 2^3 \cdot 5 \cdot 7$ Thừa số nguyên tố chung là $2;\; 5$ và $7.$ Lấy số mũ nhỏ nhất:$$\text{ƯCLN}(420, 1050, 280) = 2^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 70.$$Vậy có thể chia được nhiều nhất $70$ đĩa.

b) Khi chia thành $70$ đĩa, mỗi đĩa có:

• Số bánh: $420 : 70 = 6$ (cái bánh).
• Số kẹo: $1050 : 70 = 15$ (cái kẹo).
• Số quýt: $280 : 70 = 4$ (quả quýt).

a) Ta có $80 : 8 = 10\ \vdots\ 8$ và $144 : 8 = 18\ \vdots\ 8.$ Vì $8$ là ước của cả hai số nên $8$ là ước chung của $80$ và $144$. b) Ta có $70\ \vdots\ 14$ (vì $70 : 14 = 5$), nhưng $120 \not\vdots\ 14$ (vì $120 = 14 \cdot 8 + 8$). Do đó $14$ không phải là ước chung của $70$ và $120$.

Phân tích: $32 = 2^5$ và $48 = 2^4 \cdot 3 \implies \text{ƯCLN}(32, 48) = 2^4 = 16.$ Do đó:

a) $36 = 2^2 \cdot 3^2$ và $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \implies \text{ƯCLN}(36, 60) = 2^2 \cdot 3 = 12.$ b) $45 = 3^2 \cdot 5;\; 75 = 3 \cdot 5^2;\; 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \implies \text{ƯCLN}(45, 75, 105) = 3 \cdot 5 = 15.$

a) $\text{ƯCLN}(20, 35) = 5 \implies \dfrac{20}{35} = \dfrac{20 : 5}{35 : 5} = \dfrac{4}{7}.$ b) Nhân cả tử và mẫu với $5$: $\dfrac{4}{9} = \dfrac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \dfrac{20}{45}.$ c) Rút gọn các phân số về tối giản:

• $\dfrac{15}{27} = \dfrac{15 : 3}{27 : 3} = \dfrac{5}{9}.$
• $\dfrac{25}{45} = \dfrac{25 : 5}{45 : 5} = \dfrac{5}{9}.$
• $\dfrac{20}{36} = \dfrac{20 : 4}{36 : 4} = \dfrac{5}{9}.$ Vậy cả ba phân số đã cho đều bằng $\dfrac{5}{9}$.

a) $27 = 3^3$ và $16 = 2^4 \implies \text{ƯCLN}(27, 16) = 1.$ Vậy $27$ và $16$ nguyên tố cùng nhau. b) $\text{ƯCLN}(15, 25) = 5 \neq 1$ nên $15$ và $25$ không nguyên tố cùng nhau.

Ta có $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ và $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5.$

Vậy:

Số nhóm phải là ước của $36.$ Ta có: $\text{Ư}(36) = \{1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\}.$ Các ước lớn hơn $4$ và nhỏ hơn $15$ là: $6;\; 9;\; 12.$ Vậy có $3$ cách chia nhóm: chia thành $6$ nhóm, $9$ nhóm hoặc $12$ nhóm. Có thể chia nhiều nhất thành $12$ nhóm (mỗi nhóm $3$ học sinh).

Độ dài cạnh hình vuông phải là ước chung của $140$ và $84.$ Muốn cạnh hình vuông lớn nhất thì cạnh bằng $\text{ƯCLN}(140, 84).$ Phân tích: $140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$ và $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7.$

Vậy cạnh hình vuông lớn nhất bằng $28\text{ cm}.$ Số hình vuông cắt được là:

a) Bạn Lan nói ĐÚNG. Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là $n$ và $n + 1$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Nếu $d$ là ước chung của $n$ và $n + 1$ thì $(n + 1 - n)\ \vdots\ d \implies 1\ \vdots\ d \implies d = 1.$ Do đó $\text{ƯCLN}(n, n + 1) = 1,$ nghĩa là hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau.

b) Bạn Minh nói SAI. Phân số $\dfrac{10}{16}$ chưa tối giản vì $\text{ƯCLN}(10, 16) = 2 \neq 1.$ Phải rút gọn tiếp:

(Để rút gọn tối giản chỉ trong một lần, Minh nên chia cả tử và mẫu cho $\text{ƯCLN}(20, 32) = 4$).

Cạnh viên gạch hoa phải là ước chung của $720$ và $540.$ Để cạnh gạch lớn nhất, cạnh phải bằng $\text{ƯCLN}(720, 540).$ Phân tích ra thừa số nguyên tố:

• $720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$
• $540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$$$\text{ƯCLN}(720, 540) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180\text{ (cm)}.$$Vậy cạnh viên gạch hoa lớn nhất bằng $180\text{ cm}.$ Số viên gạch cần dùng là:$$\dfrac{720}{180} \cdot \dfrac{540}{180} = 4 \cdot 3 = 12\text{ (viên)}.$$

Câu 1. Viết $\text{Ư}(18)$ và $\text{Ư}(27),$ rồi tìm $\text{ƯC}(18, 27)$:

• $\text{Ư}(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}$
• $\text{Ư}(27) = \{1; 3; 9; 27\}$$$\text{ƯC}(18, 27) = \{1; 3; 9\}.$$

Câu 2. Tìm ước chung lớn nhất của: a) $40$ và $60$: $40 = 2^3 \cdot 5$ và $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \implies \text{ƯCLN}(40, 60) = 2^2 \cdot 5 = 20.$ b) $18;\; 30$ và $42$: $18 = 2 \cdot 3^2;\; 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5;\; 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \implies \text{ƯCLN}(18, 30, 42) = 2 \cdot 3 = 6.$

Câu 3. Biết $\text{ƯCLN}(72, 108) = 36,$ tìm $\text{ƯC}(72, 108)$:

Câu 4. Rút gọn mỗi phân số về tối giản: a) $\dfrac{28}{42} = \dfrac{28 : 14}{42 : 14} = \dfrac{2}{3}.$ b) $\dfrac{45}{60} = \dfrac{45 : 15}{60 : 15} = \dfrac{3}{4}.$

Câu 5. Cô giáo có $30$ chiếc bút và $45$ quyển vở, muốn chia đều vào các phần quà sao cho mỗi phần có số bút như nhau và số vở như nhau. Hỏi chia được nhiều nhất bao nhiêu phần quà? Giải: Số phần quà nhiều nhất là $\text{ƯCLN}(30, 45) = 15$ phần quà (mỗi phần gồm $2$ bút và $3$ vở).

Nhận xét cấu tạo số lặp:

Do đó:

Ta có $\text{ƯCLN}(15, 25) = 5.$ Vậy:

Gọi $d$ là một ước chung bất kì của $n + 1$ và $2n + 3$ ($d \in \mathbb{N}^*$). Khi đó:

Mặt khác:

Theo tính chất chia hết của một hiệu (Bài 8):

Vì $d \in \mathbb{N}^*$ và $1\ \vdots\ d \implies d = 1.$ Do ước chung lớn nhất bằng $1$ nên hai số $n + 1$ và $2n + 3$ luôn nguyên tố cùng nhau với mọi $n \in \mathbb{N}.$

Gọi số dư khi chia ba số cho $n$ là $r$ ($r < n$). Khi đó:

Lấy hiệu giữa hai số bất kì trong ba số đó, phần dư $r$ sẽ bị triệt tiêu:

• $338 - 278 = 60\ \vdots\ n$
• $458 - 338 = 120\ \vdots\ n$
• $458 - 278 = 180\ \vdots\ n$