Câu 1. Đặt tính rồi cho biết: a) $54 : 6 = 9$ (phép chia hết). b) $60 : 7 = 8$ dư $4$ (vì $7 \cdot 8 = 56$, dư $4$). c) $96 : 12 = 8$ (phép chia hết).

Câu 2. Năm số tự nhiên nhỏ hơn $35$ mà mỗi số đều chia hết cho $6$ có thể chọn là: $0; 6; 12; 18; 24$ (hoặc $30$).

Câu 3. a) $72 = 9 \cdot 8.$ b) $115 = 8 \cdot 14 + 3$ (thương là $14$, số dư $3 < 8$).

Câu 4.

• $81$ chia hết cho $9$ vì $81 : 9 = 9$ (số dư bằng $0$).
• $81$ không chia hết cho $5$ vì $81 : 5 = 16$ dư $1.$

Câu 5.

• Nếu chia cho $7$ bạn: Mỗi bạn được $35 : 7 = 5$ quyển vở.
• Nếu chia cho $6$ bạn: Ta có $35 : 6 = 5$ dư $5$ nên không chia đều được (còn thừa $5$ quyển vở).

a) Lần lượt chia $18$ cho các số từ $1$ đến $18,$ các số chia hết là: $1; 2; 3; 6; 9; 18.$ Do đó:

b) Nhân $5$ với $0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; \dots$ ta được: $0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; \dots$ Các bội của $5$ nhỏ hơn $35$ là:

a) Ta có $32\ \vdots\ 8$ (vì $32 = 8 \cdot 4$) và $48\ \vdots\ 8$ (vì $48 = 8 \cdot 6$). Cả hai số hạng đều chia hết cho $8$ nên theo Tính chất 1:

b) Ta có $80\ \vdots\ 8,$ nhưng $27 \not\vdots\ 8$ (vì $27 = 8 \cdot 3 + 3$). Một số chia hết cho $8$, số còn lại không chia hết cho $8$ nên theo Tính chất 2:

a) Trong tích $14 \cdot 18 \cdot 5$ có thừa số $18\ \vdots\ 6$ nên cả tích:

b) Cả ba thừa số $7; 25; 11$ đều là các số lẻ và không chia hết cho $3,$ không có thừa số nào chia hết cho $6.$ Tích của chúng không chia hết cho $6$:

a) Ta có $\text{Ư}(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}.$ Vì $a > 6$ nên $a \in \{8; 12; 24\}.$

b) Ta có $\text{B}(5) = \{0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; \dots\}$ Vì $b \le 30$ nên $b \in \{0; 5; 10; 15; 20; 25; 30\}.$

a) Ta có $\text{Ư}(60) = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\}.$ Vì $a < 10$ nên $a \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}.$

b) Ta có $\text{B}(8) = \{0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; \dots\}$ Vì $15 < b \le 50$ nên $b \in \{16; 24; 32; 40; 48\}.$

a) $\text{Ư}(45) = \{1; 3; 5; 9; 15; 45\}.$ b) Các bội của $7$ nhỏ hơn $55$ là: $\{0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49\}.$

a)

• $900 + 27$: Vì $900\ \vdots\ 9$ và $27\ \vdots\ 9$ nên $(900 + 27)\ \vdots\ 9.$
• $36 + 1800$: Vì $36\ \vdots\ 9$ và $1800\ \vdots\ 9$ nên $(36 + 1800)\ \vdots\ 9.$
• $50 + 4 + 450$: Nhóm $50 + 4 = 54\ \vdots\ 9$ và $450\ \vdots\ 9$ nên $(50 + 4 + 450)\ \vdots\ 9.$

b)

• $90 - 32$: Vì $90\ \vdots\ 9$ nhưng $32 \not\vdots\ 9$ nên $(90 - 32) \not\vdots\ 9.$
• $360 - 72$: Vì $360\ \vdots\ 9$ và $72\ \vdots\ 9$ nên $(360 - 72)\ \vdots\ 9.$
• $265 + 5 - 19$: Nhóm $265 + 5 = 270\ \vdots\ 9,$ nhưng $19 \not\vdots\ 9$ nên $(265 + 5 - 19) \not\vdots\ 9.$

a)

• $600 + 30$: Cả $600$ và $30$ đều chia hết cho $6$ nên $(600 + 30)\ \vdots\ 6.$
• $25 + 1200$: Vì $1200\ \vdots\ 6$ nhưng $25 \not\vdots\ 6$ nên $(25 + 1200) \not\vdots\ 6.$
• $38 + 4 + 240$: Nhóm $38 + 4 = 42\ \vdots\ 6$ và $240\ \vdots\ 6$ nên $(38 + 4 + 240)\ \vdots\ 6.$

b)

• $60 - 17$: Vì $60\ \vdots\ 6$ nhưng $17 \not\vdots\ 6$ nên $(60 - 17) \not\vdots\ 6.$
• $300 - 48$: Cả $300$ và $48$ đều chia hết cho $6$ nên $(300 - 48)\ \vdots\ 6.$
• $172 + 8 - 14$: Nhóm $172 + 8 = 180\ \vdots\ 6,$ nhưng $14 \not\vdots\ 6$ nên biểu thức không chia hết cho $6.$

Ta có $28\ \vdots\ 7$ và $49\ \vdots\ 7$ nên $28 + 49 = 77\ \vdots\ 7.$ Do đó, tính chia hết cho $7$ của $A$ phụ thuộc hoàn toàn vào $x$:

• $A\ \vdots\ 7 \iff x\ \vdots\ 7.$
• $A \not\vdots\ 7 \iff x \not\vdots\ 7.$

a) Các số chia hết cho $7$ trong tập hợp đã cho là: $x \in \{21; 35; 14\}.$ b) Các số không chia hết cho $7$ trong tập hợp đã cho là: $x \in \{40; 52\}.$

a) Trong tích có thừa số $16\ \vdots\ 8$ nên $(16 \cdot 19 \cdot 7)\ \vdots\ 8.$ b) Trong tích có thừa số $40\ \vdots\ 8$ nên $(40 \cdot 17 \cdot 13)\ \vdots\ 8.$ c) Trong tích có thừa số $88\ \vdots\ 8$ nên $(88 \cdot 35 \cdot 23)\ \vdots\ 8.$ d) Không thừa số nào chia hết cho $8,$ nhưng ghép $4 \cdot 6 = 24\ \vdots\ 8$ nên $(4 \cdot 29 \cdot 6 \cdot 5)\ \vdots\ 8.$

a) Vì $24\ \vdots\ 6$ nên $(24 \cdot 31 \cdot 17)\ \vdots\ 6.$ b) Vì $18\ \vdots\ 6$ nên $(18 \cdot 53 \cdot 47)\ \vdots\ 6.$ c) Vì $132 = 6 \cdot 22\ \vdots\ 6$ nên tích chia hết cho $6.$ d) Ghép $15 \cdot 2 = 30\ \vdots\ 6$ nên $(15 \cdot 77 \cdot 2 \cdot 11)\ \vdots\ 6.$

Ta có $100 = 4 \cdot 25.$

• Trong tích $A$ có thừa số $4\ \vdots\ 4.$
• Trong tích $A$ có hai thừa số $5$ và $10,$ mà $5 \cdot 10 = 50 = 25 \cdot 2\ \vdots\ 25.$ Do đó, tích $A$ chứa cả thừa số chia hết cho $4$ và tích chia hết cho $25.$ Vì vậy $A\ \vdots\ 100.$

a) Tích $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11$ có thừa số $8\ \vdots\ 8$ và $320\ \vdots\ 8$ nên cả tổng chia hết cho $8.$ b) Tích $14 \cdot 16 \cdot 18$ có $16\ \vdots\ 8;$ $40\ \vdots\ 8;$ $80\ \vdots\ 8$ nên cả tổng chia hết cho $8.$ c) Tích $21 \cdot 24 \cdot 27$ có $24\ \vdots\ 8,$ nhưng $45 \not\vdots\ 8$ nên tổng không chia hết cho $8.$

a) Tích đầu có $7\ \vdots\ 7$ và $280\ \vdots\ 7$ nên tổng chia hết cho $7.$ b) Tích đầu có $7\ \vdots\ 7;$ $70\ \vdots\ 7;$ $63\ \vdots\ 7$ nên cả tổng chia hết cho $7.$ c) Tích đầu có $14\ \vdots\ 7,$ nhưng $52 \not\vdots\ 7$ nên tổng không chia hết cho $7.$

Xét tích $18 \cdot 25 \cdot 7$: có thừa số $18\ \vdots\ 9$ nên $18 \cdot 25 \cdot 7\ \vdots\ 9.$ Mặt khác, $54\ \vdots\ 9$ và $36\ \vdots\ 9.$ Tất cả các số hạng trong biểu thức đều chia hết cho $9$ nên:

Số người trong mỗi nhóm phải là ước của $72.$ Ta có:

Vì mỗi nhóm có từ $6$ đến $12$ người nên số người mỗi nhóm có thể là: $6; 8; 9; 12.$ Vậy có $4$ cách chia nhóm:

1. Mỗi nhóm $6$ người ($12$ nhóm).
2. Mỗi nhóm $8$ người ($9$ nhóm).
3. Mỗi nhóm $9$ người ($8$ nhóm).
4. Mỗi nhóm $12$ người ($6$ nhóm).

Số học sinh trong mỗi tổ phải là ước của $54.$ Ta có:

Các ước nằm trong khoảng từ $5$ đến $10$ là: $6; 9.$ Vậy có $2$ cách chia tổ: tổ $6$ bạn ($9$ tổ) hoặc tổ $9$ bạn ($6$ tổ).

Số bút trong mỗi túi quà là ước của $48.$ Ta có:

Các ước nằm trong khoảng từ $5$ đến $15$ là: $6; 8; 12.$ Vậy có $3$ cách chia: mỗi túi $6$ chiếc, $8$ chiếc hoặc $12$ chiếc bút.

a) $\text{Ư}(30) = \{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30\}.$ Vì $a > 5$ nên $a \in \{6; 10; 15; 30\}.$ b) $\text{B}(6) = \{0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; \dots\}$ Vì $b \le 42$ nên $b \in \{0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42\}.$

a) $\text{Ư}(42) = \{1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42\}.$ b) Các bội của $7$ nhỏ hơn $50$ là: $\{0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49\}.$

a)

• $24 + 36$: Cả $24$ và $36$ đều chia hết cho $12$ nên tổng chia hết cho $12.$
• $120 + 48$: Cả hai số đều chia hết cho $12$ nên tổng chia hết cho $12.$
• $30 + 6 + 240$: Nhóm $30 + 6 = 36\ \vdots\ 12$ và $240\ \vdots\ 12$ nên tổng chia hết cho $12.$

b)

• $1200 - 25$: Vì $1200\ \vdots\ 12$ nhưng $25 \not\vdots\ 12$ nên hiệu không chia hết cho $12.$
• $360 - 19$: Vì $360\ \vdots\ 12$ nhưng $19 \not\vdots\ 12$ nên hiệu không chia hết cho $12.$
• $115 + 5 - 14$: Nhóm $115 + 5 = 120\ \vdots\ 12,$ còn $14 \not\vdots\ 12$ nên không chia hết cho $12.$

Ta có $35\ \vdots\ 7$ và $56\ \vdots\ 7$ nên $35 + 56 = 91\ \vdots\ 7.$ a) Để $A\ \vdots\ 7$ thì $x$ phải chia hết cho $7,$ tức là $x$ là bội của $7$: $x \in \{0; 7; 14; 21; \dots\}$ b) Để $A \not\vdots\ 7$ thì $x$ không chia hết cho $7,$ tức là $x$ không phải là bội của $7.$

a) Vì $45\ \vdots\ 9$ nên cả tích chia hết cho $9.$ b) Vì $27\ \vdots\ 9$ nên cả tích chia hết cho $9.$ c) Ghép $3 \cdot 3 = 9\ \vdots\ 9$ nên cả tích chia hết cho $9.$ d) Vì $18\ \vdots\ 9$ nên cả tích chia hết cho $9.$

a) Tích đầu có $10\ \vdots\ 10$ và $420\ \vdots\ 10$ nên cả tổng chia hết cho $10.$ b) Tích đầu có $4 \cdot 5 = 20\ \vdots\ 10$ và $180\ \vdots\ 10$ nên cả tổng chia hết cho $10.$ c) Tích đầu có $2 \cdot 5 = 10\ \vdots\ 10;$ nhóm $35 + 45 = 80\ \vdots\ 10$ nên cả tổng chia hết cho $10.$

Bạn Nam nói sai. Từ $(a + b)\ \vdots\ m$ không suy ra được từng số hạng phải chia hết cho $m.$ Ví dụ: Với $m = 10,$ ta lấy $a = 14$ và $b = 16.$ Cả hai số $14 \not\vdots\ 10$ và $16 \not\vdots\ 10,$ nhưng tổng $14 + 16 = 30\ \vdots\ 10.$

Ta có $81 = 3^4.$ Đếm các thừa số $3$ trong tích $B$:

• $3 = 3^1$
• $6 = 2 \cdot 3$ (chứa 1 thừa số 3)
• $9 = 3^2$ (chứa 2 thừa số 3)
• $12 = 4 \cdot 3$ (chứa 1 thừa số 3)
• $15 = 5 \cdot 3$ (chứa 1 thừa số 3)
• $18 = 2 \cdot 3^2$ (chứa 2 thừa số 3) Tổng số thừa số $3$ có trong tích $B$ là: $1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 = 8 \ge 4.$ Do đó tích $B$ chia hết cho $3^4 = 81.$

Số học sinh trong mỗi nhóm phải là ước của $42.$ Ta có: $\text{Ư}(42) = \{1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42\}.$ Các ước thỏa mãn từ $5$ đến $8$ là: $6$ và $7.$ Vậy có $2$ cách chia:

• Chia thành các nhóm $6$ học sinh ($7$ nhóm).
• Chia thành các nhóm $7$ học sinh ($6$ nhóm).

Số quyển sách trong mỗi ngăn là ước của $84.$ Ta có: $\text{Ư}(84) = \{1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84\}.$ Các ước thỏa mãn từ $10$ đến $25$ là: $12; 14; 21.$ Vậy có $3$ cách xếp:

• Ngăn $12$ quyển ($7$ ngăn).
• Ngăn $14$ quyển ($6$ ngăn).
• Ngăn $21$ quyển ($4$ ngăn).

Câu 1. a) $\text{Ư}(30) = \{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30\}.$ b) Ba bội của $7$ nhỏ hơn $45$: chẳng hạn $7; 14; 21$ (hoặc $0; 28; 35; 42$).

Câu 2. a) $\text{Ư}(36) = \{1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\}.$ Các ước lớn hơn $6$ là: $9; 12; 18; 36.$ b) $\text{B}(9) = \{0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; \dots\}$ Các bội không vượt quá $45$ là: $0; 9; 18; 27; 36; 45.$

Câu 3. a) $54\ \vdots\ 9$ và $90\ \vdots\ 9 \implies (54 + 90)\ \vdots\ 9.$ b) $63\ \vdots\ 9$ nhưng $17 \not\vdots\ 9 \implies (63 + 17) \not\vdots\ 9.$ c) $99\ \vdots\ 9$ và $27\ \vdots\ 9 \implies (99 - 27)\ \vdots\ 9.$

Câu 4. Ta có $42\ \vdots\ 6$ và $66\ \vdots\ 6$ nên $42 + 66 = 108\ \vdots\ 6.$ a) Để $A\ \vdots\ 6 \implies x\ \vdots\ 6,$ do đó $x \in \{18; 30; 48\}.$ b) Để $A \not\vdots\ 6 \implies x \not\vdots\ 6,$ do đó $x \in \{25; 17\}.$

Câu 5.

• Tích $35 \cdot 17 \cdot 8$ có thừa số $35\ \vdots\ 7$ nên tích chia hết cho $7.$
• Tích $9 \cdot 25 \cdot 13$ gồm toàn số lẻ nên là một số lẻ, do đó không chia hết cho $2.$

Câu 6. Tích $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105 \not\vdots\ 9$ (vì $105 = 9 \cdot 11 + 6$), trong khi $27\ \vdots\ 9.$ Một số hạng không chia hết cho $9$, số hạng còn lại chia hết cho $9$ nên $A \not\vdots\ 9.$

Câu 7. Số học sinh mỗi nhóm là ước của $45$: $\text{Ư}(45) = \{1; 3; 5; 9; 15; 45\}.$ Các ước từ $6$ đến $10$ chỉ có duy nhất số $9.$ Vậy chỉ có $1$ cách chia: chia thành $5$ nhóm, mỗi nhóm $9$ học sinh.