Bài 16. Phép nhân số nguyên

Ở Bài 14 và Bài 15, các em đã thành thạo các phép cộng, phép trừ số nguyên và kỹ năng bỏ dấu ngoặc linh hoạt. Hôm nay, chúng ta sẽ bước sang một phép toán quen thuộc nhưng đầy bất ngờ trong tập hợp $\mathbb{Z}$: Phép nhân số nguyên.

Chắc hẳn nhiều em từng nghe câu khẩu quyết nổi tiếng: "Âm nhân âm ra dương!" Nhưng tại sao hai số âm nhân với nhau lại ra kết quả dương? Làm thế nào để nhân nhiều số nguyên cùng lúc mà không bị nhầm lẫn dấu? Khi nào thì một tích bằng $0$? Bài học này sẽ giải đáp cặn kẽ mọi thắc mắc đó kèm theo hệ thống bài tập thực tế và nâng cao vô cùng hấp dẫn!

Khởi động — Thử tài phản xạ dấu phép nhân (5–7 phút)

Hãy kiểm tra trực giác và kiến thức của các em qua 3 câu hỏi trắc nghiệm tương tác sau:

A. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

1. Nhân hai số nguyên khác dấu

a) Bản chất phép nhân

Ta biết phép nhân các số tự nhiên chính là phép cộng của nhiều số hạng bằng nhau. Với số nguyên âm cũng hoàn toàn tương tự:

b) Quy tắc tổng quát

Muốn nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân phần số tự nhiên của chúng lại với nhau rồi đặt dấu trừ "$-$" đằng trước kết quả:

$$(-m) \cdot n = -(m \cdot n) \quad \text{và} \quad m \cdot (-n) = -(m \cdot n) \quad (m, n \in \mathbb{N}^*).$$

Quy tắc vàng: Tích của hai số nguyên khác dấu luôn luôn là một số nguyên âm ($< 0$).

Ví dụ mẫu 1

Tính:
a) $(-7) \cdot 8$;
b) $16 \cdot (-5).$

Lời giải:
a) $(-7) \cdot 8 = -(7 \cdot 8) = -56.$
b) $16 \cdot (-5) = -(16 \cdot 5) = -80.$

2. Nhân hai số nguyên cùng dấu

a) Hai số nguyên dương

Nhân hai số nguyên dương chính là phép nhân hai số tự nhiên đã học ở tiểu học: $a \cdot b > 0.$

b) Hai số nguyên âm

Để hiểu tại sao "âm nhân âm lại ra dương", hãy cùng quan sát quy luật của dãy tích sau khi thừa số thứ hai giảm dần từng đơn vị:

• $(-4) \cdot 2 = -8$
• $(-4) \cdot 1 = -4$ (tăng thêm 4 đơn vị)
• $(-4) \cdot 0 = 0$ (tăng thêm 4 đơn vị)
• $(-4) \cdot (-1) = 4$ (tiếp tục tăng thêm 4 đơn vị)
• $(-4) \cdot (-2) = 8$ (tiếp tục tăng thêm 4 đơn vị)

Muốn nhân hai số nguyên âm, ta nhân hai phần số tự nhiên của chúng lại với nhau:

$$(-m) \cdot (-n) = m \cdot n \quad (m, n \in \mathbb{N}^*).$$

Quy tắc vàng: Tích của hai số nguyên cùng dấu (cùng âm hoặc cùng dương) luôn luôn là một số nguyên dương ($> 0$).

Ví dụ mẫu 2

Tính:
a) $(-9) \cdot (-6)$;
b) $(-15) \cdot (-4).$

Lời giải:
a) $(-9) \cdot (-6) = 9 \cdot 6 = 54.$
b) $(-15) \cdot (-4) = 15 \cdot 4 = 60.$

3. Các trường hợp đặc biệt và Bảng quy tắc dấu

Với mọi số nguyên $a$:

• Nhân với $0$: $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0.$
• Nhân với $1$: $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a.$
• Nhân với $-1$: $a \cdot (-1) = (-1) \cdot a = -a$ (kết quả chính là số đối của $a$).

Ví dụ mẫu 3

Tính:
a) $(-12) \cdot 0$;
b) $(-18) \cdot 1$;
c) $8 \cdot (-1)$;
d) $(-1) \cdot (-24).$

Lời giải:
a) $(-12) \cdot 0 = 0.$
b) $(-18) \cdot 1 = -18.$
c) $8 \cdot (-1) = -8.$
d) $(-1) \cdot (-24) = 24.$

4. Tính chất của phép nhân số nguyên

Phép nhân trong $\mathbb{Z}$ có đầy đủ các tính chất đại số quan trọng:

1. Giao hoán: $a \cdot b = b \cdot a.$
2. Kết hợp: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).$
3. Nhân với số 1: $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a.$
4. Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:$$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c; \quad a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c.$$

Dấu của tích nhiều thừa số khác 0:

Khi nhân một dãy nhiều thừa số khác $0$:

• Nếu số lượng thừa số âm là số CHẴN ($0, 2, 4, 6\dots$) $\implies$ Tích mang dấu DƯƠNG ($+$).
• Nếu số lượng thừa số âm là số LẺ ($1, 3, 5, 7\dots$) $\implies$ Tích mang dấu ÂM ($-$).

Lũy thừa của số nguyên âm:

Ví dụ: $(-3)^2 = 9 > 0$ nhưng $(-3)^3 = -27 < 0.$

Ví dụ mẫu 4

Tính một cách hợp lý:
a) $(-125) \cdot 7 \cdot (-8)$;
b) $(-17) \cdot 24 + (-17) \cdot 76.$

Lời giải:
a) Nhóm hai thừa số có tích tròn nghìn (có $2$ thừa số âm nên tích dương):

b) Áp dụng tính chất phân phối, đặt thừa số chung $(-17)$:

5. Những sai lầm kinh điển cần tránh

Lưu ý / Cảnh báo

Sai lầm 1: Nhầm phép nhân hai số âm ra số âm

• Sai lầm: $(-3) \cdot (-5) = -15.$
• Đúng: Cùng âm thì tích là số dương: $(-3) \cdot (-5) = 15.$

Sai lầm 2: Nhầm lẫn giữa $(-a)^2$ và $-a^2$

• $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9.$
• Trong khi $-3^2 = -(3^2) = -9.$ (Dấu trừ nằm ngoài lũy thừa).

Sai lầm 3: Quên điều kiện một tích bằng 0

• Nếu $A \cdot B = 0$ thì $A = 0$ hoặc $B = 0$. Học sinh hay quên xét trường hợp thứ hai khi giải bài toán tìm $x$.

B. Các dạng toán trọng tâm và phương pháp giải

Dạng 1. Thực hiện phép tính nhân

Phương pháp giải:

1. Đếm số thừa số âm để xác định trước dấu của kết quả.
2. Áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp để ghép các cặp số tạo thành số tròn chục, tròn trăm ($2 \cdot 5 = 10;\; 4 \cdot 25 = 100;\; 8 \cdot 125 = 1000$).
3. Dùng tính chất phân phối để đặt thừa số chung ra ngoài.

Luyện tập 1.1

Thực hiện phép tính:
a) $(-18) \cdot 5$;
b) $6 \cdot (-25)$;
c) $(-9) \cdot 14$;
d) $24 \cdot (-5).$

Luyện tập 1.2

Thực hiện phép tính:
a) $(-25) \cdot 8$;
b) $16 \cdot (-6)$;
c) $(-13) \cdot (-8)$;
d) $(-102) \cdot (-7).$

Luyện tập 1.3

Tính một cách hợp lý:
a) $6 \cdot (-145) + 6 \cdot (-55)$;
b) $3 \cdot (2025 + 135) + (-2025) \cdot 3$;
c) $-4 \cdot (25 + 17) - 4 \cdot (-7).$

Dạng 2. So sánh hai biểu thức

Phương pháp giải:

• So sánh gián tiếp qua số 0: Đếm số thừa số âm:
  • Nếu biểu thức mang dấu âm $\implies < 0.$
  • Nếu biểu thức mang dấu dương $\implies > 0.$
  • Mọi số âm luôn nhỏ hơn mọi số dương.
• So sánh trực tiếp: Tính giá trị hoặc áp dụng tính chất đại số để so sánh phần số tự nhiên.

Luyện tập 2.1

So sánh:
a) $(-19) \cdot 3$ với $-50$;
b) $25 \cdot (-4)$ với $-95$;
c) $(-24) \cdot 5$ với $40 \cdot (-3)$;
d) $35 \cdot (-10)$ với $12 \cdot 10.$

Luyện tập 2.2

So sánh:
a) $42 \cdot (-3)$ với $(-40) \cdot (-3)$;
b) $120 \cdot (-2)$ với $120 \cdot (-4)$;
c) $(-8) \cdot 15$ với $0$;
d) $85 \cdot (-2)$ với $(-3) \cdot (-6).$

Luyện tập 2.3

Không tính kết quả, hãy điền dấu thích hợp ($<, >, =$) vào ô trống:
a) $234 \cdot (-5) \dots 15$;
b) $(-24) \cdot (-3) \dots 189 \cdot (-2)$;
c) $30 \cdot (-7) \dots 35 \cdot 6$;
d) $340 \cdot (-105) \dots (-340) \cdot (-110).$

Dạng 3. Tìm số nguyên $x$ trong biểu thức tích

Phương pháp giải:

1. Dạng $k \cdot x = 0$ (với $k \ne 0$) $\implies x = 0.$
2. Dạng $A(x) \cdot B(x) = 0 \iff A(x) = 0$ hoặc $B(x) = 0.$ Giải từng trường hợp và kết luận tập nghiệm.

Luyện tập 3.1

Tìm số nguyên $x$, biết:
a) $3 \cdot x = 0$;
b) $15 \cdot (x + 4) = 0$;
c) $x \cdot (-2025) = 0.$

Luyện tập 3.2

Tìm số nguyên $x$, biết:
a) $-7 \cdot x = 0$;
b) $150 \cdot (x - 18) = 0$;
c) $x \cdot (-19) = 0.$

Luyện tập 3.3

Tìm số nguyên $x$, biết:
a) $(-45) \cdot (x + 12) = 0$;
b) $(x - 18)(x + 23) = 0$;
c) $x(x + 25) = 0$;
d) $(x - 34)(x - 120) = 0.$

Dạng 4. Bài toán thực tế ứng dụng phép nhân số nguyên

Phương pháp giải:

1. Biểu thị đại lượng giảm hoặc tiêu hao bằng số nguyên âm: giảm $k$ đơn vị là $-k$.
2. Tổng lượng biến thiên bằng: $(\text{Đại lượng mỗi lần}) \times (\text{Số lần})$.

Luyện tập 4.1

Một kho bảo quản đông lạnh hải sản được bật hệ thống hạ nhiệt, trung bình mỗi giờ nhiệt độ trong kho giảm $4^\circ\text{C}$.
a) Sau $6$ giờ liên tục, nhiệt độ trong kho thay đổi bao nhiêu độ C (ghi bằng số nguyên)?
b) Biết nhiệt độ ban đầu trước khi bật máy là $15^\circ\text{C}$, hỏi sau $6$ giờ nhiệt độ trong kho là bao nhiêu?

Luyện tập 4.2

Một hồ thủy lợi đang mở van xả nước, trung bình mỗi phút mực nước hồ hạ xuống $8\text{ cm}$. Hỏi sau $15$ phút, mực nước hồ thay đổi bao nhiêu xăng-ti-mét?

Luyện tập 4.3

Tìm số nguyên $x$ thỏa mãn đẳng thức: $4x - 7 = -11 + 2x.$

Dạng 5. Tìm cặp số nguyên $(x, y)$ biết tích

Phương pháp giải:

1. Phân tích tích $k$ thành tích của hai số nguyên (kể cả số âm): $k = a \cdot b.$
2. Lập bảng liệt kê các trường hợp và tìm $(x; y).$

Luyện tập 5.1

Tìm các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn:
a) $x \cdot y = -3$;
b) $x \cdot y = -5$ và $x < y$;
c) $(x + 2)(y - 4) = -7.$

C. Phiếu bài tập tự luyện (Độc bản 100%)

Bài 1. Tính toán cơ bản

Tính:
a) $(-24) \cdot 5$;
b) $15 \cdot (-8)$;
c) $25 \cdot (-4) \cdot 18$;
d) $8 \cdot (-125) \cdot 14.$

Bài 2. Điền bảng tích hai số nguyên

Điền số nguyên thích hợp vào các ô trống trong bảng sau:

Bài 3. Tính hợp lý

Tính một cách hợp lý:
a) $45 \cdot 16 - 9 \cdot 5 \cdot 26$;
b) $25 \cdot (-4) \cdot 17 \cdot (-20)$;
c) $60 - 6 \cdot (15 + 8)$;
d) $32 \cdot (18 - 7) - 18 \cdot (32 - 11).$

Bài 4. So sánh biểu thức

So sánh các biểu thức sau với $0$:
a) $84 \cdot (-75) \cdot 48$;
b) $(-15) \cdot 28 \cdot (-95)$;
c) $17 \cdot (-6)$ với $28 \cdot (-3).$

Bài 5. Xét tính đúng / sai

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Sửa lại nếu sai:
a) Tích của 3 số nguyên âm là một số nguyên dương;
b) $(-4)^2 = -16$;
c) $(-3)^3 = -27$;
d) Tích của 8 số nguyên âm là một số nguyên dương.

Bài 6. Tìm số nguyên $x$

Tìm số nguyên $x$, biết:
a) $x(x + 9) = 0$;
b) $(x + 15)(x - 4) = 0$;
c) $x(x + 5)(8 - x) = 0$;
d) $(x - 2)(3x - 6)(x + 7) = 0.$

Bài 7. Đánh giá dấu của tích

Không làm phép tính, hãy so sánh:
a) $1452 \cdot (-389) \cdot (-712) \cdot 0$ với $0$;
b) $(-12) \cdot (-35) \cdot (-48) \cdot (-92)$ với $(-15) \cdot (-24) \cdot (-30).$

Bài 8. Bài toán thi đua lớp học

Trong đợt thi đua chào mừng ngày Nhà giáo Việt Nam, mỗi hành động tốt của tổ được cộng $10$ điểm, mỗi lần vi phạm nội quy bị trừ $5$ điểm (ghi là $-5$ điểm).
Trong tuần, Tổ 1 có $8$ điểm tốt và $3$ lần vi phạm.
Hỏi điểm tổng kết tuần của Tổ 1 thay đổi bao nhiêu điểm?

Bài 9. Tìm cặp số nguyên $(x, y)$ có điều kiện

Tìm các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn:
a) $x \cdot y = -15$ và $x < y$;
b) $x \cdot y = 11$ và $x < y$;
c) $x \cdot y = -14$ và $x > y.$

Bài 10. Tìm cặp số nguyên dạng tích biểu thức

Tìm các cặp số nguyên $(x; y)$ biết:
a) $(x + 2)(y - 3) = -5$;
b) $(x - 4)(y + 2) = 11.$

D. Đề kiểm tra cơ bản 15 phút

Phần 1. Trắc nghiệm khách quan (4 điểm)

Phần 2. Tự luận (6 điểm)

Câu 1 (2.0 điểm)

Thực hiện phép tính:
a) $(-12) \cdot 6$;
b) $(-15) \cdot (-8)$;
c) $42 \cdot (-5) + 58 \cdot (-5).$

Câu 2 (1.5 điểm)

Tìm số nguyên $x$, biết: $x(x - 12) = 0.$

Câu 3 (1.5 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn: $x \cdot y = -7.$

Câu 4 (1.0 điểm)

Tại một vùng núi cao, nhiệt độ hạ đều đặn $2^\circ\text{C}$ sau mỗi giờ vào ban đêm. Hỏi sau $5$ giờ, nhiệt độ đã thay đổi bao nhiêu độ C?

Đáp án và Barem điểm chi tiết

E. Bài tập nâng cao và phát triển tư duy

Bài nâng cao 1. Đánh giá dấu tích lũy thừa lớn

Cho hai biểu thức:

Hãy so sánh $A$ và $B$ với số $0$.

Bài nâng cao 2. Tích của bốn số nguyên liên tiếp

Cho bốn số nguyên liên tiếp $x, x + 1, x + 2, x + 3.$ Đặt tích của chúng là:

Chứng minh rằng $P \ge 0$ với mọi số nguyên $x$. Khi nào thì $P = 0$?

Bài nâng cao 3. Tìm cặp số nguyên thỏa mãn $ab = 4(a + b)$

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(a; b)$ thỏa mãn phương trình:

Bài nâng cao 4. Bất phương trình tích khác dấu

Tìm tất cả các số nguyên $x$ thỏa mãn bất đẳng thức: