Ôn tập Chương 3: Số nguyên

Chương III đánh dấu bước chuyển mình quan trọng nhất trong tư duy số học lớp 6: mở rộng từ tập số tự nhiên $\mathbb{N}$ sang tập hợp các số nguyên $\mathbb{Z}$. Việc bổ sung các số nguyên âm không chỉ giúp biểu diễn trọn vẹn các đại lượng thực tế ngược chiều nhau (nhiệt độ âm, độ sâu dưới mực nước biển, lỗ lãi tài chính, thời gian trước Công nguyên), mà còn giúp phép trừ luôn luôn thực hiện được.

Toàn bộ chương được xây dựng qua 5 bài học liền mạch: từ làm quen tập hợp $\mathbb{Z}$ và thứ tự (Bài 13), mở rộng phép cộng và trừ (Bài 14), công cụ biến đổi đại số với quy tắc dấu ngoặc (Bài 15), phép nhân nhiều số nguyên (Bài 16), đến quan hệ chia hết, ước và bội trong $\mathbb{Z}$ (Bài 17).

Bài viết này hệ thống hóa toàn bộ kiến thức trọng tâm của Chương III, phân tích các cạm bẫy về dấu, tổng hợp các dạng toán thực tế, 4 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi và 3 đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận có trắc nghiệm tương tác kèm lời giải chi tiết.

Phần I. Hệ thống kiến thức cốt lõi Chương III

1. Sơ đồ mạch kiến thức Chương III

Toàn bộ Chương III mở rộng hệ thống số học từ tập tự nhiên $\mathbb{N}$ sang tập số nguyên $\mathbb{Z}$ theo lộ trình chặt chẽ:

2. Bảng tóm tắt 5 bài học trọng tâm Chương III

3. Bảng vàng đối chiếu quy tắc dấu toàn chương

Sai lầm về dấu là nguyên nhân chiếm tới $80\%$ số lỗi sai của học sinh khi làm bài kiểm tra số nguyên. Bảng so sánh dưới đây giúp các em phân biệt rõ ràng giữa hai nhóm phép tính:

4. Bảy cạm bẫy kinh điển cần tuyệt đối tránh

Lưu ý / Cảnh báo

Hãy đọc thật kỹ và ghi nhớ 7 bẫy toán học sau đây:

1. Nhầm dấu phép cộng hai số âm với phép nhân:
   • $(-6) + (-4) = -10$ (vẫn mang dấu âm, giống như nợ $6$ triệu lại nợ thêm $4$ triệu thì tổng nợ là $10$ triệu).
   • $(-6) \cdot (-4) = +24$ (âm nhân âm mới ra dương).
2. Quên đổi dấu các số hạng phía sau khi bỏ ngoặc có dấu trừ:
   • Sai: $20 - (8 - 3 + 4) = 20 - 8 - 3 + 4$ (sai nghiêm trọng).
   • Đúng: $20 - (8 - 3 + 4) = 20 - 8 + 3 - 4 = 11.$
3. Nhầm lẫn giữa $-a^2$ và $(-a)^2$:
   • $-5^2 = -(5 \cdot 5) = -25$ (dấu trừ nằm ngoài lũy thừa).
   • $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = +25$ (toàn bộ số $-5$ được nâng lên lũy thừa $2$).
4. So sánh sai hai số nguyên âm:
   • Phần số tự nhiên càng lớn thì giá trị trên trục số càng nằm về bên trái, tức là càng nhỏ!
   • Đúng: $-25 < -10$ vì $25 > 10$.
5. Bỏ quên các ước nguyên âm:
   • Tập hợp các ước của $8$ trong $\mathbb{Z}$ là $\text{Ư}(8) = \{\pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 8\}$ (có $8$ phần tử), không phải chỉ có $\{1; 2; 4; 8\}$.
6. Quên đổi dấu khi chuyển vế:
   • Khi chuyển một số hạng qua dấu "$=$", số dương biến thành số âm, số âm biến thành số dương:
   • $x - 9 = -15 \implies x = -15 + 9 = -6$ (chuyển $-9$ thành $+9$).
7. Chia cho số 0:
   • Phép chia cho $0$ không bao giờ xác định. Số $0$ chia cho bất kỳ số nào khác $0$ đều bằng $0$ ($0 : a = 0$ với $a \neq 0$), nhưng $a : 0$ là vô nghĩa.

Phần II. Bài toán tổng hợp (Liên kết nhiều bài)

Mỗi ví dụ dưới đây đều phối hợp từ hai đến ba bài học của Chương III nhằm rèn luyện tư duy tổng hợp và kỹ năng tính toán chính xác.

Ví dụ 1 (Tính hợp lý bằng cách nhóm cặp số đối và tròn chục)

Tính giá trị các biểu thức sau một cách hợp lý:

1. $A = (-45) + 68 + 45 + (-68) + 2026;$
2. $B = 34 - (-16) + (-34) + 16 - 150.$

Lời giải:

1. Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng để nhóm các cặp số đối nhau:

   $$A = [(-45) + 45] + [68 + (-68)] + 2026$$$$A = 0 + 0 + 2026 = 2026.$$

2. Bỏ dấu ngoặc trước rồi nhóm các số hạng thích hợp:

   $$B = 34 + 16 - 34 + 16 - 150$$$$B = (34 - 34) + (16 + 16) - 150$$$$B = 0 + 32 - 150 = -(150 - 32) = -118.$$

(Bài toán liên kết: Bài 14 - Cộng trừ số nguyên; Bài 15 - Bỏ dấu ngoặc).

Ví dụ 2 (Bỏ dấu ngoặc lồng nhau và rút gọn biểu thức)

Bỏ dấu ngoặc rồi tính giá trị của biểu thức:

Lời giải: Thực hiện bỏ dấu ngoặc theo đúng quy tắc:

• Dấu ngoặc thứ nhất không có dấu đằng trước (mang dấu $+$ ngầm định): giữ nguyên dấu.
• Dấu ngoặc thứ hai có dấu "$-$" đằng trước: đổi dấu tất cả các số hạng bên trong.
• Dấu ngoặc thứ ba có dấu "$-$" đằng trước: đổi dấu $-2026$ thành $+2026$.

Nhóm các cặp số đối nhau:

(Bài toán liên kết: Bài 14 - Số đối; Bài 15 - Quy tắc dấu ngoặc).

Ví dụ 3 (Tính giá trị biểu thức chứa tích nhiều thừa số và lũy thừa)

Thực hiện các phép tính sau:

1. $M = (-4) \cdot (-125) \cdot (-2) \cdot 5;$
2. $N = -4^2 + (-3)^3 + (-1)^{2026} + 5^2.$

Lời giải:

1. Trong tích $M$ có ba thừa số nguyên âm (số lẻ các thừa số âm), do đó kết quả mang dấu âm. Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp để nhóm các số tròn chục, tròn trăm:

   $$M = -[(4 \cdot 125) \cdot (2 \cdot 5)]$$$$M = -(500 \cdot 10) = -5000.$$

2. Tính giá trị từng lũy thừa, đặc biệt chú ý dấu:

   • $-4^2 = -(4 \cdot 4) = -16;$
   • $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$ (mũ lẻ nên kết quả âm);
   • $(-1)^{2026} = 1$ (mũ chẵn nên kết quả dương);
   • $5^2 = 25.$

   Thay các giá trị vào biểu thức $N$:

   $$N = (-16) + (-27) + 1 + 25$$$$N = [(-16) + (-27)] + (1 + 25) = (-43) + 26 = -(43 - 26) = -17.$$

(Bài toán liên kết: Bài 14 - Cộng số nguyên; Bài 16 - Nhân và lũy thừa số nguyên).

Ví dụ 4 (Tìm số nguyên $x$ phối hợp chuyển vế và chia hết)

Tìm số nguyên $x$, biết:

1. $4x - (-6) = -14;$
2. $(x - 3)(x + 7) = 0;$
3. $(-9) \cdot (2x - 5) = -81.$

Lời giải:

1. Ta có:

   $$4x + 6 = -14$$

   Chuyển vế $+6$ sang vế phải đổi dấu thành $-6$:

   $$4x = -14 - 6$$$$4x = -20$$$$x = (-20) : 4 = -5.$$

   Vậy $x = -5.$

2. Tích bằng $0$ khi có ít nhất một thừa số bằng $0$:

   $$x - 3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 7 = 0$$
   • Trường hợp 1: $x - 3 = 0 \implies x = 3.$
   • Trường hợp 2: $x + 7 = 0 \implies x = -7.$

   Vậy $x \in \{3; -7\}$.

3. Ta có:

   $$2x - 5 = (-81) : (-9)$$$$2x - 5 = 9$$

   Chuyển vế $-5$:

   $$2x = 9 + 5 = 14$$$$x = 14 : 2 = 7.$$

   Vậy $x = 7.$

Ví dụ 5 (Tìm $x$ nguyên liên quan đến quan hệ ước và bội)

Tìm tất cả các số nguyên $x$ sao cho $(x - 3)$ là một ước của $10$.

Lời giải: Trong tập số nguyên $\mathbb{Z}$, các ước của $10$ gồm cả ước dương và ước âm:

Vì $(x - 3) \in \text{Ư}(10)$, ta lập bảng giá trị tương ứng:

Vậy các giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn là:

Ví dụ 6 (Bài toán thực tế: Độ sâu lặn biển và nhiệt độ nước)

Một thợ lặn chuyên nghiệp bắt đầu lặn từ mặt nước biển (quy ước mốc $0\text{ m}$). Trong $15$ phút đầu, anh lặn xuống với tốc độ đều $4\text{ m/phút}$. Sau đó, do gặp dòng nước xoáy, anh ngoi lên $18\text{ m}$.

1. Dùng số nguyên để biểu diễn độ cao của người thợ lặn so với mực nước biển sau khi ngoi lên.
2. Biết rằng ở độ sâu đó, nhiệt độ nước biển là $-3^\circ\text{C}$. Khi bơi lên sát mặt nước biển, nhiệt độ đo được là $25^\circ\text{C}$. Hỏi nhiệt độ đã tăng bao nhiêu độ C?

Lời giải:

1. Quãng đường người thợ lặn lặn xuống trong $15$ phút đầu là:

   $$(-4) \cdot 15 = -60\text{ (m)}.$$

   Sau đó ngoi lên $18\text{ m}$, vị trí của người thợ lặn lúc này là:

   $$(-60) + 18 = -42\text{ (m)}.$$

   Vậy độ cao của người thợ lặn là $-42\text{ m}$ (nghĩa là ở độ sâu $42\text{ m}$ dưới mực nước biển).

2. Mức tăng nhiệt độ khi bơi từ độ sâu đó lên mặt nước là:

   $$25 - (-3) = 25 + 3 = 28^\circ\text{C}.$$

   Vậy nhiệt độ đã tăng thêm $28^\circ\text{C}$.

Phần III. Bốn chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi & Nâng cao

Các bài toán số nguyên trong các đề thi học sinh giỏi cấp trường, quận/huyện thường xoay quanh 4 chuyên đề tinh hoa dưới đây:

Chuyên đề 1: Giá trị tuyệt đối của số nguyên & Bất đẳng thức

Ghi nhớ

Tính chất của giá trị tuyệt đối trong $\mathbb{Z}$:

1. $|a| \ge 0$ với mọi số nguyên $a$. Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $a = 0$.
2. $|a| = |-a|$; $|a| \ge a$ và $|a| \ge -a$.
3. Nếu $|a| = k$ (với $k > 0$) thì $a = k$ hoặc $a = -k$.
4. Bất đẳng thức tam giác: $|a| + |b| \ge |a + b|$. Dấu "$=$" xảy ra khi $a, b$ cùng dấu ($a \cdot b \ge 0$).

Bài toán 1.1 (Tìm cặp số nguyên qua tổng giá trị tuyệt đối)

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(a; b)$ thỏa mãn:

Lời giải: Vì $a, b \in \mathbb{Z}$ nên $|a|, |b|$ là các số nguyên không âm ($|a| \ge 0, |b| \ge 0$). Tổng của hai số tự nhiên bằng $3$ chỉ có thể phân tích thành các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: $|a| = 0$ và $|b| = 3 \implies a = 0$ và $b \in \{3; -3\}$. Cho $2$ cặp: $(0; 3), (0; -3)$.
• Trường hợp 2: $|a| = 1$ và $|b| = 2 \implies a \in \{1; -1\}$ và $b \in \{2; -2\}$. Cho $2 \cdot 2 = 4$ cặp: $(1; 2), (1; -2), (-1; 2), (-1; -2)$.
• Trường hợp 3: $|a| = 2$ và $|b| = 1 \implies a \in \{2; -2\}$ và $b \in \{1; -1\}$. Cho $4$ cặp: $(2; 1), (2; -1), (-2; 1), (-2; -1)$.
• Trường hợp 4: $|a| = 3$ và $|b| = 0 \implies a \in \{3; -3\}$ và $b = 0$. Cho $2$ cặp: $(3; 0), (-3; 0)$.

Tổng cộng có $2 + 4 + 4 + 2 = 12$ cặp số nguyên thỏa mãn.

Bài toán 1.2 (Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất)

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = 4(x - 2)^2 - 9;$
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $B = 15 - |x + 3|.$

Lời giải:

1. Với mọi số nguyên $x$, ta luôn có:

   $$(x - 2)^2 \ge 0 \implies 4(x - 2)^2 \ge 0.$$

   Cộng cả hai vế với $-9$:

   $$A = 4(x - 2)^2 - 9 \ge -9.$$

   Dấu "$=$" xảy ra khi $x - 2 = 0 \iff x = 2.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $-9$, đạt được khi $x = 2.$

2. Với mọi số nguyên $x$, ta luôn có $|x + 3| \ge 0 \implies -|x + 3| \le 0.$ Cộng cả hai vế với $15$:

   $$B = 15 - |x + 3| \le 15.$$

   Dấu "$=$" xảy ra khi $x + 3 = 0 \iff x = -3.$ Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là $15$, đạt được khi $x = -3.$

Chuyên đề 2: Cực trị của tổng, hiệu, tích trong tập hợp bị chặn

Bài toán 2.1

Cho các số nguyên $x$ và $y$ thuộc tập hợp $S = \{-30; -29; \dots; 24; 25\}$.

1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hiệu $(x - y)$.
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tích $x \cdot y$ (với $x \neq y$).

Lời giải: 1.

• Để $(x - y)$ đạt giá trị lớn nhất: Ta cần số bị trừ $x$ lớn nhất và số trừ $y$ nhỏ nhất trong tập $S$.$$\max x = 25;\quad \min y = -30.$$$$\implies \max(x - y) = 25 - (-30) = 25 + 30 = 55.$$
• Để $(x - y)$ đạt giá trị nhỏ nhất: Ta cần số bị trừ $x$ nhỏ nhất và số trừ $y$ lớn nhất:$$\min x = -30;\quad \max y = 25.$$$$\implies \min(x - y) = -30 - 25 = -55.$$

2.

• Để tích $x \cdot y$ đạt giá trị lớn nhất: Hai số phải cùng dấu và có giá trị tuyệt đối lớn nhất có thể:
  • Tích hai số dương lớn nhất: $25 \cdot 24 = 600.$
  • Tích hai số âm có giá trị tuyệt đối lớn nhất: $(-30) \cdot (-29) = 870.$ Vì $870 > 600$ nên giá trị lớn nhất của tích $xy$ là $870$ (đạt được khi $\{x; y\} = \{-30; -29\}$).
• Để tích $x \cdot y$ đạt giá trị nhỏ nhất: Hai số phải trái dấu và có giá trị tuyệt đối lớn nhất có thể: Chọn số âm nhỏ nhất là $-30$ và số dương lớn nhất là $25$:$$\min(xy) = (-30) \cdot 25 = -750.$$

Chuyên đề 3: Tìm số nguyên bằng phương pháp đưa về dạng tích và phân thức

Bài toán 3.1

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn:

Lời giải: Biến đổi phương trình đưa về dạng tích bằng cách thêm bớt hệ số:

Vì $x, y \in \mathbb{Z}$ nên $(x + 3)$ và $(y - 2)$ là các ước nguyên của $5$. Ta có $\text{Ư}(5) = \{1; -1; 5; -5\}$. Lập bảng tìm $x$ và $y$:

Vậy các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn là:

Bài toán 3.2 (Tìm $n$ nguyên để phân thức có giá trị nguyên)

Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $(2n^2 + 5n - 7)$ chia hết cho $(2n + 1)$.

Lời giải: Thực hiện chia đa thức $2n^2 + 5n - 7$ cho $2n + 1$:

Vì $(n + 2)(2n + 1)$ luôn chia hết cho $(2n + 1)$ với mọi $n \in \mathbb{Z}$, nên để cả biểu thức chia hết cho $(2n + 1)$ thì:

Lập bảng tính giá trị $n$:

Vậy các giá trị nguyên thỏa mãn là:

Chuyên đề 4: Chứng minh chia hết và tính chẵn lẻ trong $\mathbb{Z}$

Bài toán 4.1 (Chứng minh tổng lập phương chia hết cho 9)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$, tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho $9$:

Lời giải: Khai triển các lập phương:

Cộng ba số hạng lại:

Ta xét các trường hợp của $n$ khi chia cho $3$:

• Trường hợp 1: Nếu $n \ \vdots \ 3$, đặt $n = 3k$ ($k \in \mathbb{Z}$). Khi đó $3n = 3 \cdot (3k) = 9k \ \vdots \ 9 \implies S \ \vdots \ 9.$
• Trường hợp 2: Nếu $n$ không chia hết cho $3$, thì $n$ chia cho $3$ dư $1$ hoặc dư $2$, tức là $n = 3k \pm 1$. Khi đó:$$n^2 = (3k \pm 1)^2 = 9k^2 \pm 6k + 1 = 3(3k^2 \pm 2k) + 1.$$Do đó $n^2$ luôn chia cho $3$ dư $1$. Suy ra:$$n^2 + 2 = [3(3k^2 \pm 2k) + 1] + 2 = 3(3k^2 \pm 2k + 1) \ \vdots \ 3.$$Vì $(n^2 + 2) \ \vdots \ 3$ nên $3(n^2 + 2) \ \vdots \ 9$. Kéo theo $S = n \cdot [3(n^2 + 2)] \ \vdots \ 9.$

Trong mọi trường hợp, tổng $S$ luôn chia hết cho $9$. $\blacksquare$

Phần IV. Hệ thống 3 Đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận

ĐỀ KIỂM TRA SỐ 1 (Đề chuẩn ma trận nhận biết - thông hiểu)

Thời gian làm bài: 45 phút — Thang điểm: 10 điểm

Phần I. Trắc nghiệm tương tác (3.0 điểm — 12 câu)

Phần II. Tự luận (7.0 điểm — 4 bài)

Bài 1 (2.0 điểm). Tính hợp lý (nếu có thể):

1. $A = (-35) + 84 + 35 + (-14);$
2. $B = 145 - (45 - 2026) + (-2026).$

Bài 2 (2.0 điểm). Thực hiện phép tính:

1. $C = (-20) \cdot (-5) \cdot (-4) \cdot 6;$
2. $D = (-4)^2 \cdot 3 - 5^2.$

Bài 3 (1.5 điểm). Tìm số nguyên $x$, biết:

1. $x - 17 = -9;$
2. $3x + 11 = -7.$

Bài 4 (1.5 điểm). Tìm tất cả các số nguyên $x$ sao cho $(x + 2)$ là một ước của $12$.

Hướng dẫn chấm và đáp án Đề số 1

Bài 1 (2.0 điểm):

1. Nhóm các số đối nhau: $A = [(-35) + 35] + [84 + (-14)] = 0 + 70 = 70$ (1.0 điểm).
2. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm hợp lý: $$B = 145 - 45 + 2026 - 2026 = (145 - 45) + (2026 - 2026) = 100 + 0 = 100$$ (1.0 điểm).

Bài 2 (2.0 điểm):

1. Có 3 thừa số âm nên kết quả mang dấu âm: $C = -[(20 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 6)] = -(100 \cdot 24) = -2400$ (1.0 điểm).
2. Tính lũy thừa trước: $(-4)^2 = 16;\quad 5^2 = 25$ (0.5 điểm). $D = 16 \cdot 3 - 25 = 48 - 25 = 23$ (0.5 điểm).

Bài 3 (1.5 điểm):

1. $x = -9 + 17 \implies x = 8$ (0.75 điểm).
2. $3x = -7 - 11 \implies 3x = -18 \implies x = (-18) : 3 = -6$ (0.75 điểm).

Bài 4 (1.5 điểm):

• Ước của $12$ là $\text{Ư}(12) = \{\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4; \pm 6; \pm 12\}$ (0.5 điểm).
• Ta có $x = (x + 2) - 2$. Trừ lần lượt mỗi ước cho $2$:$$x \in \{-1; -3; 0; -4; 1; -5; 2; -6; 4; -8; 10; -14\}\text{ (0.75 điểm)}.$$
• Kết luận đúng $12$ giá trị (0.25 điểm).

ĐỀ KIỂM TRA SỐ 2 (Đề rèn luyện tương đương)

Thời gian làm bài: 45 phút — Thang điểm: 10 điểm

Phần I. Trắc nghiệm tương tác (3.0 điểm — 12 câu)

Phần II. Tự luận (7.0 điểm — 4 bài)

Bài 1 (2.0 điểm). Tính hợp lý (nếu có thể):

1. $A = (-52) + 93 + 52 + (-23);$
2. $B = 236 - (2026 + 36) + 2026.$

Bài 2 (2.0 điểm). Thực hiện phép tính:

1. $C = (-25) \cdot 7 \cdot (-4) \cdot (-3);$
2. $D = (-5)^2 - 4^2 \cdot 2.$

Bài 3 (1.5 điểm). Tìm số nguyên $x$, biết:

1. $x + 14 = -6;$
2. $4x - 9 = -29.$

Bài 4 (1.5 điểm). Tìm tất cả các số nguyên $x$ sao cho $(x - 1)$ là một ước của $9$.

Hướng dẫn chấm và đáp án Đề số 2

Bài 1 (2.0 điểm):

1. $A = [(-52) + 52] + [93 + (-23)] = 0 + 70 = 70$ (1.0 điểm).
2. $$B = 236 - 2026 - 36 + 2026 = (236 - 36) + (-2026 + 2026) = 200 + 0 = 200$$ (1.0 điểm).

Bài 2 (2.0 điểm):

1. Có 3 thừa số âm nên tích mang dấu âm: $$C = -[((-25) \cdot (-4)) \cdot (7 \cdot 3)] = -(100 \cdot 21) = -2100$$ (1.0 điểm).
2. $(-5)^2 = 25;\quad 4^2 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$ (0.5 điểm). $D = 25 - 32 = -7$ (0.5 điểm).

Bài 3 (1.5 điểm):

1. $x = -6 - 14 \implies x = -20$ (0.75 điểm).
2. $4x = -29 + 9 \implies 4x = -20 \implies x = (-20) : 4 = -5$ (0.75 điểm).

Bài 4 (1.5 điểm):

• $\text{Ư}(9) = \{\pm 1; \pm 3; \pm 9\}$ (0.5 điểm).
• Cộng $1$ vào từng ước: $x = (x - 1) + 1$:$$x \in \{2; 0; 4; -2; 10; -8\}\text{ (0.75 điểm)}.$$
• Kết luận đủ 6 giá trị (0.25 điểm).

ĐỀ KIỂM TRA SỐ 3 (Đề nâng cao — Phân hóa học sinh giỏi)

Thời gian làm bài: 45 phút — Thang điểm: 10 điểm

Phần I. Trắc nghiệm tương tác (3.0 điểm — 12 câu)

Phần II. Tự luận (7.0 điểm — 4 bài)

Bài 1 (2.0 điểm). Thực hiện phép tính:

1. $A = (-4)^2 - (-2)^3 + (-3)^3;$
2. $B = 74 \cdot (-23) + 74 \cdot (-77).$

Bài 2 (2.0 điểm). Tìm số nguyên $x$, biết:

1. $3x + 5 = -x + 21;$
2. $(x^2 - 9)(2x + 8) = 0.$

Bài 3 (1.5 điểm). Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho:

Bài 4 (1.5 điểm). Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho:

Hướng dẫn chấm và đáp án Đề số 3

Bài 1 (2.0 điểm):

1. Tính từng lũy thừa: $(-4)^2 = 16;\quad (-2)^3 = -8;\quad (-3)^3 = -27$ (0.5 điểm).$$A = 16 - (-8) + (-27) = 16 + 8 - 27 = 24 - 27 = -3\text{ (0.5 điểm)}.$$
2. Đặt thừa số chung $74$:$$B = 74 \cdot [(-23) + (-77)] = 74 \cdot (-100) = -7400\text{ (1.0 điểm)}.$$