Câu 1.

• Sáu bội đầu tiên của $6$: $0; 6; 12; 18; 24; 30.$
• Sáu bội đầu tiên của $8$: $0; 8; 16; 24; 32; 40.$ Các số có mặt trong cả hai dãy bội trên là: $0$ và $24.$

Câu 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố:

• $12 = 2^2 \cdot 3.$
• $18 = 2 \cdot 3^2.$

Câu 3. Nhắc lại ba bước tìm $\text{ƯCLN}$: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố $\to$ Chọn các thừa số nguyên tố chung $\to$ Lập tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất. Thừa số chung của $12$ và $18$ là $2$ và $3,$ lấy số mũ nhỏ nhất:

Câu 4. Mẫu chung nhỏ nhất khi quy đồng $\dfrac{1}{3}$ và $\dfrac{1}{4}$ là $12$ (vì $12 : 3 = 4$ và $12 : 4 = 3$). Khi đó:

Câu 5. Số nhỏ nhất khác $0$ cùng chia hết cho $6$ và $8$ là $24.$ Khi các số lớn hơn, việc liệt kê dãy bội sẽ rất dài và mất thời gian. Bài học này sẽ cung cấp cho các em quy tắc 3 bước tìm nhanh số đó mà không cần liệt kê từng bội.

Ta có:

• $\text{B}(6) = \{0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; \dots\}$
• $\text{B}(8) = \{0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; \dots\}$

Các số cùng xuất hiện trong cả hai tập hợp là: $0; 24; 48; \dots$ Do đó:

Số nhỏ nhất khác $0$ trong tập hợp đó là $24,$ vậy:

• Bước 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố:$$18 = 2 \cdot 3^2$$$$45 = 3^2 \cdot 5$$
• Bước 2: Các thừa số nguyên tố chung và riêng là $2;\; 3$ và $5$ (lấy cả $2$ và $5$ dù mỗi số chỉ có ở một bên).
• Bước 3: Lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất:
  • Thừa số $2$: số mũ lớn nhất là $1.$
  • Thừa số $3$: số mũ lớn nhất là $2$ (trong $3^2$).
  • Thừa số $5$: số mũ lớn nhất là $1.$$$\text{BCNN}(18, 45) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90.$$

Do đó:

• Bước 1: Tìm mẫu chung $\text{BCNN}(12, 18)$: Ta có $12 = 2^2 \cdot 3$ và $18 = 2 \cdot 3^2.$$$\text{BCNN}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36.$$
• Bước 2: Tìm thừa số phụ:$$36 : 12 = 3 \quad \text{và} \quad 36 : 18 = 2.$$
• Bước 3: Quy đồng và tính:$$\dfrac{5}{12} = \dfrac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \dfrac{15}{36}$$$$\dfrac{7}{18} = \dfrac{7 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \dfrac{14}{36}$$Vậy:$$\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{18} = \dfrac{15}{36} + \dfrac{14}{36} = \dfrac{29}{36}.$$

a) Phân tích: $12 = 2^2 \cdot 3$ và $20 = 2^2 \cdot 5.$ Các thừa số nguyên tố chung và riêng là $2;\; 3;\; 5.$

b) Phân tích:

• $40 = 2^3 \cdot 5$
• $24 = 2^3 \cdot 3$
• $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ Lấy các thừa số $2;\; 3;\; 5$ với số mũ lớn nhất:$$\text{BCNN}(40, 24, 60) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120.$$

a) Phân tích: $14 = 2 \cdot 7$ và $35 = 5 \cdot 7.$

b) Phân tích:

• $36 = 2^2 \cdot 3^2$
• $54 = 2 \cdot 3^3$
• $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ Lấy các thừa số $2;\; 3;\; 5$ với số mũ lớn nhất là $2^2;\; 3^3;\; 5^1$:$$\text{BCNN}(36, 54, 90) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 4 \cdot 27 \cdot 5 = 540.$$

a) Phân tích: $20 = 2^2 \cdot 5$ và $28 = 2^2 \cdot 7.$

b) Phân tích:

• $18 = 2 \cdot 3^2$
• $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
• $45 = 3^2 \cdot 5$ Lấy các thừa số $2;\; 3;\; 5$ với số mũ lớn nhất:$$\text{BCNN}(18, 30, 45) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90.$$

Phân tích ra thừa số nguyên tố:

• $18 = 2 \cdot 3^2$
• $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
• $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$$$\text{BCNN}(18, 30, 42) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 35 = 630.$$Do đó:$$\text{BC}(18, 30, 42) = \text{B}(630) = \{0;\; 630;\; 1260;\; 1890;\; \dots\}.$$

Vì $x$ cùng chia hết cho $20;\; 15$ và $25$ nên $x$ là bội chung của ba số đó. Phân tích ra thừa số nguyên tố:

• $20 = 2^2 \cdot 5$
• $15 = 3 \cdot 5$
• $25 = 5^2$$$\text{BCNN}(20, 15, 25) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 300.$$Vậy $x$ là bội của $300$:$$x \in \{0;\; 300;\; 600;\; 900;\; \dots\}.$$Vì điều kiện $500 < x < 700$ nên:$$x = 600.$$

Phân tích ra thừa số nguyên tố:

• $16 = 2^4$
• $24 = 2^3 \cdot 3$
• $32 = 2^5$$$\text{BCNN}(16, 24, 32) = 2^5 \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96.$$Bội chung của ba số là bội của $96$:$$\text{BC}(16, 24, 32) = \{0;\; 96;\; 192;\; 288;\; 384;\; 480;\; \dots\}.$$Các bội nằm trong khoảng từ $200$ đến $400$ là:$$288 \quad \text{và} \quad 384.$$

a) Mẫu chung là $\text{BCNN}(8, 12).$ Ta có $8 = 2^3$ và $12 = 2^2 \cdot 3 \implies \text{BCNN}(8, 12) = 2^3 \cdot 3 = 24.$ Thừa số phụ: $24 : 8 = 3$ và $24 : 12 = 2.$

b) Rút gọn các phân số về tối giản trước khi tính:

Mẫu chung là $\text{BCNN}(4, 2) = 4.$ Thừa số phụ của phân số thứ hai là $4 : 2 = 2.$

a) Mẫu chung là $\text{BCNN}(6, 8) = 24.$ Thừa số phụ: $24 : 6 = 4$ và $24 : 8 = 3.$

b) Rút gọn trước:

Cả hai phân số đã cùng mẫu số là $3$:

Mẫu chung là $\text{BCNN}(18, 12).$ Ta có $18 = 2 \cdot 3^2$ và $12 = 2^2 \cdot 3 \implies \text{BCNN}(18, 12) = 2^2 \cdot 3^2 = 36.$ Thừa số phụ:

Quy đồng mẫu hai phân số:

Số ngày trôi qua để Minh cùng làm cả hai việc vừa là bội của $3,$ vừa là bội của $4,$ nên là bội chung của $3$ và $4.$ Để thời gian là ít nhất, số ngày phải bằng $\text{BCNN}(3, 4).$ Vì $3$ và $4$ nguyên tố cùng nhau nên:

Vậy sau ít nhất $12$ ngày nữa Minh lại làm cả hai việc cùng lúc. Hôm nay là thứ Hai. Ta có $12 : 7 = 1$ (tuần) dư $5$ ngày. Cộng thêm $5$ ngày kể từ thứ Hai: Thứ Ba ($+1$), Thứ Tư ($+2$), Thứ Năm ($+3$), Thứ Sáu ($+4$), Thứ Bảy ($+5$). Vậy hôm đó là thứ Bảy.

Khoảng thời gian (phút) đến lần hai xe lại cùng xuất phát là bội chung của $12$ và $18.$ Muốn thời gian là gần nhất, khoảng thời gian đó bằng $\text{BCNN}(12, 18).$ Ta có $12 = 2^2 \cdot 3$ và $18 = 2 \cdot 3^2 \implies \text{BCNN}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36\text{ (phút)}.$ Vậy sau $36$ phút nữa, hai xe lại cùng xuất phát. Thời điểm hai xe cùng xuất phát tiếp theo là:

Gọi số học sinh khối 6 là $x$ ($x \in \mathbb{N}^*$). Theo đề bài, khi xếp hàng $10;\; 12$ hay $15$ đều vừa đủ nên:

Do đó $x$ là bội chung của $10;\; 12$ và $15.$ Phân tích ra thừa số nguyên tố:

• $10 = 2 \cdot 5$
• $12 = 2^2 \cdot 3$
• $15 = 3 \cdot 5$$$\text{BCNN}(10, 12, 15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60.$$Bội chung của ba số là các bội của $60$:$$x \in \{0;\; 60;\; 120;\; 180;\; 240;\; 300;\; 360;\; \dots\}.$$Vì số học sinh trong khoảng từ $250$ đến $350$ ($250 \le x \le 350$) nên:$$x = 300.$$Vậy khối 6 của trường đó có đúng $300$ học sinh.

a) Ta có $96 : 16 = 6$ ($96\ \vdots\ 16$) và $96 : 32 = 3$ ($96\ \vdots\ 32$). Vì $96$ là bội của cả hai số nên $96$ là bội chung của $16$ và $32$. b) Ta có $180 : 30 = 6$ ($180\ \vdots\ 30$) và $180 : 45 = 4$ ($180\ \vdots\ 45$). Do đó $180$ là bội chung của $30$ và $45$.

• Mười bội đầu tiên của $5$: $0;\; 5;\; 10;\; 15;\; 20;\; 25;\; 30;\; 35;\; 40;\; 45.$
• Mười bội đầu tiên của $8$: $0;\; 8;\; 16;\; 24;\; 32;\; 40;\; 48;\; 56;\; 64;\; 72.$ Các bội chung của $5$ và $8$ vừa viết được là:$$0 \quad \text{và} \quad 40.$$

a) Vì $48\ \vdots\ 12$ nên $\text{BCNN}(12, 48) = 48.$ b) Vì $180\ \vdots\ 15$ và $180\ \vdots\ 45$ (do $180 = 45 \cdot 4$) nên $\text{BCNN}(15, 45, 180) = 180.$ c) $24 = 2^3 \cdot 3$ và $35 = 5 \cdot 7.$ Hai số nguyên tố cùng nhau nên:

d) $28 = 2^2 \cdot 7;\; 35 = 5 \cdot 7;\; 70 = 2 \cdot 5 \cdot 7.$

Phân tích: $20 = 2^2 \cdot 5;\; 35 = 5 \cdot 7;\; 50 = 2 \cdot 5^2.$

Do đó:

Vì $7$ và $8$ nguyên tố cùng nhau nên $\text{BCNN}(7, 8) = 7 \cdot 8 = 56.$ Bội chung của $7$ và $8$ là bội của $56$:

Các bội chung nhỏ hơn $150$ là: $0;\; 56;\; 112.$

Rút gọn phân số thứ hai trước: $\dfrac{9}{21} = \dfrac{3}{7}.$ Mẫu chung là $\text{BCNN}(14, 7) = 14.$ Thừa số phụ: $14 : 7 = 2.$

Vậy hai phân số quy đồng được là $\dfrac{5}{14}$ và $\dfrac{6}{14}.$

Số học sinh vừa là bội của $4,$ vừa là bội của $6$ nên là bội chung của $4$ và $6.$ Ta có $4 = 2^2$ và $6 = 2 \cdot 3 \implies \text{BCNN}(4, 6) = 2^2 \cdot 3 = 12.$ Số học sinh là bội của $12$:

Vì số học sinh trong khoảng từ $30$ đến $40$ nên lớp 6A có đúng $36$ học sinh.

Số sách là bội chung của $8;\; 12$ và $16.$ Ta có $$8 = 2^3;\; 12 = 2^2 \cdot 3;\; 16 = 2^4 \implies \text{BCNN}(8, 12, 16) = 2^4 \cdot 3 = 48.$$ Số sách là bội của $48$:

Bội nằm trong khoảng từ $120$ đến $180$ là $144.$ Vậy có tất cả $144$ quyển sách.

a) Bạn An nói SAI. Chỉ khi hai số nguyên tố cùng nhau thì $\text{BCNN}$ mới bằng tích của chúng. Ở đây $4$ và $6$ có ước chung là $2$ ($\text{ƯCLN}(4, 6) = 2 \neq 1$) nên không được lấy tích. Đúng ra là: $\text{BCNN}(4, 6) = 12.$

b) Bạn Bình nói SAI. Theo định nghĩa, $\text{BCNN}$ là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung. Số $0$ không được tính là $\text{BCNN}.$ Đúng ra là: $\text{BCNN}(5, 7) = 35.$

Khoảng cách (số năm) giữa hai năm có cùng tên Can Chi phải vừa là bội của $10$ (để lặp lại Can), vừa là bội của $12$ (để lặp lại Chi). Để là năm tiếp theo gần nhất, số năm phải bằng $\text{BCNN}(10, 12).$ Phân tích: $10 = 2 \cdot 5$ và $12 = 2^2 \cdot 3.$

Do đó, sau đúng $60$ năm thì năm Giáp Thìn lại xuất hiện một lần nữa. Năm Giáp Thìn tiếp theo là:

Câu 1. Tìm bội chung nhỏ nhất của: a) $10$ và $15$: $10 = 2 \cdot 5$ và $15 = 3 \cdot 5 \implies \text{BCNN}(10, 15) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30.$ b) $8;\; 12$ và $18$: $$8 = 2^3;\; 12 = 2^2 \cdot 3;\; 18 = 2 \cdot 3^2 \implies \text{BCNN}(8, 12, 18) = 2^3 \cdot 3^2 = 72.$$

Câu 2. Tìm $\text{BCNN}(14, 21),$ sau đó tìm các bội chung của $14$ và $21$ nhỏ hơn $100$:

• $14 = 2 \cdot 7$ và $21 = 3 \cdot 7 \implies \text{BCNN}(14, 21) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42.$
• Các bội chung nhỏ hơn $100$ là: $0;\; 42;\; 84.$

Câu 3. Tìm số tự nhiên $x,$ biết $x\ \vdots\ 6;\; x\ \vdots\ 8$ và $40 < x < 80$: Ta có $\text{BCNN}(6, 8) = 24.$ Các bội của $24$ là: $0;\; 24;\; 48;\; 72;\; 96;\; \dots$ Vì $40 < x < 80$ nên $x \in \{48;\; 72\}.$

Câu 4. Quy đồng mẫu rồi tính: $\dfrac{5}{12} + \dfrac{3}{16}$: Mẫu chung là $\text{BCNN}(12, 16) = 48.$ Thừa số phụ: $48 : 12 = 4$ và $48 : 16 = 3.$

Câu 5. Hai bạn An và Bình cùng chạy quanh một công viên. An chạy một vòng hết $12$ phút, Bình chạy một vòng hết $15$ phút. Hai bạn cùng xuất phát tại vạch xuất phát lúc $8$ giờ. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu phút hai bạn lại cùng gặp nhau tại vạch xuất phát? Giải: Thời gian ít nhất để hai bạn gặp lại nhau tại vạch xuất phát là $\text{BCNN}(12, 15) = 60$ phút (tức sau $1$ giờ, lúc $9$ giờ sáng).

Khoảng thời gian (phút) để cả ba đèn cùng phát sáng trở lại là bội chung của $5;\; 8$ và $12.$ Thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp cả ba đèn cùng sáng là $\text{BCNN}(5, 8, 12).$ Phân tích: $5 = 5;\; 8 = 2^3;\; 12 = 2^2 \cdot 3.$

Như vậy, cứ sau mỗi $2$ giờ thì cả ba đèn lại cùng phát sáng một lần. Thời điểm cả ba đèn cùng sáng lần lượt là:

• Lúc $6\text{ giờ}$ sáng (bắt đầu)
• Lúc $6\text{ giờ} + 2\text{ giờ} = 8\text{ giờ}$ sáng
• Lúc $8\text{ giờ} + 2\text{ giờ} = 10\text{ giờ}$ sáng
• Lúc $10\text{ giờ} + 2\text{ giờ} = 12\text{ giờ}$ trưa

Vậy lần đầu tiên sau $9$ giờ sáng mà cả ba đèn cùng phát sáng là lúc $10$ giờ sáng.

Số $\overline{531**}$ cùng chia hết cho $4;\; 5$ và $6$ khi và chỉ khi nó là bội chung của ba số đó, tức là chia hết cho $\text{BCNN}(4, 5, 6).$ Phân tích: $$4 = 2^2;\; 5 = 5;\; 6 = 2 \cdot 3 \implies \text{BCNN}(4, 5, 6) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60.$$ Do đó, số cần tìm phải chia hết cho $60.$ Các số có dạng $\overline{531**}$ nằm trong đoạn từ $53100$ đến $53199.$ Thực hiện phép chia:

Do đó số $53100$ thỏa mãn đề bài. Bội tiếp theo của $60$ là:

Bội kế tiếp:

Vậy có hai số thỏa mãn là $53100$ (hai chữ số điền vào là $00$) và $53160$ (hai chữ số điền vào là $60$).

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa $\text{ƯCLN}$ và $\text{BCNN}$:

Vì $\text{ƯCLN}(a, b) = 15$ nên ta đặt:

với $m, n \in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn $\text{ƯCLN}(m, n) = 1$ và $m < n$ (do $a < b$). Thay vào tích $a \cdot b$: